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中考初中數學-幾何必考證明題方法詳解

幾何證明題基本方法

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等.

2.同一三角形中等角對等邊.

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊.

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等.

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距高相等.

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距圈相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等.

8.過三角形T的中點且平行T第三邊的直線分第二^成的線段相等.

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等.

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等.

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等.

12.兩圓的內（外）公切線的長相等.

13.等于同一線段的兩條線段相等.

二、證明兩個角相等

L兩全等三角形的對應角相等.

2.同一三角形中等邊對等角.

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角.

4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等.

5.同角（或等角）的余角（或I卜角）相等.

*6同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的

弧對的圓周角.

*7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角.

8相似三角形的對應角相等.

*9.圓的內接四邊形的外角等于內對角.

10.等于同一角的兩個角相等

三、證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行.

2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行.

3.平行四邊形的對邊平行.

4.三角形的中位線平行于第三邊.

5.悌形的中位線平行于兩底.

6.平行于同一直線的兩直線平行.

7.f直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊.

四、證明兩條直線互相垂直

L等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊.

2.三角形中一邊的中輻等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角.

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角.

4.鄰補角的平分線互相垂直.

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條.

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直.

7利用到兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上.

8利用勾股定理的逆定理.

9加J用菱形的對角線互相垂直.

1。在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦.

11利用半圓上的圓周角是直角.

五、證明線段的和差倍分

L作兩條線段的和，證明與第三條線段相等.

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段.

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等.

4取長線段的中點，再證其一半等于短線段.

5利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三

角形的重心、相似三角形的性質等）.

六、證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同.

2利用角平分線的定義.

3三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

七、證明線段不等

L同一三角形中，大角對大邊.

2.垂線段最短.

3三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大.

*5祠圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小.

6.全量大于它的任何一部分.

八、證明兩角的不等

L同一三角形中，大邊對大角.

2三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角.

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等,第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大.

*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大.

5.全量大于它的任何TU分.

九、證明比例式或等積式

1利用相似三角形對應線段成比例.

2利用內外角平分線定理.

3.平行線截線段成比例.

4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理.

*5與圓有關的比例定理一相交弦定理、切割線定理及其推論.

6利用比fij式或等積式化得.

十、證明四點共圓

*1又寸角互補的四邊形的頂點共圓.

*2.外角等于內對角的四邊形內接于圓.

*3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）.

*4祠斜邊的直角三角形的頂點共圓.

*5.到頂點距離相等的各點共畫.

中考真題練習

1、已知梯形ABCD中ADiiBCAB=BC=DC點E、F分別在AD、AB上且NFCE=}/BCD

(1)求證：BF=EF-ED;

(2)雌AC,若NB=80°,zDEC=700,求zACF的度數.

2,如圖，梯形ABCD中，ADllBC,點E在BC上，AE=BE,且AF_LAB,簸EF.

(1)若EF_LAF,AF=4,AB=6,求AE的長.

(2)若點F是CD的中點，求證：CE=BE-AD.

B5C

3,如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，ADllBC,AB=CD,對角線AC、BD交于點O,且

AC±BD,DH±BC.

(1)求證：DH=-1(AD+BC)；

(2)若AC=6,求梯形ABCD0?積.

4、已知，如圖，AABC是等邊三角形，過AC邊上的點D作DGIIBC,交AB于點G,在

GD的延長線上取點E,使DE=DC,連接AE,BD.

(1)求證：AAGE?DAB；

(2)過點E作EFllDB，交BC于點F,連AF,求，AFE的度數.

5、如圖,梯形ABCD中，ADIIBC,DE=EC,EFllAB交BC于點F,EF=EC,連接DF.

(1)試說明梯形ABCD是等腰梯形；

(2)gAD=l,BC=3,DC=V2,試判斷&DCF的做;

(3)在條件(2)下，射線BC上是否存在一點P,使APCD是等腰三角形，若存在,請直

接寫出PB的長；若不存在,請說明理由.

6、如圖,在梯形ABCD中，ADllBC,zABC=zBCD=60°,AD=DC,E、F分別在AD、

DC的延且DE=CF.AF交BE于P.

(1)證明：SBESADAF;

(2)求NBPF的度數.

B

7、如圖，在梯形ABCD中ADUBC?AB=AD=DC,BD_LDC將BC延長至點F,使CF=CD

(1)求"BC的度數；

(2)如果BC=8,求9BF的面積？

8、如圖,梯形ABCD中，ADIIBC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且NAGD=60°,E、

F分別為CG、AB的中點.

(1)求證：AAGD為正三角形；

(2)求EF的長度.

Bc

9、已知，如圖，ADllBC,，ABC=90°,AB=BC,點E是AB上的點,zECD=45°,連接

ED，過D作DF_LBC于F.

(1)若NBEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周長.

(2)求證：ED=BE+FC.

10,(2005?鎮江)已知：如圖，梯形ABCD中，ADIIBC,E是AB的中點，直線CE交

DA的延長線于點F.

(1)求證:ABCE9AFE;

(2)若AB_LBC且BC=4,AB=6，求EF的長.

B

11,已知：如圖,在悌形ABCD中,ADllBC,BC=DC,CF平分，BCD,DFllAB,BF的

延長線交DC于點E.

求證：

(1)ABFC^DFC；

(2)AD=DE；

(3)若9EF的周長為6,AD=2,BC=5,求拂形ABCD的面積.

AD

12、如圖，梯形ABCD中，ADllBC.4=90°,且AB=AD.連接BD,過A點作BD的

垂線，交BC于E.

(1)求證：四邊形ABED是菱形；

(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面積.

E

參考答案

1、已知梯形ABCD中ADiiBCAB=BC=DC點E、F分別在AD、AB上且NFCE=￡/BCD

(1)求證:BF=EF-ED;

(2)B^AC,若NB=80°,zDEC=700,求zACF的度數.

證明:vFCsF'C,EC=EC,zECF'=zBCF+zDCE=zECF,

.“FCEaFCE,

.?.EF=EF=DF'+ED,

.-.BF=EF-ED；

(2)解：?.AB=BC,zB=80°,

.-.zACB=50°,

由(1)得ZFEC=NDEC=70°,

.-.zECB=70°,

而NB=NBCD=80°,

.-.zDCE=10°,

.-.zBCF=30°,

.-.zACF=zBCA-zBCF=20°.

2、如圖,梯形ABCD中，ADllBC,點E在BC上，AE=BE,且AF_LAB，連接EF.

(1)若EF±AF,AF=4,AB=6,求AE的長.

(2)若點F是CD的中點,求證：CE=BE-AD.

解：(1)作EM_LAB,交AB于點M.-AE=BE,EMJ.AB,

.,.AM=BM=-^x6=3;

-.zAME=zMAF=zAFE=90°,

.??四邊形AMEF是矩形，

/.EF=AM=3；

在Rt^AFE中，AE=^AF2+EF2=5；

(2)延長ARBC交于點N.

?,ADllEN,

/.zDAF=zN；

-.zAFD=zNFC,DF=FC,

.-.AADF^NCF(AAS),

.-.AD=CN;

-.zB+zN=90°,zBAE+zEAN=90°,

又AE=BE,zB=zBAE,

/.zN=zEAN,AE=EN,

/.BE=EN=EC+CN=EC+AD,

3、如圖，四硼ABCD為等解形，ADllBC,AB=CD,jt捅線AC、BD交于點。，自

AC±BD,DH±BC.

(1)求證：DHa-1(AD+BC)；

(2)若AC=6,求悌形ABCD的面積.

解：(1)證明：過D作DEIIAC交BC延長線于E,(1分)

,.ADIIBC,

二四邊形ACED為平行四邊形.(2分)

.-.CE=AD,DE=AC.

???四邊形ABCD為等腰悌形，

.,.BD=AC=DE.

-.AC±BD,

.-.DE±BD.

."DBE為等腰直角三角形.（4分）

-.DH±BC,

.?.DH*E=g(CE+BC)=-(AD+BC).(5分)

(2)-.AD=CE,

分)

Sg=1(AD+BC)-DH=1(CE+BC)-DH=SADBE?(7

???ADBE為等腰直角三角形BD=DE=6,

,?S△煙與＜6X6=18.

.??梯形ABCD的面積為18.(8分)

注：此題解題方法并不所.

4、已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點D作DGIIBC,交AB于點G,在

GD的延長線上蛾E,使DE=DC,朝AE,BD.

(1)求證：AAGEADAB；

(2)過點E作EFllDB,交BC于點F,連AF,求zAFE的度數.

(1)證明："ABC是等邊三角形,DGIIBC,

.-.zAGD=zABC=60o,zADG=zACB=60°,HzBAC=60°,

.”AGD是等邊三角形，

AG=GD=AD,zAGD=60°.

-.DE=DC,.-.GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB,

'.'zAGD=zBAD,AG=AD,

.,.AAG&ADAB;

(2)解：由(1)知人后=8。，zABD=zAEG.

,?EFllDB,DGllBC,

二四邊形BFED是平行四邊形.

/.EF=BD,

/.EF=AE.

??zDBC=zDEF,

.'.zABD+zDBC=zAEG+zDEF,§PzAEF=zABC=60°.

."AFE聘X角形,zAFE=60".

5、如圖,悌形ABCD中，ADIIBC,DE=EC,EFllAB交BC于點F,EF=EC,連接DF.

(1)試說明梯形ABCD是等腰梯形；

(2)若AD=1,BC=3,DC=&,試判斷2CF的形狀；

(3)在條件(2)下，射線BC上是否存在一點P,使WCD是等腰三角形，若存在,請直

接寫出PB的長;若不存在,請說明理由.

J

解：(1)證明：rEFuEC,

.-.zEFC=zECF,

vEFllAB,

.-.zB=zEFC,

???zB=zECF，.梯形ABCD聘蝌形；

(2?DCF是等腰直角三角形，

證明：DE=EC,EF=EC,r.EF哆D,

."CDF是直角三角形(如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形

是直角三角形),

?.梯形ABCD是等腰梯形，

/.CF=-i(BC-AD)=1,

VDC=V2,

二由勾股定理得：DF=1,BFC

DCF是等腰直角三角形；

(3)共四種情況：

-.DF±BC,

.?.當PF=CF時，WCD是等腰三角形，

即PF=1,

.-.PB=1；

當P與F重合時，APCD是等腰三角形，

/.PB=2；

當PC=CD=&（P在點C的左側）時，△PCD是等腰三角形，

.-.PB=3-V2；

當PC=CD=[2（P在點C的右側）時，APCD是等腰三角形，

.-.PB=3+V2.

故共四種情況：PB=1,PB=2,PB=3-V2,PB=3+V2.（每個1分）

6、如圖,在悌形ABCD中，ADllBC,zABC=zBCD=60°,AD=DC,E、F分別在AD、

DC的雁長線上，且DE=CF.AF交BE于P.

(1)證明：MBESADAF；

(2)求NBPF的度數.

解答：(1)證明：：在悌形ABCD中，ADUBC,zABC=zBCD=60°,

.AB=CD,

?,AD=DC,

.-.BA=AD,zBAE=zADF=120°,

'.DE=CF,

,AE=DF,

在ABAE和AADF中，

<ZBAE=ZADF,

,AE=DF

.-.AABE^DAF(SAS).

(2)解：?.由(1)ABAESAADF,

.".zABE=zDAF.

.-.zBPF=zABE+zBAP=zBAE.

而ADiiBC,zC=zABC=60°,

.-.zBPF=120°.

7、如圖，在梯形ABCD中ADuBCAB=AD=DC,BD_LDC將BC延長至點F,使CF=CD

(1)求zABC的度數；

(2)如果BC=8,求9BF的面積？

.?.zADB=zDBC,

,-AB=AD,

.,.zADB=zABD,

.?.zDBC=zABD,

,?在梯形ABCD中AB=DC,

.-.zABC=zDCB=2zDBC,

vBDxDC,

.-?zDBC+2zDBC=90°

.?.zDBC=30°

.-.zABC=60°

(2作DH_LBC,垂助H,

.'.DC=4,

?.CF=CD.-.CF=4,

.'.BF=12,

---zF+zFDC=zDCB=60°,zF=zFDC

.-.zF=30°,

-.zDBC=30°,

.'.zF=zDBC,

.-.DB=DF,

在直角三角形DBH中tanNDBC=WJ,

DH

?'?tan30*=￥，

6

/.DH=2V3,

???SADBF《?BF?DH=]x12X2V3=12V3?

即ADBF的面積為12j§.

8,如圖,梯形ABCD中，ADIIBC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且zAGD=60°,E、

F分別為CG、AB的中點.

(1)求證：AAGD為正三角形；

(1)證明：連接BE,

?.悌形ABCD中，AB=DC,

.-.AC=BD,可證AAB9DCB,

.,.zGCB=zGBC,

X-zBGC=zAGD=60°

.”AGD為等邊三角形，

(2)解：:BE為ABCG的線，

.-.BE±AC,

在RHABE中，EF為斜邊AB上的中線,

9,已知，如圖，ADllBC,，ABC=90°,AB=BC,點E是AB上的點，zECD=45°,連接

ED,過D作DFJLBC于F.

(1)若NBEC=75。，FC=3,蝌形ABCD的局長.

(2)求證：ED=BE+FC.

解：(1)?.NBEC=75",zABC=90°,

.-.zECB=156,

-.zECD=45°,

.-.zDCF=60°,

在Rt^DFC中:zDCF=60°,FC=3,

.?.DF=3心DC=6,

由題得，四邊形ABFD是矩形,

.,.AB=DF=3>/3,

-.AB=BC,

.-.BC=3V3,

.-.BF=BC-FC=3V3-3,

..AD=DF=3V3-3,

叫ABCD=3>/^X2+6+3J5-3=9\/3+3,

答：梯形ABCD的周長是9百+3.

(2)過點C作CM垂直AD的延長線于M,再延長DM到

N，使MN=BE,

/.CN=CE,

可證NNCD=/DCE,XD=CD,

.“DEdDNC,

.-.ED=EN,

/.ED=BE+FC.

10、(2005?鎮江)已知：如圖，梯形ABCD中，ADllBC,E是AB的中點，直線CE交

DA的延長線于點F.

(1)求證：ABCEMAAFE;

(2)若AB_LB(:且BC=4,AB=6，求EF的長.

(1)證明：「ADUBC,E是AB的中點，

..AE=BE,zB=zEAF,zBCE=zF.

.“BC&AAFE(AAS).

(2)解：.ADllBC,

.-.zDAB=zABC=90°.

?,AE=BE,zAEF=zBEC,

."BC的AAFE.

.-.AF=BC=4.

???EF2=AF2+AE2=9+16=25,

..EF=5.

11,已知：如圖，在梯形ABCD中，ADllBC,BC=DC,CF平分工BCD,DFllAB,BF的

延長線交DC于點E.BC

求證：

(1)^BFC^DFC；

(2)AD=DE;

(3)