專題16二次函數的存在性問題

【典例分析】

【考點11二次函數與相似三角形問題

【例1】拋物線廣加+加+3與x軸分別交于4—3,0),8(1,0)兩點，與y軸交于點C.

(1)求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

(2)點F是線段AD上一個動點.

Ap\

①如圖1,設攵=——，當k為何值時，CF=-AD.

AD2

②如圖2,以A,F,O為頂點的三角形是否與AABC相似？假設相似，求出點F的坐標；假設不相似，請

說明理由.

【答案】(1)y=—2x+3,D的坐標為(一1,4)；(2)①％=,；②以A,F,O為頂點的三角形與AABC

2

相似，F點的坐標為或(一2,2).

【解析】(1)將A、B兩點的坐標代入二次函數解析式，用待定系數法即求出拋物線對應的函數表達式，可

求得頂點D(—1,4)；

(2)①由A、C、D三點的坐標求出AC=3及，DC=V2-AD=2>/5，可得AACD為直角三角形，假

設CF=』AD,那么點F為AD的中點，可求出k的值；

2

②由條件可判斷NDAC=/OBC,那么NOAF=/ACB,假設以A,F,O為頂點的三角形與AABC

相似，可分兩種情況考慮：當NAOF=/ABC或/AOF=/CAB=45°時，可分別求出點F的坐標.

【詳解】(】).??拋物線丫=2*2+6*+3過點A(-3,0),B(l,0),

9。-3/?+3=0a=-l

,Cc，解得：

a+/?+3=0b=-2'

???拋物線解析式為y=-x2-2x+3；

,/y=—x2—2x+3=—(x+1)-+4.

頂點D的坐標為（-1,4）；

⑵①?.?在RtAAOC中，OA=3,OC=3,

,?,AC2=OA2+OC2=18.

.?D(-l,4),C(0,3),A(-3,0),

CD2=12+12=2，

AD2=22+42=20.

.-.AC2+CD2=AD2.

；.AACD為直角三角形，且NACD=9O0，

vCF=-AD,

2

??.F為AD的中點，

?_A__F__1

,AD-2'

.??k=L

2

DC15i

②在RtAACD中，tan/ACD=—=^-==-,

AC3>/23

OB1

(I：RtAOBC111(tan/OCB-=—,

OC3

../ACD=/OCB，

?.OA=OC,

NOAC=/OCA=45°，

.?.4AO=/ACB，

假設以A,F,。為頂點的三角形與AABC相似，那么可分兩種情況考慮:

當NAOF=/ABC時，AAOFSACBA,

OF||BC,

設直線BC的解析式為y=kx+b,

k+b-0k=-3

,。，解得：

b-5b=3'

直線BC的解析式為y=-3x+3,

直線OF的解析式為y=-3x,

設直線AD的解析式為y=mx+n,

—k+b=4k=2

,解得:

-3k+b=Qb=6

直線AD的解析式為y=2x+6,

6

x=——

y=2x+65

解得：＜

y=-3x

國一士外

I55）

當NAOF=/CAB=45"時，AAOF^ACAB,

/CAB=45°，

.-.OF1AC，

直線OF的解析式為y=-x,

y=—xfx=-2

??J?c/，解得：1c，

y=2x+6[y=2

.-.F（-2,2）,

綜合以上可得F點的坐標為或（-2,2）.

【點睛】此題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征、相似三角形的判定與性

質和直角三角形的性質；會利用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形性質：會運用分類討論的思想

解決數學問題.

【變式J-1】如圖，拋物線丫=0?+2》+。經過4（一1,0）,3兩點，且與丁軸交于點C（0,3）,拋物線與

直線丁=一九一1交于A，E兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）坐標軸上是否存在一點Q,使得A4QE是以AE為底邊的等腰三角形？假設存在，請直接寫出點。的

坐標；假設不存在，說明理由.

（3）P點在x軸上且位于點3的左側，假設以P,B,。為頂點的三角形與AABE相似，求點P的坐標.

【答案】⑴y=*+2x+3：⑵存在，0（4,0）或（0,—4）,理由見解析；⑶或P[—T'°）-

【解析】（1）將A、C的坐標代入y="2+2x+c求出a、c即可得到解析式;

(2)先求出E點坐標，然后作AE的垂直平分線，與x軸交于Q,與y軸交于Q',根據垂直平分線的性質

可知Q、與A、E,Q,與A、E組成的三角形是以AE為底邊的等腰三角形，設Q點坐標(0,x),Q'坐標(0,y),

根據距離公式建立方程求解即可；

(3)根據A、E坐標，求出AE長度，然后推出NBAE=NABC=45。，設p(加,0),由相似得到空=空或

''BCAE

PB4/7

——=—,建立方程求解即可.

BCAB

【詳解】(1)將4(-1,0),C(0,3)代入丫=以2+2*+，得:

[a-2+c=Qa=-l

.，解得《

c-3c-3

???拋物線解析式為y=-x2+2x+3

(2)存在，理由如下：

聯立y——X-I和y=—X2+2x+3,

y=—x—1fx=-lf%=4

f2c-，解得c或｛「

y=-x+2x+3[y=°[y--5

，E點坐標為(4,-5),

如圖，作AE的垂直平分線，與x軸交于Q,與y軸交于Q',

此時Q點與Q'點的坐標即為所求，

設Q點坐標(0,x),Q'坐標(0,y),

由QA=QE,Q'A=Q'E得：

|x-(T)|=J(x-4)2+(0+5)2,J(O+l)2+(y—。)2=J(O—4)2+(y+5)2

解得x=4,y=4

故Q點坐標為(40)或(0,-4)

(3)V71(-1,0),￡(4,-5)

AE=卜]-4)2+52=5啦.

當一x?+2x+3=0時，解得尤=-1或3

???B點坐標為(3,0),

/.OB=OC=3

/.ZABC=45°,AB=4，8c=30，

由直線y=-X—1可得AE與y軸的交點為(0,-1),而A點坐標為(-1,0)

/./BAE=45。

設p(m,0)那么BP=3-m,

；APBC和A4BE相似

.PBAB,PBAEnn3-/n_43-m50

BCAEBCAB3,25/23近4

39

解得根=一或=——，

52

??.P加或P卜iq

【點睛】此題考查二次函數的綜合問題，是中考常見的壓軸題型，熟練掌握待定系數法求函數解析式，等

腰三角形的性質，以及相似三角形的性質是解題的關鍵.

【變為1-2】如圖，拋物線y=^(x+2)(x-/w)(m>0)與x軸相交于點A,B,與y軸相交于點C,且點

m

A在點B的左側.

(1)假設拋物線過點(2,2),求拋物線的解析式；

(2)在(1)的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在一點H,使AH+CH的值最小，假設存在，求出點H

的坐標；假設不存在，請說明理由：

(3)在第四象限內，拋物線上是否存在點M,使得以點A,B,M為頂點的三角形與AACB相似？假設

存在，求出m的值；假設不存在，請說明理由.

]13

【答案】⑴)，=一1/+/1+2；⑵點H的坐標為(1,-]■(3)當m=2+20時，在第四象限內

拋物線上存在點M,使得以點A,B,M為頂點的三角形與△ACB相似.

【解析】

分析：

(1)把點(2,2)代入y=-'(x+2)(x—機)?機>中，解出m的值即可得到拋物線的解析式；

m

(2)由(1)中所得解析式求出點A、B、C的坐標，由題意可知，點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，這

樣連接BC與對稱軸的交點即為所求的點H,根據B、C的坐標求出直線BC的解析式即可求得點H的坐標;

⑶由解析式y=-'(x+2)(x—m)?m>可得點A、B、C的坐標分別為(-2,0]、(m,0)和(0,2),

m

如以下圖，由圖可知NACB和/ABM是鈍角，因此存在兩種可能性：①當△ACBS/^ABM,

②△ACBS^MBA,分這兩種情況結合題中條件進行分析解答即可.

詳解：

(1)把點(2,2)代入拋物線，

^2=-—(2+2)(2-m).

解得m=4.

.??拋物線的解析式為y=—；(x+2)(x—4)=—；x2+gx+2.

2

(2)令丫=---x+—x+2=0,解得X|=-2,x2=4.

42

那么A(-2,0),B(4,0).

1

對稱軸x=-—六N=L

2xhJ

1i

y=x'9H—x+2中當x=0時，y=2,

42

二點C的坐標為(0,2).

???點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱，

二連接BC與對稱軸的交點即為點H,此時AH+CH的值最小，

設直線BC的解析式為y=kx+b,

4k+b=0

把B(4,0),C(0,2)代入得：＜，解得：,

o=2

b=2

二直線BC的解析式為y=-1x+2.

13

.當x=1時，y=x1+2=—.

22

3

，點H的坐標為(1,-).

2

(3)假設存在點M,使得以點A,B,M為頂點的三角形與AACB相似.

如以下圖，連接AC,BC,AM,BM,過點M作MNJ_x軸于點N,

由圖易知，NACB和/ABM為鈍角，

ACAB

①當△ACBs/^ABM時，有一=——，即AB2=AC?\M.

ABAM

VA(-2,0),C(0,2),即OA=OC=2,

.\ZCAB=ZBAM=45°.

?.?MNJ_x軸，.'.ZBAM=ZAMN=45°,

JAN二MN.

，可設M的坐標為：(x,-x-2)(x>0),

把點M的坐標代入拋物線的解析式，得：-x-2=—'(x+2)(x—m).

m

化簡整理得：x=2m,

，點M的坐標為：(2m,-2m-2).

???AM=J(2m+2f+(—2m-2)2=+1).

AB2=AC2^M.AC=2&AB=m+2,

/.(m+2)2=272x272(m+1).

解得：m=2±20?

Vm>0,

.,.m=2+2x/2-

②當△ACBSAMBA時，有一=—,即AB2=CB*MA.

MABA

；NCBA=/BAM,ZANM=ZBOC=90°.

.MNCO

??△AANM0°ZA\BOC,>?------=------.

ANBO

VBO=m,設ON=x,

.MN22

>?-------=—即MN=—(x+2).

2+xmm

2z、

vM(x,-----(x+2))(x>0),

m

把M點的坐標代入拋物線的解析式,

21

得---(x+2)=------(x+2)(x-m).

mm

2、

解得x=m+2.即M(m+2,-----(zm+4)).

m

______2

,?*AB2=CB?MA，CB=Jm?+4,AN=m+4,MN=—(m+4),

(m+2)2=Vm2+4^(+前+幺血：4).

化簡整理，得16=0,顯然不成立.

綜上所述，當m=2+2x/2時，在第四象限內拋物線上存在點M,使得以點A,B,M為頂點的三角形與△ACB

相似.

點睛：此題是一道二次函數和幾何圖形綜合的題目，解題的要點有以下兩點：（1）“知道點A、B是關于拋

物線的對稱軸時稱的，連接BC與對稱軸的交點即為所求的點H"是解答第2小題的關鍵：（2）“能根據題

意畫出符合要求的圖形，知道/ACB和/ABM為鈍角，結合題意得到存在：①當AACBs^ABM,

②△ACBS^MBA這兩種可能情況"是解答第3小題的關鍵.

【考點2】二次函數與直角三角形問題

【例2】如圖，拋物線>=公2+陵+。（。。0）的頂點坐標為（2,-1）,圖象與.丫軸交于點C（0,3）,與x軸

交于A、3兩點.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設拋物線對稱軸與直線BC交于點。，連接AC、AD,求AAC。的面積；

（3）點E為直線BC上的任意一點，過點E作x軸的垂線與拋物線交于點尸，問是否存在點E使△7）石廠為

直角三角形？假設存在，求出點E坐標，假設不存在，請說明理由.

【答案】（l）y=（x—2產_1=%2—4X+3;（2）2;（3）見解析.

【解析】（1）可設拋物線解析式為頂點式，把C點坐標代入可求得拋物線解析式；

（2）由拋物線解析式可求得A、B坐標，利用待定系數法可求得直線BC解析式，利用對?稱軸可求得D點

坐標，那么可求得AD?、AC?和CD?,利用勾股定理的逆定理可判定AACD為直角三角形，那么可求得其

面積；

（3）根據題意可分NDFE=90。和NEDF=90。兩種情況，當NDFE=90。時，可知DF〃x軸，那么可求得E點

縱坐標，代入拋物線解析式可求得E點坐標；當NEDF=90。時，可求得直線AD解析式，聯立直線AC和拋

物線解析式可求得點E的橫坐標，代入直線BC可求得點E的坐標.

【詳解】解：（1）：拋物線的頂點坐標為（2,-1）,

...可設拋物線解析式為y=a（x-2）2—l（a。0）,

把C（0,3）代入可得a（0-2）2-1=3,解得a=1,

???拋物線解析式為y=（x—2>—1=/一4x+3；

（2）在y=/-4x+3中，令y=0可得％2-4x+3=0,解得x=l或x=3，

A（1,O）,B（3,0）,

設立線8C解析式為丁=丘+3,把8（3,0）代入得：3左+3=0,解得我=—1,

；?直線5c解析式為y=-x+3,

由（1）可知拋物線的對稱軸為x=2,此時y=-2+3=1,

二0（2,1）,

???AT）'?,AC2=10-CD2=8.

■:AD2+CD2=AC2，

AACD是以AC為斜邊的直角三角形，

.，?S——AD-CD=—xV2x2V2—2；

“A8Cn22

（3）由題意知EF//y軸，那么/FED=ZOCB主90°，

△￡）石尸為直角三角形，分NOEE=90°和NEOF=900兩種情況，

①當NOFE=90時，即。F//x軸，那么。、尸的縱坐標相同，

二尸點縱坐標為1，

???點/在拋物線上，

二f_4x+3=l，解得x=2±0，即點￡的橫坐標為2±血，

???點E在直線8C匕

二當x=2+0時，y=-x+3=l-V2.當x=2—0時，y=-x+3=l+V2.

￡點坐標為（2+J5,1—J5）或（2—；

②當NE￡>F=90W，

VA（l,0）,0（2,1）,

二直線A。解析式為丁=%-1,

?.?直線BC解析式為y=-X+3,

...AD1BC,

二直線AO與拋物線的交點即為E點,

聯立直線AD與拋物線解析式有X2-4X+3=X—1，解得X=1或X=4,

當x=］時，y=+3=2,當％=4時，y=_x+3=_l,

???￡點坐標為（1,2）或（4,—1）,

綜上可知存在滿足條件的點E，其坐標為（2+也,1一夜）或（2-及,1+應）或（1,2）或（4,一1）.

【點睛】考查了待定系數法求函數解析式，利用的頂點坐標，列出方程組，可以求出函數解析式.

【變式2-1】如圖，經過x軸上A（—1,O）,8（3,0）兩點的拋物線.丫=皿尤—1）2—4加（m<0）交）’軸于點

C,設拋物線的頂點為O,假設以DB為直徑的。G經過點C,求解以下問題：

（1）用含加的代數式表示出C,。的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）能否在拋物線上找到一點。，使為直角三角形？如能，求出。點的坐標，假設不能，請說明

理由。

2

【答案】（1）點C的坐標為C（0,-3m）點D的坐標為（L-4m）；⑵拋物線的解析式為y=-x+2x+3-.

（3）滿足題意的。點有三個：（0,3）、（一和

【解析】

【試題分析】

⑴y=m（%-l）2—4機是頂點式，那么頂點D的坐標為C（0,-3帆），當x=0,那么y=3m,即點C的坐標為

C（0,-3m）；

（2）連接CD、BC,過點。作軸于E，如圖①所示:根據直徑所對的圓周角是直角，得

/DCB=90。，出現“一線三等角模型"，得ADECSACOB根據相似三角形的性質得：

—=—即——=—,解得根=—1,那么拋物線的解析式為丁=一/+2》+3.

COOB-3m3

（3）分三種情況分類討論：ZBQD=90°（圖①）顯然。與C點重合，點。坐標為。（0,3）；NDBQ=90。

（圖②）作QF，y軸于尸，OH軸于H,根據兩角對應相等，兩三角形相似，得RtADHBsRLBFQ,

,=黑，那么DH?FQ=BF?HB,由于點。坐標（匕-公+2&+3）,那么

4（左2—2左一3）=2（3—左），解得：％=—g

3（39]

由&=一士得。坐標：Q\；NBOQ=90。1圖③）延長。。交》軸于M，作軸于E，

2<24j

nFEM1EM1

軸于“，同理可證：ADEMSADHB，那么——=——，即一=——，得EM=一,點M的坐

DHHB422

標為（0，（），設。M所在的直線解析式為y=kx+b,用待定系數法，把M（0,g）和D[1,4）代入得：

,7

b——17

{2解得：k=—,b=—

22

[k+b=4乙乙

\717

那么直線DM的解析式為丁二萬彳+萬，把丁二萬工+萬代入y=—V+2x+3得：2/—3x+l=0，解得,

x=-,最后把x=L代入y=，x+N得丁="，點。的坐標為

22224124J

\

391

--|和-

綜上述，。點有三個：（0,3）,24724

【試題解析】

⑴,.,丫=加(％-1)--4〃2是頂點式

???點。的坐標為(1,一4〃)

當x=0時，y=-3m

點。的坐標為C(0,—3〃?)

(2)連接CD、BC,過點。作軸于E,如圖①所示：

???BD是0G的直徑

/.ZDCB=90°

/.ZECD+ZBCO-90"

,?ZECD+ZEDC=90°

/.ZBCO=ZEDC

DEEC1-n

NDEC=/BOC=9004COB-----=------..............-

COOB-3m3

:.nr=1m=±lm<0m=-\

.??拋物線的解析式為y=-/+2x+3

（3）能在拋物線上找到一點Q,使4BDQ為直角三角形

很明顯，點C即在拋物線上，又在。G上，ZBGD=90°,這時。與C點重合

點。坐標為。（0,3）

如圖②，假設NOBQ為90。，作軸于F，

￡>”_Lx軸于”

同理可證：RtADHBsRsBFQ

?_D__H___H_B_

''~BF~~FQ

：.DH?FQ=BF?HB

???點。坐標（匕一公+2左+3）

.?.4儼_24_3）=2（3_&）

3

化簡得：2/—3左一9=0,解得：k=3〔不合題意，舍去），k=——

2

由々=_《得Q坐標：

假設N8OQ為90。,如圖③，延長。。交y軸于加，

作。軸于E，DHJ_X軸于〃.同理可證：ADEMSQHB

.DEEM

那么:=學，得點〃的坐標為（0，g）

設。M所在的直線解析式為y=kx+b,把M（0,g］和D（1,4）代入得：

,7

b=—17

\2解得：k=—,b=—

22

,+〃=4乙乙

1717

二直線DM的解析式為^二萬工+萬，把丁二萬工+萬代入y=—f+2x+3得：2x2-3x+l=O

解為：x=l（不合題意，舍去），x=-,

2

1八、17得尸*點。的坐標為J_15

把x=一代入y=—%+一(

2222T

綜合上述，滿足題意的。點有三個：(。,3)、鳥，皆和(；，同

【方法點睛】此題目是一道二次函數的綜合題，涉及到頂點坐標，與坐標軸的交點，一線三等角證相似，

并且屢次運用相似三角形的對應邊成比例，直角三角形確實定(3種情況分類討論)，難度較大.

【變式2-2】拋物線y=/-2x+根-1與X軸只有一個交點，且與〉軸交于A點，如圖，設它的頂點為

B.

(1)求的值；

(2)過A作x軸的平行線，交拋物線于點C,求證：AABC是等腰直角三角形；

(3)將此拋物線向下平移4個單位后，得到拋物線y',且與x軸的左半軸交于E點，與y軸交于F點，

如圖.請在拋物線)，'上求點P,使得△EEP是以EF為直角邊的直角三角形？

【答案】⑴m=2；⑵證明見解析；⑶滿足條件的P點的坐標為=)或(彳，一一).

3939

【解析】

試題分析：(1)根據拋物線與X軸只有一個交點可知△的值為0,由此得到一個關于m的一元一次方程，

解此方程可得m的值：

(2)根據拋物線的解析式求出頂點坐標，根據A點在y軸上求出A點坐標，再求C點坐標，根據三個點

的坐標得出△ABC為等腰直角三角形；

(3)根據拋物線解析式求出E、F的坐標，然后分別討論以E為直角頂點和以F為直角頂點P的坐標.

試題解析：［1)二拋物線y=x2-2x+m-l與x軸只有一個交點,

△=(-2)2-4X1x(m-1)=0,

解得，m=2；

(2)由(D知拋物線的解析式為y=x2-2x+l=(x-1)2,易得頂點B(1,0),

當x=0時，y=l,得A(0,1).

由1=X2-2X+1,解得，x=0(舍)或x=2,所以C點坐標為：(2,1).

過C作x軸的垂線,垂足為D,那么CD=I,BD=XD-XB=1.

...在RSCDB中，NCBD=45。，BC=0.

同理，在RSAOB中，AO=OB=1,于是NABO=45。，AB=0.

/.ZABC=1800-ZCBD-ZABO=90°,AB=BC,

因此△ABC是等腰直角三角形；

⑶由題知，拋物線C，的解析式為y=x2-2x-3,

當x=0時，y=-3；

當y=0時，x=-l或x=3,

：.E[-1,0),F(0,-3),g|JOE=1,OF=3.

第一種情況：假設以E點為直角頂點，設此時滿足條件的點為Pi(Xi,y。，作RM_Lx軸于M.

ZP?EM+ZOEF=ZEFO+ZOEF=90°,

，ZPiEM=ZEFO,得RtAEFO^RtAP)EM,

P.MOE

那么即EM=3PiM.

3

VEM=xi+l,P|M=yi,

；.xi+l=3yi①

由于Pi(xi,y,)在拋物線C上,

那么有3(xi2-2x)-3)=xi+l,

整理得，3xi2-7xi-10=0,解得,

制=?,或X2=-l(舍去)

3

把內=與代入①中可解得，

13

y'"V'

??.3,U).

39

第二種情況：假設以F點為直角頂點，設此時滿足條件的點為P2(x2,y2),作P2Nd_y軸于N.

同第一種情況，易知RsEFOsRsFPzN,

FN0E1

褥------——

即P2N=3FN.

P2NOF3

P?N=X2,FN=3+y2,

；.X2=3(3+y2)②

由于P2(X2,y2)在拋物線c，上,

那么有X2=3(3+X22-2X2-3)，

7

整理得3X22-7X2=0,解得X2=0(舍)或X2=—.

3

把及=與代入②中可解得，

20

瓦?

.,720

??P?I—,---).

39

綜上所述，滿足條件的P點的坐標為：(當10，13或(7一，-2三0).

3939

【考點3】二次函數與等腰三角形問題

【例3】如圖，：二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點，其中A點坐標為(-3,0),與y

軸交于點C,點D(-2,-3)在拋物線上.

(1)求拋物線的表達式；

(2)拋物線的對稱軸上有一動點P,求出PA+PD的最小值；

(3)假設拋物線上有一動點M,使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點坐標.

(4)拋物線的對稱軸上是否存在動點Q,使得△BCQ為等腰三角形？假設存在，求出點Q的坐標；假設

不存在，說明理由.

【答案】⑴y=x2+2x-3；(2)3亞；⑶點M的坐標為(-1-6,3),(-1+近，3),(-2,-3)；

(4)存在；點Q的坐標為(-1,-^6],(-1?--^6(-1,0),(-1,-6),(-1,-1).

【解析】由點A,D的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的表達式；

(2〕利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點B的坐標，連接BD,交拋物線的對稱軸于點P,山拋物

線的對稱性及兩點之間線段最短可得出此時PA+PD取最小值，最小值為線段BD的長度，再由點B,D的

坐標，利用兩點間的距離公式可求出PA+PD的最小值；

(3)利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標，設點M的坐標為(x,x2+2x-3),由△ABM的

面積等于^ABC的面積可得出關于x的一元二次方程，解之即可求出點M的坐標；

(4)設點Q的坐標為(-1,m),結合點B,C的坐標可得出CQ2,BQ2,BC2,分BQ=BC,CQ=CB及QB=QC

三種情況，找出關于m的一元二次〔或一元一次)方程，解之即可得出點Q的坐標.

【詳解】解：⑴將A(-3,0),D(-2,-3)代入y=x?+bx+c,得：

，9—3b+c*—0>=2

4C,…解得：1

4一2/?+。=-3c=-3

，拋物線的表達式為y=x2+2x-3.

(2)當y=0時，x2+2x-3=0,

解得：Xi=-3,X2=l,

.??點B的坐標為(1,0).

連接BD,交拋物線的對稱軸于點P,如圖1所示.

VPA=PB,

/.此時PA+PD取最小值，最小值為線段BD的長度.

???點B的坐標為(1,0),點D的坐標為(-2,-3),

二BD=^/(-2-1)2+(-3-0)2=3亞，

APA+PD的最小值為30.

(3)當x=0時，y=x2+2x-3=-3,

.??點C的坐標為(0,-3).

設點M的坐標為(x,x2+2x-3).

?SAABM=SAABC>

|x2+2x-3|=3,即x2+2x-6=0或x2+2x=0,

解得：X]=-1-5/7，X2=-1+?X3=-2,X4=0(舍去)，

.?.點M的坐標為(-1-V7.3),(-1+V7-3),(-2,-3).

⑷設點Q的坐標為(-1,m).

???點B的坐標為(1,0),點C的坐標為(0,-3),

,*.CQ2=(-1-0)2+[m-[-3)]2=m2+6m+10,BQ2=(-1-1)2+(m-0)2=m2+4,BC2=(0-1)

2+(-3-0)2=10.

分三種情況考慮(如圖2所示)：

①當BQ=BC時，m2+4=10,

解得：mi="，m2=-76，

.??點Qi的坐標為(-1,#),點Q?的坐標為(-1,-V6)；

②當CQ=CB時，m2+6m+10=10,

解得：013=0,rru=-6,

???點Q3的坐標為(-1,0),點Q4的坐標為[-1,-6)；

③當QB=QC時，m2+4=m2+6m+10,

解得：015=-I.

.??點Q5的坐標為（-1,-I）.

綜上所述：拋物線的對稱軸上存在動點Q,使得△BCQ為等腰三角形，點Q的坐標為(-1,5/6).(-1,

-y[6)>(-1,0),(-1,-6),(-I,-1).

【點睛】此題考查了待定系數法求二次函數解析式、二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質、兩

點間的距離公式、三角形的面積、等腰三角形的性質以及解一元二次(或一元一次)方程，解題的關鍵是:

(1)由點的坐標，利用待定系數法求出二次函數表達式；(2)利用兩點之間線段最短，找出點P的位置；

⑶利用兩三角形面積相等，找出關于x的一元二次方程；⑷分BQ=BC,CQ=CB及QB=QC三種情況,

找出關于m的方程.

【變式3-1】如圖，拋物線y=o?+"+3與x軸交于點A(1,0)和B(3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)假設拋物線的對稱軸交x軸于點E,點F是位于x軸上方對稱軸上一點，FC〃x軸，與對稱軸右側的

拋物線交于點C,且四邊形OECF是平行四邊形，求點C的坐標；

(3)在(2)的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在點P,使AOCP是等腰三角形？假設存在，請直接寫

出點P的坐標；假設不存在，請說明理由.

【答案】⑴y=——4x+3；(2)C(4,3)；(3)P(2,后)或(2,-舊〕或(2,3+萬)或12,3-歷).

【解析】

試題分析：(1)把點A、B的坐標代入函數解析式，解方程組求出a、b的值，即可得解；

(2)根據拋物線解析式求出對稱軸，再根據平行四邊形的對角線互相平分求出點C的橫坐標，然后代入函

數解析式計算求出縱坐標，即可得解；

(3)設AC、EF的交點為D,根據點C的坐標寫出點D的坐標，然后分①。是頂角，②C是頂角，③P是

頂角三種情況討論.

試題解析：(1)把點A(1,0)和B(3,0)代入y=ar?+0x+3得，

。+3=0。=1

解得J_y'所以，拋物線的解析式為y=x0—4x+3；

9。+3Z?+3=0

(2)拋物線的對稱軸為直線x=2,

四邊形OECF是平行四邊形.?.點C的橫坐標是4,

?.?點C在拋物線上，y=42—4x4+3=3,

二點C的坐標為（4,3）；

（3）?.?點C的坐標為（4,3）,，OC的長為5,

①點0是頂角頂點時，OP=OC=5,

OP?=OE2+EP2,OE=2.\EP=』5。-2?=V21,

所以，點P的坐標為（2,血！）或（2,-M）；

②點C是頂角頂點時，CP=OC=5,同理求出PF=J^T,所以，PE=x/21±3,

所以，點P的坐標為（2,3+庖〕或［2,3-J萬）；

③點P是頂角頂點時，點P在OC上，不存在.

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點P（2,而）或（2,-V21）或（2,3+V21）或（2,3-歷），

使AOCP是等腰三角形.

考點：二次函數綜合題.

【變式3-2】如圖，拋物線y=￡+b+c（awO）與直線y=x+l相交于d（-L0）,3（4,m）兩點，且拋

物線經過點。（5,0）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點尸是拋物線上的一個動點（不與點4、點5重合），過點F作直線軸于點。，交直線Z5

于點E.

①當？E=2即時，求尸點坐標；

②是否存在點尸使AB&7為等腰三角形，假設存在請直接寫出點尸的坐標，假設不存在，請說明理由.

Q11q

【答案】（1）y=-x2+4x+5；（2）①P點坐標為（2,9）或（6,-7）；②（：，制）或（4+屈，-4而

-8）或（4-4祖5-8）或（0,5）.

【解析】

試題分析：（D由直線解析式可求得B點坐標，由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解

析式；

（2）①可設出P點坐標，那么可表示出E、D的坐標，從而可表示出PE和ED的長，由條件可知到關于P

點坐標的方程，那么可求得P點坐標；

②由E、B、C三點坐標可表示出BE、CE和BC的長，由等腰三角形的性質可得到關于E點坐標的方程，

可求得E點坐標，那么可求得P點坐標.

試題解析：（1）???點B（4,m）在直線y=x+l上，

，m=4+l=5,

AB(4,5),

a—2)4-c=0a=—1

把A、B、C三點坐標代入拋物線解析式可得+劭=5,解得#=4,

25a+52)+c=0c=5

二拋物線解析式為y=-x2+4x+5；

(2)①設P(x,-x2+4x+5),那么E(x,x+1),D(x,0),

那么PE=|-x2+4x+5-(x+1)|=|-x2+3x+4|,DE=|x+l|,

VPE=2ED,

：.\-x2+3x+4|=2|x+l|,

當-x?+3x+4=2(x+1)時，解得x=-1或x=2,但當x=-I時，P與A重合不合題意，舍去，

AP(2,9)；

當-x?+3x+4=-2(x+1)時，解得x=-l或x=6,但當x=-l時，P與A重合不合題意，舍去，

：.P[6,-7)；

綜上可知P點坐標為(2,9)或(6,-7)；

②設P(X,-x2+4x+5),那么E(X,x+1),且B(4,5),C(5,0),

???BE=VCx-^+^+l-B)8=血lx-4|,CE=J(x—5>+(x+l>=<2xa-+26-

BC=Jg一曲(5-。尸二標.

當^BEC為等腰三角形時，那么有BE=CE、BE=BC或CE=BC三種情況，

___________________QQ11q

當BE=CE時，那么向lx-4|=而+26,解得x=2,此時P點坐標為—)；

4416

當BE=BC時，那么也|x-4|二,解得x=4+^3或x=4-,此時P點坐標為（4+抗5,-4-

8）或（4-屈，4^3-8）;

當CE=BC時，那么《2d一8x+26'解得x=0或x=4,當x=4時E點與B點重合，不合題意，

舍去，此時P點坐標為(0,5)；

R110

綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為(士，已)或(4+屈，-4底-8)或(4-屈，4底-

416

8)或(0,5).

考點：二次函數綜合題.

【考點4］二次函數與平行四邊形問題

3

【例4】如圖，拋物線y=ax?+bx+c與x軸相交于點A(-3,0),B(1,0),與y軸相交于(0,一；)，

頂點為P.

(1)求拋物線解析式；

(2)在拋物線是否存在點E,使△ABP的面積等于△ABE的面積？假設存在，求出符合條件的點E的坐

標；假設不存在，請說明理由；

(3)坐標平面內是否存在點F,使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條

件的點F的坐標，并求出平行四邊形的面積.

13

【答案】(1)y=yx2+x--(2)存在，(-1-2及，2)或(-1+2a,2)(3)點F的坐標為(-1,2)、

(3,-2)、(-5,-2),且平行四邊形的面積為8

3

【解析】⑴設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,把(-3,0),(1,0),(0,-)代入求出a、b、c的值即可;

(2)根據拋物線解析式可知頂點P的坐標，由兩個三角形的底相同可得耍使兩個三角形面積相等那么高相

等，根據P點坐標可知E點縱坐標，代入解析式求出x的值即可；(3〕分別討論AB為邊、AB為對角線兩

種情況求出F點坐標并求出面積即可；

0=9a-3b+c

3

【詳解】(1)設拋物線解析式為y=ax2+bx+c,將(-3,0),(1,0),(0,一)代入拋物線解析式得彳0=a+b+c,

23