容斥原理類解法

對于容斥原理類的題目，近年來在公務員行政職'也能力測驗中考的不少。熟練掌握三集合整體重復型公式

成為了做題關鍵。

對于容斥原理類的題目，近年來在公務員行政職業能力測驗中考的不少。縱觀歷年真題,

我們可以發現：2006年國家公務員考試考了一道三集合圖示標數型;2007年國家公務員考試

考了兩道兩集合型題目;2009年國家公務員考試考了一道三集合的題目，可以直接套用三集

合標準型核心公式;2010年和2011年國家公務員考試連續兩年考了三集合整體重復型。因

此，熟練掌握三集合整體重復型公式成為了做題關鍵。

一、介紹三集合整體重復型核心公式

在三集合題型中，假設滿足三個條件的元素數量分別是A、B和C,而至少滿足三個條

件之一的元素的總量為W。其中，滿足一個條件的元素數量為X,滿足兩個條件的元素數量

為y,滿足三個條件的元素數量為z,根據下圖可以得到以下兩個等式：

A+B+C=xxl+yx2+zx3

二、典型的三集合整體重復型的題目講解

例1、某班有35個學生，每個學生至少參加英語小組、語文小組、數學小組中的一個

課外活動。現已知參加英語小組的有17人，參加語文小組的有30人，參加數學小組的有1

3人。如果有5個學生三個小組全參加了，問有多少個學生只參加了一個小組?(2004年浙江

公務員考試行測第20題)

A.15人B.16人C.17人D.18人

【答案】A解析：此題有兩種解法可以解出:

英語

解一：如圖，分別設只參加英語和語文、英語和數學、語文和數學小組的人為x、y、z,

則只參加英語小組的人為17-5-x-y,只參加語文小組的人有30-5-x-z,只參加數學小組的人

有13-5-y-z,則只參加三個小組中的一個小組的人和只參加其中兩個小組的人和三個小組都

參加的人的總和為總人數，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。則求x+y+z=15,所

以只參加一個小組的人數的和為15。

解二：套用三集合整體重復型公式：

W=x+y+z

A+B+C=xxl+yx2+zx3

35=x+y+5

17+30+13=xxl+yx2+5x3

解得：x=15,y=15

例2、某調查公司就甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進行調查，有89人看過甲片，

有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影全看過，20人一部也沒有看過,

則只看過其中兩部電影的人數是（）（2009年江蘇公務員考試行測A類試卷第19題）

A.69B.65C.57D.46

【答案】D解析：本題也是一道典型的三集合整體重復型題目，直接套用三集合整體

重復型公式：

W=x+y+z

A+B+C=xxl+yx2+zx3

這里需要注意的是W=105,而非125,

105=x+y+24

89+47+63=xx1+yx2+24x3

兩個方程，兩個未知數，解出y=46,這里y表示只看過兩部電影的人數，即所求。

例3、某高校對一些學生進行問卷調查。在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考

試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考

試都準備參加的有24人，準備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有

15人。問接受調查的學生共有多少人?（2010年國家公務員考試行測第47題）

A.120B.144C.177D.192

【答案】A解析：本題的特征也很明顯，直接套用公式，只是要注意的是，題目中最

后問的是接受調查的總人數，我們求出W之后，還需要再加上不參加其中任何一種考試的

那15個人,

W=x+46+24

63+89+47=xx1+46x2+24x3

通過解方程，可以求出W=105,這只是至少準備參加一種考試的人數，所以接受調查

的總人數為105+15=120。

例4、某市對52種建筑防水卷材產品進行質量抽檢，其中有8種產品的低溫柔度不合

格，10種產品的可溶物含量不達標，9種產品的接縫剪切性能不合格，同時兩項不合格的有

7種，有1種產品這三項都不合格，則三項全部合格的建筑防水卷材產品有多少種?（2011年

國家公務員考試行測試卷第74題）

A.37B.36C.35D.34

【答案】D解析：本題屬于典型的三集合整體重復，直接套用公式：

W=x+7+l

8+10+9=xx14-7x2+1x3

可以解除W=18,所以至少有一項不合格的有18種，則三項全部合格的建筑防水卷材

產品有F2-18=34。

在三集合整體重復型的題目中，我們需要辨認A、B、C,x、y、z具體指代什么，特別

是需要搞清W是哪個量，這里再強調一遍，至少滿足三個條件之一的元素的總量為W,而

并非題目總量即為W,只要掌握這一點，這類題日即可迎刃而解。

數量關系容斥原理

對公務員考試行測中數學運算各個題目進行整理，有?類是“容斥原理”問題，主要包括兩集合問題和三集

合問題，此類問題是每年必考的題型，現在對此類題目進行匯總，希望能幫助4.24聯考的廣大考生順利通

過考試。

對公務員考試行測中數學運算各個題目進行整理，有一類是“容斥原理''問題，主要包括

兩集合問題和三集合問題，此類問題是每年必考的題型，現在對此類題目進行匯總，希望能

幫助4.24聯考的廣大考生順利通過考試。

1、公式法：適用于條件與問題都可直接代入公式的題目。利用公式法解決問題時要注

意公式中每個字母所代表的含義，這是考生經常容易出錯的地方。

(1)兩個集合：

涉及到兩個集合的容斥原理的題目相對比較簡單，可以按照下面公式代入計算：

1都的個數+2都的個數一1、2部的個數=總一1、2都不的個數

“都”是指滿足該條件的集合數。

(2)三個集合：

IAUBUC|=|A|+|B|+|C|-|APBI-IBHCI-ICHAI+IADBClC|

2、韋恩圖法：用圖形來表示集合關系，變抽象文字為形象圖示。因其具有直觀性，便

捷性和可行性，因此推薦首選文氏畫圖解題。

(1)兩個集合:

針對歷年的真題進行講解。

例1、對某單位的100名員工進行調查，結果發現他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中

58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有1

8人，既喜歡看電影乂喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的

有()。(2005年國家公務員考試一卷行測第45題)

A.22人B.28人C.30人D.36人

解析：設人=喜歡看球賽的人(58),13=喜歡看戲劇的人(38),C=喜歡看電影的人(52),則

有：

人”=既喜歡看球賽的人乂喜歡看戲劇的人(18)

Bnc=既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人(16)

AABnC=三種都喜歡看的人(12)

AlJBUC=看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種(100)

由集合運算公式可知：

CCIA=A+B+C-(AUBUC+ADB+BCC-AriBnC)

=148-(100+18+16-12)=26

所以，只喜歡看電影的人=C-BnC-CCA+ACBnC

=52-16-26+12

=22

注：這道題運用公式運算比較復雜，運用文氏畫圖法我們很快就可以看出結果。文氏解

法如下：

由題意知：(40-x)+x+(36-x)+6+12+4+16=100,解得x=14;則只喜歡看電影的人有36-

x=22

例2、外語學校有英語、法語、II語教師共27人，其中只能教英語的有8人，只能教I卜語

的有6人，能教英、日語的有5人，能教法、日語的有3人，能教英、法語的有4人，三種

都能教的有2人，則只能教法語的有（）。（2005年國家公務員考試二卷行測第45題）

A.4人B.5人C.6人D.7人

解析：首先采用公式法解決此題，設人=英語教師（8+5+4-2=15）,B=法語教師，C=日語

教師（6+5+3-2=12）,（但應注意的是在做題之前，我們首先必須了解公式中A,B,C三個集合

所代表的含義，并非A=8,C=6.）,則

C=AUBUC-A-C+AnB+BClC+CnA-AnBnC

=27-15-12+5+3+4-2=10,那么只能教法語的教師=10-3-4+2=5

另外，此題如果用韋恩圖法會相當簡單，設只能教法語的人數為X,則依題意得韋恩圖（見

下圖）:

山題意我們有27=8+3+6+2+2+1+X,解得X=5。

例3、某高校對?些學生進行問卷調查。在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考

試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考

試都準備參加的有24人，準備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的

都15人。問接受調查的學生共有多少人?（）（2010年國家公務員考試行測第47題）

A.120B.144C.177D.192

解析：同上，我們可以直接利用三個集合并的運算來解決這個集合問題，公式如下：

AUBUC=A+B+C-AnB-AOC-BnC+AOBnC,但是這里的“準備選擇兩種考試都參加的

有46人”并不是我們所說的AOB+Anc+Bnc,AOB+Anc+Bnc中還包含著選擇三種考試

的人即ADBAC,因此ACB+Anc+Bnc=46+AABnC*3=118,這樣AUBUC=63+89+47-

118+24=105,總人數為105+15人20.

另外我們也可以用韋恩圖：

依題意可得:

A+D+E+G=63

B+D+F+G=89

C+E+F+G=47

D+E+F=46

設參加人數為N,貝I」有N=A+B+C+D+E+F+G+15=1201.

極值問題歸納及技巧點撥

在我們福建省即將到來的424聯考中，數學運算直是大家比較頭痛的問題，尤其是其中相

對較難的極值問題(又稱為構造問題)，更是大家一直不得要領但又年年必考的難題。下面，

老師將用幾道國考和聯考的真題為大家點撥這一類題目的技巧。

一、同色抽取的極值問題

該類問題一般表述為：有若干種不同顏色的紙牌，彩球等，從中至少抽出幾個，才能保

證在抽出的物品中至少有n個顏色是相同的。

解題常用通法：先對每種顏色抽取(n-1)個，如果某種顏色的個數不夠(n-l)的，就對這種

顏色全取光，然后再將各種顏色的個數加起來，再加1,即為題目所求。

【例1】從一副完整的撲克牌中，至少抽出()張牌，才能保證至少6張牌的花色相同。

A.21B.22

C.23D.24

【解析】先對四種常見花色“桃杏梅方”各抽取n-l=5個，總共抽取5x4=20張。

考慮到這是一副完整的撲克牌，再對特殊的花色“大小王”進行抽取，大小王只有2張，

不夠n-l的要求，就對其全部取光，總共抽取2張。

將以上各種顏色的個數加起來，再加1,即5x4+2+1=23張，即為所求，答案選C。

二、特定排名的極值問題

該類問題一般表述為：若干個整數量的總和為定值，且各不相同（有時還會強調：各不

為0或最大不能超過多少），求其中某一特定排名的量所對應的最大值或最小值。

解題常用通法：將所求量設為n,如果要求n最大的情況，則考慮其它量最小的時候；

反之，要求n最小的情況，則考慮其它量盡可能大。

【例2】5人的體重之和是423斤，他們的體重都是整數，并且各不相同，則體重最輕

的人，最重可能重（）?

A.80斤B.82斤

C.84斤D.86斤

【解析】體重最輕的人，是第5名，設為n。考慮其最重的情況，則其他人盡可能輕。

第四名的體重大于第五名n,但又要盡可能輕且不等于n,故第四名是n+屋同理，第

三名至第一名依次大于排名靠后的人且取盡可能小的值，故依次為n+2,n+3,n+4。

五個人盡可能輕的情況下，總重量為n+n+l+n+2+n+3+n+4=4n+10。

實際總重量423應大于等于盡可能輕的總重量，故4n+10W423,解得nW82.6,所以n最

大為82斤，答案選B。

三、多集合的極值問題

該類問題一般表述為：在一個量的總和（即全集）里，包含有多種情況（即多個子集），求

這多種情況同時發生的量至少為多少。

解題常用通法：多種情況交叉發生的量完全不知道，故無法正面求解，所以將題目轉化

為：至多有多少量并不是多種情況同時發生，也就是只要有?種情況不發生即可。求出題目

中多個情況不發生的量，相加即可得到只要有一種情況不發生的最大值，再用總題量相減，

即可得所求量。

計算通式：總和M,每種情況發生的量分別為a,b,c,d,則多種情況同時發生的量

至少為M-[(M-a)+(M-b)+(M-c)+(M-d)]

【例3】某社團共有46人，其中35人愛好戲劇，30人愛好體育，38人愛好寫作，40

人愛好收藏，這個社團至少有多少人以上四項活動都喜歡?()

A.5B.6

C.7D.8

【解析】每種活動不喜歡的人數分別為46-35=11人，16人，8人，6人。故四種活動

都喜歡的反面——“四種活動不都喜歡”——即只要有一種活動不喜歡的人數最多為11+16+

8+6=41人，所以四種活動都喜歡的人數最少為46-41=5人，答案選A。

【練習題】100人參加7項活動，已知每個人只參加一項活動，而且每項活動參加的人

數都不一樣，那么，參加人數第四多的活動最多有幾個人參加?()

A.22B.21

C.24D.23

【解析】第四多的活動人數設為n,當n最大時，第5-7名盡可能小的值為0,1,2(題

目中沒有說每項活動一定有人參加)，第1-3名盡可能小的值為n+3,n+2,n+1,故n+3+n+

2+n+l+n+2+l+0=4n+9為盡可能小的總人數，應$實際總人數100,故4n+9S100,n<22.75,

所以最多有22人參加，答案選A。

在現在競爭II加激烈的公務員考試中，極值問題作為年年必考1-2題，且區分度與難度

都較高的一類題目，其重要性不容小視，希望各位同學細細揣摩，認真領會，祝大家都能在

考試中取得理想的成績。

工程問題

工程問題是近年來考試的熱點問題之一,國家公務員考試和多省公務員考試以及很多省份的

省公務員考試，幾乎每年都會考那么一道或二道工程問題。2010年12月5日結束的國家公

務員考試中，數量關系部分同樣考了二道工程問題。工程問題與我們的實際生活緊密相連,

解決這類問題的能力也是公務員應該具備的基本素質之一。

解決工程問題，首先我們應該掌握工程問題的核心公式:

工程總量=工作效率x工作時間

工程總量

工作效率=

工作E寸間

工程總量

工作時間=

工作效率

解決經濟利益相關問題的基本方法有：代入排除法，方程法，設“「思想等。下面將結

合2011年國考真題來講解解決這類問題的方法。

【例1】同時打開游泳池的A,B兩個進水管，加滿水需1小時30分鐘，且A管比B

管多進水180立方米，若單獨打開A管，加滿水需2小時40分鐘，則B管每分鐘進水多少

立方米?（2011國家公務員考試行測）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】本題屬于工程問題。

方程法列：設B每分鐘進水立方米，1小時30分鐘=90分鐘，2小時40分鐘=160分鐘,

則A每分鐘進水+180/90=+2,列方程得：90(++2)=160(+2),解得，=7,所以選擇B選項。

代入排除法：設B每分鐘進水立方米，則A每分鐘進水+180/90=+2,代入A選項得，

90x(6+8)聲160/8,代入B選項，90*7+9尸160*9,同理代入C、D排除。所以選擇B選項。

【例2】甲、乙、丙三個工程隊的效率比為6：5：4,現將A、B兩項工作量相同的工

程交給這三個工程隊，甲隊負責A工程，乙隊負責B工程，丙隊參與A工程若干天后轉而

參與B工程。兩項工程同時開工，耗時16天同時結束，問丙隊在A工程中參與施工多少天?

(2011國家公務員考試行測)

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】本題屬于工程問題。

代入排除法：因為甲、乙、丙三個工程隊的效率比為6：5：4,所以甲的效率比乙高，

丙在甲負責的A工程中比在乙負責的B工程參與時間要少，又因為兩項工程同時開工，耗

時16天同時結束，而C、D選項說明丙在A工程中的參與時間和B工程參與時間一樣或者

多，所以排除C、D選項。代入A知，6x16+6x4=15x16+10x4=120,所以A正確。而B選

項，6x16+7x4,5x16+9x4,B選項錯誤。所以選擇A選項。

常規解法：設兩項工程的工作總量為(6+5+4)x16=240,每項工程的工作總量為120,甲

隊16天一共完成6x16=96,所以丙工作了(120-96)+4=6天。所以選擇A選項。

列方程法：設兩項工程的工作總量為(6+5+4)x16=240,每項工程的工作總量為120,

設丙對在A工程中參與施工天，6x16+4=120,解得x=6,所以選擇A選項。

【點撥】在考試時，考生往往習慣性代入A選項，如果A項正確，由于答案的唯一性,

其它選項就不用再代入，那么代入排除法是最快找到正確答案的方法。當然方程方法熟練也

是比較快的，相對于其他題型，工程問題是基本題型，難度也較小。

盈虧問題解題思路點撥

【盈虧問題介紹】

現在把若干物體平均分給一定數量的對象，并不是每次都能正好分完。如果物體還有剩

余，就叫盈;如果物體不夠分，少了，叫虧。凡是研究盈和虧這一類算法的應用題就叫盈虧

問題。

盈虧問題是類應用非常普遍的應用題，在省公務員考試中考察的比較多，（所以華圖

教育特別提示備考省公務員考試的考生，加大這方面的訓練）因而非常有必要分析這類問題

的具體解題思路，以便在今年的應考中有一個好的對策。

解盈虧問題常常用到比較法。思路是比較兩種不同的做事方法，把盈余數ij不足數之和

看作總差數，用每個單位的差去除，就可得到單位的數目，對本題就是栽樹的人數。我們有

如下的公式：

（盈+虧戶（每個單位的差尸單位數

（盈一盈戶（每個單位的差尸單位數

（虧一虧廣（每個單位的差尸單位數

【真題講解】

例1、若干學生住若干房間，如果每間住4人則有20人沒地方住，如果每間住8人則

有一間只有4人住，問共有多少名學生（）（2002年國家公務員考試行測第32題）

A.30人B.34人

C.40人D.44人

解析：每間住4人，剩余20人沒地方住;每間住8人，有一間缺4人沒住滿。

我們可以假設這些學生先4人一間，然后再每間加4人，那么第一次剩余的20人可以

分配至U20+4=5間，還有一問只有4人，可以很容易得到房間為5+1=6間，那么總人數為6

,4+20=44人。

通過做這道題H,我們可以進步總結，第?次分配人到房間是盈，第二次分配人到房

間是虧，（盈+虧戶（分配方法之差尸房間數。

例2、單位安排職工到會議室聽報告。如果每3人坐條長椅，那么剩下48個人沒有

坐;如果每5人坐一條長椅，則剛好空出兩條長椅。聽報告的職工有多少人?（2009年河北省

公務員考試行測第119題）

A.128B.135

C.146D.152

解析：每3人坐一條長椅，剩余48人;每5人坐一條長椅，缺10人沒地方坐。

48+10=58人，58-（5-3）=29條長椅，則人數=（29-2）x5=135人。

當然本題還可以直接用人數能被5整除來進行判斷，選擇B。

例3、某單位以箱為單位向困難職工分發救濟品，如果有12人每人各分7箱，其余的

每人分5箱，則余下148箱;如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，則余下20箱。

由此推知該單位共有困難職工（）（2008年山西省公務員考試行測第43題）

A.61人B.54人

C.56人D.48人

解析：本題和別的盈虧問題的區別在于，每次的救濟品分發的過程中，有一部分人的分

配方法和其他人不同。對于這樣的問題，我們要做的是首先統一分配方法，即所有人采用相

同的分配方法。

第一次每人分5箱，余下148+12x2=172箱

第二次每人分7箱，余下20+30=50箱

172-50=122箱，122+（7-5尸61人。

由解盈虧問題的公式可以看出，求解此類問題的關鍵是小心確定兩次分配數量的差和盈

虧的總額，如果兩次分配是一次是有余，另一次是不足時，則依上面的計算過程，先求得人

數（不是物數），再求出物數;如果兩次分配都是有余，則計算過程變成兩次剩余差除以兩次分

配數之差。

有時候，必須轉化題目中條件，才能從復雜的數量關系中尋找解答;有時候，直接從“包

含'’入手比較困難，可以間接從其反面"不包含'’去想就會比較容易。

數量關系20秒極限解題法

20秒極限解題法可以幫助考生在解答數量關系與資料分析問題中實現“快”、“穩”、“準”的夢想。

20秒極限解題法，是教研團隊結合行測命題規律，在總結近年來國考和地方考試及各

地考試行測真題的基礎上，為考生量身打造的一套解題技巧，使廣大考生在解答數量關系與

資料分析問題中實現“快”、“穩”、“準”的夢想。下面擷取幾例，與廣大考生分享。

極限技巧一：整除法

整除法在公務員行測考試中占有非常重要的位置，能夠快速提高數量關系的解題速度，

有效節省做題時間。運用整除法的關鍵在于找到題干中隱藏的關鍵數字信息，結合選項利用

數字的整除特性解題。

例1：在一次測驗中，甲答對4道題，乙答錯題目總數的1/6,兩人都答對的題目是總

數的1/4。那么乙答對了多少題？

A.10B.8C.20D.16

一一『2010年河南省選調生錄用考試』

【答案】A

一般解法：設總量為x,乙答對總題量的5/6,甲答對4道題，又因為兩人都答對的題

目是總數的1/4,則有x/4<4,x<16o再往下就無從著手了。

【20秒極限解題法】整除法，同時代入排除法。由題意知，題目的總數=乙答對的題目

數x(6/5),顯然乙答對的題目數是5的倍數，首先排除B、D;將20代入，若乙答對的題目數

為20道，則題目的總數為24道，又甲答對4道題，所以兩人都答對的題目數最多為4道,

4W1/4,所以排除C。故選A。

例2：某公司去年有員工830人，今年男員工人數比去年減少6%,女員工人數比去年

增加5%,員工總數比去年增加3人。問今年男員工有多少人?()

一一『2011年中央、國家機關公務員錄用考試』

A.329B.350C.371D.504

【答案】A

?般解法：因此題計算比較繁瑣，?般數學基礎好的學生按此方法做題約需要60秒以

上。設去年男員工人數為X,女員工為830-x,今年男員工人數為xx(l-6%),女員工為(830-

x)x(l+5%),今年人數比去年多3人，即xx(l-6%)+(830-x)x(l+5%尸830+3,解方程可求出x,

則今年男員工人數為xx(l-6%尸329。

【20秒極限解題法】本題可利用整除特性求解。由題知：今年男員工人數是去年的94

%,即4750,故今年男員工人數可被47整除。結合選項，只有A項符合。故選A。

極限技巧二：數字特性法

數字特性法：根據題干列出公式，觀察式子中是否包含某些特定數字來進行答案的排除

及選擇的一種方法。這種方法的核心在于以下兩點：若等式一邊能被某個數整除，則另一邊

一定能被某個數整除;若等式一邊不能被某個數整除，則另一邊一定不能被某個數整除。

例3：某機關有工作人員48人，其中女性占總人數的37.5%,后來又調來女性若干人,

這時女性人數恰好是總人數的40%,問調來幾名女性?()

A.1人B.2人C.3人D.4人

——『2009年河南選調生錄用考試』

【答案】B

一般解法：設調來女性為X,求得原有女性48x37.5%=18人，所以(18+x)+(48+x)=40

%,這樣可以求得x=2。

【20秒極限解題法】本題公式的運算可以運用數字特性法。后來的女性的人數為(48+x)

x40%是一個整數，可知48+x一定能夠被5整除，根據四個選項，得到x=2。故選B。

例4：某商場促銷，晚上八點以后全場商品在原來折扣基礎上再打9.5折，付款時滿40

0元再減100元。已知某鞋柜全場8.5折，某人晚上九點多去該鞋柜買了一雙鞋，花了384.

5元，問這雙鞋的原價為多少錢?()

A.550元B.600元C.650元D.700元

一一『2008年中央、國家機關公務員錄用考試』

【答案】B

一般解法：該題屬于利潤問題，根據題意列出下列方程：原價=(384.5+100)/(0.85x0.95)

=(484.5)/(0.85x0.95)=600。這個式子本身并不難列出，但若按常規方法運算的話，過程繁瑣

且易出錯。

【20秒極限解題法】本題可以運用數字特性法。由上面的公式，484.5能被3整除，而

0.85和0.95都不能被3整除，因此在公式的計算過程中3沒有被約掉，因此答案必然能被3

整除選項中只有B能夠被3整除，因此選B。

快速解答路程問題

專家以路程問題歷年經典真題為例，給大家詳細講解如何快速解答此類問題，幫助廣大考生在考場上節省

時間，提高效率。

路程問題是數量關系運算題中常見的典型問題，涉及距離、速度和時間三者之間的關系。

其中，距離=速度X時間。這種問題包括三種基本類型：相遇問題、追及問題和流水問題。

下面，專家以路程問題歷年經典真題為例，給大家詳細講解如何快速解答此類問題，幫助廣

大考生在考場上節省時間，提高效率。

1.相遇問題

“相遇問題'’（或相背問題）是兩個物體以不同的速度從兩地同時出發（或從一地同時相背

而行），經過若干小時相遇（或相離）。若把兩物體速度之和稱之為“速度和“，從同時出發到相

遇（或相距）時止，這段時間叫“相遇時間兩物體同時走的這段路程叫“相遇路程”，那么，它

們的關系式是：相遇路程=速度和X相遇時間;相遇時間=相遇路程+速度和;速度和一相遇路

程+相遇時間。

【例題1】（2007年國家）

A、B兩站之間有一條鐵路，甲、乙兩列火車分別停在A站和B站，甲火車4分鐘走的

路程等于乙火車5分鐘走的路程，乙火車上午8時整從B站開往A站，開出一段時間后，

甲火車從A站出發開往B站，上午9時整兩列火車相遇，相遇地點離A、B兩站的距離比

是15：16,那么，甲火車在（）從A站出發開往B站。

A.8時12分B.8時15分C.8時24分D.8時30分

【答案】B。解析：由題意可知，甲、乙兩列火車的速度比為5：4,兩列火車相遇時，

各自走過的距離比為15：16,那么這兩列火車所用時間比很容易算出，為3：4,進而得出

甲所用的時間為3/4x60=45（分鐘）。由此可知，甲火車應該是在8時15分從A站出發的。

【例題2】（2006年國家）

A、B兩地以一條公路相連。甲車從A地，乙車從B地以不同的速度沿公路勻速率相向

開出。兩車相遇后分別掉頭，并以對方的速率行進。甲車返回A地后又一次掉頭以同樣的

速率沿公路向B地開動。最后甲、乙兩車同時到達B地。如果最開始時甲車的速率為x米/

秒，則最開始時乙車的速率為（）。

A.4x米/秒

B.2x米/秒

C.0.5x米/秒

D.無法判斷

【答案】B。解析：甲車從A點到B點時，乙車已經從B點到A點再返回B點，即兩

車相同時間內以乙車速率走過以甲車速率的兩倍路程。已知甲車的速率為x米/秒，則乙車

的速率為2x米/秒。故答案為B。

2.追及問題

追及問題是兩物體以不同速度向同一方向運動，核心是“速度差”的問題。兩物體同時運

動，一個在前，一個在后，前后相隔的路程可以稱之為“追及的路程”，那么，在后的追上在

前的時間叫“追及時間”。公式為：追及時間一追及的路程十速度差。

【例題1】（2006年國家）

從12時到13時，鐘的時針與分針可成直角的機會有（）。

A.1次B.2次C.3次D.4次

【答案】B。解析：一個小時內，分針轉一圈，與時針構成直角的機會有2次。

【例題2】（2003年國家）

兩點到三點鐘之間，分針與時針什么時候重合?（）

A.2點10分B.2點30分C.2點40分D.2點50分

【答案】A。解析：時鐘問題屬于行程問題中的追及問題。鐘面上按"時'’分為12大格，

按“分''分為60小格。每小時，時針走1大格合5小格，分針走12大格合60小格，時針的

轉速是分針的1/12。此題中，兩點鐘的時候，分針指向12,時針指向2,分針在時針后（5x

2）小格。而分針每分鐘可追及1-1/12=11/12（小格），要兩針重合，分針必須追上10小格，這

樣所需要時間應為（10+11/12戶10（分鐘），因此，2點10分時兩針電合。

3.流水問題

船速是船在靜水中航行的速度;水速是水流動的速度;順水速度，即船順水航行的實際速

度，等于船速加水速;同理，逆水速度等于船速減水速。流水問題具有行程問題的?般性質，

即速度、時間、路程，可參照行程問題解法。

【例題】（2005年國家）

?只船從甲地開往乙地，逆水航行，每小時行24千米，到達乙地后，又從乙地返回甲

地，比逆水航行提前2.5小時到達。已知水流速度是每小時3千米，甲、乙兩地問的距離是

多少千米?（）

A.200B.250C.300D.350

【答案】C。解析：逆水每小時行24千米，水速每小時3千米，那么順水速度為：24+

3/2=30（千米）;比逆水提前2.5小時，若行逆水那么多時間，就可多行30x2.5=75（千米），因

每小時多行3><2=6（千米），兒小時才多行75千米，這就是逆水時間。24+3x2=30（千米），24

x[30x2.5+（3x2）]=24x[30x2.5+6]=24xl2.5=300（千米），因此，甲、乙兩地間的距離是300千

米。

快速解答“盈虧問題”

本文講解了盈虧問題的快速答題方法，并結合例題進行講解，希望能給廣大考生一定的啟發和幫助.

公務員考試行測試卷中，數量關系題里經常會出現盈虧問題，一般思路都是通過設未知

數、列方程的辦法來處理，這樣就耗費了比較多的時間，考生往往一看見這樣的題目就頭疼。

其實，解決盈虧問題也是有一定技巧的，掌握了這些技巧，可以最大限度的節約時間，更快

的選出答案。下面華圖教研中心公務員考試輔導專家就為廣大考生找到了盈虧問題的快速答

題方法，并結合例題進行講解，希望能給廣大考生一定的啟發和幫助。

【例1】若干學生住若干房間，如果每間住4人則有20人沒地方住，如果每間住8人

則有一間只有4人住，問共有多少學生?（）

A.30B.34C.40D.44

【解析】最容易想到的解題思路就是設未知數、列方程的方法：

1y=4x+20(x=6

<<

假設房間數為X，學生總數為九則行："=8"4，解出卜=",選D

針對偷虧問題，仃種更快速的解題辦法。注意到此類問題中，總廳某個后是保持不變

的(如上題中的房間數量),我們稱之為“份數”.將盈虧問題推廣到更一般的情況:

若干物品，若年份。個，則多掰個：若密份3個，則多加個，求物品總數.

m-n

x="

r<b-。

y=ax+wbm-an

<y=.

假設份數為，物品總數為，則有：”解出Ib-a

余額差

這就是雒弓問題的一般公式?我們只需要記住：份數=單位差,其中余額差=朗一%

單位差=?a,則物品總數也很容易就求出來r.

如例I中，求學生數即求物品總數，房間數為份數。

20-(-4).

---------=6

由公式可得房間數8-4間，那么，學生數1X6+20=44人.所以答案選D,

下面通過兩個例題來熟悉?下這種方法。

【例2】(北京2007T9)彳廠?堆螺絲和螺母，若一個例紇配2個螺母,則多10個螺母，若

一個螺絲配3個螺母，則少6個螺母，共有多少螺紋？()

A.16B.22C.42D.48

10-(-6)_

X——1b

【解析】利用公式，螺紋數即為份數，3-2，選A.

【例3】(北京2006-23)若干個同學去劃船，他們租「一些船.若每船4人則多5人；若

每船5人則船上有4個空位，共仃多少同學？()

A.17B.19C.26I).41

5-(-4)

Xr—--------9

【解析】利用公式.船數即為份數，5-4,則同學數=4X9+5=41人，選A.

5X5-4X(-4)

y=-------------=41

也可以直代入接公式，同學數5-4,選A。

以上解題方法簡單易懂，容易掌握，能借助考生快速準確地答題。見后，華圖教育祝愿

考生們在考試中取得理想的成績！

巧用集成思想破解數學運算

I導讀I近幾年在四川公務員考試行測測試中出現了一些過程極其復雜或者條件極少的的數學運算題。專家

總結出解決這類題0的獨特的解題思想一''集成思想

隨著四川公務員考試的逐漸成熟和報考人數的逐年增多，近兒年在四川公務員考試行測

測試中出現了一些過程極其復雜或者條件極少的的數學運算題。如果運用傳統的解題方法去

解這類題H,不僅會浪費極其寶貴的考試時間，有些題目甚至是無法解決的。專家總結出解

決這類題目的獨特的解題思想——“集成思想

所謂的“集成”思想又叫做整體思想，是指用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個

整體，把握已知和所求之間的關聯，進行有目的、有意識的整體處理來解決問題的方法.從

整體出發的處理方法，體現了一種著眼全局、通盤考慮的整體觀念。

例題1：甲、乙二人從相距20千米的兩地同時出發，相向而行，甲的速度為6千米/時,

乙的速度為4千米/時.一只小狗與甲同時出發向乙奔去，遇到乙后立即調頭向甲跑去，遇到

甲后又立即調過頭來迎乙……直到二人相遇為止.若小狗的速度是13千米/時，在這一奔跑

過程中，小狗的總行程是多少千米？

A.18B.23C.26D.29

【解析】對本題的處理，可以有以下幾種不同的方案

第一種方案：逐段計算小狗奔跑的路程.這是可以做到的：例如，第一次遇到乙時，小

狗所走的路程為x13（千米），求所有路程的和即得。

第二種方案：逐段計算小狗奔跑的時間.例如，第一次遇到乙時，小狗奔跑的時間為（小

時），求出奔跑時間的總和，再乘以小狗的速度即得。

第三種方案：注意到小狗來回奔跑的時間之和，恰等于甲、乙二人從出發到相遇所需的

時間（這一發現很重要，因為在這段時間內，小狗是不停奔跑的），故小狗奔跑的總時間為=

2小時，從而輕而易舉地得到小狗奔跑的總路程為13x2=26（千米）。

比較上述三種方案可知，如果我們的思路被小狗牽著鼻子走，沿著它的奔跑路線去逐段

計算路程或時間（即執行第一、二種方案），將要進行大量的計算，且要涉及無窮遞縮等比數

列求和的運算，過程比較繁復，而第三種方案，我們忽略了小狗奔跑的細節，只是根據題目

中的條件計算出小狗奔跑的總時間，顯得機巧、簡捷、一目了然。

【答案】C

例題2:有甲、乙、丙三種貨物。若購甲3件、乙7件、丙1件，共需3.15元;若購甲4

件、乙10件、丙1件，共需4.2元。現在計劃購甲、乙、丙各一件，共供需多少錢？

A.0.95元B.1.05XC.1.08元D.1.10元

【解析】這道題包括3個未知數，但只有2個獨立的條件，如果按傳統的解題思路，我

們需要分別計算出甲、乙、丙貨物的單價，但按照題目條件我們是做不到的，這道題目看似

山窮水盡。但用“集成”的思想我們就會很快解出。

設甲、乙、丙各一件分別需元，元，元，依題意列方程得：

3x+7y+z=3.15（1）

4x+10y+z=4.20（2）

3x（l）-2x（2尸x+y+z=1.05（元）

因為在這一過程中我們忽略了一些無關結果的細節，因此用這種法法解題往往達到事半

功倍的效果，真叫山窮水復疑無路，柳暗花明又一村。

49個常見問題公式法巧解

一.頁碼問題

對多少頁出現多少1或2的公式

如果是X千里找幾，公式是1000+X00*3如果是X百里找幾，就是100+X0*2,X有

多少個0就*多少。依次類推!請注意，要找的數一定要小于X,如果大于X就不要加100

。或者100一類的了,

比如，7000頁中有多少3就是1000+700*3=3100(個)

20000頁中有多少6就是2000*4=8000(個)

友情提示，如3000頁中有多少3,就是300*3+1=901,請不要把3000的3忘了

二，握手問題

N個人彼此握手，則總握手數

S=(n-1){a1+a(n-1)}/2=(n-1){1+1+(n-2)}/2=[nA2-nJ/2=N?N-l)/2

例題：

某個班的同學體育課上玩游戲，大家圍成?個圈，每個人都不能跟相鄰的2個人握手，

整個游戲一共握手152次，請問這個班的同學有()人

A、16B、17C、18D、19

【解析】此題看上去是一個排列組合題，但是卻是使用的多邊形對角線的原理在解決此

題。按照排列組合假設總數為X人則Cx取3=152但是在計算X時卻是相當的麻煩。我

們仔細來分析該題目。以某個人為研究對象。則這個人需要握x-3次手。每個人都是這樣。

則總共握了xx(x-3)次手。但是沒2個人之間的握手都重復計算了1次。則實際的握手次數

是xx(x-3)+2=152計算的x=19人

三，鐘表重合公式

鐘表幾分重合，公式為：x/5=(x+a)/60a時鐘前面的格數

四，時鐘成角度的問題

設X時時，夾角為30X,Y分時，分針追時針5.5,設夾角為A.(請大家掌握)

鐘面分12大格60小格每一大格為360除以12等于30度，每過一分鐘分針走6度，時

針走0.5度，能追5.5度。

1.[30X-5.5Y]或是360-【30X-5.5Y][]表示絕對值的意義(求角度公式)

變式與應用

2.[30X-5.5Y]=人或360-130X-5.5Y】=A(已知角度或時針或分針求其中一個角)

五，往返平均速度公式及其應用(引用)

某人以速度a從A地到達B地后，立即以速度b返回A地，那么他往返的平均速度v

=2ab/(a+b)。

證明：設A、B兩地相距S,貝IJ

往返總路程2S,往返總共花費時間s/a+s/b

故v=2s/(s/a+s/b)=2ab/(a+b)

六，空心方陣的總數

空心方陣的總數=（最外層邊人（物）數-空心方陣的層數“空心方陣的層數><4

=最外層的每一邊的人數人2-（最外層每邊人數-2*層數）八2

=每層的邊數相加x4-4x層數

空心方陣最外層每邊人數=總人數/4/層數+層數

方陣的基本特點：①方陣不論在哪一層，每邊上的人（或物）數量都相同.每向里一層邊

上的人數就少2;

②每邊人（或物）數和四周人（或物）數的關系：

③中實方陣總人（或物）數=（每邊人（或物）數）2=（最外層總人數，4+1）2

例：①某部隊排成?方陣，最外層人數是80人，問方陣共有多少官兵?（441人）

②某校學生剛好排成一個方隊，最外層每邊的人數是24人，問該方陣有多少名學生？

（576名）解題方法：方陣人數=（外層人數+4+1）2=（每邊人數）2

③參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方

形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人?（289人）

解題方法：去掉的總人數=原每行人數乂2-1=減少后每行人數x2+l

典型例題：某個軍隊舉行列隊表演，已知這個長方形的隊陣最外圍有32人，若以長和

寬作為邊長排出2個正方形的方陣需要180人。則原來長方形的隊陣總人數是（）

A、64,B、72C、96D、100

【解析】這個題目經過改編融合了代數知識中的平方和知識點。長方形的（長+寬）x2=3

2+4得到長+寬=18。可能這里面大家對于長+寬=18有些難以計算。你可以假設去掉4個

點的人先不算。長+寬（不含兩端的人戶2+4（4個端點的人）=32,則計算出不含端點的長+

寬=14考慮到各自的2端點所以實際的長寬之和是14+2+2=18。求長方形的人數，實際上

是求長x寬。根據條件長x長+寬x寬=180綜合（長+寬）的平方=長、長+寬x寬+2x長x寬=18x1

8帶入計算即得到B。其實在我們得到長寬之和為18時，我們就可以通過估算的方法得到

選項B

七，青蛙跳井問題

例如：①青蚌從井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，這樣青蛙需

跳兒次方可出井?（6）

②單杠上掛著一條4米長的爬繩，小趙每次向上爬1米又滑下半米來，問小趙幾次才能

爬上單杠?（7）

總解題方法：完成任務的次數=井深或繩長-每次滑卜米數（遇到半米要將前面的單位

轉化成半米）

例如第二題中，每次下滑半米，要將前面的4米轉換成8個半米再計算。

完成任務的次數=（總長-單長）/實際單長+1

八，容斥原理

總公式：滿足條件?的個數+滿足條件2的個數-兩個都滿足的個數=總個數-兩個都不滿

足的個數

【國2006一類-42]現有50名學生都做物理、化學實驗，如果物理實驗做正確的有40

人，化學實驗做正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，則兩種實驗都做對的有多少人?

A.27人B.25人C.19人D.10人

上題就是數學運算試題當中經常會出現的“兩集合問題”，這類問題一般比較簡單，使用

容斥原理或者簡單畫圖便可解決。但使用容斥原理對思維要求比較高，而畫圖浪費時間比較

多。鑒于此類問題一般都按照類似的模式來出，卜面華圖名師李委明給出一個通解公式，希

望對大家解題能有幫助：

例如上題，代入公式就應該是：40+31-x=50-4,得到x=25。我們再看看其它題目：【國

2004A-461某大學某班學生總數為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中

有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數是多少?A.

22B.18C.28D.26

代入公式：26+24-x=32-4,得