拓展拔高2-指數與對數的運算-專項訓練【原卷版】基礎鞏固練1.[2024·瓊海模擬]3727A.9 B.19 C.3 D.2.[2024·綿陽模擬]設a=log9A.1 B.2 C.4 D.93.[2024·河南模擬]已知函數fx=logA.?4 B.?2 C.24.[2024·天津模擬]已知2a=5,logA.25 B.5 C.259 D.5.[2024·陜西模擬]若a>0且a≠1,log3a=A.2 B.12 C.3 D.6.已知實數a，m，n滿足3a=m，23aA.2 B.12 C.3 D.7.[2024·大連模擬]若實數a,b滿足4aA.a<3b2 B.a>3b28.[2024·河南聯考]若函數fx=lnxA.0 B.ln2?1 C.ln綜合提升練9.（多選題）已知正數x，y，z滿足3xA.1x+1y=1z B.10.（多選題）下列結論正確的是（）.A.e3+eC.2π+611.eln12.已知實數a，b滿足4a+2a=3應用情境練13.[2024·鄭州模擬]地震釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系式為lgE=4.8+1.5M.若A地發生7.8級地震，它所釋放出來的能量為E1，B地發生4.6級地震，它所釋放出來的能量為E14.[2024·文昌預測]熒光定量PCR是一種通過化學物質的熒光信號，對在PCR擴增進程中呈指數級增加的靶標DNA進行實時監測的方法.在PCR擴增的指數時期，當熒光信號強度達到閾值時，DNA的數量X與擴增次數n滿足lgX=nlg1+p+lgX0，其中X0創新拓展練15.[2024·宜賓模擬]音樂是由不同頻率的聲音組成的.若音1do的音階頻率為f，則簡譜中七個音1do，2re，3mi，4fa，5so，6la，7si組成的音階頻率分別是f，98f，8164f，43f，3216.(2024·九省適應性測試)離散對數在密碼學中有重要的應用.設p是素數,集合X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,記u?v為uv除以p的余數,um,?為um除以p的余數;設a∈X,1,a,a2,?,…,ap-2,?兩兩不同,若an,?=b(n∈{0,1,…,p-2}),則稱n是以a為底b的離散對數,記為n=log((1)若p=11,a=2,求ap-1,?(2)對m1,m2∈{0,1,…,p-2},記m1⊕m2為m1+m2除以p-1的余數(當m1+m2能被p-1整除時,m1⊕m2=0).證明:log(p)a(b?c)=log(p)ab⊕log(p)ac,其中b,c∈X.(3)已知n=log(p)ab.對x∈X,k∈{1,2,…,p-2},令y1=ak,?,y2=x?bk,?.證明:x=y2注:一般地,設n為正整數,a和b為整數,如果a和b被n除后余數相同,那么稱a和b模n同余,記作a≡b(modn).例如,12與-6被9除后余數均為3,所以12≡-6(mod9)..拓展拔高2-指數與對數的運算-專項訓練【解析版】基礎鞏固練1.[2024·瓊海模擬]37277+A.9 B.19 C.3 D.[解析]37277+2.[2024·綿陽模擬]設a=log94，則A.1 B.2 C.4 D.9[解析]由a=log94，得9a=4，即33.[2024·河南模擬]已知函數fx=log2xA.?4 B.?2 C.2[解析]∵f1=41?4.[2024·天津模擬]已知2a=5,log83A.25 B.5 C.259 D.[解析]因為2a=5，b=log83=135.[2024·陜西模擬]若a>0且a≠1,log3a=b,A.2 B.12 C.3 D.[解析]由題意得d=bc=log3a6.已知實數a，m，n滿足3a=m，23a=nA.2 B.12 C.3 D.[解析]由題意得3a=m由a=12log22m+n，得因為3a×4a=12a由指數函數的值域可得m>0，n>0，所以n=2m，7.[2024·大連模擬]若實數a,b滿足4a+logA.a<3b2 B.a>3b2[解析]由題意知，a>0，∵4a=22a，8∴22a+log∵y=log3x在0∴2設fx=2x∵y=2x與y=log3x在0,+∞上單調遞增，∴fx在08.[2024·河南聯考]若函數fx=lnx2+A.0 B.ln2?1 C.ln[解析]f?因為fx為奇函數，所以fx+f?x=0，即lnx所以fx=lnx2+1?綜合提升練9.[2024·湖北聯考]（多選題）已知正數x，y，z滿足3x=4A.1x+1y=1z B.[解析]設3x=4y=12z=t，所以1x+1y因為6z3x=2log因為3x4y=3log所以6z<3x<4y因為x+y?4z=log3因為1z=1x+1y=x+故選ABD.10.[2024·陜西模擬]（多選題）下列結論正確的是（BD）.A.e3+eC.2π+6[解析]因為e3+e5e3?因為0<lg3<1，0<因為3π?5所以3π?5π因為log310+log510log310?11.[2024·四川適應性考試]eln3?[解析]eln12.已知實數a，b滿足4a+2a=3，[解析]因為log233b+1+b又4a+2a=因為函數y=2x，y=x在?∞,+∞上均單調遞增，所以fx在?∞,+∞上單調遞增，因為f1=3，所以2a應用情境練13.[2024·鄭州模擬]地震釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系式為lgE=4.8+1.5M.若A地發生7.8級地震，它所釋放出來的能量為E1，B地發生4.6級地震，它所釋放出來的能量為E2[解析]由題意知lgE1=4.8+1.5×7.8=16.5，lg14.[2024·文昌預測]熒光定量PCR是一種通過化學物質的熒光信號，對在PCR擴增進程中呈指數級增加的靶標DNA進行實時監測的方法.在PCR擴增的指數時期，當熒光信號強度達到閾值時，DNA的數量X與擴增次數n滿足lgX=nlg1+p+lgX0，其中X0為DNA[解析]由題意得lg100X0=6lg1+創新拓展練15.[2024·宜賓模擬]音樂是由不同頻率的聲音組成的.若音1do的音階頻率為f，則簡譜中七個音1do，2re，3mi，4fa，5so，6la，7si組成的音階頻率分別是f，98f，8164f，43f，32f[解析]因為相鄰兩個音的頻率比值分別為98，98，256243，98，由題意知α=98，β=16.(2024·九省適應性測試)離散對數在密碼學中有重要的應用.設p是素數,集合X={1,2,…,p-1},若u,v∈X,m∈N,記u?v為uv除以p的余數,um,?為um除以p的余數;設a∈X,1,a,a2,?,…,ap-2,?兩兩不同,若an,?=b(n∈{0,1,…,p-2}),則稱n是以a為底b的離散對數,記為n=log((1)若p=11,a=2,求ap-1,?(2)對m1,m2∈{0,1,…,p-2},記m1⊕m2為m1+m2除以p-1的余數(當m1+m2能被p-1整除時,m1⊕m2=0).證明:log(p)a(b?c)=log(p)ab⊕log(p)ac,其中b,c∈X.(3)已知n=log(p)ab.對x∈X,k∈{1,2,…,p-2},令y1=ak,?,y2=x?bk,?.證明:x=y2注:一般地,設n為正整數,a和b為整數,如果a和b被n除后余數相同,那么稱a和b模n同余,記作a≡b(modn).例如,12與-6被9除后余數均為3,所以12≡-6(mod9).[解析](1)若p=11,a=2,且注意到210=1024=93×11+1,則ap-1,?=210,?=(2)當p=2時,此時X={1},此時b=c=1,b?c=1,故log(p)a(b?c)=0,log(p)ab=0,log(p)ac=0,此時log(p)a(b?c)=log(p)ab⊕log(p)ac.當p>2時,因為1,a,a2,?,…,ap-2,?相異,所以而a∈X,故a,p互質.設n=log(p)a(b?c),n1=log(p)ab,n2=log(p)ac,則?k1,k2∈N,使得an1=pk1+b,an2故an1+n2=(pk1+b)(pk2+c),故a設n1+n2=t(p-1)+s,0≤s≤p-2,則n1⊕n2=s,因為1,2,3,…,p-1除以p的余數兩兩相異,且a,2a,3a,…,(p-1)a除以p的余數兩兩相異,所以(p-1)!≡[a×2a×3a…×(p-1)a](modp),故ap-1≡1modp,故as≡bc(modp),而an≡b?c(modp)=bc(modp),其中0≤n≤p-2,故s=n,即log(p)a(b?c)=log(