第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年廣東省東莞市高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)f(x)=sinxcosx，則A.f′(x)=sin2x?cos2x B.f′(x)=2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)，且P(X<3)P(X<1)=4A.35 B.23 C.3103.兩個(gè)相關(guān)變量x，y滿足如下關(guān)系：x23456y25●465865根據(jù)表格已得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=10.2x+5.2.若表格中有一數(shù)據(jù)模糊不清，則推算該數(shù)據(jù)是A.35.5 B.36 C.36.5 D.374.在區(qū)間(0,1)上，若f′(x)>1，則下列四個(gè)圖中，能表示函數(shù)y=f(x)的圖象的是(

)A. B. C. D.5.某中學(xué)推出了籃球、足球、排球、羽毛球、乒乓球共5門球類體育選修課供同學(xué)們選擇，其中羽毛球火爆，只剩下一個(gè)名額，其余4門球類課程名額充足．現(xiàn)有某宿舍的四位同學(xué)報(bào)名選課，每人只選擇其中的1門課程，四位同學(xué)選完后，恰好選擇了3門不同球類課程，則不同的選課情況總共有(

)A.316種 B.360種 C.216種 D.288種6.袋中有5個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中依次不放回取球，當(dāng)取出三個(gè)相同顏色的球時(shí)停止取球，記X為取出球的總數(shù)，則X=4的概率為(

)A.514 B.57 C.5427.如圖，“楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早500年左右．現(xiàn)從楊輝三角第20行隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，該數(shù)大于2024的概率為

A.34 B.57 C.13208.已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足eylnx=yex且eA.x>y>z B.x>z>y C.y>z>x D.y>x>z二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.變量x與y的成對(duì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下圖所示，由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l1的方程為y=b1x+a1，相關(guān)系數(shù)為r1，決定系數(shù)為R12；經(jīng)過(guò)殘差分析確定第二個(gè)點(diǎn)B為離群點(diǎn)(對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大)，把點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)去掉后，用剩下的7組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線l2A.r1<r2 B.R1210.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)在A.3a+2b+c=0 B.d=2a+b+1 C.b<?3a D.b>?3a11.設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且P(A)=712，P(B)=12，P(A.P(AB)=14 B.P(AB)=5三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若ax2+1x5的展開式中x413.若甲筐中有5個(gè)蘋果，3個(gè)梨子，2個(gè)橙子，乙筐中有x個(gè)蘋果、1個(gè)梨子、2個(gè)橙子，現(xiàn)從甲筐中隨機(jī)取出一個(gè)水果放入乙筐，再?gòu)囊铱鹬须S機(jī)取出一個(gè)水果，記“從乙筐中取出的水果是蘋果”為事件A，若P(A)≥12，則整數(shù)x的最小值為_________．14.若直線y=kx+m是曲線y=ex?2的切線，也是曲線y=ex?1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)已知函數(shù)f(x)=sinxax的圖象在點(diǎn)(π,0)(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若x>0，求證：f(x)<1．16.(本小題15分)某社區(qū)以網(wǎng)上調(diào)查問(wèn)卷形式對(duì)轄區(qū)內(nèi)部分居民做了體育鍛煉的宣傳和調(diào)查．調(diào)查數(shù)據(jù)如下：共100份有效問(wèn)卷，50名男性中有5名不經(jīng)常體育鍛煉，50名女性中有10名不經(jīng)常體育鍛煉．(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表；根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析性別因素是否會(huì)影響經(jīng)常體育鍛煉？性別經(jīng)常體育鍛煉與否合計(jì)經(jīng)常體育鍛煉不經(jīng)常體育鍛煉男女合計(jì)(2)從不經(jīng)常體育鍛煉的15份調(diào)查問(wèn)卷中得到不經(jīng)常鍛煉的原因：有3份身體原因；有2份不想鍛煉；有4份沒(méi)有時(shí)間；有6份沒(méi)有運(yùn)動(dòng)伙伴．求從這15份問(wèn)卷中隨機(jī)選出2份，在已知其中一份是“沒(méi)有時(shí)間”的條件下，另一份是“沒(méi)有運(yùn)動(dòng)伙伴”的概率．附：①χ2=②臨界值表α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817.(本小題15分)某企業(yè)生產(chǎn)一種熱銷產(chǎn)品，產(chǎn)品日產(chǎn)量為x(x≥1)噸，日銷售額為y萬(wàn)元(每日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日可銷售完畢)，且產(chǎn)品價(jià)格隨著產(chǎn)量變化而有所變化．經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的產(chǎn)銷，隨機(jī)收集了某5天的日產(chǎn)量xi(i=1，2，…，5)(單位：噸)和日銷售額yi(i=1，2，…，5)(單位：萬(wàn)元i=1i=1i=1i=1i=1i=1i=1i=115734.810161.21.63915.9其中，ui=lnxi(i=1，2，…，5)，x，y，u分別為數(shù)據(jù)xi，yi，u(1)請(qǐng)從樣本相關(guān)系數(shù)的角度，判斷y=bx+a與y=(2)根據(jù)(1)的結(jié)果解決下列問(wèn)題：(ⅰ)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(斜率的結(jié)果四舍五入保留整數(shù))；(ⅱ)如果日產(chǎn)量x(單位：噸)與日生產(chǎn)總成本c(x)(單位：萬(wàn)元)滿足關(guān)系c(x)=12x+3，根據(jù)(ⅰ)中建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程估計(jì)日產(chǎn)量x附：①相關(guān)系數(shù)r=i=1②經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法公式分別為：③參考數(shù)據(jù)：1612≈40，1.6×161.2≈1618.(本小題17分)已知函數(shù)f(x)=lnx(1)若g(x)=f(x)?a(x?1)x+1，討論函數(shù)(2)若0<x<1，求證：f(x)x?1>19.(本小題17分)設(shè)集合A={1,2,3,…,n}(n∈N???)，B?A，且B≠?，記集合B中的最小元素和最大元素分別為隨機(jī)變量X(1)若X≥3的概率為731，求n(2)若n=20，求X=8且Y=18的概率；(3)記隨機(jī)變量Z=X+Y2，證明：E(Z)=n+1答案解析1.B

【解析】解：f2.C

【解析】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2)，

所以該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

則P(?X<3)=1?P(?X>3)=1?P(?X<1)．

又

P(X<3)P(X<1)=4，

所以P(?X<3)=

45，P(?X>3)=

15，3.B

【解析】解：因?yàn)閤=2+3+4+5+65=4，

所以y=10.2×4+5.2=46．

設(shè)模糊不清的數(shù)據(jù)為a，

則25+a+46+58+65=5y=230，

4.D

【解析】解：在區(qū)間0,1上，若f′(x)>1，

則函數(shù)y=f(x)的圖像在區(qū)間0,1上的切線的斜率均大于1，

觀察選項(xiàng)可知只有D符合，

故選D．5.D

【解析】解：當(dāng)四位同學(xué)沒(méi)人選羽毛球時(shí)，需2人一組，跟其余兩人共三組分到其余4類中，

共有C42·A43=144種方法；

當(dāng)四位同學(xué)恰有1人選羽毛球時(shí)，需從4人中選取1人，選羽毛球，

其余3人再選2人一組，跟剩余1人共2組分到其余4類中，

共有C416.A

【解析】解：

分兩種情況，①第4次取出黑球，共有A43·C31·C51·=360故選：A．7.D

【解析】解：由題，第20行的系數(shù)為C20r，且第20行共有21項(xiàng)，

因?yàn)镃203=1140,C204=4845,C2016=4845,C2017=1140，

所以第20行中第4至第168.A

【解析】解：因?yàn)閑y?lnx=y?ex且eyy=exlnx，

∵0<y<1，ey>1，∴eyy>0，

∴exlnx>0，9.AC

【解析】解：因?yàn)楣?個(gè)點(diǎn)，離群點(diǎn)B的橫坐標(biāo)較小，而縱坐標(biāo)相對(duì)過(guò)大，

去掉離群點(diǎn)B后回歸方程的斜率更大，而截距變小，故D錯(cuò)誤，C正確；

去掉離群點(diǎn)B后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效果也更好，且還是正相關(guān)，

∴r1<r2,R1210.ABC

【解析】解：根據(jù)題意可得f′(x)=3ax2+2bx+c，

f′(1)=3a+2b+c=0，A正確；

f(1)=a+b+c+d=1，d=1?a?b?c=1?a?b?(?3a?2b)=2a+b+1，B正確；

因?yàn)閤=1處取到極大值，

所以當(dāng)a>0時(shí)，?2b2×3a>1，解得b<?3a，

當(dāng)a<0時(shí)，?2b11.ACD

【解析】解：由P(A)=712可知P(由P(A+B)=P(B)+P(A)?P(由

P(AB)+P(AB)=P(B)可得P(AB)=1由

P(AB)+P(AB)=P(A)

由條件概率公式可得

P(A|B)=P(AB)P(B)=1412=12

，故故選：ACD．12.2

【解析】解：(ax2+1x)5的展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C5r?a5?r?x13.3

【解析】解：設(shè)

B1=

“從甲筐中取出的是蘋果”，

B2=

“從甲筐中取出的是梨子”，

P(B1)=1根據(jù)全概率公式可得

P(A)=P(=12×x+1x+4+310×xx+4+210故答案為：314.?2ln【解析】解：設(shè)函數(shù)y=kx+m與曲線y=ex?2的切點(diǎn)為(x1,ex1?2)，與曲線y=ex?1的切點(diǎn)為(x2,ex2?1)，

∵y=ex?2的導(dǎo)數(shù)y′=ex，∴ex1=k，且kx1+m=ex1?2，故kx1+m=k?2，①

∵y=15.解：(1)求導(dǎo)得f′(x)=xcosx?sinxax2，則f′(π)=?1aπ，

由切線方程是x+πy?π=0得切線斜率為?1π，

所以?1aπ=?1π，解得a=1；

(2)記g(x)=sinx?x(x>0)，

求導(dǎo)得g′(x)=cosx?1≤0恒成立，

【解析】(1)求導(dǎo)得f′(x)，則切線斜率為f′(π)，結(jié)合點(diǎn)(π,0)即可求解；

(2)記g(x)=sin16.解：(1)由題意得2×2列聯(lián)表如下：性別經(jīng)常體育鍛煉與否合計(jì)經(jīng)常體育鍛煉不經(jīng)常體育鍛煉男45550女401050合計(jì)8515100零假設(shè)為H0:性別與經(jīng)常體育鍛煉無(wú)關(guān)，

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2=100×(45×10?5×40)250×50×85×15=10051≈1.9608<3.841=x0.05，

根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，

因此可以認(rèn)為H0成立，即不能認(rèn)為性別因素會(huì)影響經(jīng)常體育鍛煉．

(2)記“選出2份問(wèn)卷其中一份是‘沒(méi)有時(shí)間，”為事件A，

則n(A)=C41C111+C42=44+6=50，

記“選出【解析】(1)由題意得2×2列聯(lián)表，求出χ2，根據(jù)小概率值α=0.05，即可判斷；

(2)17.解：(1)模型y=bx+a的線性相關(guān)系數(shù)：

r1=i=15(xi?x)(yi?y)i=15(xi?x)2i=15(yi?y)2=3910×161.2≈3940=15.616=0.975，

模型y=dlnx+c的線性相關(guān)系數(shù)：

r2=i=15(ui?u)(yi?y)i=15ui?u2∑5【解析】

(1)分別求出兩個(gè)模型的相關(guān)系數(shù)，比較其大小，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的相關(guān)性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)(i)由最小二乘法可求得d，代入(u,y)，可求得c，進(jìn)而可求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；

18.解：(1)由題得g(x)=lnx?a+2ax+1，x>0，

求導(dǎo)得g′(x)=1x?2a(x+1)2=(x+1)2?2axx(x+1)2=x2+2(1?a)x+1x(x+1)2，

?①當(dāng)Δ=4(1?a)2?4≤0，即0≤a≤2時(shí)，g′(x)≥0恒成立，

所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

?②當(dāng)Δ=4(1?a)2?4>0，即a<0或a>2時(shí)，

(a)當(dāng)a<0時(shí)，g′(x)=(x+1)2?2axx(x+1)2>0恒成立，所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

(b)當(dāng)a>2時(shí)，由g′(x)=x2+2(1?a)x+1x(x+1)2=0得x1=a?1?a2?2a，x2=a?1+a2?2a，

經(jīng)判斷得0<x1<x2，當(dāng)g′(x)>0時(shí)，0<x<x1或x>x2;當(dāng)g′(x)<0時(shí)，x1<x<x2，

所以g(x)在(0,x1)，(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在(x1,x2)上單調(diào)遞減;

綜上所述，a≤2時(shí)，g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

a>2時(shí)，g(x)在(0,【解析】

(1)由題得g(x)=lnx?a+2ax+1，x>0，求導(dǎo)得g′(x)=x2+2(1?a)x+1x(x+1)2，然后分

?①當(dāng)Δ=4(1?a)219.解：(1)非空集合B的個(gè)數(shù)為Cn1+Cn2+Cn3+?+Cnn=2n?1，

所以P(X≥3)=1?P(X=1)?P(X=2)=1?2n?12n?1?2n?22n?1=2n?2?12n?1，

由題得2n?2?12n?1=731，

化簡(jiǎn)得2n?2=8，解得n=5，

(2)當(dāng)非空集合B中的最小元素和