2025蘇科版高一數學必修一第1章1.2第2課時全集、補集新高一暑假自學課堂第1章1.2第2課時全集、補集第2課時全集、補集1．了解全集的意義，理解補集的含義．(重點)2．能在給定全集的基礎上求已知集合的補集．(難點)1．通過補集的運算，培養數學運算素養．2．借助集合思想對實際生活中的對象進行判斷歸類，培養數學抽象素養．某學習小組學生的集合為S＝{甲，乙，丙，丁}，其中在學校應用文寫作比賽與數學建模大賽中獲得過金獎的學生集合為A＝{甲，乙}，那么沒有獲獎的學生有哪些？若用集合B表示沒有獲獎的同學，則集合B與S，集合A、B和S之間有怎樣的關系？知識點1補集(1)定義：設A?S，由S中不屬于A的所有元素組成的集合稱為S的子集A的補集，記為?SA(讀作“A在S中的補集”)．(2)符號表示?SA＝{x|x∈S，且xA}．(3)圖形表示：(4)補集的性質①?S?＝S，②?SS＝?，③?S(?SA)＝A．知識點2全集如果一個集合包含我們所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，全集通常記作U．兩個不同的集合A、B在同一個全集U中的補集可能相等嗎？[提示]不可能相等．因為集合A、B是兩個不同的集合，所以必定存在元素在集合A的補集中，但不在集合B的補集中．補集符號?SA有三層含義：(1)A是S的一個子集，即A?S；(2)?SA表示一個集合，且?SA?S；(3)?SA是S中所有不屬于A的元素構成的集合．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)全集一定含有任何元素． ()(2)集合?RA＝?QA． ()(3)一個集合的補集一定含有元素． ()(4)研究A在S中的補集時，A可以不是S的子集． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．已知全集U＝{－1,0,1}，且?UA＝{0}，則A＝()A．{－1,1} B．{－1,0,1}C．{0,1} D．{－1,0}A[∵U＝{－1,0,1}，?UA＝{0}，∴A＝{－1,1}．]3．若集合A＝{x|x>1}，則?RA＝________．{x|x≤1}[∵A＝{x|x>1}，∴?RA＝{x|x≤1}．]類型1全集與補集【例1】(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，則集合B＝________．(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，則?UA＝________．(1){2,3,5,7}(2){x|x<－3或x＝5}[(1)A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．(2)將集合U和集合A分別表示在數軸上，如圖所示．由補集定義可得?UA＝{x|x<－3或x＝5}．]常見補集的求解方法1列舉求解.適用于全集U和集合A可以列舉的簡單集合.2畫數軸求解.適用于全集U和集合A是不等式的解集.3利用Venn圖求解.eq\o([跟進訓練])1．(1)若全集U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，則?UA等于()A．{x|0<x<2} B．{x|0≤x<2}C．{x|0<x≤2} D．{x|0≤x≤2}(2)設全集U＝{1,2,6,8,9}，集合A＝{1，|a－6|,9}，?UA＝{6,8}，則a的值是()A．4 B．8C．－4或8 D．4或8(1)C(2)D[(1)∵U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，∴?UA＝{x|0<x≤2}，故選C．(2)A＝?U(?UA)＝{1,2,9}＝{1，|a－6|,9}，∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故選D．]類型2補集與子集的綜合應用【例2】已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A??UB，求實數a的取值范圍．[思路點撥]首先應對B是否為空集進行討論，得出?UB，然后再利用A??UB得關于a的不等式求解即可．[解]若B＝?，則a＋1>2a－1，所以a<2．此時?UB＝R，所以A??UB；若B≠?，則a＋1≤2a－1，即a≥2，此時?UB＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}，由于A??UB，如圖，則a＋1>5，所以a>4，所以實數a的取值范圍為a<2或a>4．[母題探究](變條件)若將本例中的“A??UB”改為“B??UA”，求實數a的取值范圍．[解]?UA＝{x|x<－2或x>5}．因為B??UA，當a＋1>2a－1，即a<2時，B＝?，B??UA．當a＋1≤2a－1，即a≥2時，B≠?．所以2a－1<－2或a＋1>5，即a>4，綜上，a的取值范圍為a<2或a>4．1．解決此類問題應注意以下幾點(1)空集作為特殊情況，不能忽略；(2)數形結合方法更加直觀易懂，盡量使用；(3)端點值能否取到，應注意分析．2．U是由集合A與?UA的全體元素所構成，對于某一個元素a，a∈A與a∈?UA中恰好只有一個成立，即集合中的元素具有確定性．eq\o([跟進訓練])2．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}．(1)求?UA，?UB；(2)若集合C＝{x|x>a}，A?C，求a的取值范圍．[解](1)因為A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}，所以借助于數軸知?UA＝{x|x<3，或x≥10}，?UB＝{x|x≤2，或x>7}．(2)要使A?C，只需a<3即可．所以a的取值范圍為{a|a<3}．1．設全集為U，M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，則U等于()A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}C．{6} D．?A[∵M＝{0,2,4}，?UM＝{6}，∴U＝{0,2,4,6}，故選A．]2．(多選題)設集合S＝{x|x>－2}，集合A??RS，則集合A中的元素可能是()A．－2B．2C．－3D．3AC[因為S＝{x|x>－2}，所以?RS＝{x|x≤－2}，故選AC．]3．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}．用列舉法表示集合?SA＝________．{(0,0)}[?SA＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}．]4．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4<x≤7，x∈N}，則?AB＝________．{3,4}[由題意知A＝{3,4,5,6,7}，B＝{5,6,7}，∴?AB＝{3,4}．]5．已知U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且?UA＝{1,3,5}，則m＝________．4[由已知m∈U，且m?UA，故m＝2或4．又A＝{2，m}，由元素的互異性知m≠2，故m＝4．]回顧本節知識，自我完成以下問題．1．求集合的補集前提是什么？同一集合在不同全集下的補集相同嗎？[提示]求集合的補集前提是必須明確全集．同一集合在不同全集下的補集不同．2．本節課主要學習哪些內容？通過內容的學習，哪些核心素養有所提高？[提示]補集和全集的概念及運算．數學運算．3．本節課主要運用了哪些數學方法？你認為哪些地方易出錯？[提示]數形結合．求補集時忽視全集，求參數時忽視端點的取舍．課時分層作業(四)全集、補集一、選擇題1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|1<x<5，x∈Z}，則集合?UA＝()A．? B．{1,2,5}C．{1,5} D．{1,4,5}C[由于1<x<5，x∈Z，∴A＝{2,3,4}，∴?UA＝{1,5}．]2．設全集U＝{1,3,5,7}，集合M＝{1，a－5}，M?U，?UM＝{5,7}，則實數a＝()A．3 B．5C．7 D．8D[由題知a－5＝3，a＝8．]3．設U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x<3或x>4}，則a＋b＝()A．5B．6C．7D．8C[∵?U(?UA)＝{x|3≤x≤4}＝A＝{x|a≤x≤b}，∴a＝3，b＝4，∴a＋b＝7．]4．設全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，則?UP等于()A．{x|0≤x<1或x>1} B．{x|x<1}C．{x|x<1或x>1} D．{x|x>1}A[因為U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以?UP＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．]5．設A是整數集的一個非空子集，對于k∈A，如果k－1A，且k＋1A，那么稱k是A的一個“孤立元”．給定S＝{1,2,3,4,5}，由S的3個元素構成的所有集合中，含“孤立元”的集合的個數是()A．4 B．5C．6 D．7D[依題可知，由S的3個元素構成的所有集合中，不含“孤立元”，這三個元素一定是相連的三個數．故這樣的集合共有3個．而S＝{1,2,3,4,5}的三個元素的子集有10個，所以含“孤立元”的集合共有7個．故選D．]二、填空題6．設全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}．則?UA與?UB的包含關系是________．?UA?UB[由題意?UA＝{x|x<0}，?UB＝{y|y<1}＝{x|x<1}，故?UA?UB．]7．已知全集A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}．則集合B＝________，?AB＝________．{－2，－1}{0,1,2}[全集A＝{－2，－1,0,1,2}，集合B＝{a|a<0，a∈A}＝{－2，－1}．∴?AB＝{0,1,2}．]8．已知全集U＝{2,0,3－a2}，U的子集P＝{2，a2－a－2}，?UP＝{－1}，則實數a的值為________．2[由已知，得－1∈U，且－1P，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－a2＝－1，,a2－a－2＝0，))解得a＝2．當a＝2時，U＝{2,0，－1}，P＝{2,0}，?UP＝{－1}，滿足題意．因此實數a的值為2．]三、解答題9．已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}，且集合A、B均是U的子集．(1)若?U(?UB)＝{0,1}，求實數a的值；(2)若?UA＝{3,4}，求實數a的值．[解](1)∵?U(?UB)＝{0,1}，∴B＝{0,1}，且B?U，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a－1|＝0，,a－2a－1＝1，))得a無解；或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a－1|＝1，,a－2a－1＝0，))得a＝2．∴a＝2．(2)∵?UA＝{3,4}，又?UA?U，∴|a－1|＝3或(a－2)(a－1)＝3，∴a＝4或a＝－2或a＝eq\f(3±\r(13),2)．經驗證，當a＝4時，不合題意，舍去．∴所求實數a的值為－2或eq\f(3±\r(13),2)．10．設全集U＝R，A＝{x|3m－1<x<2m}，B＝{x|－1<x<3}，若A?UB，求實數m的范圍．[解]由題意知，?UB＝{x|x≥3或x≤－1}．(1)若A?UB，且A≠?時，則3m－1≥3或2m≤－1，∴m≥eq\f(4,3)或m≤－eq\f(1,2)．又A≠?，∴3m－1<2m，∴m<1，即m≤－eq\f(1,2)．(2)若A＝?，則3m－1≥2m，得m≥1．綜上所述，m≤－eq\f(1,2)或m≥1．11．(多選題)已知集合A＝{x|x<－1或x>5}，C＝{x|x>a}，若?RA?C，則a的可能取值為()A．－2 B．2C．－3 D．3AC[由題知?RA＝{x|－1≤x≤5}，要使?RA?C，則a<－1，故選AC．]12．設全集U和集合A，B，P，滿足A＝?UB，B＝?UP，則A與P的關系是()A．A＝P B．A?PC．P?A D．A≠PA[由A＝?UB，得?UA＝B．又∵B＝?UP，∴?UP＝?UA，即A＝P．]13．設全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，則?UA＝________．{2}[若x＝2，則x2－2＝2與集合中元素的互異性矛盾，故x≠2，從而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍)，故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，則?UA＝{2}．]14．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x|x≥2}，則圖中陰影部分所表示的集合為________．{1}[陰影部分可以看作A與B的公共部分在集合A中的補集．由題知A與B的公共部分為{2,3,4,5}，設C＝{2,3,4,5}．∴?AC＝{1}．]15．對于集合A，B，我們把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}記作A×B．例如，A＝{1,2}，B＝{3,4}，則有A×B＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，B×A＝{(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，A×A＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，B×B＝{(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)}，據此，試回答下列問題．(1)已知C＝{a}，D＝{