中考數學最值題目歸納

考查學問點：1，“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，“點

對于線對稱”，“線段的平移”。

（2,代數統計最值題目3,二次函數中最值題目）

題目原型：飲馬題目造橋選址題目（完好平方程式配方

求多項式取值二次函數極點）

出題背景變式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、

圓、坐標軸、拋物線等。

解題總思路：找點對于線的對稱點實現“折”轉“直”

幾何根本模型：/

前提：似下左圖，A、B是直線/同旁

的兩個定點.

題目：在直線/上肯定一點P,使"+總的值最小.

方式：作點A對于直線/的對稱點A,連結交/于

點P,那么=的值最小

例工，似圖，四邊形ABCD是正方形，4ABE是等邊三

角形，M為對角線BD(不含B點)上隨意任性一點，將

BM繞點B逆時針扭轉60。得到BN,毗連EN、AM、CM.

(1)求證：^AMB會^ENB；

(2)①當M點在那邊時，AM+CM的值最小；

②當M點在那邊時，AM+BM+CM的值最小，同時講明

出處；

(3)當AM+BM+CM的最小值為萬+1時，求正方形的

邊長。

例2,似圖13,拋物線y=ax2+bx+

c(a^O)的極點為(1,4),交x軸于A、B,交y軸于D,

其中B點的坐標為(3,0)

(1)求拋物線的解析式

(2)似圖14,過點A的直線與拋物線交于點E,交y軸于

點F,其中E點的橫坐標為2,如果直線PQ為拋物線的對

稱軸，點G為PQ上一動點，那么x軸上是否存在一點

H,使D、G、F、H四點圍成的四邊形周長最小.如果存在,

求出那個最小值及G、H的坐標；如果不存在，請講明出

處.

(3)似圖15,拋物線上是否存在一點T,過點T作x的

垂線，垂足為M,過點M作直線MN〃BD,交線段AD于點

N,毗連MD,使△DNMS/XBMD,如果存在，求出點T的坐

標；如果不存在，講明出處.

例3,似圖1,四邊形AEFG與ABCD根基上正方形，它

們的邊長分不為a,b(bN2a),且點F在AD上(以下題

目的結論可用a,b示意)

（1）求SADBF；

(2)把正方形AEFG繞點A逆時針方向扭轉45。得圖2,

求圖2中的SADBF；

(3)把正方形AEFG繞點A扭轉隨意任性角度，在扭轉

環節中，SADBF是否存在最大值，最小值？介入存在，試

求出最大值、最小值；介入不存在，請講明出處。

例4,似圖，在平面

直角坐標系中，直線y=gx+l與拋物線y=ax?+bx-3父于A,B兩

點，點A在x軸上，點B的縱坐標為3。點P是直線

AB下方的拋物線上一動點(不與A,B重合),過點P

作x軸的垂線交直線AB與點C,作PDLAB于點D

(1)求a,b及sin/ACP的值

(2)設點P的橫坐標為m

①用含m的代數式示意線段PD的長，同時求出線

段PD長的最大值；

②毗連PB,線段PC把4PDB分成兩個三角形，是否

存在合適的m值，使這兩個三角形的面積之比為9：10?

如果存在，開門見山寫出m值；如果不存在，講明出處.

例5,似圖，OC的內接△AOB中,

AB=A0=4,tanAOB——>拋物線、=加+云經過點A(4,0)與

4

點(-2,6).

(1)求拋物線的函數解析式；

(2)直線m與。C相切于點A,交y于點D.動點P在線

段0B上，從點。出發向點B運動；同時動點Q在線

段DA上，從點D出發向點A運動；點P的速率為

每秒1個單位長，點Q的速率為每秒2個單位長,

當PQ1AD時，求運動時候t的值；

(3)點R在拋物線位于x軸下方部分的圖象上，當

△ROB面積最大時，求點R的坐標.

證明：（［）???△ABE是等邊三角形,

.\BA=BE,ZABE=60°.

VZMBN=60°,/.ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.即

ZMBA=ZNBE.

XVMB=NB,/.△AMB^AENB(SAS).(5分)

解:

D

--

Rc（2）①當M點落在BD的中點時,

A、M、C三點共線，AM+CM的值最小.（7分）

②似圖，毗連CE,當M點位于BD與CE的交點處時,

AM+BM+CM的值最小.（9分）

出處似下：毗連MN,由（工）知，△AMBgZ\ENB,:.

AM=EN,

VZMBN=60°,MB=NB,??△BMN是等邊三角

形.???BM=MN.

???AM+BM+CM=EN+MN+CM.（10分）

依照”兩點之間線段最短“，得EN+MN+CM=EC最短

???當M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值

最小，即等于EC的長.（工工分）

例2,解：（1）設所求拋物線的解析式為：廣心-1）2+4,

依題意，將點B（3,0）代入，得：a（3-l）2+4=0解得：

a=—1.1所求拋物線的解析式為：y=_（x-1）?+4

（2）似圖6,在y軸的負半軸上取一點I,使得點F

與點I對于x軸對稱,

在x軸上取一點H,毗連HF、HLHG、GD、GE,那

么HF=HI...........................①

設過A、E兩點的一次函數解析式為：y=kx+b(kWO),

???點E在拋物線上且點E的橫坐標為2,將x=2代入

拋物線丁=-(尤-1>+4,得

y=-(2-l)2+4=3

，點E坐標為(2,3)

又:拋物線y=-(1)2+4圖象分不與x軸、y軸交于點A、B、

D

，當y=0時，-(X-I)2+4=O,.,.x=-1或

x=3

當x=0時，y=-1+4=3,

???點A(-1,0),點B(3,0),點D

(0,3)

圖6

又???拋物線的對稱軸為：直線x=l,

???點D與點E對于PQ對稱，GD=GE..........................②

分不將點A(-1,0)、點E(2,3)代入y=kx+b,得：

-k+b^0解得：k=l

2k+b=3b=l

過A、E兩點的一次函數解析式為：y=x+l

，當x=0時，y=l???點F坐標為(0,1)

/.\DF\=2..............................................................................(3)

又丁點F與點I對于X軸對稱，

，點I坐標為(0,-1)

\EI\=y/DE2+DI2=722+42=2出.....④

又???要使四邊形DFHG的周長最小，因為DF是一個定

值，

，只要使DG+GH+HI最小即可

由圖形的對稱性和①、②、③，可知,

DG+GH+HF=EG+GH+HI

只有當EI為一條直線時，EG+GH+HI最小

設過E(2,3)、I(0,-1)兩點的函數解析式為：

y=+w0),

分不將點E(2,3)、點I(0,—1)代入y=得：

12/偽=3解得：H=2

P\=-1也=-1

過A、E兩點的一次函數解析式為：y=2x—1

當x=l時，y=l；當y=0時，x=g；

???點G坐標為(1,1)，點H坐標為(；，0)

，四邊形DFHG的周長最小為：DF+DG+GH+HF=

DF+EI

由③和④，可知:

DF+EI=2+2V5

???四邊形DFHG的周長最小為2+26。

(3)似圖7,由題意可知，NNMD=NMDB,

要使，△DNMs^BMD,只要使A絲=處即

MDBD

可，

即:MD1=NMxBD.............................................................⑤

設點M的坐標為(a,0),由MN〃:BD,可得

△AMN^AABD,

?NMAM

再由(1)、(2)可知，AM=l+a,BD=3&,AB=4

.…AMxBD(l+a)x3030八、

??MN=-----------=---------=(1+a)

AB44

MD2=OD2+OM2=片+9,

，⑤式可寫成：a2+9=—(l+a)x3V2

4

解得：或”3(不合題意，舍去)

，點M的坐標為弓，0)

又丁點T在拋物線>=-(尤-1)2+4圖象上,

.?.當x=3時，y="

22

???點T的坐標為G,絲).

22

例3,

解:(1)?.,點尸在AD上,.\AF2=a2+a2,

即AF=x/2ao

錦元數學工作室繪制

??DF-b-x/^ao

??SADBF=:DF.AB=；(b-/a).b=gb?-#ab°

(2)毗連DF,AF,由題意易知AF〃BD,

，四邊形AFDB是梯形。

錦元數學工作室繪制

.二△DBF與△ABD等高同底，即BD為

兩三角形的底。

由AF//BD,得到平行線間的間隔相等，即高相等，

?12

??SADBF=S'ABD=5b0

（3）正方形AEFG在繞A點扭轉的環節中，F點的軌跡

是以點A為圓心，AF為半徑的圓。

第一種狀況：當b>2a時:存在最大值及最小值，

???△BFD的邊BD二夜b,

???當F點到BD的間隔取得最大、最小值時,SABFD取得最

大、最小值。

似圖，當DF1BD時,SABFD的最大值

二L岳.（也b+夜=

222

SABFD的最小值.（也b-揚）=^=^。

222

錦元數學工作室繪制第二種狀況：當b=2a時,

存在最大值，不存在最小值,

S.BFD的最大值』修

例4,解：（1）由I+M）,得至Ux二一2,A(—2,0)o

由3+1=3,得到x=4,.?.B(4,3)o

:y=ax?+bx-3經過A、B兩點,

a=-

:凌:告解得2

1

b=-----

2

設直線AB與y軸交于點E,

么E(0,1)o

???依照勾股定理，得AE=—

???Pc〃y軸，.,.ZACP=ZAEOo

/.sinZACP=sinZAEO=—=_L=275。

AE755

（2）①由（1）可知拋物線的解析式為y=|x2-1x-3o

由點P的橫坐標為m9得P(m,^m29Cfm,^m+1

,PC二—m+l-[—m2--m-3I=-—m2+m+4o

2(22J2

在Rt^PCD中，PD=PCsin/ACP=Hm2+m+4)￥=-2m-lf+W，

,??當＜0,?,?當m=l時，PD有最大值W。

②存在知足前提的m值，或

例5,解：(1)將點A(4,0)和點(-2,6)的坐標代入產一+灰

中，得方程組產+但。，

4a-2b=6

_1

解之，得"=2.，拋物線的解析式為廣42一2》.

b=-22

(2)毗連AC交0B于E.

???直線m切。C于AAAClm,二弦AB-AO,