初中幾何經典題

一、解答題（共20小題，滿分0分）

I.已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD1AB,EF1AB,EG1CO.

求證：CD=GF.（初二）

2.已知：如圖，P是正方形ABCD內點，ZPAD=ZPDA=15°.求證：APBC是正三角形.（初

二）

3.如圖，已知四邊形ABCD、AiBCiDi都是正方形，A2>B2、C2>D2分別是AA|、BB1、

CCi、DD）的中點.

求證：四邊形A2B2c2D2是正方形.（初二）

4.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC

的延長線交MN于E、F.

求證：ZDEN=ZF.

E.

5.已知：AABC中，H為垂心（各邊高線的交點），0為外心，且OMLBC于M.

（1）求證:AH=20M；

（2）若NBAC=60。，求證：AH=AO.（初二）

6.設MN是圓0外一直線，過0作OA_LMN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于B、C

及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

7.如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：設MN是圓0的弦，過

MN的中點A任作兩弦BC、DE,設CD、EB分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

D

8.如圖，分別以AABC的邊AC、BC為一邊，在aABC夕卜作正方形ACDC和CBFG,點

D

P是EF的中點,求證:點P到AB的距離是AB的一半AOB

9.如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,AE=AC,AE與CD相交于F.

求證：CE=CF.

4D

BC

10.如圖，四邊形ABCD為正方形，DE/7AC,且CE=CA,直線EC交DA延長線于F.

求證：AE=AF.（初二）

FAD

B

E

11.設P是正方形ABCD一邊BC上的任一點PF±AP,CF平分NDCE.

求證：PA=PF.（初二）

DDXT

12.如圖，PC切圓0于C,AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線P0相交于

B、D.求證：AB=DC,BC=AD.

A

13.已知：AABC是正三角形，P是三角形內-點，PA=3,PB=4,PC=5.

求：/APB的度數.（初二）

14.設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且NPBA=/PDA.

求證：/PAB=/PCB.

15.設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB?CD+AD?BC=AC?BD.（初三）

16.平行四邊形ABCD中,設E、F分別是BC、AB上的一點,AE與CF相交于P,且AE=CF.求

證：ZDPA=ZDPC.（初二）

A,D

17.設P是邊長為1的正AABC內任一點，L=PA+PB+PC,求證：后L<2.

18.已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PA+PB+PC的最小值.

19.P為正方形ABCD內的一點，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的邊長.

BC

20.如圖，AABC中，/ABC=NACB=80。，D、E分別是AB、AC上的點，/DCA=30。,

ZEBA=20°,求/BED的度數.

初中幾何經典題參考答案與試題解析

一、解答題（共20小題，滿分0分）

I.已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點，CD1AB,EF1AB,EG1CO.

ADHOFB

考點：相似三角形的判定與性質；圓周角定理。

分析：首先根據四點共圓的性質得出GOFE四點共圓，進而求出△GHFSZXOGE,再利用

GH〃CD,得出典旦即可求出答案.

GFGHCD

解答：證明：作GHLAB,連接EO.

VEF1AB,EGICO,

/EFO=/EGO=90。，

；.G、0、F、E四點共圓，

所以/GFH=/OEG,

又,；/GHF=NEGO,

/.△GHF^AOGE,

VCD1AB,GH1AB,

：GH〃CD,

-EQ_GO_CQ

''GFGHCD'

又：CO=EO,

，CD=GF.

點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及其性質和四點共圓的性質，根據已知得出

GOFE四點共圓是解題關鍵.

2.已知：如圖，P是正方形ABCD內點，ZPAD=ZPDA=15".求證：APBC是正三角形.（初

二）

考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質；等邊三角形的判定。

專題：證明題。

分析：在正方形內做aDGC與4ADP全等，根據全等三角形的性質求出4PDG為等邊，三

角形，根據SAS證出△DGCgZiPGC,推出DC=PC,推出PB=DC=PC,根據等邊三角形的

判定求出即可.

解答：證明：在正方形內做aDGC與4ADP全等，

，DP=DG,ZADP=ZGDC=ZDAP=ZDCG=15°,

ZPDG=90°-15°-15°=60°,ZDGC=180--15°-15°=150°,

...△PDG為等邊，三角形，

；.DP=DG=PG,

ZPGC=360°-150°-60°=150o=ZDGC,

在△DGC4PGC中

'DG=PG

<NDGC=/PGC，

GC=GC

.,.△DGC^APGC,

；.PC=AD=DC,和/DCG=/PCG=15。，

同理PB=AB=DC=PC,

ZPCB=90°-15°-15°=60°,

.,.△PBC是正三角形.

點評：本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定等知

識點的應用，關鍵是正確作出輔助線，又是難點，題型較好，但有一定的難度，對學生提出

了較高的要求.

3.如圖，已知四邊形ABCD、AiBiGDi都是正方形，A2>B2、C2>D2分別是AA|、BBI、

CCi、DDi的中點.

求證：四邊形A2B2c2D2是正方形.（初二）

AD

考點：正方形的判定；全等三角形的判定與性質。

專題：證明題。

分析：連接BQ和ABi分別找其中點EE,連接C2F與A2E并延長相交于Q點，根據三

角形的中位線定理可得A2E=FB2,EB2=FCI，然后證明得到NB2FC2=NA2EB2,然后利用邊

角邊定理證明得到△B2FC2與△A2EB2全等，根據全等三角形對應邊相等可得A2B2=B2c2,

再根據角的關系推出得到NA2B2c2=90。，從而得到A2B2與B2c2垂直且相等，同理可得其

它邊也垂直且相等，所以四邊形A2B2c2D2是正方形.

解答：證明：如圖，連接BC|和AB1分別找其中點F,E.連接C2F與A正并延長相交于Q

點，

連接EB2并延長交C,Q于H點，連接FB2并延長交A2Q于G點，

由A，E」AIBI」BICI=FB2，EB,」AB」BC=FCI，

2222

ZGFQ+/Q=90。和ZGEB2+ZQ=90°,

...所以/GEB2=/GFQ,

.".ZB2FC2=ZA2EB2，

可得△B2FC2四△A2EB2,

所以A2B2=B2c2，

又ZHB2c2+NHC2B2=90。和NB2c2Q=ZEB2A2，

從而可得NA2B2C2=90°>

同理可得其他邊垂直且相等，

從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形.

點評：本題主要考查了正方形的性質與判定，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質,

綜合性較強，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵.

4.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC,M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC

的延長線交MN于E、F.

求證：ZDEN=ZF.

E,

考點三角形中位線定理。

專題證明題。

分析連接AC,作GN〃AD交AC于G,連接MG,根據中位線定理證明MG〃BC,且

GM」BC,根據AD=BC證明GM=GN,可得/GNM=NGMN,根據平行線性質可得:

2

ZGMF=ZF,NGNM=/DEN從而得出NDEN=NF.

解答：證明：連接AC,作GN〃AD交AC于G,連接MG.

是CD的中點，且NG〃AD,

.?.NG」AD,G是AC的中點，

2

又；.M是AB的中點，

；.MG〃BC,且MGjBC.

2

VAD=BC,

NG=GM,

△GNM為等腰三角形,

AZGNM=ZGMN,

VGM/7BF,

；./GMF=/F,

：GN〃AD,

AZGNM=ZDEN,

,\ZDEN=ZF.

點評：此題主要考查平行線性質，以及三角形中位線定理，關鍵是證明aGNM為等腰三角

形.

5.已知：ZViBC中，H為垂心(各邊高線的交點)，0為外心，且OM_LBC于M.

(1)求證：AH=2OM；

(2)若NBAC=60。，求證：AH=AO.(初二)

考點：三角形的外接圓與外心；三角形內角和定理；等腰三角形的性質；含30度角的直角

三角形；平行四邊形的判定與性質；垂徑定理；圓周角定理。

專題：證明題。

分析：(1)延長AD到F連BF,做OG1.AF,求出平行四邊形OGDM,求出OM=GD,根

據等腰三角形的性質和判定、垂徑定理求出HD=DF,代入求出即可；

(2)根據圓周角定理求出/BOM,根據含30度角的直角三角形性質求出OB=2OM即可.

解答：證明：(1)延長AD與。O交于點F,連BF,作OG_LAF于G,

VOMXBC,AD±BC,OG±AF,

ZOMD=ZADB=ZOGD=90°,

四邊形OGDM是平行四邊形，

:.OM=GD,

ZADC=ZBDA=ZAEB=90°,

AZF=ZACB=ZBHD,

；.BH=BF,

VAD±BC,

???HD=DF,

VOG1AF,OG過圓心O,

AG=GF,

Z.AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM,

即AH=2OM.

(2)證明：連接OB,OC,

??/BAC=60。，

.".ZBOC=120°,

/BOM=60°,

.?./OBM=30°,

；.0B=20M=AH=A0,

即AH=AO.

點評：本題考查了等腰三角形的性質和判定、圓周角定理、垂徑定理、含30度角的直角三

角形性質、平行四邊形的性質和判定、三角形的外接圓與外心、三角形的內角和定理等知識

點，題目綜合性較強，有一定的難度，但題型較好，難點是如何作輔助線.

6.設MN是圓O外一直線，過O作OALMN于A,自A引圓的兩條直線，交圓于B、C

及D、E,直線EB及CD分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

考點：圓周角定理；垂線；平行線的性質；全等三角形的判定與性質；圓內接四邊形的性質;

軸對稱的性質。

專題：證明題。

分析：作E點關于GA的對稱點F,連FQ、FA,FC,根據軸對稱和平行線性質推出

ZFAP=ZEAQ,NEAP=/FAQ,FA=EA,求出NFCQ=/FAQ,推出FCAQ四點共圓，推

出ZPEA=ZQFA,根據ASA推出4PEA和AQFA全等即可.

解答：證明：作E點關于GA的時稱點F,連FQ、FA,FC,

VOA1MN,EF1OA,

則有/FAP=NEAQ,NEAP=/FAQ,FA=EA,

??/PAF=NAFE=/AEF=I8O-ZFCD,

VZPAF=180-ZFAQ,

.\ZFCD=ZFAQ,

AFCAQ四點共圓，

ZAFQ=ZACQ=ZBED,

在AEPA和AFQA中

'NPEA=NQFA

"AF=AE，

,ZPAE=ZQAF

AEPA^AFQA,

，AP=AQ.

點評：本題綜合考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，軸對稱的性質，圓內接四

邊形的性質，圓周角定理，垂線等知識點，解此題的關鍵是求出NAEP=NAFQ,題型較好,

有一定的難度，通過做題培養了學生分析問題的能力，符合學生的思維規律，證兩線段相等,

一般考慮證所在的兩三角形全等.

7.如果上題把直線MN由圓外平移至圓內，則由此可得以下命題：設MN是圓0的弦，過

MN的中點A任作兩弦BC、DE,設CD、EB分別交MN于P、Q.

求證：AP=AQ.（初二）

考點：四點共圓；全等三角形的判定與性質。

分析：作OF_LCD,OG±BE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ,ffiH|AADF^AABG,

所以/AFC=/AGE,再利用圓的內接四邊形對角互補，外角等于內對角，證得

ZAOP=ZAOQ,進而得至AP=AQ.

解答：證明：作OFJ_CD,OG1BE,連接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ.

由于AD二AC二CD二2FD二FD

AB=AE=BE=2BG=BG，

.".△ADF^AABG,

/AFC=NAGE,

四邊形PFOA與四邊形QGOA四點共圓，

/AFC=NAOP；ZAGE=ZAOQ,

.\ZAOP=ZAOQ,

，AP=AQ.

點評：本題考查了全等三角形的判定和全等三角形的性質，以及圓的內接四邊形性質：對角

互補，外角等于內對角，解題的關鍵是添加適當的輔助線構造全等三角形.

8.如圖，分別以AABC的邊AC、BC為一邊，在AABC外作正方形ACDC和CBFG,點

P是EF的中點，求證:點P到AB的距離是AB的一半.

考點：梯形中位線定理；全等三角形的判定與性質。

專題：證明題。

分析：分別過E,F,C,P作AB的垂線，垂足依次為R,S,T,Q,貝PQ」（ER+FS）,

2

易證RtZXAER也RtZiCAT,貝ijER=AT,FS=BT,ER+FS=AT+BT=AB,即可得證.

解答：解：分別過E,F,C,P作AB的垂線，垂足依次為R,S,T,Q,則ER〃PQ〃FS,

?；P是EF的中點，；.Q為RS的中點，

/.PQ為梯形EFSR的中位線，

，PQ」（ER+FS）,

2

；AE=AC（正方形的邊長相等），ZAER=ZCAT（同角的余角相等），NR=/ATC=90。，

/.RtAAER^RtACAT（AAS）,

同理RtABFS^RtACBT,

；.ER=AT,FS=BT,

；.ER+FS=AT+BT=AB,

；.PQ」AB.

2

點評：此題綜合考查了梯形中位線定理、全等三角形的判定以及正方形的性質等知識點，輔

助線的作法很關鍵.

9.如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,AE=AC,AE與CD相交于F.

求證：CE=CF.

考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定與

性質。

專題：證明題。

分析：把4ADE順時針旋轉90。得到AARG,從而可得B、G、D三點在同一條直線上，然

后可以證明4AGB與4CGB全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=CG,所以4AGC

為等邊三角形，根據等邊三角形的性質可以推出NCEF=NCFE=75。，從而得解.

解答：證明：如圖所示，順時針旋轉△ADE90。得到aARG,連接CG.

?/ZABG=ZADE=90°+45°=135°,

AB,G,D在一條直線上，

ZABG=ZCBG=180°-45°=135°,

'AB=AC

在4AGB與4CGB中，，NABG=/CBG，

BG=BG

.".△AGB^ACGB（SAS）,

；.AG=AC=GC=AE,

...△AGC為等邊三角形，

VAC1BD（正方形的對角線互相垂直），

.".ZAGB=30",

/EAC=30。，

.?./AEC=30°+45°=75°,

又；ZEFC=ZDFA=45°+30°=75°,

；.CE=CF.

點評：本題綜合考查了正方形的性質，全等三角形的判定，以及旋轉變換的性質，根據旋轉

變換構造出圖形是解題的關鍵.

10.如圖，四邊形ABCD為正方形，DE〃AC,月.CE=CA,直線EC交DA延長線于F.

求證：AE=AF.（初二）

AD

考點：正方形的性質：三角形內角和定理；三角形的外角性質；等腰三角形的判定與性質:

正方形的判定。

專題：計算題。

分析：連接BD,作CHLDE于H,根據正方形的性質求出正方形DGCH,求出2cH=CE,

求出/CEH=30。，根據等腰三角形性質和三角形的外角性質求出NAEC=NCAE=15。，求出

NF的度數即可.

解答：證明：連接BD,作CH_LDE于H,

???正方形ABCD,

ZDGC=90°,GC=DG,

VAC/7DF,CHXDF,

/DHC=/GCH=/DGC=90°,

...四邊形CGDH是正方形.

由AC=CE=2GC=2CH,

/CEH=30。，

ZCAE=ZCEA=ZAED=15°,

又/FAE=9(T+45°+15。=150°,

.".ZF=180°-150°-15°=15°,

ZF=ZAEF,

；.AE=AF.

點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形，三角形的外角性質，

正方形的性質和判定等知識點，此題綜合性較強，但難度適中.

11.設P是正方形ABCD一邊BC上的任一點，PF1AP,CF平分NDCE.

考點：正方形的性質；全等三角形的判定與性質。

專題：證明題。

分析：根據已知作FGLCD,FE1BE,可以得出GFEC為正方形.再利用全等三角形的判

定得出4ABP絲△PEF,進而求出PA=PF即可.

解答：證明：作FGLCD,FE1BE,可以得出GFEC為正方形.

令AB=Y,BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X.

tan/BAP=tanZEPF^L_?—,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z

即Z(Y-X)=X(Y-X),即得X=Z,得出AABP絲APEF,

；.PA=PF.

點評：此題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定與性質，根據已知得出

△ABP^APEF是解題關鍵.

12.如圖，PC切圓0于C,AC為圓的直徑，PEF為圓的割線，AE、AF與直線P0相交于

B、D.求證：AB=DC,BC=AD.

考點：切線的性質；全等三角形的判定與性質。

分析：作出輔助線，利用射影定理以及四點共圓的性質得出EFOQ四點共圓，BECQ四點共

圓，進而得出四邊形ABCD是平行四邊形，從而得出答案即可.

解答：證明：作CQ_LPD于Q,連接EO,EQ,EC,OF,QF,CF,

所以PC2=PQ?PO(射影定理)，

又PC2=PE?PF,

所以EFOQ四點共圓，

ZEQF=ZEOF=2ZBAD,

又NPQE=/OFE=NOEF=NOQF,

而CQJ_PD,所以/EQC=NFQC,因為/AEC=/PQC=90。，

故B、E、C、Q四點共圓，

所以/EBC=/EQC」ZEQF=A/EOF=ZBAD,

22

；.CB〃AD,

所以BO=DO,即四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB=DC,BC=AD.

點評：此題主要考查了四點共圓的性質以及射影定理,根據已知得出EFOQ四點共圓，BECQ

四點共圓是解題關鍵.

13.已知：AABC是正三角形，P是三角形內-點，PA=3,PB=4,PC=5.

求：/APB的度數.（初二）

考點：等邊三角形的性質；直角三角形的性質；勾股定理的逆定理；旋轉的性質。

專題：計算題。

分析：先把4ABP旋轉60。得到ABCQ,連接PQ,根據旋轉性質可知ABCQ絲4BAP,由

于/PBQ=60。，BP=BQ,易知ABPQ是等邊三角形，從而有PQ=PB=4,而PC=5,PQ=3,

根據勾股定理逆定理易證△PQC是直角三角形，即NPQC=90。，進而可求/APB.

解答：解：順時針旋轉△ABP60。得到ABCQ,連接PQ,

,/ZPBQ=60o,BP=BQ,

??.△BPQ是等邊三角形，

；.PQ=PB=4,

而PC=5,PQH

在△PQC中，PQ2+QC2=PC2,

...△PQC是直角三角形，

.?.NBQC=60°+90°=150°,

ZAPB=150".

點評：本題考查了等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理的逆定理、旋轉的性質,

解題的關鍵是考慮把PA、PB、PC放在一個三角形中，而旋轉恰好能實現這--目標.

14.設P是平行四邊形ABCD內部的一點，且NPBA=/PDA.

求證：ZPAB=ZPCB.

考點：四點共圓；平行四邊形的性質。

專題：證明題。

分析：根據已知作出P點平行于AD的直線，并選一點E,使AE〃DP,BE〃PC,進而得

出AEBP共圓，即可得出答案.

解答：證明：作過P點平行于AD的直線，并選一點E,使AE〃DP,BE〃PC.

；AE〃DP,BE〃PC,

ZABP=ZADP=ZAEP,

可得：AEBP共圓（一邊所對兩角相等）.

可得/BAP=NBEP=/BCP,

AZPAB=ZPCB.

點評：此題主要考查了四點共圓的性質以及平行四邊形的性質，熟練利用四點共圓的性質得

出是解題關鍵.

15.設ABCD為圓內接凸四邊形，求證：AB?CD+AD?BC=AC?BD.（初三）

考點：相似三角形的判定與性質；圓周角定理。

分析：在BD取一點E,使NBCE=NACD,即得△BECsaADC,于是可得AD?BC=BE?AC,

XVZACB=ZDCE,可得△ABCS/\DEC,即AB?CD=DE?AC,兩式結合

ACDC

即可得至I」AB?CD+AD?BC=AC?BD.

解答：證明：在BD取一點E,使/BCE=/ACD,即得△BECs2^ADC,

可得：里迪，即AD*BC=BE?AC,①

BCAC

又；NACB=NDCE,可得△ABCsaDEC,

即得ABDE,即AB?CD=DE?AC,②

ACDC

由①+②可得：AB?CD+AD?BC=AC（BE+DE）=AC?BD,得證.

點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質和圓周角的知識點，解答本題的關鍵是在BD

上取點E,使NBCE=/ACD,此題難度一般.

16.平行四邊形ABCD中，設E、F分別是BC、AB卜一的一點,AE與CF相交于P,且AE=CF.求

考點：平行四邊形的性質；角平分線的性質。

專題：證明題。

分析:過D作DQ_LAE,DG1CF,由S-DE-'平行四邊形匹-S/WFC，可得:迎理@四,

222

又；AE=FC,可得DQ=DG,可得/DPA=NDPC（角平分線逆定理）.

解答：證明：過D作DQJ_AE,DG1CF,并連接DF和DE,如右圖所示：

11111cS平行四邊形妣D

則OAADE=-----------------------=SADFC?

2

?AE-PQ_AE叩Q

??,

22

又YAE=FC,

；.DQ=DG,

，PD為NAPC的角平分線，

ZDPA=ZDPC（角平分線逆定理）.

點評：本題考查平行四邊形和角平分線的性質，有一定難度，解題關鍵是準確作出輔助線,

利用角平分線的性質進行證明.

17.設P是邊長為I的正aABC內任一點，L=PA+PB+PC,求證：小L<2.

考點：等邊三角形的性質；三角形三邊關系；旋轉的性質。

專題：證明題。

分析：只要AP,PE,EF在一條直線上，可得最小L=?；過P點作BC的平行線交AB,

AC于點D,F,可得AD>AP①，BP+DP>BP②，PF+FOPC?,DF=AF④，從而得出結

論.

解答：證明：（1）順時針旋轉△BPC60。，可得4PBE為等邊三角形.

即得要使PA+PB+PC=AP++PE+EF最小，只要AP,PE,EF在一條直線上，

即如下圖：可得最小L二四；

（2）過P點作BC的平行線交AB,AC于點D,F.

由于/APD>/AFP=NADP,

推出AD>AP①

又：BP+DP>BP②

和PF+FOPC③

又：DF=AF④

由①②③④可得：最大L<2；

由（1）和（2）即得：V3<L<2

\，

F

點評：綜合考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質和三角形三邊關系，分別找到最小和最大

L的求法是解題的關鍵.

18.已知：P是邊長為1的正方形ABCD內的一點，求PA+PB+PC的最小值.

考點：軸對稱-最短路線問題；正方形的性質。

分析：順時針旋轉△BPC60度，可得4PBE為等邊三角形，若PA+PB+PC=AP+PE+EF要使

最小只要AP,PE,EF在一條直線上，求出AF的值即可.

解答：解：順時針旋轉△BPC60度，可得4PBE為等邊三角形.

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP,PE,EF在一條直線上，

即如下圖：可得最小PA+PB+PC=AF.

既得AF=J（勺1）2邛（停1）

一遍+想

D

、4

-F

點評：本題主要考查軸對稱-路線最短問題的知識點，解答本題的關鍵是熟練掌握旋轉的知

識，此題難度一般.

19.P為正方形ABCD內的一點，并且PA=a,PB=2a,PC=3a,求正方形的邊長.

考點：正方形的性質；勾股定理；等腰直角三角形；旋轉的性質。

專題：綜合題。_

分析：把4ABP順時針旋轉90。得到△BEC,根據勾股定理得到PE=2&a,再根據勾股定

理逆定理證明APEC是直角三角形，從而得到NBEC=135。,過點C作CF_LBE于點F,ACEF

是等腰直角三角形，然后再根據勾股定理求出BC的長度，即可得到正方形的邊長.

解答：解：如圖所示，把4ABP順時針旋轉90。得到△BEC,

.,.△APB^ACEB,

BE=PB=2a,

,,PE=yBE2+PB-2后a，

在△PEC中，PC2=PE2+CE2=9a2,

.1△PEC是直角三角形，

，NPEC=90。，

；./BEC=45°+90°=135°,

過點C作CFLBE于點E

則ACEF是等腰直角三角形，

.\CF=EF=&：E=&,

22

在Rt^BFC中，BC=^BF2+CF^（2a+乎a）\（堂a）2H5+2收,

即正方形的邊長為倔麗a.

點評：本題考查了正方形的性質，旋轉變化的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理以及

逆定理的應用，作出輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵.

20.如圖，^ABC中，ZABC=ZACB=80°,D、E分別是AB、AC上的點，ZDCA=30°,

NEBA=20。，求/BED的度數.

考點：全等三角形的判定與性質；等邊三角形的判定與性質。

專題：幾何綜合題。

分析：作NBCF=60。，分別交AC、BE于點F、G,構造出等邊三角形4BCG,可以求出ZDCF

與/FCE的度數，并利用角邊角證明4ABE與4ACF全等，根據全等三角形為應邊相等得

到BE=CF,然后求出4FGE也是等邊三角形，再根據等邊三角形的角的度數證明EF〃BC,

推出ZAFE=80°，根據平角等于180。推出NDFG=40°，再根據角的度數可以得到BD=BC=BG,

然后推出/DGF=40。，根據等角對等邊的性質可得DG=DF,從而利用邊邊邊證明4DFE與

△DGE全等，根據全等三角形對應角相等可得/DEF=/BED,即可得解.

解答：解：作/BCF=60。，分別交AC、BE于點F、G,連接EF,DG,

VZABC=80°,NEBA=20°,

AZGBC=80°-20°=60°,

???△BGC為等邊三角形，

VZDCA=30°,ZACB=80°,

???ZDCF=ZBCF-(ZACB-ZDCA)=60°-(80°-30°)=10°,ZFCE=ZDCA-ZDCF=30°

-10°=20°,

AZEBA=ZFCE,

XVZABC=ZACB=80°,

AAB=AC,

在aABE與4ACF中，

rZEBA=ZFCE

<AB=AC，

,ZA=ZA

.,.△ABE^AACF(ASA),

，BE=CF,

VBG=CG(等邊三角形的三邊相等)

；.FG=GE,

...△FGE為等邊三角形，

ZEFG=ZCBG=60°,

EF〃BC,

ZAFE=ZABC=80°,

:.ZDFG=180°-80°-60°=40°@,

在4BCD中，ZBDC=180°-ZABC-ZBCD=180°-80°-(80°-30°)=50°,

.\BD=BC=BG,

在aBGD中，NBGD」(180°-20°)=80。，

2

ZDGF=1800-ZBGD-ZEGF=180°-80°-60°=40°②，

；./DFG=/DGF,

，DF=DG,

在4DFE與ADGE中，

'EF=EG

<DF=DG，

DE=DE

.'.△DFE^ADGE(SSS),

.,.ZFED=ZBED,

VZGEF=60°(等邊三角形的每一個角都等于60。)，

?./BED」/GEF=30。.

2

故答案為：30。.

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，巧妙運用題中的角

的度數的關系并作出輔助線是解題的關鍵，難度較大，對同學們的能力要求較高.

初中幾何常用方法

全等三角形輔助線

找全等三角形的方法：

(1)可以從結論出發，看要證明相等的兩條線段(或角)分別在哪兩個可

能全等的三角形中；

(2)可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；

(3)從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；

(4)若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。

三角形中常見輔助線的作法：

①延長中線構造全等三角形；

②利用翻折，構造全等三角形；

③引平行線構造全等三角形；

④作連線構造等腰三角形。

常見輔助線的作法有以下幾種：

1)遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思

維模式是全等變換中的“對折”.

2)遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等

三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”.

3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的

思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定

理或逆定理.

4）過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是

全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”

5）棧長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相

等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質

加以說明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.

特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂

點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答.

常見輔助線寫法：

⑴過點A作BC的平行線AF交DE于F

⑵過點A作BC的垂線，垂足為D

⑶延長AB至C,使BC=AC

⑷在AB上截取AC,使AC=DE

⑸作NABC的平分線，交AC于D

⑹取AB中點C,連接CD交EF于G點

率移交修4

例1

如圖，AB=CD=l,ZAOC=60°,證明：4C+BD21。

A

D

例2

（2007年北京中考）如圖，已知△ABC

⑴請你在8c邊上分別取兩點。、E（BC的中點除外），連接4。、AE,寫出使此圖中只存在兩對面積相

等的三角形的相應條件，并表示出面積相等的三角形；

⑵請你根據使⑴成立的相應條件，證明AB+AOAD+AE.

A

B

例3

已知線段。A、OB.OC、OD、OE、OF。

ZAOB=ZBOC=NCOD=ZDOE=NEOF=60。。且AD=BE=CF=2.

求證：+$△℃￡>+SAOEF<錯誤！未找到引用源。。

例4

如圖1,在四邊形ABCD中，連接對角線AC、BD,如果N1=N2,那么/3=/4。

仔細閱讀以上材料，完成下面的問題.

如圖2,設。為688內一點，NPAB=NPCB,求證：NPBA=NPDA。

圖1圖2

⑴集散思想：有些幾何題，條件與結論比較分散，通過添加適當的輔助

線，

將圖形中分散，遠離了的元素聚集到有關的圖形上，使它們相對集中,

便于比較，建立關系，從而找出問題的解決途徑。

⑵平移只能用來作為作輔助線的思路，具體做輔助線的時候不能直接說

將

AABC平移至△0EF。

1.在正方形ABCD中，E、F、G、H分別是A8、BC、CD、DA邊上的點，且EGJ_F”，求

證：EG=FH。

2.如圖所示，P為平行四邊形A8CD內一點，求證：以AP、BP、CP、DP為邊可以構成一個

四邊形，并且所構成的四邊形的對角線的長度恰好分別等于AB和BCo

BC

3.如圖，已知△A8C的面積為16,BC=8,現將△/18c沿直線BC向右平移。個單位到△口￡下

的位置。

⑴當a=4時，求△ABC所掃過的面積；

⑵連接AE、AD,設A8=5,當△ADE是以。E為一腰的等腰三角形時，求。的值。

4.如圖，AA'=BB'=CC'=1,ZAOB'=ZBOC'=ZCOA'=60°,求證:

SAOB'+SBOC+SCOA'<~T

4°

Br

A'C

籍二：

例1

如圖，E、尸分別是正方形ABC。的邊8C、C￡＞上的點，且/E4尸=45。，AHLEF,，為垂

足，求證：AH=AB.

例2

△A8C中，N4CB=90。，AC=8C,P是△ABC內的一點，且4P=3,CP=2,BP=1,求

N8PC的度數。

例3

已知在△ABC中，AB=AC,P為三角形內一點，且/APB>NAPC,求證：PB<PC。

有邊相等或者有角度拼起來為特殊角的時候可以用旋轉

⑴邊相等時常見圖形為正方形，等腰三角形和等邊三角形等等

⑵角度能拼成的特殊角指的是180°,90。等等

4M二：■折飛

例4

已知△ABC,Z1=Z2,AB=2AC,AD=BD。求證：DCLAC.

A

D

B

例5

△ABC為等腰直角三角形，ZABC=90°,AB=AE,ZBAE=300,求證:BE=CEo

例6

在aA8c中，E、F為8c邊上的點，已知/CAE=/BAF,CE=BF,求證：AC=ABo

出現軸對稱的時候可以考慮翻折，尤其注意有角平分線，有角相等或者出現

特殊角的一半的時候，翻折是常用添加輔助線的思想。

強調：

旋轉和翻折只能是一種作輔助線的思路，具體做輔助線的時候不能直接說將

△ABC旋轉或翻折至△OE凡

1.如圖，。是邊長為。的正方形ABCD的中心，將一塊半徑足夠長、圓心角為直角的扇形

紙板的圓心方在。點處，并將紙板繞。點旋轉，其半徑分別交AB、AD于點M、N,求

證：正方形ABCD的邊被紙板覆蓋部分的總長度為定值a。

2.（2008山東）在梯形4BCD中，AB//CD,/A=90。，AB=2,8C=3,CD=1,E是

AD中點，試判斷EC與EB的位置關系，并寫出推理過程。

3.如圖，P是等邊△ABC內一點，若AP=3,P8=4,PC=5,求N4P8的度數。

4.已知：在Rtz!\A8C中，N8AC=90。，A8=AC,點D、E分別為線段BC上兩動點，

/DAE=45°。

⑴猜想8。、DE,EC三條線段之間存在的數量關系式，并對你的猜想給予證明；

⑵當動點E在線段BC上，動點。運動在線段CB延長線上時，其它條件不變，⑴中探究

的結論是否發生改變？請說明你的猜想并給予證明。

D

B

5.如圖，已知等腰直角三角線ABC,BD平分/A8C,CE1BD,垂足為E,求證：BD=2CE.

A

DE

BC

6.如圖，折疊長方形的一邊AD,使點。落在BC邊的點F處，如果AB=8,BC=10,求EC

的長。

B

F(D)C

》中點的妙用《

一、倍長中線法

例1

（北京文匯中學2009-2010期中測試題），AO是△A8C中BC邊上的中線，若48=2,AC=4,則

AD的取值范圍是。

例2

已知在△△8c中，AD是BC邊上的中線，E是AD上一點，延長8E交AC于F,AF=EF,求

證：AC=BE.

BDC

例3

⑴如圖1,ZXABC與△BDE均為等腰直角三角形，BAA.AC,E。J_8。，點。在A8邊上。連接EC,取

EC中點F,連接AF,DF,猜測AF,DF的數量關系和位置關系，并加以證明。

A

E

F

D

BC

圖1

⑵如圖2,將△BOE旋轉至如圖位置，使E在AB延長線上，。在CB延長線上，其他條件不變，則

⑴中AF,OF的數量關系和位置關系是否發生變化，并加以證明。

E

圖2

例4

已知四邊形A8C。中，E,F,G,H分別為A8,BC,CD,DA的中點，求證EFGH為平行四邊

形。

例5

如圖，已知四邊形A8CD中，AB=CD,M、N分別為BC、AD中點，延長/WN與AB、CD延

長線交于E、F,求證NBEM=/CFM

BC

M

例6

己知△AB。和都是直角三角形，SLZABD=ZACE=90°,連接。E,設M為DE的中點。

⑴求證：MB=MCx

⑵設/BAD=/C4E,固定RtZXAB。，讓Rt/XACE移至圖示位置，此時MC是否成立？請證

明你的結論。

出現中點的時候一般有以下作輔助線的方法

⑴倍長中線法

⑵構造中位線

⑶如果是直角三角形，經常還會構造斜邊上的中線

如圖，已知△A8C和AADE都是等腰直角三角形，點M為EC中點，求證△BMD為等腰直角三角

形。

C

A

1.在AA8c中，46=12,AC=30,求BC邊上的中線A。的范圍。

2.在△ABC中，D為BC邊上的點，已知/BAD=/CA。，BD=CD,求證：AB=ACo

3.如圖，在△ABC中，AD±BC,M是BC中點，ZB=2ZC,如圖，求證：DM=

2

D

4.已知△ABC中，AC=7,BC=4,。為AB中點，E為邊AC上一點，J3.ZAED=90°+-ZC,

2

求CE的長。

5.在任意五邊形ABCDE中，M,N,P,Q分別為AB、CD、BC、DE的中點，K、L、分別為MN、

PQ的中點，求證：KL平行且等于

4A

>E

Q

C(D

N

6.如圖，已知△A8C中，AB=AC,CE是AB