第第頁第06講空間向量的應用【題型歸納目錄】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問題題型三：利用向量研究垂直問題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問題【知識點梳理】知識點一：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點A是直線l上的一個點，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，則點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使或，這就是空間直線的向量表達式.知識點詮釋：(1)在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．(2)在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應用，可以參與向量運算或向量的坐標運算．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應用時，可適當取平面的一個法向量．已知一平面內兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：(1)幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；(2)幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標系，然后用待定系數法求解，一般步驟如下：(i)設出平面的法向量為；(ii)找出(求出)平面內的兩個不共線的向量的坐標，；(iii)根據法向量的定義建立關于x、y、z的方程；(iv)解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關系空間中的平行關系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．(1)線線平行設直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．(2)線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內兩個不共線向量線性表示即可．(3)面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉化為相應的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關系空間中的垂直關系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．(1)線線垂直設直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．(2)線面垂直①設直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據線面垂直的判定定理轉化為直線與平面內的兩條相交直線垂直．(3)面面垂直①根據面面垂直的判定定理轉化為證相應的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角(1)求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．知識點詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當兩方向向量的夾角是鈍角時，應取其補角作為兩異面直線所成的角．(2)求直線和平面所成的角設直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．(3)求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當法向量與的方向分別指向二面角的內側與外側時，二面角的大小等于的夾角的大小．②當法向量的方向同時指向二面角的內側或外側時，二面角的大小等于的夾角的補角的大小．知識點五、用向量方法求空間距離1、求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發的平面的任一條斜線段對應的向量；③求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3、點線距設直線l的單位方向向量為，，，設，則點P到直線l的距離.【典例例題】題型一：求平面的法向量例2．在棱長為2的正方體中，E，F分別為棱的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：(1)平面的一個法向量；(2)平面的一個法向量.【解析】(1)由題意，可得,連接AC，因為底面為正方形，所以,又因為平面，平面，所以，且，則AC⊥平面，∴為平面的一個法向量.(答案不唯一).(2)設平面的一個法向量為，則令，得∴即為平面的一個法向量.(答案不唯一).題型二：利用向量研究平行問題例5．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點在棱上，點為中點.若，證明：直線平面.【解析】如圖所示，以點為坐標原點，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，則，若，則，，因為平面，平面，所以，又因為，，平面，所以平面平面的其中一個法向量為，所以，即，又因為平面，所以平面.題型三：利用向量研究垂直問題例8．如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.(1)求證：.(2)求證：平面.【解析】(1)因為四邊形為矩形，則，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立空間直角坐標系，由，，得，，，，，，.所以，，所以，所以，所以(2)由(1)知，，，.設是平面的法向量，則，，所以，得，取，得，，則.因為，所以，即與共線.所以平面.例11．如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)證明：AP⊥BC；(2)若點M是線段AP上一點，且AM＝3，試證明AM⊥平面BMC.【解析】(1)由題意知AD⊥BC，如圖，以O為坐標原點，以過O點且平行于BC的直線為x軸，OD，OP所在直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標系O－xyz.則，可得，∵∴，即AP⊥BC.(2)由(1)可得，∵M是AP上一點，且AM＝3，∴，可得，設平面BMC的法向量為，則，令b＝1，則，即，顯然，故∥，∴AM⊥平面BMC.題型四：異面直線所成的角例15．如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，則，，所以，，所以，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.例17．在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】過B作Bz//AS.以分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系.不妨設，則，，，.所以,.設直線與夾角為，則.故選：C.題型五：線面角例23．如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，M為PC中點．(1)求證：平面MBD；(2)若，求直線BM與平面AMD所成角的正弦值．【解析】(1)連接AC交BD于點O，連接OM，由四邊形ABCD為矩形，可知O為AC中點，M為PC中點，所以，又平面，平面，所以平面MBD.(2)以為原點，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，所以，設平面的法向量為，則，令，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．題型六：二面角例28．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，且直線PB與CD所成角的大小為．

(1)求BC的長；(2)求二面角的余弦值．【解析】(1)由于平面ABCD，，所以兩兩垂直，故分別以,,所在直線為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標系．，,0,，,0,，,1,，,0,．設,,，則,0,，,,．直線與所成角大小為，，即，解得或(舍，,2,，則的長為2；(2)設平面的一個法向量為,,．,0,，,1,，,，令，則，，,1,．平面的一個法向量為，，令，則，，,，由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．

例30．如圖，四邊形是正方形，平面，，，，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦.【解析】(1)證明：依題意，平面．如圖，以為原點，分別以、、的方向為軸、軸、軸的正方向，建立空間直角坐標系．依題意，可得，，，，，，．取的中點，連接．因為，，，所以，所以．又因為平面，平面，所以平面．(2)因為,所以，又因為平面，平面，所以，且,,所以平面，又因為平面，所以，且平面,所以平面,平面,所以，，，平面，所以平面，故為平面的一個法向量．設平面的法向量為，因為所以即，令，得，，故．所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.例34．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，，，點F為PB中點，點E在邊BC上移動．(1)求證：平面AFC；(2)若二面角的大小為60°，則CE為何值時，三棱錐的體積為．【解析】(1)連接，設，如下圖所示:四邊形ABCD是矩形，所以是的中點，F為PB中點，所以有，而平面，平面，由直線與平面平行的判定定理可知:平面AFC；(2)建立如上圖所示的空間直角坐標系，設，，設平面的法向量為，，則有，而PA⊥平面，所以是平面的法向量，所以有，，設，，三棱錐的體積為，解得，所以當時，三棱錐的體積為．題型七：距離問題例38．如圖，設在直三棱柱中，，，E，F依次為的中點．

(1)求異面直線、EF所成角的余弦值；(2)求點到平面AEF的距離．【解析】(1)在直三棱柱中，，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以異面直線所成角的余弦值為．(2)設平面AEF的一個法向量為，而，則，令，得，又，于是．所以點到平面AEF的距離為．例40．如圖，正方體的棱長為2，點為的中點．(1)求點到平面的距離為；(2)求到平面的距離．【解析】(1)以為原點，所在的直線分別為軸如圖建立空間直角坐標系，則，所以，

設平面的一個法向量為，則，令，所以平面所的法向量為，又所以點到平面的距離.(2)由(1)可得平面的法向量為，∵，∴，，，∴平面，

所以到平面的距離可以轉化為點到平面的距離，由，所以到平面的距離為.【過關測試】一、單選題1．已知直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則＝()A．﹣3 B．3 C．6 D．9【答案】B【解析】因為，所以，解得，所以.故選：B2.正方體的棱長為1，則平面與平面的距離為(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】由正方體的性質：∥,∥，，，且平面，平面，平面，平面，所以平面平面，則兩平面間的距離可轉化為點B到平面的距離．以為坐標原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：由正方體的棱長為1，所以，，，，，所以，，，．連接，由，，所以，且，可知平面，得平面的一個法向量為，則兩平面間的距離：．故選：D.3．已知平面α的一個法向量，點在α內，則到α的距離為(

)A．10B．3C．D．【答案】D【解析】由題意，得，又知平面的一個法向量，則到平面的距離，故選：D.4．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，=λ，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為，則異面直線A1F與BE所成角θ的余弦值為(

)

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，因為正方體的棱長為2，則A1(2，0，2)，D1(0，0，2)，E(0，2，1)，A(2，0，0).所以，又所以，整理得到，解得(舍去),所以，,所以，故cosθ=，故選：B.5．在棱長為2的正方體中，E，F分別為AD，BC的中點，為線段EF上的一動點，則直線與所成角的余弦值的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】構建如下圖示的空間直角坐標系，所以，，且，則，，所以，當，夾角余弦值最小為，當，夾角余弦值最大為，所以直線與所成角的余弦值的取值范圍是.故選：C二、填空題6．矩形ABCD中，，平面ABCD，且，則P到BC的距離為__________．【答案】【解析】方法一：如圖，因為平面,平面,所以,又因為是矩形，所以,因為,所以平面,因為平面，所以,所以為到的距離.在矩形中，因為，所以,在直角三角形中，由勾股定理得,所以到的距離為.故答案為：.方法二：建立如圖所示坐標系，在矩形中，，所以，所以,所以,所以為到的距離.,所以到的距離為.故答案為：7．如圖，已知平面，，，，，.若，，則與平面所成角的余弦值為__________.【答案】【解析】依題意，以為坐標原點，分別以，，為軸、軸、軸的正方向，如圖建立空間直角坐標系，由已知可得，，，，，，則，