山東省濰坊市昌邑市2023-2024學年八年級下學期期末數學試題一、單項選擇題（共6小題，每小題4分，共24分。每小題只有一個是正確的。）1．（4分）以下是某學校社團活動拓展課程的相關圖標，這些圖標中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列運算正確的是（）A． B． C． D．3．（4分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉80°得到△AB′C′．若∠BAC＝50°，則∠CAB′的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．80°4．（4分）如圖，一次函數y＝mx+n的圖象與x軸交于點P，則不等式﹣mx﹣n＜0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．﹣2＜x＜0 D．x＜﹣25．（4分）要在已知△ABC上用直尺和圓規截取出一個新的三角形，使之與原△ABC相似．以下是甲、乙兩人的作法：甲：如圖1，分別以點A，C為圓心，同樣長度為半徑畫弧，交AB，BC，AC于點F，D，E；以F點為圓心，以D，E間的距離為半徑畫弧，與先畫的弧交于點G；作射線AG，交BC邊與點H．則△HBA即為所求；乙：如圖2，分別以點A，B，C為圓心，大于的同樣長度為半徑畫弧，所畫弧分別交于點D、E，F，G；分別作直線DE和FG，直線DE和FG分別交AB，AC于點M，N；連接MN．則△AMN即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）A．甲、乙兩人的作法都正確 B．甲、乙兩人的作法都錯誤 C．甲的作法正確，乙的作法錯誤 D．甲的作法錯誤，乙的作法正確6．（4分）如圖，點E在邊長為6的正方形ABCD的邊BC上，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°到△ADF的位置，連接EF，過點A作EF的垂線，垂足為點H，與CD交于點G．若點G恰好是CD的中點，則BE的長為（）A．1 B． C．2 D．二、多項選擇題（共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分）（多選）7．（5分）如圖，數軸上的點A與點B所表示的數分別是a，b，則下列不等式成立的是（）A．3a＞﹣3b B．a﹣c＞b﹣c C． D．a+3＜b+3（多選）8．（5分）已知一次函數y＝kx﹣k經過點（﹣1，4），則下列結論錯誤的是（）A．函數值y隨x增大而增大 B．圖象經過第一、二、三象限 C．圖象與x軸交于點（1，0） D．當x＝a時，y＝2a+2（多選）9．（5分）如圖，△ABO的頂點坐標是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點O為位似中心，將△ABO的面積縮小為原來的，得到△A′B′O，則點A′的坐標為（）A．（﹣1，﹣3） B． C．（1，3） D．（多選）10．（5分）在同一平面直角坐標系中，函數y＝kx和y＝x+k的圖象可能是（）A． B． C． D．三、填空題（共4小題，共16分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）11．（4分）若代數式，則x的取值范圍是．12．（4分）在平面直角坐標系中，點A，點B的坐標分別是（3，0），（0，2）．以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x軸于點C，則C點的橫坐標為．13．（4分）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC，若AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD＝1，則DE與BC之間的距離是．14．（4分）在直角坐標系中，已知點A（0，2），B（1，0），C（2，3），在第一象限內找到一點D，使以點A，點B，點C，點D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標是．四、解答題（共8小題，共90分。解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．（12分）（1）計算：；（2）已知，，求a2﹣ab+b2．16．（7分）解不等式組，并在數軸上表示出解集．17．（11分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊中點，過D點作AB的垂線交BC于點E，在直線DE上截取DF，使DF＝ED，連接AE、AF、BF．（1）求證：四邊形AEBF是菱形；（2）若AC＝4，BF＝5，連接CD，求CD的長．18．（11分）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網格，圖中的點A、B、C、D均在格點上．（1）在圖①中，＝；（填兩數字之比）（2）利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在線段AB上找一點P，使＝；②如圖③，在線段BC上找一點P，使△APB∽△DPC．19．（12分）我校為落實國家“雙減”政策，豐富課后服務內容，為學生開設了無人機操作校本課程．現需購買A、B兩種型號的無人機．已知2臺A型無人機和3臺B型無人機共需3400元，4臺A型無人機和5臺B型無人機共需6200元．（1）求A型、B型兩種無人機的單價分別是多少元？（2）學校準備購買A型和B型無人機共100臺，購買B型無人機不超過A型無人機的2倍．商家給出購買A型無人機打九折優惠，購買B型無人機打八折優惠，問購買A型無人機多少臺時花費最少？最少花費是多少元？20．（10分）【問題背景】盡享春日好時光，張梅和家人去某自然景區游玩，在欣賞美景的同時張梅用所學過的知識來記錄他們的行程．【收集信息】張梅從景區發的宣傳冊中發現了他們所走的線路圖，如圖①．【建立模型】張梅通過乘坐的觀光車所走的路程，繪制了如圖②所示的函數圖象，觀光車從入口出發，經過景點甲，在景點甲停留一段時間，然后繼續行駛到達終點．折線AB﹣BC﹣CD表示觀光車到終點的路程y（km）與行駛時間x（h）之間的關系．【解決問題】（1）請求出線段CD表示的函數表達式；（2）請通過計算求觀光車在景點甲停留的時間．21．（13分）如圖，直線AD與x軸交于點A，與y軸交于點B，已知B（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）．（1）求直線AD的函數表達式；（2）若點C在直線AD上，且點C的縱坐標為﹣1，求S△BOC；（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最小？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．22．（14分）在△ABC中，AC＝BC．（1）特例證明：如圖1，點D，E分別在線段AC，BC上，DE∥AB，求證：AD＝BE；（2）探索發現：將圖1中的△CDE繞點C逆時針旋轉α（0°＜α＜180°）到圖2位置，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展運用：如圖3，點D在△ABC內部，當∠ACB＝90°時，若∠ADC＝135°，AD＝1，CD＝2，求線段BD的長．參考答案與試題解析一、單項選擇題（共6小題，每小題4分，共24分。每小題只有一個是正確的。）1．（4分）以下是某學校社團活動拓展課程的相關圖標，這些圖標中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B．原圖既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．原圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：B．2．（4分）下列運算正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、÷＝，故A符合題意；B、（﹣）2＝3﹣2+2＝5﹣2，故B不符合題意；C、2與不能合并，故C不符合題意；D、＝＝，故D不符合題意；故選：A．3．（4分）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉80°得到△AB′C′．若∠BAC＝50°，則∠CAB′的度數為（）A．30° B．40° C．50° D．80°【解答】解：∵△ABC繞點A逆時針旋轉80°得到△AB′C′，∴∠BAB′＝80°，∠BAC＝50°，∴∠CAB′＝∠BAB′﹣∠BAC＝30°．故選：A．4．（4分）如圖，一次函數y＝mx+n的圖象與x軸交于點P，則不等式﹣mx﹣n＜0的解集是（）A．x＜2 B．x＞2 C．﹣2＜x＜0 D．x＜﹣2【解答】解：將點P（﹣2，0）坐標代入y＝mx+n得，﹣2m+n＝0．令y＝﹣mx﹣n，則當x＝﹣2時，y＝2m﹣n＝﹣（﹣2m+n）＝0，所以函數y＝﹣mx﹣n的圖象經過點（﹣2，0）．如圖所示，當x＜﹣2時，一次函數y＝﹣mx﹣n的圖象在x軸下方，即﹣mx﹣n＜0，所以不等式﹣mx﹣n＜0的解集是：x＜﹣2．故選：D．5．（4分）要在已知△ABC上用直尺和圓規截取出一個新的三角形，使之與原△ABC相似．以下是甲、乙兩人的作法：甲：如圖1，分別以點A，C為圓心，同樣長度為半徑畫弧，交AB，BC，AC于點F，D，E；以F點為圓心，以D，E間的距離為半徑畫弧，與先畫的弧交于點G；作射線AG，交BC邊與點H．則△HBA即為所求；乙：如圖2，分別以點A，B，C為圓心，大于的同樣長度為半徑畫弧，所畫弧分別交于點D、E，F，G；分別作直線DE和FG，直線DE和FG分別交AB，AC于點M，N；連接MN．則△AMN即為所求．對于甲、乙兩人的作法，下列判斷正確的是（）A．甲、乙兩人的作法都正確 B．甲、乙兩人的作法都錯誤 C．甲的作法正確，乙的作法錯誤 D．甲的作法錯誤，乙的作法正確【解答】解：根據甲的作法可知，∠BAH＝∠BCA，∵∠ABH＝∠CBA，∴△HBA∽△ABC．故甲的作法正確．根據乙的作法可知，直線DE為線段AB的垂直平分線，直線FG為線段AC的垂直平分線，∴點M為AB的中點，點N為AC的中點，∴MN為△ABC的中位線，∴MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．故乙的作法正確．∴甲、乙兩人的作法都正確．故選：A．6．（4分）如圖，點E在邊長為6的正方形ABCD的邊BC上，將△ABE繞點A逆時針旋轉90°到△ADF的位置，連接EF，過點A作EF的垂線，垂足為點H，與CD交于點G．若點G恰好是CD的中點，則BE的長為（）A．1 B． C．2 D．【解答】解：如圖，連接GE，∵將△ABE繞點A逆時針旋轉90°到△ADF的位置，∴BE＝DF，AF＝AE，∵AG⊥EF，∴AG垂直平分EF，∴FG＝GE，∵點G是CD的中點，∴DG＝CG＝3，∴FG＝3+FD＝3+BE，∵GE2＝CG2+CE2，∴（3+BE）2＝9+（6﹣BE）2，∴BE＝2，故選：C．二、多項選擇題（共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分）（多選）7．（5分）如圖，數軸上的點A與點B所表示的數分別是a，b，則下列不等式成立的是（）A．3a＞﹣3b B．a﹣c＞b﹣c C． D．a+3＜b+3【解答】解：根據圖示，可得a＜b．∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，但是3a＞﹣3b不一定成立，∴選項A不符合題意；∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，∴選項B不符合題意；∵a＜b，∴＜，∴選項C符合題意；∵a＜b，∴a+3＜b+3，∴選項D符合題意．故選：CD．（多選）8．（5分）已知一次函數y＝kx﹣k經過點（﹣1，4），則下列結論錯誤的是（）A．函數值y隨x增大而增大 B．圖象經過第一、二、三象限 C．圖象與x軸交于點（1，0） D．當x＝a時，y＝2a+2【解答】解：∵一次函數y＝kx﹣k經過點（﹣1，4），∴4＝﹣k﹣k，解得k＝﹣2，∴一次函數為y＝﹣2x+2，∴函數值y隨x的增大而減小，故選項A錯誤，符合題意；函數圖象經過第一、二、四象限，故選項B錯誤，符合題意；圖象與x軸交于點（1，0），故選項C正確，不符合題意；當x＝a時，原式＝﹣2a+2，故選項D錯誤，符合題意；故選：ABD．（多選）9．（5分）如圖，△ABO的頂點坐標是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點O為位似中心，將△ABO的面積縮小為原來的，得到△A′B′O，則點A′的坐標為（）A．（﹣1，﹣3） B． C．（1，3） D．【解答】解：∵以點O為位似中心，將△ABO的面積縮小為原來的，得到△A′B′O，∴△ABO∽△A′B′O，且相似比為1：2，∵點A的坐標為（2，6），∴點A′的坐標為（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（1，3）或（﹣1，﹣3），故選：AC．（多選）10．（5分）在同一平面直角坐標系中，函數y＝kx和y＝x+k的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：∵一次函數為y＝x+k，∴y隨x的增大而增大，故選項A和C不合題意；B、由一次函數的圖象可得k＞0，正比例函數圖象可得k＞0，符合題意；D、由一次函數的圖象可得k＜0，正比例函數圖象可得k＜0，符合題意．故選：BD．三、填空題（共4小題，共16分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）11．（4分）若代數式，則x的取值范圍是1＜x＜2．【解答】解：∵，∴2﹣x＞0且x﹣1＞0，解得1＜x＜2，故答案為：1＜x＜2．12．（4分）在平面直角坐標系中，點A，點B的坐標分別是（3，0），（0，2）．以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，交x軸于點C，則C點的橫坐標為3﹣．【解答】解：由點A，點B的坐標分別是（3，0），（0，2）．以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，得AC＝AB＝＝，得OC＝﹣3，得C點的橫坐標為3﹣．故答案為：3﹣．13．（4分）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，且DE∥BC，若AB＝4，AC＝3，BC＝5，AD＝1，則DE與BC之間的距離是．【解答】解：過點A作AF⊥DE于F，AF的延長線交BC于點H，則AF＝1，如圖所示：∵DE∥BC，AF⊥DE，∴AH⊥BC，∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，∴AB2+AC2＝42+32＝25，BC2＝52＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC為直角三角形，即∠BAC＝90°，由三角形的面積公式得：S△ABC＝BC?AH＝AB?AC，∴AH＝＝＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AF＝，∵FH＝AH﹣AF＝．即DE與BC之間的距離為．故答案為：．14．（4分）在直角坐標系中，已知點A（0，2），B（1，0），C（2，3），在第一象限內找到一點D，使以點A，點B，點C，點D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點D的坐標是（1，5）．【解答】解：∵A（0，2），B（1，0），C（2，3），∴線段AB的中點坐標為O（，1），線段AC的中點坐標為O′（1，），線段BC的中點坐標為O″（，），以AB為平行四邊形的對角線時，CO＝DO，∴點D的坐標為（2×﹣2，2×1﹣3），即D（﹣1，﹣1），（不符合題意舍去）；以AC為平行四邊形的對角線時，BO′＝DO′，∴點D′的坐標為（2×1﹣1，2×﹣0）），即D′（1，5）；以B'C'為平行四邊形的對角線時，AO'＝O'D″，∴點D′的坐標為（2×﹣0，2×﹣2）），即D″（3，﹣1）不符合題意舍去）．綜上所述，點D的坐標為（1，5）故答案為：（1，5）．四、解答題（共8小題，共90分。解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．（12分）（1）計算：；（2）已知，，求a2﹣ab+b2．【解答】解：（1）原式＝4﹣3+（）2﹣（）2＝4﹣3+3﹣5＝2﹣3；（2）∵a＝+，b＝﹣，∴a+b＝2，ab＝13﹣5＝8，∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab＝（2）2﹣3×8＝28．16．（7分）解不等式組，并在數軸上表示出解集．【解答】解：由x﹣（3x﹣5）＞﹣1得：x＜3，由﹣1≤得：x≥﹣2，則不等式組的解集為﹣2≤x＜3，將解集表示在數軸上如下：17．（11分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點D為AB邊中點，過D點作AB的垂線交BC于點E，在直線DE上截取DF，使DF＝ED，連接AE、AF、BF．（1）求證：四邊形AEBF是菱形；（2）若AC＝4，BF＝5，連接CD，求CD的長．【解答】（1）證明：∵D是AB的中點，∴AD＝BD，∵DE＝DF，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∵EF⊥AB，∴四邊形AEBF是菱形；（2）解：如圖，由（1）得：四邊形AEBF是菱形，∴AE＝BF＝BE＝5，在Rt△ACE中，由勾股定理得：CE＝＝＝3，∴BC＝CE+BE＝3+5＝8，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝4，∵D是AB的中點，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝×4＝2．18．（11分）以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網格，圖中的點A、B、C、D均在格點上．（1）在圖①中，＝1：3；（填兩數字之比）（2）利用網格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在線段AB上找一點P，使＝；②如圖③，在線段BC上找一點P，使△APB∽△DPC．【解答】解：（1）如圖①中，∵AB∥CD，∴＝＝；故答案為：1：3．（2）①如圖②中，點P即為所求作．②如圖③中，點P即為所求作．19．（12分）我校為落實國家“雙減”政策，豐富課后服務內容，為學生開設了無人機操作校本課程．現需購買A、B兩種型號的無人機．已知2臺A型無人機和3臺B型無人機共需3400元，4臺A型無人機和5臺B型無人機共需6200元．（1）求A型、B型兩種無人機的單價分別是多少元？（2）學校準備購買A型和B型無人機共100臺，購買B型無人機不超過A型無人機的2倍．商家給出購買A型無人機打九折優惠，購買B型無人機打八折優惠，問購買A型無人機多少臺時花費最少？最少花費是多少元？【解答】解：（1）設A型無人機的單價是x元，B型無人機的單價是y元，根據題意得：，解得：．答：A型無人機的單價是800元，B型無人機的單價是600元；（2）設購買m臺A型無人機，則購買（100﹣m）臺B型無人機，根據題意得：100﹣m≤2m，解得：m≥．設學校購買100臺無人機共花費w元，則w＝800×0.9m+600×0.8（100﹣m），即w＝240m+48000，∵240＞0，∴w隨m的增大而增大，又∵m≥，且m為正整數，∴當m＝34時，w取得最小值，最小值為240×34+48000＝56160（元）．答：購買A型無人機34臺時花費最少，最少花費是56160元．20．（10分）【問題背景】盡享春日好時光，張梅和家人去某自然景區游玩，在欣賞美景的同時張梅用所學過的知識來記錄他們的行程．【收集信息】張梅從景區發的宣傳冊中發現了他們所走的線路圖，如圖①．【建立模型】張梅通過乘坐的觀光車所走的路程，繪制了如圖②所示的函數圖象，觀光車從入口出發，經過景點甲，在景點甲停留一段時間，然后繼續行駛到達終點．折線AB﹣BC﹣CD表示觀光車到終點的路程y（km）與行駛時間x（h）之間的關系．【解決問題】（1）請求出線段CD表示的函數表達式；（2）請通過計算求觀光車在景點甲停留的時間．【解答】解：（1）設線段CD表示的函數表達式為y＝kx+b，把（3，24），（4.5，0）分別代入，得：，解得：，∴線段CD表示的函數表達式為y＝﹣16x+72．（2）由圖可得，當y＝40時，﹣16x+72＝40，解得x＝2，∴2﹣1＝1（小時），∴觀光車在景點甲停留了1小時．21．（13分）如圖，直線AD與x軸交于點A，與y軸交于點B，已知B（0，﹣3），D（﹣1，﹣4）．（1）求直線AD的函數表達式；（2）若點C在直線AD上，且點C的縱坐標為﹣1，求S△BOC；（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存