微專題二項分布與超幾何分布模型識別問題二項分布與超幾何分布是概率中最重要的兩種數學模型，也是高考的熱點問題．解答此類問題時，必須要弄清題意，分清是哪種分布問題，這樣才能有目的地解答．類型一超幾何分布【例1】(2024·衡水模擬)溫室蔬菜種植技術是一種比較常見的技術，它使人們在任何時間都可以吃到新鮮的蔬菜，深受大眾喜愛．溫室蔬菜生長和蔬菜產品衛生質量與溫室內土壤、灌溉水、環境空氣等環境質量有關，溫室蔬菜產地環境質量等級劃定如表所示．環境質量等級土壤各單項或綜合質量指數灌溉水各單項或綜合質量指數環境空氣各單項或綜合質量指數等級名稱1≤0.7≤0.5≤0.6清潔20.7～1.00.5～1.00.6～1.0尚清潔3＞1.0＞1.0＞1.0超標各環境要素的綜合質量指數超標，灌溉水、環境空氣可認為污染，土壤則應做進一步調研，若確對其所影響的植物(生長發育、可食部分超標或用作飲料部分超標)或周圍環境(地下水、地表水、大氣等)有危害，方能確定為污染．某鄉政府計劃對所管轄的甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛，共8個村發展溫室蔬菜種植，對各村試驗溫室蔬菜環境產地質量監測得到的相關數據如下：(1)若從這8個村中隨機抽取2個村進行調查，求抽取的2個村應對土壤做進一步調研的概率；(2)現有一技術人員在這8個村中隨機選取3個村進行技術指導，記ξ為技術員選中村的環境空氣等級為尚清潔的個數，求ξ的分布列和數學期望．解：(1)由題圖可知，應對土壤做進一步調研的村共4個．從8個村中隨機抽取2個村進行調查，樣本點有C82＝28(個其中抽取的2個村應對土壤做進一步調研的樣本點有C42＝6(個所以所求概率p＝628＝3(2)由題圖可知，環境空氣等級為尚清潔的村共有5個，則ξ所有可能的取值為0，1，2，3，因為P(ξ＝0)＝C33C83＝156，P(ξ＝1)＝C51C32C83＝1556，P(ξ＝2)＝C52所以ξ的分布列為ξ0123P115155E(ξ)＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×5超幾何分布的識別、求解策略(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數．(2)超幾何分布的特征：①考察對象分兩類．②已知各類對象的個數．③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數X的概率分布．(3)超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型，計算分布列和期望時直接套用公式即可．類型二二項分布【例2】(2024·濟南模擬)為了解學生掌握積化和差公式的情況，在高一、高三兩個年級中隨機抽取了100名學生進行考查，其中高三年級的學生占35單位：人年級成績合計合格不合格高一16高三54合計100請完成2×2列聯表，以頻率估計概率，從該校高一年級學生中隨機抽取3名學生，記合格的人數為X，求X的分布列和數學期望．解：由100名學生中高三年級的學生占35，可知高三年級的學生有100×35＝60(人)，高一年級的學生有單位：人年級成績合計合格不合格高一241640高三54660合計7822100高一年級的學生對公式的掌握情況合格的頻率為2440＝3依題意，得X～B3，3則P(X＝0)＝1?353＝P(X＝1)＝C31×35×1?3P(X＝2)＝C32×352×1?P(X＝3)＝353＝27所以X的分布列為X0123P8365427E(X)＝np＝3×35＝9判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點(1)在每一次試驗中，事件發生的概率相同．(2)各次試驗中的事件是相互獨立的．(3)在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發生與不發生．提醒：在實際應用中，往往出現數量“較大”“很大”“非常大”等字眼，這表明試驗可視為n重伯努利試驗，進而判定是否服從二項分布．類型三二項分布與超幾何分布的綜合問題【例3】寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些，服從超幾何分布的是哪些．(1)X1表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數；(2)有一批產品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回地抽取方法抽取n件(n＞N)，抽出的次品件數為X2；(3)有一批產品共有N件，其中M件為次品，采用不放回地抽取方法抽取n件，出現次品的件數為X3(N－M≥n＞0，且M≥n)．解：(1)X1的分布列為X1012…npCn013Cn1130Cn22…Cn13X1服從二項分布，即X1～Bn，(2)X2的分布列為X2012…nP1?MCn1?Cn21?MN…MNX2服從二項分布，即X2～Bn，(3)X3的分布列為X301…nPCC…CX3服從超幾何分布．超幾何分布和二項分布的區別與聯系區別超幾何分布二項分布需要知道總體的容量不需要知道總體的容量描述的是不放回抽樣問題，總體在變化描述的是有放回抽樣問題