2022-2023學年九上數學期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題（每題4分，共48分）1．在數軸上，點A所表示的實數為3，點B所表示的實數為a，⊙A的半徑為2，下列說法中不正確的是（）A．當1<a<5時，點B在⊙A內B．當a<5時，點B在⊙A內C．當a<1時，點B在⊙A外D．當a>5時，點B在⊙A外2．已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，則該三角形的周長可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．103．如圖，在正方形網格中，已知的三個頂點均在格點上，則()A．2 B． C． D．4．函數的頂點坐標是（）A． B． C． D．5．如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④，其中單獨能夠判定的個數為（）A． B． C． D．6．二次函數y=x2+4x+3的圖象可以由二次函數y=x2的圖象平移而得到，下列平移正確的是（）A．先向左平移2個單位，再先向上平移1個單位B．先向左平移2個單位，再先向下平移1個單位C．先向右平移2個單位，再先向上平移1個單位D．先向右平移2個單位，再先向下平移1個單位7．拋物線y＝x2﹣4x+1與y軸交點的坐標是（）A．（0，1） B．（1，O） C．（0，﹣3） D．（0，2）8．已知二次函數的圖象如圖所示，則下列結論：①；②；③當時，：④方程有兩個大于-1的實數根.其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④9．西周時期，丞相周公旦設置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表。如圖是一個根據北京的地理位置設計的圭表，其中，立柱的高為。已知，冬至時北京的正午日光入射角約為，則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即的長）作為（）A． B． C． D．10．觀察下列圖形，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．11．如圖1，S是矩形ABCD的AD邊上一點，點E以每秒kcm的速度沿折線BS－SD－DC勻速運動，同時點F從點C出發點，以每秒1cm的速度沿邊CB勻速運動．已知點F運動到點B時，點E也恰好運動到點C，此時動點E，F同時停止運動．設點E，F出發t秒時，△EBF的面積為．已知y與t的函數圖像如圖2所示．其中曲線OM，NP為兩段拋物線，MN為線段．則下列說法：①點E運動到點S時，用了2.5秒，運動到點D時共用了4秒；②矩形ABCD的兩鄰邊長為BC＝6cm，CD＝4cm；③sin∠ABS＝；④點E的運動速度為每秒2cm．其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④12．計算的值是()A． B． C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：3，則△ABC與△A′B′C′的面積之比為_____．14．若二次函數的圖象與x軸的兩個交點和頂點構成等邊三角形，則稱這樣的二次函數的圖象為標準拋物線．如圖，自左至右的一組二次函數的圖象T1，T2，T3……是標準拋物線，且頂點都在直線y=x上，T1與x軸交于點A1(2，0)，A2(A2在A1右側)，T2與x軸交于點A2，A3，T3與x軸交于點A3，A4，……，則拋物線Tn的函數表達式為_____．15．若關于的一元二次方程的一個根是，則的值是_________．16．如果方程x2-4x+3=0的兩個根分別是Rt△ABC的兩條邊，△ABC最小的角為A，那么tanA的值為＿＿＿＿＿＿＿．17．兩個相似多邊形的一組對應邊分別為2cm和3cm，那么對應的這兩個多邊形的面積比是__________18．在一個不透明的袋中裝有黑色和紅色兩種顏色的球共個，每個球觸顏色外都相同，每次搖勻后隨即摸出一個球，記下顏色后再放回袋中，通過大量重復摸球實驗后，發現摸到黑球的頻率穩定于，則可估計這個袋中紅球的個數約為__________．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖1，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，CD平分∠ACB交⊙O于點D，交AB于點E．（1）求證：△ABD為等腰直角三角形；（2）如圖2，ED繞點D順時針旋轉90°，得到DE′，連接BE′，證明：BE′為⊙O的切線；（3）如圖3，點F為弧BD的中點，連接AF，交BD于點G，若DF＝1，求AG的長．20．（8分）如圖，∠1=∠3，∠B=∠D，AB=DE=5，BC=1．（1）請證明△ABC∽△ADE．（2）求AD的長．21．（8分）為測量觀光塔高度，如圖，一人先在附近一樓房的底端A點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，然后爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°．已知樓房高AB約是45m，請根據以上觀測數據求觀光塔的高．22．（10分）定義：如果三角形的兩個內角與滿足，那么稱這樣的三角形為“類直角三角形”．嘗試運用（1）如圖1，在中，，，，是的平分線．①證明是“類直角三角形”；②試問在邊上是否存在點（異于點），使得也是“類直角三角形”？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．類比拓展（2）如圖2，內接于，直徑，弦，點是弧上一動點（包括端點，），延長至點，連結，且，當是“類直角三角形”時，求的長．23．（10分）隨著人民生活水平的不斷提高，某市家庭轎車的擁有量逐年增加，據統計，該市2017年底擁有家庭轎車64萬輛，2019年底家庭轎車的擁有量達到100萬輛．（1）求2017年底至2019年底該市汽車擁有量的年平均增長率；（2）該市交通部門為控制汽車擁有量的增長速度，要求到2020年底全市汽車擁有量不超過118萬輛，預計2020年報廢的汽車數量是2019年底汽車擁有量的8%，求2019年底至2020年底該市汽車擁有量的年增長率要控制在什么范圍才能達到要求．24．（10分）圖1和圖2中的正方形ABCD和四邊形AEFG都是正方形．（1）如圖1，連接DE，BG，M為線段BG的中點，連接AM，探究AM與DE的數量關系和位置關系，并證明你的結論；（2）在圖1的基礎上，將正方形AEFG繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連結DE、BG，M為線段BG的中點，連結AM，探究AM與DE的數量關系和位置關系，并證明你的結論．25．（12分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D為邊CB上的一個動點（點D不與點B重合），過D作DO⊥AB，垂足為O，點B′在邊AB上，且與點B關于直線DO對稱，連接DB′，AD．（1）求證：△DOB∽△ACB；（2）若AD平分∠CAB，求線段BD的長；（3）當△AB′D為等腰三角形時，求線段BD的長．26．如圖，在每個小正方形的邊長均為的方格紙中，有線段和線段，點、、、均在小正方形的頂點上.（1）在方格紙中畫出以為一邊的銳角等腰三角形，點在小正方形的頂點上，且的面積為；（2）在方格紙中畫出以為一邊的直角三角形，點在小正方形的頂點上，且的面積為5；（3）連接，請直接寫出線段的長.

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解析】試題解析：由于圓心A在數軸上的坐標為3，圓的半徑為2，∴當d=r時，⊙A與數軸交于兩點：1、5，故當a=1、5時點B在⊙A上；當d＜r即當1＜a＜5時，點B在⊙A內；當d＞r即當a＜1或a＞5時，點B在⊙A外．由以上結論可知選項A、C、D正確，選項B錯誤．故選B．點睛：若用d、r分別表示點到圓心的距離和圓的半徑，則當d＞r時，點在圓外；當d=r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內．2、B【解析】先通過解方程求出等腰三角形兩邊的長，然后利用三角形三邊關系確定等腰三角形的腰和底的長，進而求出三角形的周長．本題解析：x2-4x+3=0(x?3)(x?1)=0，x?3=0或x?1=0，所以x?=3,x?=1，當三角形的腰為3，底為1時，三角形的周長為3+3+1=7，當三角形的腰為1，底為3時不符合三角形三邊的關系，舍去，所以三角形的周長為7.故答案為7.考點：解一元二次方程-因式分解法,三角形三邊關系,等腰三角形的性質3、B【分析】過C點作CD⊥AB，交AB的延長線于D點，則CD=1,AC=,在直角三角形ACD中即可求得的值.【詳解】過C點作CD⊥AB，交AB的延長線于D點，則CD=1，AC=在直角三角形ACD中故選：B【點睛】本題考查的是網格中的銳角三角函數，關鍵是創造直角三角形，盡可能的把直角三角形的頂點放在格點.4、B【分析】根據題目中的函數解析式，可以直接寫出該函數的頂點坐標，本題得以解決．【詳解】解：∵函數，∴該函數的頂點坐標是，故選：B．【點睛】本題主要考查二次函數的圖像，關鍵是根據二次函數的頂點式直接得到頂點坐標即可．5、B【解析】由已知△ABC與△ABD中∠A為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對應邊成比例即可解答.【詳解】解：：①∵，∠A為公共角，∴；②∵，∠A為公共角，∴；③雖然，但∠A不是已知的比例線段的夾角，所以兩個三角形不相似；④∵，∴，又∵∠A為公共角，∴．綜上，單獨能夠判定的個數有3個，故選B.【點睛】本題考查了相似三角形的判定，屬于基礎題目，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵.6、B【解析】試題分析：因為函數y=x2的圖象沿y軸向下平移1個單位長度，所以根據左加右減，上加下減的規律，直接在函數上加1可得新函數y=x2﹣1；然后再沿x軸向左平移2個單位長度，可得新函數y=（x+2）2﹣1．解：∵函數y=x2的圖象沿沿x軸向左平移2個單位長度，得，y=（x+2）2；然后y軸向下平移1個單位長度，得，y=（x+2）2﹣1；故可以得到函數y=（x+2）2﹣1的圖象．故選B．考點：二次函數圖象與幾何變換．7、A【分析】拋物線與y軸相交時，橫坐標為0，將橫坐標代入拋物線解析式可求交點縱坐標．【詳解】解：當x=0時，y=x2-4x+1=1，

∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，1），

故選A．【點睛】本題考查了拋物線與坐標軸交點坐標的求法．令x=0，可到拋物線與y軸交點的縱坐標，令y=0，可得到拋物線與x軸交點的橫坐標．8、B【分析】①由二次函數的圖象開口方向知道a＜0，與y軸交點知道c＞0，由此即可確定ac的符號；②由于二次函數圖象與x軸有兩個交點即有兩個不相等的實數根，由此即可判定的符號；③根據圖象知道當x＜0時，y不一定小于0，由此即可判定此結論是否正確；④根據圖象與x軸交點的情況即可判定是否正確．【詳解】解：∵圖象開口向下，∴a＜0，∵圖象與y軸交于正半軸，則c＞0，∴ac＜0，故選項①正確；∵二次函數圖象與x軸有兩個交點即有兩個不相等的實數根，即，故選項②正確；③當x＜0時，有部分圖象在y的上半軸即函數值y不一定小于0，故選項③錯誤；④利用圖象與x軸交點都大于-1，故方程有兩個大于-1的實數根，故選項④正確；故選：B．【點睛】本題主要考查了圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數與方程之間的轉換，會利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：當時，，然后根據圖象判斷其值．9、D【解析】在Rt△ABC中利用正切函數即可得出答案．【詳解】解：在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴立柱根部與圭表的冬至線的距離（即BC的長）為=．故選：D．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用銳角三角函數解答．10、C【分析】根據中心對稱圖形的概念判斷即可．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；B、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D、不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了中心對稱圖形的識別，熟練掌握概念是解題的關鍵．11、C【分析】①根據函數圖像的拐點是運動規律的變化點由圖象即可判斷．②設，，由函數圖像利用△EBF面積列出方程組即可解決問題．③由，，得，設，，在中，由列出方程求出，即可判斷．④求出即可解決問題．【詳解】解：函數圖像的拐點時點運動的變化點根據由圖象可知點運動到點時用了2.5秒，運動到點時共用了4秒．故①正確．設，，由題意，解得，所以，，故②正確，，，，設，，在中，，，解得或（舍，，，，故③錯誤，，，，故④正確，故選：C．【點睛】本題考查二次函數綜合題、銳角三角函數、勾股定理、三角形面積、函數圖象問題等知識，讀懂圖象信息是解決問題的關鍵，學會設未知數列方程組解決問題，把問題轉化為方程去思考，是數形結合的好題目，屬于中考選擇題中的壓軸題．12、A【解析】先算cos60°=，再計算即可.【詳解】∵∴故答案選A.【點睛】本題考查特殊角的三角函數值，能夠準確記憶60°角的余弦值是解題的關鍵.二、填空題（每題4分，共24分）13、1：1．【解析】試題分析：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比為1：3，∴△ABC與△A′B′C′的面積之比為1：1．考點：相似三角形的性質．14、【分析】設拋物線T1，T2，T3…的頂點依次為B1，B2，B3…，連接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，過拋物線各頂點作x軸的垂線，由△A1B1A2是等邊三角形，結合頂點都在直線y=x上，可以求出，A2(4，0)，進而得到T1的表達式：，同理，依次類推即可得到結果．【詳解】解：設拋物線T1，T2，T3…的頂點依次為B1，B2，B3…，連接A1B1，A2B1，A2B2，A3B2，A3B3，A4B3…，過拋物線各頂點作x軸的垂線，如圖所示：∵△A1B1A2是等邊三角形，∴∠B1A1A2=60°，∵頂點都在直線y=x上，設，∴OC1=m，，∴，∴∠B1OC1=30°，∴∠OB1A1=30°，∴OA1=A1B1=2=A2B1，∴A1C1=A1B1?cos60°=1，，∴OC1=OA1+A1C1=3，∴，A2(4，0)，設T1的解析式為：，則，∴，∴T1：，同理，T2的解析式為：，T3的解析式為：，…則Tn的解析式為：，故答案為：．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，直角三角形中銳角三角函數值的應用，直線表達式的應用，圖形規律中類比歸納思想的應用，頂點式設二次函數解析式并求解，掌握二次函數解析式的求解是解題的關鍵．15、1【分析】先利用一元二次方程根的定義得到a－b＝﹣4，再把2019﹣a＋b變形為2019﹣（a－b），然后利用整體代入的方法計算．【詳解】把代入一元二次方程，得：，即：，∴，故答案為：1．【點睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．16、或【解析】解方程x2-4x+3=0得，x1=1，x2=3，①當3是直角邊時，∵△ABC最小的角為A，∴tanA=；②當3是斜邊時，根據勾股定理，∠A的鄰邊=，∴tanA=；所以tanA的值為或．17、4：9【分析】根據相似三角形面積的比等于相似比的平方列式計算即可．【詳解】解：因為兩個三角形相似，

∴較小三角形與較大三角形的面積比為（）2=，故答案為：.【點睛】此題考查相似三角形的性質，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．18、【分析】根據頻率的定義先求出黑球的個數，即可知紅球個數.【詳解】解：黑球個數為：，紅球個數：.故答案為6【點睛】本題考查了頻數和頻率，頻率是頻數與總數之比，掌握頻數頻率的定義是解題的關鍵.三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（1）見解析；（3）1．【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，即可得∠ADB=90°，又由CD平分∠ACB，根據圓周角定理，可得AD=BD，繼而可得△ABD是等腰直角三角形；

（1）證明△ADE≌△BDE'，可得∠DAE=∠DBE'，則∠OBE'=∠ABD+∠DBE'=90°，結論得證；

（3）取AG的中點H，連結DH，則DH=AH=GH，求出DH=DF=1，則答案可求出．【詳解】（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB，∴，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰直角三角形．（1）由旋轉的性質得，∠EDE'＝90°，DE＝DE'，∵∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠BDE'，∵AD＝BD，∴△ADE≌△BDE'（SAS），∴∠DAE＝∠DBE'，∵∠EAD＝∠DCB＝45°，∠ABD＝∠DCA＝45°，∴∠OBE'＝∠ABD+∠DBE'＝90°，∴BE′為⊙O的切線；（3）解：∵點F為的中點，∴∠FAD＝∠DAB＝11．5°，取AG的中點H，連結DH，∵∠ADB＝90°，∴DH＝AH＝GH，∴∠ADH＝∠FAD＝11．5°，∴∠DHF＝∠ADH+∠FAD＝45°，∵∠AFD＝∠ACD＝45°，∴∠DHF＝∠AFD，∴DH＝DF＝1，∴AG＝1DH＝1．【點睛】此題考查了和圓有關的綜合性題目，考查了等腰直角三角形的判定與性質、旋轉的性質、切線的判定、全等三角形的判定與性質以及直角三角形的性質，熟練掌握切線的判定方法是解題的關鍵．20、（1）見解析；（2）【分析】（1）由∠1=∠3，依據等式的基本性質，得，結合∠B=∠D，依據兩組角分別相等的三角形相似可證；（2）依據相似的性質可求.【詳解】解：∵∠1=∠3，∴∠1+∠2=∠3+∠2，即,又∵∠B=∠D，∴△ABC∽△ADE．（2）∵△ABC∽△ADE，∴,又∵AB=DE=5，BC=1，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相似的判定定理和性質定理，并熟悉基本圖形.21、135【分析】根據“爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°”可以求出AD的長，然后根據“在附近一樓房的底端A點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°”求出CD的長即可.【詳解】∵爬到該樓房頂端B點處觀測觀光塔底部D處的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt△ABD中，AD=，∴AD=45m，∵在一樓房的底端A點處觀測觀光塔頂端C處的仰角是60°，∴在Rt△ACD中，CD=AD?tan60°=45×=135m.故觀光塔高度為135m．【點睛】本題主要考查了三角函數的應用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.22、（1）①證明見解析，②存在，；（2）或．【分析】（1）①證明∠A+2∠ABD=90°即可解決問題．

②如圖1中，假設在AC邊設上存在點E（異于點D），使得△ABE是“類直角三角形”．證明△ABC∽△BEC，可得，由此構建方程即可解決問題．

（2）分兩種情形：①如圖2中，當∠ABC+2∠C=90°時，作點D關于直線AB的對稱點F，連接FA，FB．則點F在⊙O上，且∠DBF=∠DOA．

②如圖3中，由①可知，點C，A，F共線，當點E與D共線時，由對稱性可知，BA平分∠FBC，可證∠C+2∠ABC=90°，利用相似三角形的性質構建方程即可解決問題．【詳解】（1）①證明：如圖1中，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴為“類直角三角形”．②如圖1中，假設在邊設上存在點（異于點），使得是“類直角三角形”．在中，∵，，∴，∵，∴，∵∴，∴，∴，∴，（2）∵是直徑，∴，∵，，∴，①如圖2中，當時，作點關于直線的對稱點，連接，．則點在上，且，∵，且，∴，∴，，共線，∵∴，∴，∴，即∴．②如圖3中，由①可知，點，，共線，當點與共線時，由對稱性可知，平分，∴，∵，，∴，∴，即，∴，且中解得綜上所述，當是“類直角三角形”時，的長為或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，“類直角三角形”的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．23、（1）2017年底至2019年底該市汽車擁有量的年平均增長率為25%；（2）2019年底至2020年底該市汽車擁有量的年增長率要小于等于26%才能達到要求．【分析】（1）設2017年底至2019年底該市汽車擁有量的年平均增長率為x，根據2017年底及2019年底該市汽車擁有量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）設2019年底至2020年底該市汽車擁有量的年增長率為y，根據2020年底全市汽車擁有量不超過118萬輛，即可得出關于y的一元一次不等式，解之即可得出結論．【詳解】解：（1）設2017年底至2019年底該市汽車擁有量的年平均增長率為x，依題意，得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合題意，舍去）．答：2017年底至2019年底該市汽車擁有量的年平均增長率為25%．（2）設2019年底至2020年底該市汽車擁有量的年增長率為y，依題意，得：100（1+y）﹣100×8%≤118，解得：y≤0.26＝26%．答：2019年底至2020年底該市汽車擁有量的年增長率要小于等于26%才能達到要求．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．24、（1）AM=DE，AM⊥DE，理由詳見解析；（2）AM=DE，AM⊥DE，理由詳見解析.【解析】試題分析：（1）AM=DE，AM⊥DE，理由是：先證明△DAE≌△BAG，得DE=BG，∠AED=∠AGB，再根據直角三角形斜邊的中線的性質得AM=BG，AM=BM，則AM=DE，由角的關系得∠MAB+∠AED=90°，所以∠AOE=90°，即AM⊥DE；（2）AM=DE，AM⊥DE，理由是：作輔助線構建全等三角形，證明△MNG≌△MAB和△AGN≌△EAD可以得出結論．試題解析：（1）AM=DE，AM⊥DE，理由是：如圖1，設AM交DE于點O，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴AG=AE，AD=AB，∵∠DAE=∠BAG，∴△DAE≌△BAG，∴DE=BG，∠AED=∠AGB，在Rt△ABG中，∵M為線段BG的中點，∴AM=BG，AM=BM，∴AM=DE，∵AM=BM，∴∠MBA=∠MAB，∵∠AGB+∠MBA=90°，∴∠MAB+∠AED=90°，∴∠AOE=90°，即AM⊥DE；（2）AM=DE，AM⊥DE，理由是：如圖2，延長AM到N，使MN=AM，連接NG，∵MN=AM，MG=BM，∠NMG=∠BMA，∴△MNG≌△MAB，∴NG=AB，∠N=∠BAN，由（1）得：AB=AD，∴NG=AD，∵∠BAN+∠DAN=90°，∴∠N+∠DAN=90°，∴NG⊥AD，∴∠AGN+∠DAG=90°，∵∠DAG+∠DAE=∠