第八章成對數據的統計分析8.1成對數據的統計相關性8.1.1變量的相關關系1.結合實例，體會兩個變量間的相關關系.2.掌握相關關系的判斷，能根據散點圖對線性相關關系進行判斷.課標要求素養要求通過對兩個變量相關關系的學習，提升直觀想象及數據分析素養.課前預習課堂互動分層訓練內容索引課前預習知識探究11.相關關系兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去________決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.精確地2.正相關、負相關從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現______的趨勢，我們就稱這兩個變量正相關；如果一個變量值增加時，另一個變量的相應值呈現______的趨勢，則稱這兩個變量負相關.增加減少3.線性相關一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在__________附近，我們就稱這兩個變量線性相關.一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線相關.一條直線點睛1.相關關系與函數關系的區別和聯系相同點：兩者均是指兩個變量的關系；不同點：(1)函數關系是一種確定的關系，相關關系是一種非確定的關系.事實上，函數關系是兩個非隨機變量的關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系.(2)函數關系是一種因果關系，而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系.2.判斷變量之間有無相關關系，一種簡便可行的方法就是繪制散點圖.根據散點圖，可以很容易看出兩個變量是否具有相關關系，是不是線性相關.

1.思考辨析，判斷正誤 (1)統計活動中，分析數據時通常用統計圖表計算數據的數據特征.(

) (2)在一定范圍內，農作物的產量與施肥量之間的關系是相關關系.(

) (3)對于給定的兩個變量的統計數據，都可以作出散點圖.(

) (4)相關關系是兩個變量之間的一種確定的關系.(

)

提示

函數關系是一種確定關系，而相關關系是一種非確定的關系.√√√×2.(多選題)下列說法正確的是(

)A.任何兩個變量都具有相關關系B.圓的周長與該圓的半徑具有相關關系C.某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關系D.根據散點圖可判斷兩變量是否具有線性相關關系解析A顯然不對，B是函數關系，C，D正確.CD2.(多選題)下列說法正確的是(

)A.任何兩個變量都具有相關關系B.圓的周長與該圓的半徑具有相關關系C.某商品的需求量與該商品的價格是一種非確定性關系D.根據散點圖可判斷兩變量是否具有線性相關關系解析A顯然不對，B是函數關系，C，D正確.CD3.對變量x，y有觀測數據(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖圖1；對變量u，v有觀測數據(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散點圖圖2.由這兩個散點圖可以判斷(

)CA.變量x與y正相關，u與v正相關

B.變量x與y正相關，u與v負相關C.變量x與y負相關，u與v正相關

D.變量x與y負相關，u與v負相關解析由這兩個散點圖可以判斷，變量x與y負相關，u與v正相關.4.下列關系中，屬于相關關系的是________(填序號).(1)扇形的半徑與面積之間的關系；(2)學習成績與學習時間之間的關系；(3)出租車費與行駛的里程；(4)降雪量與交通事故的發生率之間的關系.(2)(4)解析

在(1)中扇形的半徑與面積之間的關系是函數關系；在(2)中學習成績與學習時間之間不具有嚴格的函數關系，但具有相關關系；(3)為確定的函數關系；在(4)中，降雪量與交通事故的發生率之間具有相關關系.課堂互動題型剖析2題型一相關關系的理解【例1】判斷以下兩個變量之間是否具有相關關系？ (1)正方形的面積與其周長之間的關系； (2)父母的身高與子女的身高之間的關系；(2)子女身高除了與父母的身高有一定關系外，還與其他因素有關，即子女的身高并不是由其父母的身高唯一確定的，因此二者之間具有相關關系；(3)學生的學號與身高；(4)汽車勻速行駛時的路程與時間的關系.解

(3)學生的學號與身高之間沒有任何關系，不具有相關關系；(4)若汽車勻速行駛時的速度為v，行駛的路程為s，時間為t，則有s＝vt，因此當速度一定時，路程由時間唯一確定，二者之間具有函數關系，而不是相關關系.(3)學生的學號與身高；(4)汽車勻速行駛時的路程與時間的關系.解

(3)學生的學號與身高之間沒有任何關系，不具有相關關系；(4)若汽車勻速行駛時的速度為v，行駛的路程為s，時間為t，則有s＝vt，因此當速度一定時，路程由時間唯一確定，二者之間具有函數關系，而不是相關關系.函數關系是一種確定的關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系.函數關系是一種因果關系，

而相關關系不一定是因果關系，也可能是伴隨關系.思維升華【訓練1】

(多選題)下列說法正確的是(

) A.闖紅燈與交通事故發生率的關系是相關關系 B.同一物體的加速度與作用力是函數關系 C.產品的成本與產量之間的關系是函數關系 D.廣告費用與銷售量之間的關系是相關關系

解析闖紅燈與發生交通事故之間不是因果關系，但具有相關性，是相關關系，所以A正確；物體的加速度與作用力的關系是函數關系，B正確；產品的成本與產量之間是相關關系，C錯誤；廣告費用與銷售量之間是相關關系，D正確.ABD【例2】某種木材體積與樹木的樹齡之間有如下的對應關系：題型二散點圖與相關性樹齡2345678體積30344060556270(1)請作出這些數據的散點圖；解以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的體積，可得相應的散點圖如圖所示：(2)你能由散點圖發現木材體積與樹木的樹齡近似成什么關系嗎？解由散點圖發現木材體積隨著樹齡的增加而呈增加的趨勢，且散點落在一條直線附近，所以木材的體積與樹齡成線性相關關系.【遷移1】

(變條件，變問法)若近似成線性相關關系，請畫出一條直線來近似地表示這種線性相關關系.

解近似擬合直線如圖所示：【遷移2】

(變條件，變問法)若該種木材每單位體積的價值是80元，作出木材的價值與樹齡之間關系的散點圖.

解木材的價值與樹齡之間的關系如表所示：樹齡2345678體積30344060556270價值2400272032004800440049605600以x軸表示樹木的樹齡，y軸表示樹木的價值，可得相應的散點圖如圖所示：判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關關系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果發現點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關的，注意不要受個別點的位置的影響.思維升華【訓練2】

5名學生的數學和物理成績(單位：分)如下：學生成績

ABCDE數學成績8075706560物理成績7066686462判斷它們是否具有線性相關關系.解以x軸表示數學成績，y軸表示物理成績，得相應的散點圖如圖所示.由散點圖可知，各點分布在一條直線附近，故兩者之間具有線性相關關系.【例3】下面是水稻產量與施化肥量的一組觀測數據：題型三散點圖及其應用施化肥量15202530354045水稻產量320330360410460470480(1)將上述數據制成散點圖；解散點圖如下：(2)你能從散點圖中發現施化肥量與水稻產量近似成什么關系嗎？水稻產量會一直隨施化肥量的增加而增加嗎？解從圖中可以發現，當施化肥量由小到大變化時，水稻產量也由小變大，圖中的數據點大致分布在一條直線的附近，因此施化肥量和水稻產量近似成線性相關關系，但水稻產量只是在一定范圍內隨著化肥施用量的增加而增加，不會一直隨施化肥量的增加而增加.1.畫散點圖時應注意合理選擇單位長度，避免圖形過大或偏小，或者是點的坐標在坐標系中畫不準，使圖形失真，導致得出錯誤結論.2.在這里利用散點圖直觀感知事物的形態與變化，理解事物間的關聯及變化規律，是數學核心素養直觀想象的具體體現.思維升華【訓練3】

(多選題)某中學的興趣小組在某座山測得海拔高度、氣壓和沸點的六組數據繪制成散點圖如圖所示，則下列說法正確的是(

)A.沸點與海拔高度呈正相關B.沸點與氣壓呈正相關C.沸點與海拔高度呈負相關D.沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強BCD解析由左圖知氣壓隨海拔高度的增加而減小，由右圖知沸點隨氣壓的升高而升高，所以沸點與氣壓呈正相關，沸點與海拔高度呈負相關；由于兩個散點圖中的點都成線性分布，所以沸點與海拔高度、沸點與氣壓的相關性都很強，故B，C，D正確，A錯誤.1.牢記3個知識點 (1)相關關系；(2)正相關、負相關；(3)線性相關.2.掌握3種方法 (1)利用定義判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關關系的方法； (2)利用散點圖判斷兩個變量x和y間是否具有線性相關關系的方法； (3)畫散點圖的方法.3.注意1個易錯點

函數關系是一種確定的關系，而相關關系是一種非確定的關系.

課堂小結分層訓練素養提升3

一、選擇題1.下列語句所表示的事件中的因素不具有相關關系的是(

)A.正方體的棱長與體積B.讀書破萬卷，下筆如有神C.數學成績與物理成績D.光照時間與水稻的單位產量解析A具有函數關系.A2.下列說法正確的是(

) A.y＝2x2＋1中的x，y是具有相關關系的兩個變量 B.正四面體的體積與棱長具有相關關系 C.電腦的銷售量與電腦的價格之間是一種確定性的關系 D.傳染病醫院感染傳染病的醫務人員數與醫院收治的傳染病病人數是具有相關關系的兩個變量

解析A，B均為函數關系，C，D為相關關系.D3.下列圖形中具有相關關系的兩個變量是(

)D解析A和B符合函數關系，即對x的每一個值，y都有唯一確定的值與之對應；從C，D散點圖來看，D的散點都在某一條直線附近波動，因此兩變量具有相關關系.4.(多選題)有下列關系： ①人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關系； ②曲線上的點與該點的坐標之間的關系； ③森林中同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關系； ④角的度數與它的正弦值.

其中，具有相關關系的是(

) A.① B.② C.③ D.④

解析①，③具有相關關系，②，④具有確定的關系，即函數關系.AC5.下列說法正確的是(

) A.任何兩個變量之間都有相關關系 B.根據身高和體重的相關關系可以確定身高對應的體重值 C.相關關系是一種不確定的關系 D.以上說法都不對

解析變量之間的相關關系是一種不確定的關系，它也能反映變量之間的某種依賴關系.利用相關關系可以估計某些相關數據，但是不能確定準確的數值.C二、填空題6.下列兩個變量之間的關系，是函數關系的有__________(填序號).①球的體積和它的半徑；②人的身高和體重；③底面積為定值的長方體的體積和高；④城鎮居民的消費水平和平均工資.①③7.下面是四個散點圖中的點的分布狀態，直觀上判斷兩個變量之間具有線性相關關系的是__________(填序號).③解析散點圖①中的點無規律的分布，范圍很廣，表明兩個變量之間的相關程度很小；②中所有的點都在同一條直線上，是函數關系；③中點的分布在一條帶狀區域上，即點分布在一條直線的附近，是線性相關關系；④中的點也分布在一條帶狀區域內，但不是線性的，而是一條曲線附近，所以不是線性相關關系，故填③.8.觀察下列散點圖，具有相關關系的是________(填序號).②③解析①是函數關系，④不具有相關關系，②③具有相關關系.三、解答題9.下表是某小賣部6天賣出熱茶的杯數與當天氣溫的對比表：氣溫(℃)2518121040杯數183037355054(1)根據表中的數據畫出散點圖；解根據表中的數據畫出該小賣部6天賣出熱茶的杯數與當天氣溫的散點圖，如圖.(2)你能從散點圖中發現氣溫與熱茶杯數近似成什么關系嗎？解從散點圖中可以看出氣溫與賣出的熱茶杯數近似地成線性相關關系，且當氣溫越高時，所賣出的熱茶的杯數就越少.10.在7塊并排的、形狀大小相同的試驗田上進行施化肥量對水稻產量影響的試驗，得到如下表所示的一組數據(單位：kg)：施化肥量15202530354045水稻產量330345365405445450455(1)畫出散點圖；解

以施化肥量為橫坐標，其對應的水稻產量為縱坐標，在平面直角坐標系中描點，得散點圖.(2)判斷它們是否具有線性相關關系.解

觀察散點圖，知散點圖中的點分布在一條直線附近，則水稻產量與施化肥量之間具有線性相關關系.11.(多選題)下列關系中，是相關關系的為(

) A.學生的學習態度與學習成績之間的關系 B.教師的教學水平與學生的學習成績之間的關系 C.學生的身高與學生的學習成績之間的關系 D.家庭的經濟條件與學生的學習成績之間的關系

解析A中學生的學習態度與學習成績之間不是因果關系，但具有相關性，是相關關系；B中教師的教學水平與學生的學習成績之間的關系是相關關系；C，D都不具備相關關系.AB12.某市煤氣消耗量與使用煤氣戶數的歷史記錄資料如下表所示.i(年)12345x(戶數：萬戶)11.21.61.82y(煤氣消耗量：百萬立方米)679.81212.1i(年)678910x(戶數：萬戶)2.53.244.24.5y(煤氣消耗量：百萬立方米)14.5202425.427.5其散點圖如圖所示.從散點圖可知，煤氣消耗量與使用煤氣戶數__________(填“線性相關”或“線性不相關”)；若兩者關系近似滿足直線方程y＝6.057x＋0.082，則當煤氣用戶擴大到5萬戶時，該市煤氣消耗量估計是__________百萬立方米.線性相關30.367解析由散點圖發現圖中各點在一條直線附近，所以煤氣消耗量與使用煤氣戶數是線性相關關系.給出近似直線方程，只需將x＝5代入即可，故該市煤氣消耗量估計是6.057×5＋0.082＝30.367(百萬立方米).13.有人收集了10年中某城市居民年收入(即此城市所有居民在一年內的收入的總和)與某種商品的銷售額的有關數據：(單位：億元)第n年12345678910年收入32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0銷售額25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0(1)畫出散點圖.你能從散點圖中發現居民年收入與該種商品銷售額之間的近似關系嗎？解散點圖如圖所示：從散點圖中可以看出年收入與銷售額之間的總體趨勢成一條直線，也就是說它們之間是線性相關關系.(2)如果它們之間近似成線性關系，請畫出一條直線來近似表示這種關系.解所畫直線如圖所示.14.變量X與Y相對應的一組數據為(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；變量U與V相對應的一組數據為(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1).則變量Y與X之間________相關，變量V與U________相關.正負解析

對于變量X與Y而言，Y隨X的增大而增大，故變量Y與X正相關；對于變量U與V而言，V隨U的增大而減小，故變量V與U負相關.備用工具&資料(2)如果它們之間近似成線性關系，請畫出一條直線來近似表示這種關系.解所畫直線如圖所示.從散點圖可知，煤氣消耗量與使用煤氣戶數__________(填“線性相關”或“線性不相關”)；若兩者關系近似滿足直線方程y＝6.057x＋0.082，則當煤氣用戶擴大到5萬戶時，該市煤氣消耗量估計是__________百萬立方米.線性相關30.367解析由散點圖發現圖中各