7．5正態分布課標要求素養要求1.通過誤差模型，了解服從正態分布的隨機變量；通過具體實例，借助頻率分布直方圖的幾何直觀，了解正態分布的特征.2.了解正態分布的均值、方差及其含義.通過了解正態分布的特征，提升數學抽象及數據分析素養.新知探究高斯是一個偉大的數學家，一生中的重要貢獻不勝枚舉，德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態分布曲線，這就傳達了一個信息：在高斯的科學貢獻中，對人類文明影響最大的是“正態分布”．問題正態分布有哪些應用？提示正態分布在概率和統計中占有重要的地位，它廣泛存在于自然現象、生產和生活實踐之中，在現實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態分布．1．正態曲線正態曲線沿著橫軸方向水平移動只能改變對稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態曲線函數f(x)＝_______________，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數．顯然對于任意x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．可以證明x軸和曲線之間的區域的面積為1．我們稱f(x)為______________，稱它的圖象為正態分布密度曲線，簡稱__________．若隨機變量X的概率密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為X～

N(μ，σ2)，特別地，當μ＝0，________時，稱隨機變量X服從標準正態分布．正態密度函數正態曲線σ＝12．由X的密度函數及圖象可以發現，正態曲線還有以下特點 (1)曲線是單峰的，它關于直線________對稱； (2)曲線在x＝μ處達到峰值____________； (3)當

無限增大時，曲線無限接近x軸．3．正態分布的期望與方差

若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝

____，D(X)＝______．x＝μμσ24．正態變量在三個特殊區間內取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈__________； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_________； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈__________．

在實際應用中，通常認為服從于正態分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統計學中稱為3σ原則.0.68270.95450.9973×提示函數中σ的意義為標準差．2．正態曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數μ，σ的變化而變化的．

(

)

提示正態曲線與x軸圍成的面積為定值1.3．正態曲線可以關于y軸對稱．

(

)×√答案C答案C2．設隨機變量X～N(μ，σ2),且P(X≤c)＝P(X＞c),則c等于(

) A．0 B．σ

C．－μ D．μ

解析由P(X≤c)＝P(X＞c)，知x＝c為對稱軸，又由 X～N(μ，σ2)知對稱軸為x＝μ，故c＝μ.

答案D∴σ＝10.題型一正態曲線的圖象的應用【例1】如圖所示是一個正態分布的圖象，試根據該圖象寫出正態分布密度函數的解析式，求出隨機變量總體的均值和方差．解由于該正態分布的概率密度函數是一個偶函數，所以正態曲線關于y軸對稱，即μ＝0，題型二利用正態分布的對稱性求概率【例2】設X～N(1，22)，試求： (1)P(－1≤X≤3)； (2)P(3≤X≤5)．

解∵X～N(1，22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2)

＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827. (2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)，【遷移1】

(變換所求)例2條件不變，求P(X≥5)．【遷移2】

(變換條件)已知隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，則P(0＜X＜2)＝(

) A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2

解析∵隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)， ∴μ＝2，對稱軸是x＝2. ∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.2， ∴P(0＜X＜4)＝0.6. ∴P(0＜X＜2)＝0.3.故選C.

答案C規律方法利用正態分布求概率的兩個方法(1)對稱法：由于正態曲線是關于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x＝μ對稱的區間概率相等．如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在區間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內的概率分別是0.6827，0.9545，0.9973求解．【訓練2】設X～N(1，1)，試求： (1)P(0<X≤2)； (2)P(2<X≤3)； (3)P(X≥3)．

解∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1. (1)P(0<X≤2)＝P(1－1<X≤1＋1)

＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.(2)∵P(2<X≤3)＝P(－1<X≤0)，(3)∵P(X≥3)＝P(X≤－1)，題型三正態分布的實際應用【例3】某廠生產的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態分布N(4，0.52)．質檢人員從該廠生產的1000件零件中隨機抽查1件，測得它的外直徑為5.7cm，試問：該廠生產的這批零件是否合格？解由于外直徑X～N(4，0.52)，則X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之內取值的概率為0.9973，在[2.5，5.5]之外取值的概率為0.0027，而5.7?[2.5，5.5]，這說明在一次試驗中，出現了幾乎不可能發生的小概率事件，據此可以認為這批零件是不合格的．規律方法解題時，應當注意零件尺寸應落在[μ－3σ，μ＋3σ]之內，否則可以認為該批產品不合格．判斷的根據是小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發生的，而一旦發生了，就可以認為這批產品不合格．【訓練3】在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態分布N(80，52)，現在已知該班同學中成績在80～85分的有17人，該班成績在90分以上的同學有多少人？

解∵成績服從正態分布N(80，52)， ∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85. ∴成績在[75，85]內的同學占全班同學的68.27%，成績在[80，85]內的同學占全班同學的34.135%.設該班有x名同學，則x·34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成績在[70，90]內的同學占全班同學的95.45%，成績在90分以上的同學占全班同學的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即成績在90分以上的僅有1人.一、素養落地1．通過本節課的學習，進一步提升數學抽象及數據分析素養．2．在正態分布N(μ，σ2)中，參數μ是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，即總體隨機變量的均值，它可以用樣本的均值去估計，其取值是任意的實數．參數σ是反映隨機變量總體波動大小的特征數，即總體隨機變量的標準差，它可以用樣本的標準差去估計，其取值范圍是正數，即σ>0.3．正態總體在某個區間內取值的概率求法： (1)熟記P(μ－σ≤X≤μ＋σ)，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)的值． (2)充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1.二、素養訓練1．正態分布N(0，1)在區間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分別為P1，P2，則二者的大小關系為(

) A．P1＝P2 B．P1＜P2 C．P1＞P2 D．不確定

解析根據正態曲線的特點，圖象關于x＝0對稱，可得在區間(－2，－1)和(1，2)上取值的概率P1，P2相等．

答案A2．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間[3，6]內的概率為(

) (附：若隨機變量X服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.45%) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%答案B3．設隨機變量ξ服從正態分布N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，則c等于__________．

解析∵X～N(2，9)，

又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，4．在某項測量中，測量結果X服從正態分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0，1)內取值的概率為0.4，則X在(0，2)內取值的概率為__________．

解析如圖，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)，故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.答案0.85．在某省組織的一次數學競賽中全體參賽學生的成績近似服從正態分布N(60，100)，已知成績在90分以上的學生有135人． (1)求此次參加競賽的學生總數共有多少人？ (2)若計劃獎勵競賽成績排在前2275名的學生，問受獎學生的分數線是多少？解(1)設學生的成績為X分，共有n人參加競賽，因為X～N(60，100)，所以μ＝60，σ＝10，(2)設受獎學生的分數線為x0，因為0.02275<0.5，所以x0>60.所以P(120－x0<X<x0)＝1－2P(X≥x0)＝95.45%，所以x0＝60＋20＝80.故受獎學生的分數線是80分.備用工具&資料5．在某省組織的一次數學競賽中全體參賽學生的成績近似服從正態分布N(60，100)，已知成績在90分以上的學生有135人． (1)求此次參加競賽的學生總數共有多少人？ (2)若計劃獎勵競賽成績排在前2275名的學生，問受獎學生的分數線是多少？解