微專題01含參數(shù)及創(chuàng)新定義的集合問題【方法技巧與總結(jié)】一．解決與集合有關(guān)的創(chuàng)新題的對策：（1）分析含義，合理轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確提取信息是解決此類問題的前提．剝?nèi)バ露x、新法則的外表，利用我們所學(xué)集合的性質(zhì)將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的集合，陌生的運算轉(zhuǎn)化為我們熟悉的運算，是解決這類問題的突破口，也是解決此類問題的關(guān)鍵．（2）根據(jù)新定義（新運算、新法則）的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證和運算，其中要注意應(yīng)用集合的有關(guān)性質(zhì)．（3）對于選擇題，可結(jié)合選項，通過驗證、排除、對比、特值法等進(jìn)行求解或排除錯淏選項，當(dāng)不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明，以達(dá)到快速判斷結(jié)果的目的．二．解決與集合有關(guān)的參數(shù)問題的對策（1）如果是離散型集合，要逐個分析集合的元素所滿足的條件，或者畫韋恩圖分析．（2）如果是連續(xù)型集合，要數(shù)形結(jié)合，注意端點能否取到．（3）在解集合的含參問題時，一定要注意空集和元素的互異性．【典型例題】例1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，若，則實數(shù)的值不可以是（）A．0 B． C． D．2例2．(2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)U＝{1，2，3，4}，A與B是U的兩個子集，若A∩B＝{3，4}，則稱（A，B）為一個“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定：（A，B）與（B，A）是兩個不同的“理想配集”）的個數(shù)是（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個例3．(2023·浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）定義集合運算：，設(shè)，，則（

）A．當(dāng)，時，B．x可取兩個值，y可取兩個值，有4個式子C．中有3個元素D．中所有元素之和為3例4．(2023·遼寧·遼師大附中高二階段練習(xí)）集合，且，實數(shù)a的值為（

）A．0 B．1 C． D．2例5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍_________．例6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）對于兩個正整數(shù)m，n，定義某種運算“⊙”如下，當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，m⊙n＝m+n；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m⊙n＝mn，則在此定義下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的個數(shù)是_____．例7．(2023·全國·高一專題練習(xí)）給定集合A，若對于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下四個結(jié)論：①集合A＝{0}為閉集合；②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}為閉集合；③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；④若集合A1、A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．其中所有正確結(jié)論的序號是__．例8．(2023·陜西·西安市閻良區(qū)關(guān)山中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知集合，集合．（1）求A∩B；（2）若集合，且，求實數(shù)a的取值范圍．例9．(2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，．（1）若，試求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．例10．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，．（1）求集合；（2）當(dāng)時，求；（3）若，求的取值范圍．例11．(2023·安徽·蕪湖一中高一階段練習(xí)）已知集合．（1）當(dāng)時，求的非空真子集的個數(shù)；（2）若，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，求實數(shù)的取值范圍．例12．(2023·北京·高二期末）設(shè)集合為非空實數(shù)集，集合，稱集合為集合的積集．（1）當(dāng)時，寫出集合的積集；（2）若是由個正實數(shù)構(gòu)成的集合，求其積集中元素個數(shù)的最小值；（3）判斷是否存在個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集，并說明理由．【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·江西省銅鼓中學(xué)高一期末（理））表示集合中整數(shù)元素的個數(shù)，設(shè)，，則（

）A．5 B．4 C．3 D．22．(2023·河南焦作·高一期中）兩個集合A與B之差記作A－B，定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，已知A＝{2，3}，B＝{1，3，4}，則A－B等于（

）A．{1，4} B．{2} C．{1，2} D．{1，2，3}3．(2023·浙江·安吉縣高級中學(xué)高一開學(xué)考試）將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，中的每一個元素都小于中的每一個元素，這種有理數(shù)的分割就是數(shù)學(xué)史上有名的戴德金分割．試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中不可能成立的是（

）A．有最大元素，有一個最小元素B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．沒有一個最大元素，有一個最小元素D．有一個最大元素，沒有最小元素4．(2023·全國·高一單元測試）定義集合運算：．若集合，則（

）A． B． C． D．5．(2023·江蘇·高一期末）已知全集，集合或，．若，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．(2023·江蘇·高一單元測試）設(shè)集合，則下列說法一定正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則有4個元素D．若，則7．(2023·江蘇·高一單元測試）已知集合中有10個元素，中有6個元素，全集有18個元素，．設(shè)集合中有個元素，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．(2023·江西·興國縣將軍中學(xué)高一期中）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．9．(2023·陜西·西安一中高一期中）已知集合，，若，則實數(shù)a滿足（）A． B．C． D．10．(2023·江蘇·高一單元測試）已知集合，，，則（

）A．9 B．0或1 C．0或9 D．0或1或911．(2023·全國·高一單元測試）在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④12．(2023·北京八中高一期中）對于集合A，定義了一種運算“”，使得集合A中的元素間滿足條件：如果存在元素，使得對任意，都有，則稱元素e是集合A對運算“”的單位元素．例如：，運算“”為普通乘法：存在，使得對任意都有，所以元素1是集合R對普通乘法的單位元素．下面給出三個集合及相應(yīng)的運算“”：①，運算“”為普通減法；②，運算“”為普通加法；③（其中M是任意非空集合，運算“”為求兩個集合的交集．（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③二、多選題13．(2023·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個非空集合，“·”是G上的一個代數(shù)運算，即對所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的運算還滿足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，則稱G關(guān)于“·”構(gòu)成一個群．則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群C．實數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群14．(2023·全國·高一期中）如圖，集合是全集，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合，則可表示為（

）A． B．C． D．15．(2023·河北·石家莊外國語學(xué)校高一期中）當(dāng)兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“偏食”，對于集合，若與構(gòu)成“偏食”，則實數(shù)取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．416．(2023·全國·高一單元測試）設(shè)，，若，則實數(shù)的值可以為（

）A．2 B． C． D．017．(2023·全國·高一單元測試）已知全集，集合，，則使成立的實數(shù)的取值范圍可以是（）A． B．C． D．18．(2023·浙江·金華市曙光學(xué)校高一期中）在上定義運算，若關(guān)于的不等式的解集是集合的子集，則整數(shù)的取值可以是（）A．0 B．1 C． D．2三、填空題19．(2023·江西省崇義中學(xué)高一期中）若集合，，且，則實數(shù)的值為_____20．(2023·廣東·廣州譽恩教育咨詢有限公司高一期中）設(shè)是實數(shù)，集合，若，則的取值集合是_______．21．(2023·河南·林州一中高一開學(xué)考試）若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素，且互不為對方子集，則稱兩個集合構(gòu)成“蠶食”，對于集合，，若這兩個集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為_____．22．(2023·福建·福州三中高一開學(xué)考試）已知集合A={aR|（x﹣1）a2+7ax+x2+3x﹣4=0}，{0}A，則x的值為___________．23．(2023·黑龍江·大慶實驗中學(xué)高一期末）設(shè)集合，對其子集引進(jìn)“勢”的概念；①空集的“勢”最小；②非空子集的元素越多，其“勢”越大；③若兩個子集的元素個數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢”就越大．最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢”就越大，以此類推．若將全部的子集按“勢”從小到大順序排列，則排在第位的子集是_________．四、解答題24．(2023·全國·高一單元測試）已知實數(shù)集R的子集S滿足條件：①；②若，則．求證：（1）若，則S中必有另外兩個元素；（2）集合S中不可能只有一個元素．25．(2023·湖南永州·高一期末）已知集合，．（1）求；（2）定義且，求．26．(2023·全國·高一期中）已知集合．（1）證明：若，則是偶數(shù)；（2）設(shè)，且，求實數(shù)的值；（3）若，試判斷是否屬于集合，并說明理由．27．(2023·北京·高一期末）已知集合，．（1）求集合；（2）當(dāng)時，求；（3）若，求的取值范圍．28．(2023·湖南益陽·高一期末）設(shè)集合，，．（1）求；（2）若_________，求實數(shù)m的取值范圍．請從①，②，③這三個條件中選一個填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答．（如多選，則按第一個選擇的解答給分）29．(2023·江蘇·高一單元測試）已知集合，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．微專題01含參數(shù)及創(chuàng)新定義的集合問題【方法技巧與總結(jié)】一．解決與集合有關(guān)的創(chuàng)新題的對策：（1）分析含義，合理轉(zhuǎn)化，準(zhǔn)確提取信息是解決此類問題的前提．剝?nèi)バ露x、新法則的外表，利用我們所學(xué)集合的性質(zhì)將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的集合，陌生的運算轉(zhuǎn)化為我們熟悉的運算，是解決這類問題的突破口，也是解決此類問題的關(guān)鍵．（2）根據(jù)新定義（新運算、新法則）的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證和運算，其中要注意應(yīng)用集合的有關(guān)性質(zhì)．（3）對于選擇題，可結(jié)合選項，通過驗證、排除、對比、特值法等進(jìn)行求解或排除錯淏選項，當(dāng)不滿足新定義的要求時，只需通過舉反例來說明，以達(dá)到快速判斷結(jié)果的目的．二．解決與集合有關(guān)的參數(shù)問題的對策（1）如果是離散型集合，要逐個分析集合的元素所滿足的條件，或者畫韋恩圖分析．（2）如果是連續(xù)型集合，要數(shù)形結(jié)合，注意端點能否取到．（3）在解集合的含參問題時，一定要注意空集和元素的互異性．【典型例題】例1．(2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，若，則實數(shù)的值不可以是（）A．0 B． C． D．2答案：D【解析】由題意，，因為，所以，若，則，滿足題意；若，則，因為，所以或，則或．綜上：或或．故選：D．例2．(2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)U＝{1，2，3，4}，A與B是U的兩個子集，若A∩B＝{3，4}，則稱（A，B）為一個“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定：（A，B）與（B，A）是兩個不同的“理想配集”）的個數(shù)是（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個答案：C【解析】對子集A分類討論：當(dāng)A是二元集{3，4}時，此時B可以為{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4結(jié)果；當(dāng)A是三元集{1，3，4}時，此時B可以為{2，3，4}，{3，4}，共2種結(jié)果；當(dāng)A是三元集{2，3，4}時，此時B可以為{1，3，4}，{3，4}，共2種結(jié)果；當(dāng)A是四元集{1，2，3，4}時，此時B取{3，4}，有1種結(jié)果，根據(jù)計數(shù)原理知共有4+2+2+1＝9種結(jié)果．故選：C．例3．(2023·浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）定義集合運算：，設(shè)，，則（

）A．當(dāng)，時，B．x可取兩個值，y可取兩個值，有4個式子C．中有3個元素D．中所有元素之和為3答案：BCD【解析】，，，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，，A不正確；B正確；而，C，D都正確．故選：BCD例4．(2023·遼寧·遼師大附中高二階段練習(xí)）集合，且，實數(shù)a的值為（

）A．0 B．1 C． D．2答案：ABC【解析】由題設(shè)，又，故，當(dāng)時，；當(dāng)時，1或2為的解，則或．綜上，或或．故選：ABC例5．(2023·全國·高三專題練習(xí)）已知集合或，，若，則實數(shù)的取值范圍_________．答案：或【解析】用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如上圖所示，或要使，只需或，解得或．所以實數(shù)的取值范圍或．故答案為：或例6．(2023·全國·高三專題練習(xí)）對于兩個正整數(shù)m，n，定義某種運算“⊙”如下，當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，m⊙n＝m+n；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m⊙n＝mn，則在此定義下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的個數(shù)是_____．答案：13【解析】∵當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時，m⊙n＝m+n；當(dāng)m，n中一個為正偶數(shù)，另一個為正奇數(shù)時，m⊙n＝mn，∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（1，10），（2，5），（5，2），（10，1）}，共13個元素，故答案為：13例7．(2023·全國·高一專題練習(xí)）給定集合A，若對于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下四個結(jié)論：①集合A＝{0}為閉集合；②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}為閉集合；③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；④若集合A1、A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．其中所有正確結(jié)論的序號是__．答案：①③【解析】①0+0＝0，0﹣0＝0，0∈A，故①正確；②當(dāng)a＝﹣4，b＝﹣2時，a+b＝﹣4+（﹣2）＝﹣6?A，故不是閉集合，∴②錯誤；③由于任意兩個3的倍數(shù)，它們的和、差仍是3的倍數(shù)，故是閉集合，∴③正確；④假設(shè)A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝5k，k∈Z}，3∈A1，5∈A2，但是，3+5?A1∪A2，則A1∪A2不是閉集合，∴④錯誤．正確結(jié)論的序號是①③．故答案為：①③．例8．(2023·陜西·西安市閻良區(qū)關(guān)山中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知集合，集合．（1）求A∩B；（2）若集合，且，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）或，或，所以；（2）由得，所以，解得．例9．(2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合，．（1）若，試求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由，解得或，．當(dāng)時，得解得或；∴．（2）由（1）知，，，于是可分為以下幾種情況．當(dāng)時，，此時方程有兩根為，，則，解得．當(dāng)時，又可分為兩種情況．當(dāng)時，即或，當(dāng)時，此時方程有且只有一個根為，則，解得，當(dāng)時，此時方程有且只有一個根為，則，此時方程組無解，當(dāng)時，此時方程無實數(shù)根，則，解得．綜上所述，實數(shù)a的取值為．例10．(2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，．（1）求集合；（2）當(dāng)時，求；（3）若，求的取值范圍．【解析】（1）由題意，故或（2）當(dāng)時，故（3）由（1）或若，則解得例11．(2023·安徽·蕪湖一中高一階段練習(xí)）已知集合．（1）當(dāng)時，求的非空真子集的個數(shù)；（2）若，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)x∈Z時，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8個元素，所以A的非空真子集的個數(shù)為28－2＝254．（2）因為A∪B＝A，所以B?A，當(dāng)B＝?時，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；當(dāng)B≠?時，根據(jù)題意，可得，解得2≤m≤3．綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}．（3）當(dāng)B＝?時，由（1）知m<2；當(dāng)B≠?時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或解得m>4．綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是{m|m<2或m>4}．例12．(2023·北京·高二期末）設(shè)集合為非空實數(shù)集，集合，稱集合為集合的積集．（1）當(dāng)時，寫出集合的積集；（2）若是由個正實數(shù)構(gòu)成的集合，求其積集中元素個數(shù)的最小值；（3）判斷是否存在個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集，并說明理由．【解析】（1）因為，故集合中所有可能的元素有，即，（2）設(shè)，不妨設(shè)，因為，所以中元素個數(shù)大于等于7個，又，，此時中元素個數(shù)等于7個，所以積集B中元素個數(shù)的最小值為7．（3）不存在，理由如下：假設(shè)存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合，使其積集，不妨設(shè)，則集合A的生成集則必有，其4個正實數(shù)的乘積；又，其4個正實數(shù)的乘積，矛盾；所以假設(shè)不成立，故不存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·江西省銅鼓中學(xué)高一期末（理））表示集合中整數(shù)元素的個數(shù)，設(shè)，，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2答案：C【解析】因為，，所以，則，，，所以；故選：C2．(2023·河南焦作·高一期中）兩個集合A與B之差記作A－B，定義A－B＝{x|x∈A且x?B}，已知A＝{2，3}，B＝{1，3，4}，則A－B等于（

）A．{1，4} B．{2} C．{1，2} D．{1，2，3}答案：B【解析】∵A＝{2，3}，B＝{1，3，4}，又∵A－B＝{x|x∈A且x?B}，∴A－B＝{2}．故選：B．3．(2023·浙江·安吉縣高級中學(xué)高一開學(xué)考試）將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，中的每一個元素都小于中的每一個元素，這種有理數(shù)的分割就是數(shù)學(xué)史上有名的戴德金分割．試判斷，對于任一戴德金分割，下列選項中不可能成立的是（

）A．有最大元素，有一個最小元素B．沒有最大元素，也沒有最小元素C．沒有一個最大元素，有一個最小元素D．有一個最大元素，沒有最小元素答案：A【解析】M有一個最大元素，N有一個最小元素，設(shè)M的最大元素為m，N的最小元素為n，若有m＜n，不能滿足M∪N=Q，A錯誤；若，；則沒有最大元素，也沒有最小元素，滿足其它條件，故B可能成立；若，，則沒有最大元素，有一個最小元素0，故C可能成立；若，；有一個最大元素，N沒有最小元素，故D可能成立；故選：A．4．(2023·全國·高一單元測試）定義集合運算：．若集合，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因為，所以，所以當(dāng)時，，所以，所以，故選：D5．(2023·江蘇·高一期末）已知全集，集合或，．若，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因為集合或，可得，又因為且，所以，即實數(shù)a的取值范圍為．故選：A．6．(2023·江蘇·高一單元測試）設(shè)集合，則下列說法一定正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則有4個元素D．若，則答案：D【解析】（1）當(dāng)時，，；（2）當(dāng)時，，；（3）當(dāng)時，，；（4）當(dāng)時，，；綜上可知A，B，C，不正確，D正確故選：D7．(2023·江蘇·高一單元測試）已知集合中有10個元素，中有6個元素，全集有18個元素，．設(shè)集合中有個元素，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】集合中有10個元素，中有6個元素，因為，至少有個元素，至多有個元素，所以至多有個元素，至少有個元素，集合有個元素，則且為正整數(shù)．即的取值范圍是，故選：．8．(2023·江西·興國縣將軍中學(xué)高一期中）已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．答案：C【解析】由題意，（1）若，則，成立；（2）若，則，解得綜上，實數(shù)的取值范圍是或故選：C9．(2023·陜西·西安一中高一期中）已知集合，，若，則實數(shù)a滿足（）A． B．C． D．答案：D【解析】因為，所以，當(dāng)時，滿足，此時，所以；當(dāng)時，此時，即或，若方程有兩個相同的實數(shù)根，則，所以；當(dāng)時，，此時滿足，當(dāng)時，，此時滿足，若有兩個不同的實根，因為，所以，所以此時無解；綜上可知，的取值范圍為，故選：D．10．(2023·江蘇·高一單元測試）已知集合，，，則（

）A．9 B．0或1 C．0或9 D．0或1或9答案：C【解析】由可得：或，當(dāng)時，，符合題意；當(dāng)時，或，但時，不合題意，故m的值為0或9，故選：C11．(2023·全國·高一單元測試）在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④答案：D【解析】因為，故，故①錯誤；而，故，故②正確；由“類”的定義可得，任意，設(shè)除以4的余數(shù)為，則，故，所以，故，故③正確若整數(shù)a，b屬于同一“類”，設(shè)此類為，則，故即，若，故為的倍數(shù)，故a，b除以4的余數(shù)相同，故a，b屬于同一“類”，故整數(shù)a，b屬于同一“類”的充要條件為，故④正確；故選：12．(2023·北京八中高一期中）對于集合A，定義了一種運算“”，使得集合A中的元素間滿足條件：如果存在元素，使得對任意，都有，則稱元素e是集合A對運算“”的單位元素．例如：，運算“”為普通乘法：存在，使得對任意都有，所以元素1是集合R對普通乘法的單位元素．下面給出三個集合及相應(yīng)的運算“”：①，運算“”為普通減法；②，運算“”為普通加法；③（其中M是任意非空集合，運算“”為求兩個集合的交集．（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③答案：D【解析】①若，運算“”為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒有單位元素；②，運算“”為普通加法，其單位元素為0；③（其中是任意非空集合），運算“”為求兩個集合的交集，其單位元素為集合．故選：D．二、多選題13．(2023·貴州·遵義市南白中學(xué)高一期末）群論是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中具有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個非空集合，“·”是G上的一個代數(shù)運算，即對所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的運算還滿足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，則稱G關(guān)于“·”構(gòu)成一個群．則下列說法正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群C．實數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群答案：CD【解析】對于A：若，對所有的a、，有，滿足乘法結(jié)合律，即①成立，滿足②的為1，但當(dāng)時，不存在，使得，即③不成立，即選項A錯誤；對于B：因為，且，但，所以選項B錯誤；對于C：若，對所有的a、，有，滿足加法結(jié)合律，即①成立，滿足②的為0，，，使，即③成立；即選項C正確；對于D：若，所有的、，有，成立，即①成立；當(dāng)時，，滿足的，即②成立；，，使，即③成立；即選項D正確．故選：CD．14．(2023·全國·高一期中）如圖，集合是全集，是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合，則可表示為（

）A． B．C． D．答案：CD【解析】，故A選項錯誤；表示的集合韋恩圖為如圖1，顯然B選項錯誤；通過畫出CD選項的韋恩圖，與題干中的相同，故選項CD正確．故選：CD15．(2023·河北·石家莊外國語學(xué)校高一期中）當(dāng)兩個集合中一個集合為另一個集合的子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個集合有公共元素，但互不為對方子集時，稱這兩個集合構(gòu)成“偏食”，對于集合，若與構(gòu)成“偏食”，則實數(shù)取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．4答案：BD【解析】因為集合，且與構(gòu)成“偏食”，所以或，當(dāng)時，得，此時，符合題意，當(dāng)時，得，此時，符合題意，綜上，或，故選：BD16．(2023·全國·高一單元測試）設(shè)，，若，則實數(shù)的值可以為（

）A．2 B． C． D．0答案：BCD【解析】集合，，，又，所以，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，則，所以或，解得或，綜上所述，或或，故選：17．(2023·全國·高一單元測試）已知全集，集合，，則使成立的實數(shù)的取值范圍可以是（）A． B．C． D．答案：ABC【解析】當(dāng)時，，即，此時，符合題意，當(dāng)時，，即，由可得或，因為，所以或，可得或，因為，所以，所以實數(shù)的取值范圍為或，所以選項ABC正確，選項D不正確；故選：ABC．18．(2023·浙江·金華市曙光學(xué)校高一期中）在上定義運算，若關(guān)于的不等式的解集是集合的子集，則整數(shù)的取值可以是（）A．0 B．1 C． D．2答案：AB【解析】由在上定義的運算：得，，即，當(dāng)a=1時，不等式的解集為空集，而，則a=1，當(dāng)a>1時，不等式的解集為{x|1<x<a}，顯然{x|1<x<a}不是{x|0≤x≤1}的子集，不滿足題意，舍去，當(dāng)a<1時，不等式的解集為{x|a<x<1}，當(dāng){x|a<x<1}是{x|0≤x≤1}的子集時，a≥0，則0≤a<1，綜上所述，a的取值范圍是{a|0≤a≤1}，又a為整數(shù)，所以a=0或a=1．故選：AB三、填空題19．(2023·江西省崇義中學(xué)高一期中）若集合，，且，則實數(shù)的值為_____答案：或或【解析】由題得，因為，所以，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．故答案為：或或20．(2023·廣東·廣州譽恩教育咨詢有限公司高一期中）設(shè)是實數(shù)，集合，若，則的取值集合是_______．答案：【解析】由題意，集合若，且集合中至多有一個元素則當(dāng)時，即時，滿足題意；當(dāng)時，即，即時，滿足題意；當(dāng)時，即，即時，滿足題意；綜上，的取值集合是故答案為：21．(2023·河南·林州一中高一開學(xué)考試）若一個集合是另一個集合的子集，則稱兩個集合構(gòu)成“鯨吞”；若兩個集合有公共元素，且互不為對方子集，則稱兩個集合構(gòu)成“蠶食”，對于集合，，若這兩個集合構(gòu)成“鯨吞”或“蠶食”，則a的取值集合為_____．答案：【解析】當(dāng)時，，此時滿足，當(dāng)時，，此時集合只能是“蠶食”關(guān)系，所以當(dāng)集合有公共元素時，解得，當(dāng)集合有公共元素時，解得，故的取值集合為．故答案為：22．(2023·福建·福州三中高一開學(xué)考試）已知集合A={aR|（x﹣1）a2+7ax+x2+3x﹣4=0}，{0}A，則x的值為_