課時分層作業(三十六)平面與平面垂直的性質一、選擇題1．設平面α⊥平面β，在平面α內的一條直線a垂直于平面β內的一條直線b，則()A．直線a必垂直于平面βB．直線b必垂直于平面αC．直線a不愿定垂直于平面βD．過a的平面與過b的平面垂直2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥平面α，平面γ⊥平面β，則()A．l∥平面γ B．l?平面γC．l與平面γ斜交 D．l⊥平面γ3．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，則()A．PD?平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC4．設α-l-β是直二面角，直線a?平面α，直線b?平面β，a，b與直線l都不垂直，那么()A．a與b可能垂直，但不行能平行B．a與b可能垂直，也可能平行C．a與b不行能垂直，但可能平行D．a與b不行能垂直，也不行能平行5．(多選)如圖，點P為四邊形ABCD外一點，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E為AD的中點，則下列結論確定成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD二、填空題6．已知α，β是兩個不同的平面，l是平面α與β之外的直線，給出下列三個論斷：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出你認為正確的一個命題：．(用序號表示)7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，將△ABC沿斜邊BC上的高AD折疊，使平面ABD⊥平面ACD，則BC＝．8．空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是．三、解答題9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝22AD.求證：平面PAB⊥平面PBD10．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列命題正確的是()A．平面ADC⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ABD⊥平面ABC11．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在平面ABC上的射影必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內部12．如圖，線段AB的兩端在直二面角α-l-β的兩個面內，并與這兩個面都成30°角，則異面直線AB與l所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．75°13．如圖，△ABC是正三角形，E，F分別為線段AB，AC上的動點，現將△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCFE，設AEAF＝λ，當AE⊥CF時，λ的值為14．如圖，M是半圓弧CD上異于C，D的點，四邊形ABCD是矩形，P為AM中點．(1)證明：MC∥平面PBD；(2)若矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直，證明：平面AMD⊥平面BMC.15．如圖所示，在三棱錐A-BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分別是AC，AD上的動點，且AEAC＝AFAD＝(1)求證：不論λ為何值，恒有平面BEF⊥平面ABC；(2)當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD?課時分層作業(三十六)平面與平面垂直的性質1．C[當b＝α∩β時，必有a⊥β；當b不是α與β的交線時，直線a不愿定垂直于平面β.]2．D[在平面γ內取一點O，作OE⊥m，OF⊥n，由于平面β⊥平面γ，平面γ∩平面β＝m，所以OE⊥平面β，所以OE⊥l，同理OF⊥l，又OE∩OF＝O，所以l⊥平面γ.故選D.]3．B[因為PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.又因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC.]4．C[當a∥l，b∥l時，a∥b.若a⊥b，可在a上任取點A，過點A在α內作l的垂線c，如圖，則c⊥β，所以c⊥b.因為a∩c＝A，所以b⊥α，所以b⊥l，這與已知沖突．所以a與b不行能垂直．]5．ABC[因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B結論確定成立．又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C結論確定成立．若平面PBE⊥平面PAD，則AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此關系不愿定成立，故選ABC.]6．①②?③(或①③?②)[由l∥β可在平面β內作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′?β，∴α⊥β，故①②?③.①③?②，也對．]7．1[因為AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，因為平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1，所以BD＝CD＝22所以BC＝BD8．45°[如圖，過A作AO⊥BD于O點，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.]9．證明：因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD?平面PAD，所以PD⊥AB.因為PA＝PD＝22AD，所以PA2＋PD2＝AD2所以PA⊥PD.又PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.因為PD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.10．A[易知CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，∴CD⊥平面ABD，又BA?平面ABD，∴CD⊥BA.又BA⊥AD，且AD∩CD＝D，AD，CD?平面ADC，∴BA⊥平面ADC，又BA?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.]11．A[如圖，連接AC1，∵∠BAC＝90°，即BA⊥AC，又∵AC⊥BC1，BA∩BC1＝B，BA，BC1?平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.又平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在平面ABC上的射影必在直線AB上．]12．B[如圖，設AB＝a，在平面α內，作AA′⊥l于A′，則AA′⊥β，連接A′B，則∠ABA′＝30°.在Rt△AA′B中，AB＝a，所以AA′＝12a同理作BB′⊥l于B′，連接AB′，則∠BAB′＝30°，所以BB′＝12a，AB′＝32所以A′B′＝AB'過B作BC綉A′B′，連接A′C，則A′C綉BB′，連接AC.在Rt△AA′C中，AC＝AA'易證BC⊥平面AA′C，所以△ABC為直角三角形，且AC＝BC，所以∠ABC＝45°，即l與AB所成的角是45°.]13．2或12[如圖所示，過A作AH⊥EF于H由平面AEF⊥平面BCFE，可得AH⊥平面BCFE，所以AH⊥CF，又AE⊥CF，故可證得CF⊥平面AEF.所以CF⊥EF，由圖可得，此時H必與F重合，則∠AFE是直角．所以∠AEF＝30°，所以AE＝2AF，故λ＝2.又當AE垂直于底面時明顯滿意題意，此時有AF＝2AE，故此狀況下有λ＝1214．證明：(1)連接AC，交BD于O，因為四邊形ABCD是矩形，所以O是AC中點，連接OP，因為P是AM中點，所以MC∥OP，因為MC?平面PBD，OP?平面PBD，所以MC∥平面PBD.(2)平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD，因為BC⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，所以BC⊥DM，因為M為CD上異于C，D的點，且DC為直徑，所以DM⊥CM，又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC，而DM?平面AMD，所以平面AMD⊥平面BMC.15．解：(1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD.∵CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又AEAC＝AFAD＝∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又EF?平面BEF