第22講任意角和弧度制及任意角的三角函數1．角的概念(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．分類：按旋轉方向，角可以分成三類：正角、負角和零角．(2)象限角在平面直角坐標系中，若角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．(3)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．2．弧度制的相關概念(1)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角．(2)弧度制：①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度．如圖，在單位圓O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))的長等于1，∠AOB就是1弧度的角．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°．(4)扇形的弧長公式：l＝α·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半徑，α(0＜α＜2π)為弧所對圓心角．3．三角函數的概念三角函數正弦余弦正切定義設α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα考點1角的概念與表示[名師點睛](1)表示區間角的三個步驟①先按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界；②再按由小到大的順序分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區間{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數倍，即得區間角的集合．(2)象限角的兩種判斷方法①圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；②轉化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習）下列說法中正確的是（

）A．第一象限角都是銳角B．三角形的內角必是第一?二象限的C．不相等的角終邊一定不相同D．不論是用角度制還是弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關2．(2023·全國·高三專題練習）與角的終邊相同的角的表達式中，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，3．(2023·全國·高三專題練習）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（

）A． B．C． D．2．(2023·浙江·高三專題練習）若，則的終邊在（

）A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限3．（多選）(2023·江蘇·高三專題練習）下列與角的終邊不相同的角是（

）A． B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)4．（多選）(2023·全國·高三專題練習）如果角與角的終邊相同，角與的終邊相同，那么的可能值為（

）A． B． C． D．5．（多選）(2023·全國·高三專題練習）下列條件中，能使和的終邊關于軸對稱的是（

）A． B．C． D．6．（多選）(2023·全國·高三專題練習）如果是第四象限角，那么可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角考點2弧度制及其應用[名師點睛]應用弧度制解決問題的注意點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．[典例]1．(2023·廣東廣東·一模）數學中處處存在著美，機械學家萊洛發現的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．2．(2023·全國·模擬預測）炎炎夏日，在古代人們乘涼時習慣用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形ABC的面積S為，若，則當該紙疊扇的周長C最小時，BD的長度為___________.[舉一反三]1．(2023·湖北·房縣第一中學模擬預測）已知圓臺形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側面展開圖的扇環所對的圓心角為，則母線長為（

）A．4 B．8 C．10 D．162．(2023·山東濟南·二模）濟南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國務院列為全國重點文物保護單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型，其結構是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖2，和所在圓的圓心都在線段AB上，若，，則的長度為（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南·長郡中學高三階段練習）已知圓錐的底面直徑為，母線長為，則其側面展開圖扇形的圓心角為（

）A． B． C． D．4．(2023·廣東·一模）為解決皮尺長度不夠的問題，實驗小組利用自行車來測量A，B兩點之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點A，前輪上與點A接觸的地方標記為點C，然后推著自行車沿AB直線前進（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點B接觸.經觀測，在前進過程中，前輪上的標記點C與地面接觸了10次，當前輪與點B接觸時，標記點C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點之間的距離約為（

）（參考數值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m5．(2023·浙江紹興·模擬預測）我國古代數學著作《九章算術》方田篇記載“宛田面積術曰：以徑乘周，四而一”（注：宛田，扇形形狀的田地：徑，扇形所在圓的直徑；周，扇形的弧長），即古人計算扇形面積的公式為：扇形面．現有一宛田的面積為，周為，則徑是__________．6．(2023·湖南·雅禮中學二模）坐標平面上有一環狀區域由圓的外部與圓的內部交集而成.某同學欲用一支長度為1的筆直掃描棒來掃描此環狀區域的x軸上方的某區域R.他設計掃描棒黑?白兩端分別在半圓?上移動.開始時掃描棒黑端在點，白端在的點B.接著黑?白兩端各沿著?逆時針移動，直至白端碰到的點便停止掃描，則B坐標___________；掃描棒掃過的區域R的面積為___________.考點3三角函數的定義[名師點睛]1．利用三角函數的定義求三角函數值時，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數值．2．已知角的某一個三角函數值，可以通過三角函數的定義列出含參數的方程，求參數的值．3．要判定三角函數值的符號，關鍵是要搞清三角函數中的角是第幾象限角，再根據正、余弦函數值在各象限的符號確定值的符號．如果不能確定角所在的象限，就要進行分類討論求解．[典例]1．(2023·山東濰坊·二模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點，在角的終邊上，且，則（

）A．2 B． C． D．2．(2023·湖南·長沙一中高三階段練習）若角的終邊過點P（8m，），且，則m的值為（

）A． B． C． D．3．(2023·山東棗莊·高三期末）為第三或第四象限角的充要條件是（

）．A． B． C． D．[舉一反三]1．(2023·北京·二模）已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習）已知是第四象限角，是角終邊上的一個點，若，則（

）A．4 B．-4 C． D．不確定3．(2023·全國·高三專題練習）已知第二象限角的終邊上有兩點，，且，則（

）A． B． C． D．4．(2023·江蘇·高三專題練習）點P從點出發，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q點坐標為（）A． B． C． D．5．(2023·海南·模擬預測）已知角為第二象限角，，則（

）A． B． C． D．6．(2023·浙江·高三專題練習）若，則所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．(2023·全國·高三專題練習）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角8．(2023·山東·德州市教育科學研究院二模）已知角θ的終邊過點，且，則tanθ=____________．9．(2023·福建·莆田二中模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，圓O與x軸的正半軸交于點A，點B，C在圓O上，若射線OB平分∠AOC，B（，），則點C的橫坐標為___________.10．(2023·全國·高三專題練習）設點是以原點為圓心的單位圓上的一個動點，它從初始位置出發，沿單位圓順時針方向旋轉角后到達點，然后繼續沿單位圓順時針方向旋轉角到達點，若點的縱坐標是，則點的坐標是___________.第22講任意角和弧度制及任意角的三角函數1．角的概念(1)定義：角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．分類：按旋轉方向，角可以分成三類：正角、負角和零角．(2)象限角在平面直角坐標系中，若角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．(3)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和．2．弧度制的相關概念(1)1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角．(2)弧度制：①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度．如圖，在單位圓O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))的長等于1，∠AOB就是1弧度的角．(3)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°．(4)扇形的弧長公式：l＝α·r，扇形的面積公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半徑，α(0＜α＜2π)為弧所對圓心角．3．三角函數的概念三角函數正弦余弦正切定義設α是一個任意角，α∈R，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα考點1角的概念與表示[名師點睛](1)表示區間角的三個步驟①先按逆時針方向找到區域的起始和終止邊界；②再按由小到大的順序分別標出起始和終止邊界對應的－360°～360°范圍內的角α和β，寫出最簡區間{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；③最后令起始、終止邊界對應角α，β再加上360°的整數倍，即得區間角的集合．(2)象限角的兩種判斷方法①圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角；②轉化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α的終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習）下列說法中正確的是（

）A．第一象限角都是銳角B．三角形的內角必是第一?二象限的C．不相等的角終邊一定不相同D．不論是用角度制還是弧度制度量一個角，它們與扇形的半徑的大小無關答案：D【解析】解：對于，第一象限的角不一定是銳角，所以錯誤；對于，三角形內角的取值范圍是，所以三角形內角的終邊也可以在軸的非負半軸上，所以錯誤；對于，不相等的角也可能終邊相同，如與，所以錯誤；對于，根據角的定義知，角的大小與角的兩邊長度大小無關，所以正確．故選：．2．(2023·全國·高三專題練習）與角的終邊相同的角的表達式中，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，答案：C【解析】首先角度制與弧度制不能混用，所以選項AB錯誤；又與的終邊相同的角可以寫成，所以正確．故選：．3．(2023·全國·高三專題練習）角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：D【解析】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當時，此時的終邊落在第一象限，當時，此時的終邊落在第二象限，當時，此時的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】解：，由圖知，角的取值集合為:故選：D.2．(2023·浙江·高三專題練習）若，則的終邊在（

）A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限答案：A【解析】解：因為，所以當時，，其終邊在第三象限；當時，，其終邊在第一象限.綜上，的終邊在第一、三象限.故選：A.3．（多選）(2023·江蘇·高三專題練習）下列與角的終邊不相同的角是（

）A． B．2kπ－(k∈Z)C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)答案：ABD【解析】與角的終邊相同的角為，其余三個角的終邊與角的終邊不同．故選：ABD.4．（多選）(2023·全國·高三專題練習）如果角與角的終邊相同，角與的終邊相同，那么的可能值為（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】因為角與角的終邊相同，故，其中，同理，其中，故，其中，當或時，或，故AC正確，令，此方程無整數解；令即，此方程無整數解；故BD錯誤.故選：AC.5．（多選）(2023·全國·高三專題練習）下列條件中，能使和的終邊關于軸對稱的是（

）A． B．C． D．答案：BD【解析】根據和的終邊關于軸對稱時可知，選項B中，符合題意；選項D中，符合題意；選項AC中，可取時顯然可見和的終邊不關于軸對稱.故選：BD.6．（多選）(2023·全國·高三專題練習）如果是第四象限角，那么可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角答案：BD【解析】解：由已知得，，所以，，當為偶數時，在第四象限，當為奇數時，在第二象限，即在第二或第四象限．故選：BD．考點2弧度制及其應用[名師點睛]應用弧度制解決問題的注意點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．[典例]1．(2023·廣東廣東·一模）數學中處處存在著美，機械學家萊洛發現的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．答案：【解析】由條件可知，弧長，等邊三角形的邊長，則以點A、B、C為圓心，圓弧所對的扇形面積為，中間等邊的面積所以萊洛三角形的面積是.故答案為：2．(2023·全國·模擬預測）炎炎夏日，在古代人們乘涼時習慣用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形ABC的面積S為，若，則當該紙疊扇的周長C最小時，BD的長度為___________.答案：【解析】解：設扇形ABC的半徑為rcm，弧長為lcm，則扇形面積.由題意得，所以.所以紙疊扇的周長，當且僅當即，時，等號成立，所以.又，所以，所以，故.故答案為：[舉一反三]1．(2023·湖北·房縣第一中學模擬預測）已知圓臺形的花盆的上、下底面的直徑分別為8和6，該花盆的側面展開圖的扇環所對的圓心角為，則母線長為（

）A．4 B．8 C．10 D．16答案：A【解析】如圖，弧長為，弧長為，因為圓心角為，，，則母線.故選：A.2．(2023·山東濟南·二模）濟南市洪家樓天主教堂于2006年5月被國務院列為全國重點文物保護單位.它是典型的哥特式建筑.哥特式建筑的特點之一就是窗門處使用尖拱造型，其結構是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖2，和所在圓的圓心都在線段AB上，若，，則的長度為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】過作，設圓弧AC的圓心為O，半徑為，則，在中，，所以，，所以在直角三角形中，，所以，所以，而，所以，所以.故選：A.3．(2023·湖南·長郡中學高三階段練習）已知圓錐的底面直徑為，母線長為，則其側面展開圖扇形的圓心角為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題設，底面周長，而母線長為，根據扇形周長公式知：圓心角.故選：C.4．(2023·廣東·一模）為解決皮尺長度不夠的問題，實驗小組利用自行車來測量A，B兩點之間的直線距離.如下圖，先將自行車前輪置于點A，前輪上與點A接觸的地方標記為點C，然后推著自行車沿AB直線前進（車身始終保持與地面垂直），直到前輪與點B接觸.經觀測，在前進過程中，前輪上的標記點C與地面接觸了10次，當前輪與點B接觸時，標記點C在前輪的左上方（以下圖為觀察視角），且到地面的垂直高度為0.45m.已知前輪的半徑為0.3m，則A，B兩點之間的距離約為（

）（參考數值：）A．20.10m B．19.94m C．19.63m D．19.47m答案：D【解析】解：由題意，前輪轉動了圈，所以A，B兩點之間的距離約為，故選：D.5．(2023·浙江紹興·模擬預測）我國古代數學著作《九章算術》方田篇記載“宛田面積術曰：以徑乘周，四而一”（注：宛田，扇形形狀的田地：徑，扇形所在圓的直徑；周，扇形的弧長），即古人計算扇形面積的公式為：扇形面．現有一宛田的面積為，周為，則徑是__________．答案：【解析】根據題意，因為扇形面，且宛田的面積為，周為，所以，解得徑是：.故答案為：.6．(2023·湖南·雅禮中學二模）坐標平面上有一環狀區域由圓的外部與圓的內部交集而成.某同學欲用一支長度為1的筆直掃描棒來掃描此環狀區域的x軸上方的某區域R.他設計掃描棒黑?白兩端分別在半圓?上移動.開始時掃描棒黑端在點，白端在的點B.接著黑?白兩端各沿著?逆時針移動，直至白端碰到的點便停止掃描，則B坐標___________；掃描棒掃過的區域R的面積為___________.答案：

【解析】由題意，，設，則點在上.則，解得所以當白端在上移動，碰到的點時，黑端在點在上移動，設移動到點位置.則掃描棒掃過的區域R為如圖所示的陰影部分.設則，解得，即連接,在中，滿足，則,所以由,則為直角三角形，則則,扇形與扇形的面積為區域R的面積為故答案為：；考點3三角函數的定義[名師點睛]1．利用三角函數的定義求三角函數值時，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數值．2．已知角的某一個三角函數值，可以通過三角函數的定義列出含參數的方程，求參數的值．3．要判定三角函數值的符號，關鍵是要搞清三角函數中的角是第幾象限角，再根據正、余弦函數值在各象限的符號確定值的符號．如果不能確定角所在的象限，就要進行分類討論求解．[典例]1．(2023·山東濰坊·二模）已知角的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點，在角的終邊上，且，則（

）A．2 B． C． D．答案：C【解析】由已知得，因為點，在角的終邊上，所以直線的斜率為，所以，明顯可見，在第二象限，.故選：C2．(2023·湖南·長沙一中高三階段練習）若角的終邊過點P（8m，），且，則m的值為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】∵，∴，故選：A.3．(2023·山東棗莊·高三期末）為第三或第四象限角的充要條件是（

）．A． B． C． D．答案：D【解析】對于A：第三或第四象限角，以及終邊在y軸負半軸，故A錯誤；對于B：第二或第三象限角，以及終邊在x軸負半軸，故B錯誤；對于C：第二或第三象限角，故C錯誤；對于D：第三或第四象限角，故D正確.故選：D[舉一反三]1．(2023·北京·二模）已知角的終邊經過點，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題設，而.故選：A2．(2023·全國·高三專題練習）已知是第四象限角，是角終邊上的一個點，若，則（

）A．4 B．-4 C． D．不確定答案：B【解析】依題意是第四象