第1節基本立體圖形及空間幾何體的表面積與體積高考總復習優化設計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025領航備考路徑新課標核心考點2020202120222023Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷1.空間幾何體的表面積與體積

第13題第3題第4題,第5題第4題第11題第14題第9題,第14題2.球的切、接問題第16題

第8題第7題第12題

3.空間位置關系的判斷與證明第20題第20題第12題,第20題第10題,第19題

第20題第18題第20題4.空間角與距離第4題,第20題第4題,第20題第20題第19題第9題,第19題第20題第18題第20題優化備考策略考情分析:從題型和題量上看,高考對本專題考查基本穩定在“兩小一大”或“三小一大”的方式,總分約22分到27分.從考查內容上看,小題主要考查空間幾何體的結構特征、體積與表面積、球與幾何體的切、接、空間位置關系的判斷等,難度中等或中低等.解答題多以幾何體為載體,考查空間位置關系的證明、空間角的求解等,難度中等.對直觀想象、邏輯推理、數學運算的數學核心素養要求較高.復習策略:1.掌握特殊幾何體的結構特征,熟記體積與表面積公式,理解并會應用空間平行與垂直的相關定理與結論,這是解決立體幾何問題的基礎.2.注意對直觀想象核心素養的訓練,通過動手畫圖,觀察分析圖形,對空間幾何體中位置關系的證明與應用等有效提升空間想象能力.3.重視圖形的作用,解立體幾何問題,可將題目中的已知或隱含的條件標注在圖形上,達到只通過圖形就能表述出題目的已知與所求的效果.4.歸納幾何體中常見的建系方法與技巧,并能合理運用.5.通過題目的訓練,提升運算正確率,尤其是利用空間向量求解空間角的問題.課標解讀1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征,能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構.2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖.1強基礎固本增分2研考點精準突破目錄索引

1強基礎固本增分知識梳理1.空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征圍成多面體的每一個面都是平面圖形,沒有曲面

名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相

且

多邊形互相

側棱

相交于

但不一定相等

延長線交于

側面形狀

平行

全等平行

平行且相等一點一點平行四邊形三角形梯形微思考有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎?提示

不一定.如圖所示的幾何體滿足條件,但不是棱柱.微點撥1.多面體的關系

2.特殊的四棱柱

(2)旋轉體的結構特征

旋轉體一定有旋轉軸

名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線平行、相等且

于底面

相交于

延長線交于

—軸截面全等的

全等的

全等的

側面展開圖矩形扇形扇環—垂直一點一點矩形等腰三角形等腰梯形圓微點撥旋轉體要抓住“旋轉”這一特點,弄清底面、側面及展開圖的形狀.2.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,其規則是:(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O.畫直觀圖時,把它們畫成對應的x'軸與y'軸,兩軸相交于點O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面.(2)已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于x'軸或y'軸的線段.(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段,在直觀圖中長度為原來的一半.九十度,畫一半,橫不變,縱減半,平行關系不改變,畫出圖形更直觀

3.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式

名稱圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側=

S圓錐側=

S圓臺側=

微點撥一些幾何體表面上的最短距離問題,常常“化曲為直”,利用幾何體的側(表)面展開解決.2πrlπrlπ(r1+r2)l4.柱體、錐體、臺體和球的表面積和體積

幾何體名稱表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側+2S底V=

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側+S底V=

臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側+S上+S下V=球S=

V=

S底·h4πR2微思考柱體、錐體、臺體體積之間有什么關系?提示

常用結論1.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形面積的關系:2.球的截面的性質(1)球的截面是圓面,且球心和截面(不過球心)圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離d與球的半徑R及截面圓的半徑r的關系為3.正方體與球的切、接常用結論設正方體的棱長為a,球的半徑為R.自主診斷題組一思考辨析(判斷下列結論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.棱柱的底面一定是平行四邊形.(

)2.用兩個平行平面截圓柱,夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱.(

)3.棱臺是由平行于棱錐底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.(

)4.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.(

)××√×題組二回源教材5.(人教A版必修第二冊習題8.1第8題改編)如圖,長方體ABCD-A'B'C'D'被一個平面截成兩個幾何體,其中EH∥B'C'∥FG.則左下方部分幾何體是(

)A.棱臺B.四棱柱C.五棱柱D.既不是棱柱,也不是棱臺C解析

根據棱柱的定義,可知幾何體是以五邊形ABFEA'為底面的五棱柱.6.(人教B版必修第四冊習題11-1B第14題改編)已知正四棱錐的側面都是等邊三角形,它的斜高為,則這個正四棱錐的體積為

.

7.(人教A版必修第二冊8.3.2節例3改編)如圖,某種浮標由兩個半球和一個圓柱黏合而成,半球的直徑是0.3m,圓柱高0.6m.如果在浮標表面涂一層防水漆,每平方米需要0.5kg涂料,那么給1000個這樣的浮標涂防水漆需要涂料

kg.(π取3.14)

423.9解析

一個浮標的表面積為2π×0.15×0.6+4π×0.152≈0.847

8(m2),所以給1

000個這樣的浮標涂防水漆約需涂料0.847

8×0.5×1

000=423.9(kg).題組三連線高考8.(2021·全國甲,文14)已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30π,則該圓錐的側面積為

.

39π

9.(2023·新高考Ⅱ,14)底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺的體積為

.

28

解析

如圖所示,

在正四棱錐P-ABCD中,平面A'B'C'D'∥平面ABCD.點O',O分別為正四棱臺ABCD-A'B'C'D'上、下底面的中心,O'H'⊥A'B',OH⊥AB,點H',H為垂足.由題意,得AB=4,A'B'=2,PO'=3.易知△PO'H'∽△POH,所以2研考點精準突破考點一基本立體圖形(多考向探究預測)考向1結構特征例1(多選題)下列說法不正確的有(

)A.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線B.直角三角形繞其一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體是圓錐C.棱臺的上、下底面一定是相似多邊形,但側棱長不一定相等D.棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面ABD

解析

A不正確,只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線;B不正確,當以斜邊所在直線為旋轉軸時,其余兩邊旋轉形成的面所圍成的幾何體不是圓錐,它是由兩個同底圓錐組成的幾何體;C正確,棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形,各側棱延長線交于一點,但是側棱長不一定相等;D不正確,棱柱的兩個側面也有可能平行.考向2直觀圖例2(1)已知水平放置的△ABC按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么△ABC是一個(

)A.等邊三角形B.直角三角形C.非等邊的等腰三角形D.鈍角三角形A解析

根據斜二測畫法還原△ABC在直角坐標系的圖形,如圖.則

(2)已知△ABC是邊長為a的正三角形,用“斜二測畫法”畫出△ABC的平面直觀圖△A'B'C',那么△A'B'C'的面積為(

)A解析

(方法一)根據題意,建立如圖1所示的平面直角坐標系,OC是△ABC的高,再按照斜二測畫法畫出其直觀圖,如圖2所示.圖1圖2變式探究(交換條件與結論)例2(2)變為:已知用“斜二測畫法”畫出的△ABC的平面直觀圖△A'B'C'是邊長為a的正三角形,則△ABC的面積為

.

圖1圖2考向3展開圖例3(2024·安徽銅陵模擬)如圖是一座山的示意圖,山大致呈圓錐形,山腳呈圓形,半徑為2km,山高為

km,B是山坡SA上一點,且AB=2km.現要建設一條從A到B的環山觀光公路,這條公路從A出發后先上坡,后下坡,當公路長度最短時,下坡路段長為

.

3.6km

結合題意,AB==10,由點S向AB引垂線,垂足為點H,此時SH為點S和線段AB上的點連線的最小值,即點H為公路的最高點,HB段即為下坡路段,則SB2=BH·AB,即36=10·BH,得BH=3.6

km,即下坡路段長度為3.6

km.[對點訓練1](1)(2024·湖北武漢高一校聯考階段練習)下列說法正確的是(

)A.既是直四棱柱又是平行六面體的幾何體是長方體B.棱錐的側棱長一定大于棱錐的底面邊長C.以半圓直徑所在的直線為旋轉軸,旋轉一周形成的曲面叫球D.一個矩形以其對邊的中點連線為旋轉軸,旋轉180°所形成的幾何體是圓柱D解析

A中,既是直四棱柱又是平行六面體的幾何體,此時底面可能不是矩形,所以不一定為長方體,所以A不正確;B中,棱錐的側棱長不一定大于棱錐的底面邊長,例如正四棱錐的底面邊長為4,側棱長可為3,此時側棱長小于底面邊長,所以B不正確;C中,以半圓直徑所在的直線為旋轉軸,旋轉一周形成的曲面叫球面,球面所圍成的幾何體叫做球體,所以C不正確;D中,一個矩形以其對邊的中點連線為旋轉軸,旋轉180°,滿足圓柱的定義,所以形成的幾何體是圓柱,所以D正確.故選D.(2)如圖,已知正三棱柱的底面邊長為2cm,高為5cm,一質點自點A出發,沿著三棱柱的側面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為(

)A.12cm B.13cmC.cm D.15cmB解析

將正三棱柱ABC-A1B1C1沿側棱展開,再拼接一次,其側面展開圖如圖所示.在展開圖中,最短距離是六個矩形構成的大矩形對角線的長度,設為d,也即為三棱柱的側面上所求距離的最小值.由已知求得大矩形的長等于6×2=12,寬等于5,由勾股定理(3)用“斜二測畫法”畫出的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示,已知A'C'=3,B'C'=2,則在△ABC中,AB邊上的中線的長度為

.

解析

根據斜二測畫法的原則,由直觀圖知,原平面圖形為直角三角形,且AC=A'C'=3,BC=2B'C'=4,AC⊥BC,所以AB2=AC2+BC2=9+16=25,所以AB=5,故AB邊上中線AD的長為考點二簡單幾何體的表(側)面積例4(1)(2024·廣東珠海六校聯考)我國元代瓷器元青花團菊花紋小盞如圖所示,撇口,深弧壁,圈足微微外撇,底心有一小乳突.器身施白釉,以青花為裝飾,釉質潤澤,底足露胎,胎質致密,碗內口沿飾有一周回紋,內底心書有一文字,碗外壁繪有一周纏枝團菊紋,下筆流暢,紋飾灑脫.該元青花團菊花紋小盞口徑8.3厘米,底面直徑2.8厘米,高4厘米,它的形狀可近似看作圓臺,則其側面積約為(

)(單位:平方厘米)A.18π

B.20π

C.27π

D.34πC(2)(2024·甘肅蘭州模擬)如圖所示是某研究性學習小組制作的某建筑物屋頂部分,它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體,已知正四棱臺上底、下底、側棱的長度(單位:dm)分別為2,6,4,正三棱柱各棱長均相等,則該結構表面積為(

)A規律方法幾何體表面積的求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉體的表面積可以從旋轉體的形成過程及其幾何體特征入手,將其展開后求表面積,但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系求不規則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積,再通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積[對點訓練2](1)(多選題)(2024·湖北黃岡中學模擬)一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑2R相等,則下列結論正確的是(

)A.圓柱的側面積為2πR2B.圓錐的側面積為2πR2C.圓柱的側面積與球的表面積相等D.圓柱、圓錐、球的體積之比為3∶1∶2CD(2)如圖1是文祥塔,位于浙江省溫州市泰順縣城南象山之上,初名象山塔,后人重修時易名為文祥塔.已知該塔六面七層且第七層塔身可近似地視為一個高2.8m、底面邊長為2m的正六棱柱,塔頂可近似地視為一個高1m的正六棱錐,如圖2所示,則該塔的第七層塔身及其塔頂的表面積之和約為(

)圖1圖2A考點三簡單幾何體的體積例5(1)(2024·廣東佛山模擬)科技是一個國家強盛之根,創新是一個民族進步之魂,科技創新鑄就國之重器,極目一號(如圖1)是中國科學院自主研發的系留浮空器.2022年5月,“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功升至9032米高空,超過珠穆朗瑪峰,創造了浮空艇大氣科學觀測海拔最高的世界紀錄,彰顯了中國的實力.“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55米,高19米,若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體,如圖2所示,是該浮空艇的軸截面圖,則它的體積約為(

)(參考數據:9.52≈90,9.53≈857,315×1005≈316600,π≈3.14)A.9064m3