第第頁專題01數與式【初高中知識點銜接】知識點初中高中數的擴充由整數到有理數、實數的擴展思想；掌握有理數的運算法則和運算性質，懂得實數的基本運算和順序關系;初步形成數量觀念由實數擴充到復數的擴展思想；掌握復數的有關概念和用代數形式表示的復數的基本運算代數式掌握:(1)整式與多項式的因式分解；(2)分式，根式和指數的基本運算和變形在初中代數式基礎上，掌握集合區間的基本知識，掌握數列、數學歸納法的基本知識在本講中，我們主要鞏固初中所學的知識，在鞏固的基礎上進行初高中銜接.在初中，立方差與立方和公式是作為拓展內容的,學生可以選擇性學習，也可以不學.但在高中，對立方差與立方和公式有著廣泛的應用，高中學生必須掌握，在本講的代數式部分著重補充了這幾個公式。注:立方和：；立方差：；【知識回顧與銜接】實數1、實數的分類2、絕對值3、數的開方4、指數是正整數，）；二、乘法公式與因式分解1、乘法公式:2、因式分解（1）步驟：1°提取公因式2°套公式3°十字相乘法4°分組分解5°查是否分解徹底（2）因式分解中常見的七個公式:①平方差：；②立方和：；③立方差：；④完全平方：；⑤三數和的平方：；⑥和立方：；⑦差立方：．以上公式必須熟記，牢牢掌握他們的特點，七個公式中公式①（即平方差公式）初高中應用的最多。3、十字相乘法定義及應用舉例十字相乘法的三個步驟：1°豎分二次項與常數項2°交叉相乘，積相加3°檢驗確定，橫寫因式三、分式、根式和指數1、分式的基本性質：2、二次根式的性質：①叫做二次根式②③④；⑤．⑥分母有理化：．⑦分子有理化：3、整數指數冪（ⅰ）正整數指數冪；（ⅱ）零指數冪；（ⅲ）負整數指數冪是正整數）．4、分數指數冪（?。┱謹抵笖祪缡钦麛?，）；（ⅱ）負分數指數冪是正整數，）．5、整數指數冪的運算性質（?。┦钦麛担?；（ⅱ）是整數）；（ⅲ）是整數）；（ⅳ）是整數）；6、分數指數冪的運算性質（?。┦怯欣頂担?；（ⅱ）是有理數）；（ⅲ）是有理數）；【例題精講】1、若，則的值為（

）A．13 B．26 C．28 D．37【答案】A【分析】由條件可得，然后可得答案.【詳解】依題意得，則，故選：A2、當時，計算______.【答案】【分析】利用二次根式的性質化簡，再利用絕對值的代數意義計算即可．【詳解】解：，所以，，，故答案為：3、用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】由十字相乘法即得.【詳解】（1）=；（2）=；（3）=；（4）=．4、若，那么的值是_________．【答案】【分析】先求出，的值，再代入所求式子，將式子進行裂項，再相加求解即可.【詳解】因為，所以，，即，，所以.故答案為：.5、閱讀下列材料：我們知道，因此將的分子分母同時乘以“”，分母就變成了4，即，從而可以達到對根式化簡的目的．根據上述閱讀材料解決問題：若，則代數式的值是__________．【答案】2023【分析】根據分母有理化化簡，再由等式的恒等變形即可求解.【詳解】，∴原式故答案為：2023．6、求值：為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】每個因式用平方差公式分解,重新組合后累乘可得.【詳解】故選:A【點睛】本題需要分析數字特征，找出它們之間得內在聯系，屬于中檔題.7、我國南宋數學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求其面積的秦九韶公式，其中為三角形的三條邊，為最長邊．若一個三角形的三邊長分別為2，3，4，則此三角形面積為______．【答案】【分析】將2，3，4代入題目所給公式即可，其中.【詳解】因為這個三角形的三邊長分別為2，3，4，其中最長邊為4，所以將此三角形三邊長度代入公式得：故答案為：．8、因式分解(1)(2)(3)(4)(5)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】由十字相乘法、提公因式法和公式法依次因式分解即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.9、回答下列問題.（1）正數，滿足，求的值.（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題意解得，的關系，代入所求式子即可得結果.（2）利用偶次根式性質先化簡所求的根式，再將代入計算.【詳解】（1）由可得，即，則或，由，為正數，可得，則.（2）.10、（1）證明：（其中n是正整數）；（2）證明：對任意大于1的正整數n，有．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】(1)根據分式的運算性質證明；(2)由(1)的結論對不等式的左側化簡變形，即可證明.【詳解】（1）證明：

∴（其中n是正整數）成立．（2）證明：＝＝，又n≥1，且n是正整數，∵，∴．11、因式分解【答案】【分析】首先先分組，再進行因式分解.【詳解】【鞏固練習】1、若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據已知條件求得，從而求得.【詳解】依題意可知，所以.故選：D2、多項式因式分解的結果是（）.A． B．C． D．【答案】D【分析】提公因式再利用平方差公式即可得到答案.【詳解】故選：D.3、若是一個完全平方式，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由完全平方式的定義求解【詳解】因為為完全平方式，所以，得，故選：D4、已知，，那么的值為_________【答案】60【分析】直接由完全平方公式求解即可.【詳解】由可得，又，則.故答案為：60.5、__________.【答案】/【分析】利用指數的運算性質化簡可得結果.【詳解】原式.故答案為：.6、分解因式（1）

（2）

（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.【分析】（1）~（6）、（8）運用十字相乘法進行因式分解；（7）運用提公因式法和十字相乘法進行因式分解；（9）運用換元法、十字相乘法、公式法進行因式分解.【詳解】（1）；

（2）；

（3）（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）令，所以有【點睛】本題考查了用十字相乘法、換元法、公式法、提公因式法進行因式分解，考查了代數式恒等變形能力.7、已知.(1)求的值；(2)化簡并求值：.【答案】(1)3(2)，3【分析】（1）利用分母有理化化簡，再根據完全平方公式計算可得；（2）根據二次根式的性質及分式的性質化簡，再代入計算可得；(1)解：，，將代入得；(2)解：，，，原式.8、=___________【答案】/0.9【分析】觀察每個分式可以發現每個分式可以寫出兩個分數相減的形式，從而可得出答案.【詳解】解：＝故答案為：.9、我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若，則該矩形的面積為___________．【答案】12【解析】設小正方形的邊長為，在中由勾股定理得，則可求出面積.【詳解】設小正方形的邊長為，，，在中，，即，即，則該矩形的面積為.故答案為：12.10、（1）試證：(其中是正整數)；（2）計算：；（3）證明：對任意大于的正整數，有.【答案】（1）證明見解析（2）