專題4.7等比數(shù)列的概念1．等比數(shù)列的概念2．等比中項假如在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.

若G是a與b的等比中項，則，所以=ab，即G=.3．等比數(shù)列的通項公式若等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項公式是=(,q≠0).4．等比數(shù)列的通項公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列{}的通項公式=可以改寫為=，當(dāng)q>0且q≠1時，等比數(shù)列{}的圖象是指數(shù)型函數(shù)y=的圖象上一些孤立的點.5．等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則

(1)當(dāng)或時，等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列；

(2)當(dāng)或時，等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列；

(3)當(dāng)q=1時，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；

(4)當(dāng)q<0時，等比數(shù)列{}為搖擺數(shù)列(它全部的奇數(shù)項同號，全部的偶數(shù)項也同號，但是奇數(shù)項與偶數(shù)項異號).6．等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè){}為等比數(shù)列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，則.

(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.

(3)數(shù)列{}(為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

若數(shù)列{}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.

(4)在數(shù)列{}中，每隔k(k)項取出一項，按原來的依次排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為.

(5)在數(shù)列{}中，連續(xù)相鄰k項的和(或積)構(gòu)成公比為(或)的等比數(shù)列.

(6)若數(shù)列{}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.【題型1等比數(shù)列的基本量的求解】【方法點撥】依據(jù)所給條件，求解等比數(shù)列的基本量，即可得解.【例1】（2024·江西·高三階段練習(xí)（文））在等比數(shù)列an中，a2+a4=3，A．4 B．±4 C．2 D．【變式1-1】（2024·陜西·高二階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an中，a2=116，aA．±4 B．±22【變式1-2】（2024·甘肅·高三階段練習(xí)（理））在等比數(shù)列an中，a2a4=64，aA．2 B．±2 C．2或43 D．【變式1-3】（2024·云南昆明·高二期末）在等比數(shù)列an中，a1+a3=2，A．2 B．3 C．13 D．【題型2等比中項】【方法點撥】依據(jù)題目條件，結(jié)合等比中項的定義，即可得解.【例2】（2024·黑龍江·高二期中）在等比數(shù)列an中，a1=18，q=2，則A．±4 B．4 C．-2【變式2-1】（2024·寧夏·高一期末）若等比數(shù)列的首項為4，公比為2，則數(shù)列中第2項與第4項的等比中項為（

）A．32 B．-16 C．±32【變式2-2】（2024·廣東·高二期中）若數(shù)列2,a,8是等比數(shù)列，則實數(shù)a的值為（A．4 B．-?4 C．【變式2-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列an為等比數(shù)列，a1=1，a5=4，命題p:a3=2，命題q:aA．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【題型3等比數(shù)列的通項公式】【方法點撥】結(jié)合所給數(shù)列的遞推關(guān)系，分析數(shù)列之間的規(guī)律關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】（2024·湖南·高二期中）正項等比數(shù)列an滿足a1=2，a3=8A．2n-1 B．2n【變式3-1】（2024·陜西·高二階段練習(xí)（文））在各項為正的遞增等比數(shù)列an?中，a1a2aA．2n+1? B．C．3×2n【變式3-2】（2024·全國·高二課時練習(xí)）已知在等比數(shù)列an中，a3=4，前三項和S3=12A．a(chǎn)n=C．a(chǎn)n=4 D．a(chǎn)【變式3-3】（2024·山西太原·高三期末（理））等比數(shù)列{an}中，aA．a(chǎn)n=C．a(chǎn)n=2n或1【題型4等比數(shù)列的單調(diào)性】【方法點撥】推斷單調(diào)性的方法：①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等，探討數(shù)列的單調(diào)性.②利用定義推斷：作差比較法，即作差比較與的大小；作商比較法，即作商比較與的大小，從而推斷出數(shù)列{}的單調(diào)性.【例4】（2024·陜西·高二期中（理））數(shù)列an是等比數(shù)列，首項為a1，公比為q，則a1q-A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-1】（2024·遼寧·高二期中）設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q，則anA．a(chǎn)1>0，q>1 B．C．a(chǎn)1lg【變式4-2】（2024·河南·高二階段練習(xí)（理））已知等比數(shù)列{an}的公比為q．若{anA．q<-1 B．-1<【變式4-3】（2024·安徽宿州·高二期中）已知等比數(shù)列an，下列選項能推斷an為遞增數(shù)列的是(A．a(chǎn)1>0，0<q<1C．a(chǎn)1<0，q=1 D．【題型5等比數(shù)列的判定與證明】【方法點撥】只有定義法、遞推法(等比中項法)可用于證明等比數(shù)列，通項公式法與前n項和公式法只能用于小題中等比數(shù)列的判定；在用定義法與遞推法(等比中項法)證明等比數(shù)列時要留意≠0.【例5】（2024·湖南省高二期中）在數(shù)列an中，a1=2(1)求證：an(2)求數(shù)列an【變式5-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a1=1,an+1【變式5-2】（2024·福建省高三階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足an+1=12(1)求證：數(shù)列bn(2)若cn=-【變式5-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列{an}中，已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{(1)證明數(shù)列{a(2)若a1=15，【題型6等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點撥】對于等比數(shù)列的運算問題，可視察已知項和待求項的序號之間的關(guān)系，利用等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解，這樣可以削減運算量，提高運算速度.【例6】（2024·廣西·高二階段練習(xí)）在等比數(shù)列{an}中，已知a3aA．4 B．6 C．8 D．10【變式6-1】（2024·全國·高三專題練習(xí)）己知在等比數(shù)列an中，a2a3aA．-2 B．±2【變式6-2】（2024·吉林白山·高二期末）已知等比數(shù)列{an}的公比q為整