第十周自主評價練習（期中測評卷）【第一章至第四章】A卷（共100分）一、選擇題（每小題4分，共32分）1.如圖，將矩形

ABCD

對折，使邊

AB

與

DC

，

BC

與

AD

分別重

合，展開后得到四邊形

EFGH

.

若

AB

＝2，

BC

＝4，則四邊形

EFGH

的面積為（

B

）A.2B.4C.5D.6（第1題圖）B2.一元二次方程

x2－3

x

＋1＝0的根的情況（

B

）A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根C.沒有實數根D.無法確定3.隨機拋擲一枚瓶蓋5000次，經過統計得到“正面朝上”的次

數為2100次，則可以由此估計拋擲這枚瓶蓋出現“正面朝上”

的概率為（

B

）A.0.22B.0.42C.0.50D.0.58BB4.如圖，點

D

，

E

，

F

分別是△

ABC

各邊中點，則以下說法錯

誤的是（

C

）A.△

BDE

和△

DCF

的面積相等B.四邊形

AEDF

是平行四邊形C.若

AB

＝

BC

，則四邊形

AEDF

是菱形D.若∠

A

＝90°，則四邊形

AEDF

是矩形（第4題圖）C5.如圖，已知∠

DAB

＝∠

CAE

，則添加下列一個條件后，仍然

無法判定△

ABC

∽△

ADE

的是（

A

）A.

＝

B.

＝

C.∠

B

＝∠

D

D.∠

C

＝∠

AED

（第5題圖）A6.如圖，在菱形

ABCD

中，

AB

＝5，

AC

＝6，過點

D

作

DE

⊥

BA

，交

BA

的延長線于點

E

，則線段

DE

的長為（

D

）A.

B.

C.4D.

（第6題圖）D7.《九章算術》是我國古代數學名著，有題譯文如下：今有

門，不知其高寬；有竿，不知其長短.橫放，竿比門寬長出4

尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線長恰好相

等.則門高、寬和對角線的長各是多少？設門對角線的長為

x

尺，下列方程符合題意的是（

B

）A.（

x

＋2）2＋（

x

－4）2＝

x2B.（

x

－2）2＋（

x

－4）2＝

x2C.

x2＋（

x

－2）2＝（

x

－4）2D.（

x

－2）2＋

x2＝（

x

＋4）2B

A.（0，0）B.（3，0）C.（4，0）D.（5，0）（第8題圖）C

8

12

11.如圖，在△

ABC

中，點

P

為邊

AB

上一點，且∠

ACP

＝∠

B

.

若

AP

＝6，

BP

＝4，則

AC

的長為

.

－1

10

三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14.（本小題滿分12分，每題6分）解下列方程：（1）

x2－2

x

－3＝0；

解：（1）因式分解，得（

x

－3）（

x

＋1）＝0，∴

x

－3＝0或

x

＋1＝0.∴

x1＝3，

x2＝－1.

（2）2

x2－3

x

－1＝0.15.（本小題滿分8分）如圖，在正方形

ABCD

中，點

E

，

F

在對

角線

BD

上，

AE

∥

CF

，連接

AF

，

CE

，試判斷四邊形

AECF

的

形狀，并說明理由.解：四邊形

AECF

是菱形.理由如下：如答圖，連接

AC

，交

BD

交于點

O

.

∵四邊形

ABCD

是正方形，∴

AC

⊥

EF

，

AO

＝

CO

.

∵

AE

∥

CF

，∴∠

AEF

＝∠

CFE

.

答圖又∵

AC

⊥

EF

，∴平行四邊形

AECF

是菱形.∵∠

AOE

＝∠

COF

，∴△

AOE

≌△

COF

（AAS）.∴

OE

＝

OF

.

∵

OA

＝

OC

，∴四邊形

AECF

是平行四邊形.答圖16.（本小題滿分8分）某中學為進一步提高研學質量，著力培

養學生的核心素養，選取了A.“青少年科技館”；B.“黃河入

海口濕地公園”；C.“孫子文化園”；D.“白鷺湖營地”四個

研學基地進行研學.為了解學生對以上研學基地的喜歡情況，隨

機抽取部分學生進行調查統計（每名學生必須且只能選擇一個

研學基地），并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統計圖（如

圖所示）.請根據統計圖中的信息解答下列問題：（1）在本次調查中，一共抽取了

人進行調查，在扇

形統計圖中“A”所對應圓心角的度數為

，并補全條

形統計圖；24

30°

（2）若該校共有480名學生，請你估計選擇研學基地C的學

生人數；解：（2）480×25％＝120（人）.∴估計該校選擇研學基地C的

學生有120人.（3）學校想從選擇研學基地D的學生中選取兩名學生了解他們

對研學活動的看法，已知選擇研學基地D的學生中恰有兩名女

生，請用列表或畫樹狀圖的方法求出所選兩人都是男生的概率.

（1）求證：無論

k

為何實數，原方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程的兩個實數根

x1，

x2滿足

x1－

x2＝3，求

k

的值.

（1）如圖1，當

AE

＝

AF

時，求∠

AEB

的度數.解：（1）∵四邊形

ABCD

是菱形，∴

BC

∥

AD

，∠

BAC

＝∠

DAC

.

∴∠

ABC

＋∠

BAD

＝180°.∵∠

ABC

＝120°，∴∠

BAD

＝60°.∴∠

EAF

＝30°.∵

AE

＝

AF

，∴∠

AEF

＝∠

AFE

＝75°.由旋轉可知，∠

BEF

＝120°，∴∠

AEB

＝120°－75°＝45°.（2）如圖2，分別過點

B

，

F

作

EF

，

BE

的平行線，且兩直線相

交于點

G

.

①試探究四邊形

BGFE

的形狀，并求出四邊形

BGFE

周長的

最小值；解：（2）①如圖1，連接

DE

.

∵

AB

＝

AD

，∠

BAE

＝∠

DAE

，

AE

＝

AE

，∴△

BAE

≌△

DAE

（SAS）.∴

BE

＝

DE

，∠

ABE

＝∠

ADE

.

由旋轉可知，∠

BEF

＝120°，∴∠

BAF

＋∠

BEF

＝60°＋120°＝180°.∴∠

ABE

＋∠

AFE

＝180°.∵∠

AFE

＋∠

EFD

＝180°，∴∠

EFD

＝∠

ABE

.

∴∠

EFD

＝∠

ADE

.

∴

EF

＝

ED

.

∴

EF

＝

BE

.

②如圖2，連接

BD

，

DE

，過點

E

作

EH

⊥

CD

于點

H

.

∵

AB

＝

AD

，∠

BAD

＝60°，∴△

ABD

是等邊三角形.∴

BD

＝

AB

，∠

ABD

＝60°.∵

BG

∥

EF

，∴∠

EBG

＝180°－∠

BEF

＝60°.∴∠

ABD

＝∠

GBE

.

∴∠

ABG

＝∠

DBE

.

又∵

BG

＝

BE

，∴△

ABG

≌△

DBE

（SAS）.∴

AG

＝

DE

＝

y

.②連接

AG

，設

CE

＝

x

，

AG

＝

y

，寫出

y

與

x

之間滿足的關系式.

2

21.班長邀請

A

，

B

，

C

，

D

四位同學參加圓桌會議.如圖，班長

坐在⑤號座位，四位同學隨機坐在①②③④四個座位，則

A

，

B

兩位同學座位相鄰的概率是

.

23.如圖，在四邊形

ABCD

中，∠

BCD

＝90°，對角線

AC

，

BD

相交于點

O

.

若

AB

＝

AC

＝5，

BC

＝6，∠

ADB

＝2∠

CBD

，則

AD

的長為

.

二、解答題（共30分）24.（本小題滿分8分）某電商在網絡平臺上對一款成本價為40

元的小商品進行直播銷售，若按每件60元銷售，每天可賣出20

件.通過市場調查發現，每件小商品售價每降低2元，日銷售量

增加4件.（1）當每件小商品售價降為多少元時，每天的銷售量為36件？

并求出此時的利潤.解：（1）由題意，得60－（36－20）÷4×2＝52（元），此時的利潤為（52－40）×36＝432（元）.故當每件小商品售價降為52元時，每天的銷售量為36件，此時

的利潤為432元.（2）若降價后每天的利潤不變，則每件小商品售價應定為

多少元？解：（2）設每件小商品售價應定為

x

元，則每件利潤為（

x

－40）元，日銷售量為（140－2

x

）件.由題意，得（

x

－40）（140－2

x

）＝（60－40）×20，解得

x1＝50，

x2＝60（舍去）.∴每件小商品售價應定為50元.

②若∠

CBO

＝45°，求△

BOC

的面積.

（2）是否存在點

B

，使得以點

A

，

B

，

C

為頂點的三角形與△

BCO

相似？若存在，求

BO

的長；若不存在，請說明理由.解：（2）存在點

B

，使得以點

A

，

B

，

C

為頂點的三角形與△

BCO

相似.過點

A

作

AM

⊥

OB

于點

M

.

由（1）②可知，

AM

＝3，

OM

＝8.

26.（本小題滿分12分）如圖1，在正方形

ABCD

中，點

M

為

CD

邊上一點，過點

M

作

MN

⊥

CD

且

DM

＝

MN

，連接

DN

，

BM

，

CN

，點

P

，

Q

分別為

BM

，

CN

的中點，連接

PQ

.

（1）求證：

CM

＝2

PQ

.

（1）證明：如圖1，連接

BD

，取

MN

的中點

E

，連接

EP

，

EQ

.

∵

MN

⊥

CD

且

DM

＝

MN

，∴△

DMN

是等腰直角三角形.∴∠

MDN

＝45°.

∵點

E

，

P

分別為

MN

，

BM

的中點，

∵四邊形

ABCD

是正方形，∴∠

MDB

＝45°.∴

D

，

N

，

B

三點共線.設

DC

＝1，

DM

＝

a

，

∴

QF

垂直平分

EP

.

∴

EQ

＝

PQ

.

∵點

E

，

Q

分別為

MN

，

CN

的中點，

過點

Q

作

QF

⊥

EP

，則△

QFE

是等腰直角三角形.（2）如圖2，將圖1中的△

DMN

繞正方形

ABCD

的頂點