備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題06解析幾何中的定點、定值問題類型對應(yīng)典例向量之積為定值典例1斜率為定值典例2斜率之和為定值典例3斜率之積為定值典例4坐標為定值典例5面積為定值典例6直線恒過定點典例7圓恒過定點典例8【典例1】【四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬】已知橢圓：的離心率為，直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過點的直線交橢圓于，兩點，證明：為定值.【典例2】【北京市人大附中2019屆高三高考信息卷】已知橢圓離心率等于，、是橢圓上的兩點.（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.當運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值？如果為定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由.【典例3】【陜西省咸陽市2020屆高三模擬檢測】已知點Q是圓上的動點，點，若線段QN的垂直平分線MQ于點P.(I)求動點P的軌跡E的方程(II)若A是軌跡E的左頂點，過點D（-3，8）的直線l與軌跡E交于B，C兩點，求證：直線AB、AC的斜率之和為定值.【典例4】【河北省保定市2019屆高三4月第一次模擬】已知橢圓C:x2a2+y2（1）求橢圓C的方程；（2）已知與坐標軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點，線段MN中點為P，問kMN?k【典例5】【江西省吉安市2019屆高三下學期第一次模擬】已知橢圓與圓：有且僅有兩個公共點，點、、分別是橢圓上的動點、左焦點、右焦點，三角形面積的最大值是．（1）求橢圓的方程；（2）若點在橢圓第一象限部分上運動，過點作圓的切線，過點作的垂線，求證：，交點的縱坐標的絕對值為定值．【典例6】【湖南省郴州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測】已知橢圓的離心率，且橢圓過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線與交于，兩點，點在上，是坐標原點，若，判斷四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.【典例7】【北京市大興區(qū)2019屆高三4月一模】已知橢圓的離心率為，M是橢圓C的上頂點，，F(xiàn)2是橢圓C的焦點，的周長是6．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）過動點P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點，并求此定點的坐標．【典例8】【2020屆吉林省遼源市田家炳高級中學友好學校第六十八屆高三上學期期末聯(lián)考】已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.（1）求橢圓的方程；（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由.【針對訓練】1.【2020屆福建省福鼎一中高三第二次質(zhì)檢】過點的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點、，過點的直線與橢圓交于另一點，并與軸交于點，直線與直線交于點.（1）求該橢圓的標準方程；（2）當點異于點時，求證：為定值.2.【河北省示范性高中2019屆高三下學期4月聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)點是橢圓上的任意一點，射線與橢圓交于點，過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓交于兩個相異點，證明：面積為定值.3.【山東省泰安市2020屆模擬】圓O：x2+y2＝9上的動點P在x軸、y軸上的射影分別是P1，P2，點M滿足．（1）求點M的軌跡C的方程；（2）點A（0，1），B（0，﹣3），過點B的直線與軌跡C交于點S，N，且直線AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求證：kAS?kAN為常數(shù)．4.【2020湖北省武漢市模擬】如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．5．【山東省聊城市2019屆高三二?！恳阎詸E圓：的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于異于橢圓頂點的，兩點，為坐標原點，直線與橢圓的另一個交點為點，直線和直線的斜率之積為1，直線與軸交于點.若直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.6.【安徽省淮北市、宿州市2019屆高三第二次教學質(zhì)量檢測】已知橢圓，右焦點的坐標為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點的直線交橢圓于兩點（直線不與軸垂直），已知點與點關(guān)于軸對稱，證明：直線恒過定點，并求出此定點坐標．7.【河北省唐山市2019屆高三下學期第一次模擬】設(shè)橢圓：的左，右焦點分別為，，其離心率為，過的直線與C交于兩點，且的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的上頂點為，證明：當?shù)男甭蕿闀r，點在以為直徑的圓上．8.【內(nèi)蒙古2019年呼和浩特市高三年級第二次質(zhì)量普查調(diào)研】已知橢圓的一個焦點與的焦點重合且點為橢圓上一點（l）求橢圓方程；（2）過點任作兩條與橢圓相交且關(guān)于對稱的直線，與橢圓分別交于、兩點，求證：直線的斜率是定值備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題06解析幾何中的定點、定值問題類型對應(yīng)典例向量之積為定值典例1斜率為定值典例2斜率之和為定值典例3斜率之積為定值典例4坐標為定值典例5面積為定值典例6直線恒過定點典例7圓恒過定點典例8【典例1】【四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬】已知橢圓：的離心率為，直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，過點的直線交橢圓于，兩點，證明：為定值.【思路引導】（1）根據(jù)題意布列關(guān)于a，b的方程組，即可得到橢圓的方程；（2）設(shè)的方程：.聯(lián)立方程可得，利用韋達定理表示，即可得到結(jié)果.【詳解】解：（1）∵橢圓的離心率為，∴,∵直線與圓相切，∴，∴，∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，，當直線與軸不重合時，設(shè)的方程：.由得，，∴，，.當直線與軸重合時，.∴故為定值.【典例2】【北京市人大附中2019屆高三高考信息卷】已知橢圓離心率等于，、是橢圓上的兩點.（1）求橢圓的方程；（2）是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.當運動時，滿足，試問直線的斜率是否為定值？如果為定值，請求出此定值；如果不是定值，請說明理由.【思路引導】（1）由題意列式關(guān)于a，b，c的方程組，求解可得a，b的值，則橢圓C的方程可求；（2）設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，PA的直線方程為y﹣3＝k（x﹣2）將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長公式即可求得x1+2，同理PB的直線方程為y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得x2+2，從而得出AB的斜率為定值．【詳解】解：（1）由題意可得，解得a＝4，b，c＝2．∴橢圓C的方程為；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），當∠APQ＝∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為﹣k，直線PA的直線方程為y﹣3＝k（x﹣2），聯(lián)立，得（3+4k2）x2+8k（3﹣2k）x+4（3﹣2k）2﹣48＝0．∴．同理直線PB的直線方程為y﹣3＝﹣k（x﹣2），可得．∴，，，∴AB的斜率為定值．【典例3】【陜西省咸陽市2020屆高三模擬檢測】已知點Q是圓上的動點，點，若線段QN的垂直平分線MQ于點P.(I)求動點P的軌跡E的方程(II)若A是軌跡E的左頂點，過點D（-3，8）的直線l與軌跡E交于B，C兩點，求證：直線AB、AC的斜率之和為定值.【思路引導】（Ⅰ）線段的垂直平分線交于點P，所以，則為定值，所以P的軌跡是以為焦點的橢圓，結(jié)合題中數(shù)據(jù)求出橢圓方程即可；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到韋達定理，寫出化簡可得定值.【詳解】解：（Ⅰ）由題可知，線段的垂直平分線交于點P，所以，則，所以P的軌跡是以為焦點的橢圓，設(shè)該橢圓方程為，則，所以，可得動點P的軌跡E的方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，過點D的直線斜率存在且不為0，故可設(shè)l的方程為，，由得，而由于直線過點，所以，所以（即為定值）【典例4】【河北省保定市2019屆高三4月第一次模擬】已知橢圓C:x2a2+y2（1）求橢圓C的方程；（2）已知與坐標軸不垂直的直線l與C交于M，N兩點，線段MN中點為P，問kMN?k【思路引導】（1）由拋物線方程求出焦點坐標，得到橢圓半焦距，再由離心率求得a，由b=a2?（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為y=kx+m，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得P的坐標，再由斜率公式求得OP的斜率，可得kMN【詳解】解：（1）拋物線y2=4x的焦點為1,0，∴橢圓C的半焦距為又橢圓的離心率e=ca=12，∴橢圓C的方程為x（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為y=kx+m，聯(lián)立y=kx+m3x2Δ>0即只需m2設(shè)Mx1,則x1+∴P?4km3+4k∴【典例5】【江西省吉安市2019屆高三下學期第一次模擬】已知橢圓與圓：有且僅有兩個公共點，點、、分別是橢圓上的動點、左焦點、右焦點，三角形面積的最大值是．（1）求橢圓的方程；（2）若點在橢圓第一象限部分上運動，過點作圓的切線，過點作的垂線，求證：，交點的縱坐標的絕對值為定值．【思路引導】（1）根據(jù)橢圓與圓有且僅有兩個公共點，以及橢圓和圓的對稱性，三角形面積的最大值是，可以求出的值，得到橢圓的方程．（2）設(shè)出坐標，根據(jù)面積相等及勾股定理得到之間的等量關(guān)系，得到點之間的坐標關(guān)系，再由，將點坐標用點坐標表示出來，即可證明點縱坐標的絕對值為定值．【詳解】（1）依題意，解得，所以橢圓的方程是．（2）設(shè)點，，則，設(shè)直線與圓的切點為，由幾何知識得到：，，所以?=，即+=，又因為，所以，代入上式得：，所以，即為定值．【典例6】【湖南省郴州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測】已知橢圓的離心率，且橢圓過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)直線與交于，兩點，點在上，是坐標原點，若，判斷四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請說明理由.【思路引導】（1）根據(jù)離心率和橢圓經(jīng)過的點的坐標，建立方程組求解橢圓的方程；（2）寫出四邊形的面積表達式，結(jié)合表達式的特征進行判斷.【詳解】解：（1）因為橢圓的離心率，所以，即.因為點在橢圓上，所以.由，解得.所以橢圓的標準方程為.（2）當直線的斜率不存在時，直線的方程為或，此時四邊形的面積為.當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程是，聯(lián)立方程組，消去，得，，，，.，點到直線的距離是.由，得，.因為點在曲線上，所以有，整理得.由題意，四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為.由，得，故四邊形的面積是定值，其定值為.【典例7】【北京市大興區(qū)2019屆高三4月一?！恳阎獧E圓的離心率為，M是橢圓C的上頂點，，F(xiàn)2是橢圓C的焦點，的周長是6．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）過動點P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點，并求此定點的坐標．【思路引導】（Ⅰ）由題得到關(guān)于a,b,c的方程組，解方程組即得橢圓C的標準方程；（Ⅱ）當直線AB斜率存在，設(shè)AB的直線方程為，進一步求出直線的方程為，所以直線恒過定點.當直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點.【詳解】解：（Ⅰ）由于是橢圓的上頂點，由題意得，又橢圓離心率為，即，解得，，又，所以橢圓的標準方程．（Ⅱ）當直線AB斜率存在，設(shè)AB的直線方程為，聯(lián)立，得，由題意，，設(shè)，則，因為，所以是的中點．即，得，①又，l的斜率為，直線的方程為②把①代入②可得：所以直線恒過定點.當直線斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過.綜上所述直線恒過點.【典例8】【2020屆吉林省遼源市田家炳高級中學友好學校第六十八屆高三上學期期末聯(lián)考】已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為、，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.（1）求橢圓的方程；（2）已知圓的切線（直線的斜率存在且不為零）與橢圓相交于、兩點，那么以為直徑的圓是否經(jīng)過定點？如果是，求出定點的坐標；如果不是，請說明理由.【思路引導】(1)根據(jù)拋物線的焦點與橢圓的頂點公式求解即可.(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓的方程,列出韋達定理,并根據(jù)直線與圓相切得出的關(guān)系式,代入證明即可.【詳解】（1）因為橢圓的離心率,所以,即.因為拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點,所以,所以.所以橢圓的方程為.（2）因為直線的斜率存在且不為零.故設(shè)直線的方程為.由消去,得,所以設(shè),則.所以.所以.①因為直線和圓相切,所以圓心到直線的距離,整理,得,②將②代入①,得,顯然以為直徑的圓經(jīng)過定點綜上可知,以為直徑的圓過定點.【針對訓練】1.【2020屆福建省福鼎一中高三第二次質(zhì)檢】過點的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點、，過點的直線與橢圓交于另一點，并與軸交于點，直線與直線交于點.（1）求該橢圓的標準方程；（2）當點異于點時，求證：為定值.【思路引導】（1）先求出橢圓方程，當直線過橢圓右焦點時，寫出直線的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點的坐標，根據(jù)兩點間距離公式即可求得線段的長；（2）設(shè)出直線的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點的坐標，并求出點坐標，寫出直線與直線的方程，并解此方程組，求得點的坐標，代入即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由已知得，得，橢圓的方程為，橢圓的右焦點為，此時直線的方程為，由，解得，；（2）當直線與軸垂直時與題意不符，所以直線與軸不垂直，即直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為代入橢圓的方程，化簡得，解得，代入直線的方程，得，所以，的坐標為，又直線的方程為，直線方程為，聯(lián)立解得，即，而的坐標為，，即為定值.2.【河北省示范性高中2019屆高三下學期4月聯(lián)考】已知橢圓的離心率為，橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)點是橢圓上的任意一點，射線與橢圓交于點，過點的直線與橢圓有且只有一個公共點，直線與橢圓交于兩個相異點，證明：面積為定值.【思路引導】（1）根據(jù)橢圓的離心率和把過的點代入橢圓方程，根據(jù)得到的式子求出.（2）當直線斜率不存在時，易得的面積，當直線斜率存在時，設(shè)為，與橢圓相切，得到和的關(guān)系，再由直線和橢圓聯(lián)立方程組，得到、，利用弦長公式表示出，再得到和的關(guān)系，由到的距離，得到到的距離，從而計算出的面積.得到結(jié)論為定值.【詳解】（1）解：因為的離心率為，所以，解得.①將點代入，整理得.②聯(lián)立①②，得，，故橢圓的標準方程為.（2）證明：①當直線的斜率不存在時，點為或，由對稱性不妨取，由（1）知橢圓的方程為，所以有.將代入橢圓的方程得，所以.②當直線的斜率存在時，設(shè)其方程為，將代入橢圓的方程得，由題意得，整理得.將代入橢圓的方程，得.設(shè)，，則，，所以.設(shè)，，，則可得，.因為，所以，解得（舍去），所以，從而.又因為點到直線的距離為，所以點到直線的距離為，所以，綜上，的面積為定值.3.【山東省泰安市2020屆模擬】圓O：x2+y2＝9上的動點P在x軸、y軸上的射影分別是P1，P2，點M滿足．（1）求點M的軌跡C的方程；（2）點A（0，1），B（0，﹣3），過點B的直線與軌跡C交于點S，N，且直線AS、AN的斜率kAS，kAN存在，求證：kAS?kAN為常數(shù)．【思路引導】（1）設(shè)，，，根據(jù)向量關(guān)系，用的坐標表示的坐標后，將的坐標代入圓的方程可得的軌跡方程；（2）設(shè)出直線的方程并代入橢圓方程，利用韋達定理以及斜率公式得為常數(shù).【詳解】（1）設(shè)P（x0，y0），M（x，y），則＝（x0，0），＝（0，y0），由．得代入x02+y02＝9，所以點M的軌跡C的方程為.（2）當SN的斜率不存在時，AS，AN的斜率也不存在，故不適合題意；當SN的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則直線SN的方程為y＝kx﹣3代入橢圓方程整理得（1+4k2）x2﹣24kx+32＝0，△＞0?k2＞2設(shè)S（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2＝，x1x2＝，則kAS?kAN＝＝，故kAS?kAN為常數(shù).4.【2020湖北省武漢市模擬】如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．【思路引導】（1）由得，再根據(jù)焦距等于其長半軸長可求，故可得橢圓的方程.（2）設(shè)直線方程為，，【詳解】解：（1）由題意可知：,，又，有，故橢圓的方程為：．（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，用的橫坐標表示的縱坐標，再聯(lián)立的方程和橢圓的方程，消去得，利用韋達定理化簡的縱坐標后可得所求的定值.設(shè)（），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，消去得，,，且有，又，，由得，故，整理得到，故．故點的縱坐標為3．5．【山東省聊城市2019屆高三二?！恳阎詸E圓：的焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于異于橢圓頂點的，兩點，為坐標原點，直線與橢圓的另一個交點為點，直線和直線的斜率之積為1，直線與軸交于點.若直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.【思路引導】（1）由題意可得到，求解即可得出橢圓方程；（2）先設(shè)，，則，，根據(jù)，得到，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理，表示出，，進而可求出的值，得出結(jié)論.【詳解】（1）因為橢圓的兩個焦點和短軸端點為頂點的四邊形恰好是面積為4的正方形，所以，解得.所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，，則，，因為，所以，聯(lián)立，消，得，所以，，所以，直線的方程為：，令，由，得，所以，，所以.所以為定值0.6.【安徽省淮北市、宿州市2019屆高三第二次教學質(zhì)量檢測】已知橢圓，右焦點的坐標為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）過點的直線交橢圓于兩點