專題01：初識極值點偏移

一、極值點偏移的含義

眾所周知，函數(shù)/(X)滿足定義域內(nèi)任意自變量X都有/(x)=/(2機-x),則函數(shù)/(x)關(guān)于

直線x=〃?對稱；可以理解為函數(shù)/(幻在對稱軸兩側(cè)，函數(shù)值變化快慢相同，且若/(x)為單

峰函數(shù)，則尢=〃7必為/(X)的極值點.如二次函數(shù)/(X)的頂點就.是極值點X。，若/(X)=C的兩

根的中點為小玉，則剛好有五士三=%,即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏

22

移.

若相等變?yōu)椴?等，則為極值點偏移：若單峰函數(shù)/(X)的極值點為〃Z,且函數(shù)/(X)滿足定

義域內(nèi)x=加左側(cè)的任意自變量x都有/(%)>/(2m-x)或/(x)<f(2m-x),則函數(shù)/(%)極值

點機左右側(cè)變化快慢不同.故單峰函數(shù)/(X)定義域內(nèi)任意不同的實數(shù)X],九2滿足/(%)=f(x2),

則也土三與極值點機必有確定的大小關(guān)系：

2

若M〈五士三，則稱為極值點左偏；若根>王土強，則稱為極值點右偏.

22

如函數(shù)g(x)='的極值點X。=1剛好在方程g(x)=C的兩根.中點土產(chǎn)的左.邊，我們稱之為極

值點左偏.

二、極值點偏移問題的一般題設(shè)形式：

1.若函數(shù)/（X）存在兩個零點X1,九2且%2，求證：X]+%2>2x（）.（X。為函數(shù)/（X）的極值點）；

2.若函數(shù)/（X）中存在玉,%且％產(chǎn)％2滿足/區(qū)）=/。2），求證：Xt+x2>2x0（尤0為函數(shù)/（x）

的極值點）；

3/（x）2/'（x）>0；

.若函數(shù)存在兩.個零點苞,％且不工/,令尤。=、，求證：0

4.若函數(shù)/（X）中存在為,》2且,內(nèi)W%2滿足/（2）=/（工2），令X（）=、；"，求證：J'（無0）〉。?

三、問題初現(xiàn)，形神合聚

★函數(shù)=/-2x+l+a"有兩極值點X”尤2，且/<々.

證明:X]+%2>4.

★已知函數(shù)/（x）=lnx的圖象G與函數(shù)g（x）=ga/+云（aw。）的圖象g交于p,Q,過尸。的

中點R作x軸的垂線分別交G，。2于點M,N“問是否存在點R,使G在"處的切線與。2在

N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由.

四、招式演練

★過點P(-L0)作曲線f(x)=峭的切線心

(1)求切線/的方程；

(2)若直線/與曲線y=念(aeR)交于不同的兩點4區(qū),丫1),以不心)，求證:+x<-4.

JI人，2

極值點偏移問題在近幾年高考及各種模考，作為熱點以壓軸題的形式給出，很多學生對待

此類問題經(jīng)常是束手無策，而且此類問題變化多樣，有些題型是不含參數(shù)的，而更多的題型

又是含有參數(shù)的.其實，此類問題處理的手段有很多，方法也就有很多，下面我們來逐一探索！

專題02：極值點偏移問題利器——極值點偏移判定定理

一、極值點偏移的判定定理

對于可導函數(shù)y=/（x），在區(qū)間3。）上只有一個極大（?。?值點為，方程/（x）=0的解分

另I」為％,%2，^.a＜xi＜x2＜b,

（1）若/（尤-工2），則";/＜（＞）x（），即函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（否,/）上極（?。?/p>

大值點.與右（左）偏；

（2）若/1（X］）＞f（2xo-q），則“＞（＜）/,即函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（%,工2）上極（?。?/p>

大值點/右（左）偏.

證明：（1.）因為對于可導函數(shù)y=/（x）,在區(qū)間（a,加上只有一個極大（?。┲迭cx°,則

函數(shù)/⑶的單調(diào)遞增（減）區(qū)間為（a,x0）,單調(diào)遞減（增）區(qū)*間為（與*），由于

有石＜入0，且2入0-12＜入0，又/（%）＜/（2%0-％2），故與＜（＞）2/-W,所以）＜（＞）而,即

函數(shù)極（?。┐笾迭cX。右（左）偏；

（2）證明略.

左快右慢(極值點左偏。，〃<五上)左慢右快(極值點右偏=加〉五士三)

22

二、運用判定定理判定極值點偏移的方法

1、方法概述：

(1)求出函數(shù)/(x)的極值點與；

(2)構(gòu)造——元差函數(shù)F(x)=/(xo+x)—/(%-x)；

(3)確定函數(shù)尸(x)的單調(diào)性；

(4)結(jié)合/(0)=0,判斷f(x)的符號，從而確定/*o+x)、-?的大小關(guān)系.

口訣：極值偏離對稱軸，構(gòu)造函數(shù)覓行蹤；四個步驟環(huán)相扣，兩次單調(diào)緊跟隨.

2、抽化模型

答題模板:若已知函數(shù)/(x)滿足./■(%)=/(%2)，X()為函數(shù)/(X)的極值點，求證:xt+x2<2x0.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性并求出/(%)的極值點X。；

假設(shè)此處/(X)在(fO,X0)上單調(diào)遞減，在(X。,日)上單調(diào)遞增.

.(2)構(gòu)造/⑴=/(無0+x)-/Oo-X)；

注：此處根據(jù)題意需要還可以構(gòu)造成F(x)=f(x-)-f(2x0-x)的形式.

(3)通過求導9(x)討論尸(x)的單調(diào)性，判斷出尸(x)在某段區(qū)間上的正負，并得出/(x°+x)

與/(%-x)的大小關(guān)系；

假設(shè)此處F(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，那么我們便可得出F(x)>/(%)=f(x0)-f(x0)=0,

從而得到：x>入0時，/Uo+X)>/(x0-x).

(4)不妨設(shè)X]<Xo<々，通過/(X)的單調(diào)性，./'(2)=/(工2)，/(/+X)與/(與-X)的大小關(guān)

系得出結(jié)論；

接上述情況，由于X>X()時，/(/+X)>/(而一X)且尤|<X。<々，/(%1)=/(%2)?故

f(xt)=f(x2)=f[x0+(x2-x0)]>f[xa-(x2-x0)]=y(2x0-x2),又因為王<%,2x0-9<玉)且

/(x)在(-00,%)上單調(diào)遞減，從而得到X]<2工0-％2，從而X[+々<2/得證.

（5）若要證明r（七強）＜o,還需進一步討論五產(chǎn)與餐的大小，得出土產(chǎn)所在的單調(diào)

區(qū)間，從而得出該處函數(shù)導數(shù)值的正負，從而結(jié)論得證.

此處只需繼續(xù)證明：因為玉+々＜2%,故%；々%,由于/（x）在（-oo,x（））上單調(diào)遞減,

故

【說明】

（1）此類試題由于思路固定，所以通.常情況下求導比較復雜，計算時須細心；

（2）此類題目若試題難度較低，會分解為三問，前兩問分別求f（x）的單調(diào)性、極值點，證明

/（入0+x）與JOo-x）（或/（X）與/（2%-幻）的大小關(guān)系；若試題難度較大，則直接給出形

如玉+馬＜2%或/（與強）＜0的結(jié)論，讓你給予證明，此時自己應主動把該小問分解為三問

逐步解題.

三、對點詳析，利器顯鋒芒

★已知函數(shù)f（x）=xe~x（x&/?）.

⑴求函數(shù)/（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）若％力蒞,J@L/（xt）=f（x2）,證明：xt+x2＞2.

★函數(shù)=與直線y=a（a＞—g）交于4和幻、8（々,。）兩點.

證明：xt+x2<2.

2

★已知函數(shù)，(x)=—+lnx,若x尸七，且/(X])=/(%2)，證明：%1+x2>4.

★已知函數(shù)_/(外=(》-2)/+4(%-1)2有兩個零點.設(shè)公々是/(%)的兩個零點，證明:

xt+x2<2.

四、招式演練

.★已知函數(shù)g(x)=e'+qx2,其中ae/?,e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)，〃x)是g(x)的導

函數(shù).

(I)求的極值；

(II)若〃=一1,證明：當玉H%2，且/(西)=/伍)時，X]+x2<0.

2

★已知函數(shù)/(x)=lnx-ox,其中QER

.(1.)若函數(shù)/(x).有兩個零點，求。的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(X)有極大值為-g,且方程“x)=〃2的兩根為4馬，且玉</，證明:

玉+工2>4。.

專題03：極值點偏移.第一招——不含參數(shù)的極值點偏移.問題

函數(shù)的極值點偏移問題，其實是導數(shù)應用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡.潔，涉及函數(shù)的

雙零點，是一個多元數(shù)學問題，不管待證的.是兩個變量的不等式，還是導函數(shù)的值的不等式，

解題的策略都是把雙.變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).

例.(2010天津理)已知函數(shù)/(%)=xeT(xwR),如果辦工收,且/(%)=/(%2)?

證明：玉+z>2.

1—Y

例.(2013湖南文)已知函數(shù)J(x)=y>e*,證明：當/(芯)=_/缶)(入戶々)時，Z+々<0?

1+x

招式演練：

★已知函數(shù)/(x)=lnx+x2+X,正實數(shù)%,工2滿足/(%)+/02)+玉%2=°?

證明：芯+赴2避二工

★已知函數(shù)/(x)=hw-x.

.(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

2

(II)若方程/(%)=加(加<-2)有.兩個相異實根X],*2，且玉<々，證明：%1%2<2.

專題04：極值點偏移第二招—含參數(shù)的極值點偏移問題

含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩.個變元不電的基礎(chǔ)上，又多了一個參數(shù)，故思路

很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參

數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù).

2

★例1.已知函數(shù)/(x)=x-ae”有兩個不同的零點看,*2，求證：X,+X2>-

2

★例2.已知函數(shù)/(x)=Inx-內(nèi)，。為常數(shù)，若函數(shù)/(x)有兩個零點七,%2，證明：xt-x2>e.

★例3.已知X],%2是函數(shù)/(x)=e*-or的兩個零點，且引〈林

(1)求證：玉+々>2；

(2)求證：%]-x2<1.

ax

★例4.已知函數(shù)f(x)=x-e(a>0),若存在為，/(大<W)，使/(^)=/(x2)=0,求-證：—<ae.

【招式演練.】，

★設(shè)函數(shù)/(JC)=ex-ax+a{aeR)的圖像與x軸交于4為⑼向/內(nèi)乂占</)兩點，

(1)證明：rQx]/)<。；

(2)求證：x}x2<x}+x2.

★設(shè)函數(shù)/(x)=aInx-陵2,其圖像在點p(2,/(2))處切線的斜率為-3.

當a=2時，令g(x)=/(x)-依，設(shè)%,工2(為<9)是方程g(x)=O的兩個根，

%是和%2的等差中項，求證：g'(x())<O(g'(x)為函數(shù)g(尤)的導函數(shù)).

★設(shè)函數(shù)/(x)=a2x-_l-2alnax(a〉0),函數(shù)/'(x)為/(x)的導函數(shù)，且

x

4(內(nèi),/。)),3(%"(/))是/(幻的圖像上不同的兩點，.滿足。(%,)+/(巧)=0,線段43中點的

橫.坐標為公,證明：ax0>1.

★已知函數(shù)/(%)=a---Inx(aeR).

x

(1)若a=2,求函數(shù)/(x)在(1,『)上的零點個.數(shù)；

a

(2)若f(x)有兩零點(X1<x2)，求證：2<x,+x2<3e~'-1.

★已知函數(shù)f(x)=1x2+(1-a)x-alnx.

(I)討論f(%)的單調(diào)性；

(II)設(shè)a>0,證明：當0<%<a時，/(a4-%)</(a—x)；

(III)設(shè)%1*2是的兩個零點，證明(仔詈)>0.

★已知函數(shù)/(x)=41nr-；znx2(加＞0).

(I)若加=1,求函數(shù)/(力的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)若函數(shù)g(x)=/(x)-(〃2-4)x,對于曲線y=g(x)上的兩個不同的.點Af,

"(々送(々))，記直線MN的斜率為3若4=g'(xo),

證明：%1+x2>2x0.

★已知函數(shù)/(x)=ln(x+l),ga)；/-*.

(I)求過點(-1,0)且與曲線y=/(x)相切的直線方程；

(」1)設(shè)//(x)=4(x)+g(x)，其中"為非零實數(shù)，＞=〃(尤)有兩個極值點小工2，且不＜X2,

求a的取值范圍；

(III)在(H)的條件下，求證：2/1(々)—石＞0.

★.已知函數(shù)/(x)=lnx.

(1)證明：當x＞l時，x+]_2(：])〉0；

人力

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)+x-or2有兩個零點的,%,(王＜々，a＞0),證明:

g(『＜一.

專題05：極值點偏移第三招一一含對數(shù)式的極值點偏移問題

前面我們已經(jīng)指明并提煉出利用判定定理解決極值點偏移問題的策略：若/(x)的極值點

為",則根據(jù)對稱性構(gòu)造一元差函數(shù)尸(x)=/(x0+x)-/小-力，巧借尸(X)的單調(diào)性以及

尸(0)=0,借助于/(%)=/(%2)=/[%0-(工一工2)]與/[Xo+Gof)]=〃2%0-%)，比較超

與2%-X的大小，即比較與與強!生的大小.有了這種解題策略，我們師生就克服了解題的

盲目性，細細咀嚼不得不為其絕妙的想法喝彩。

本文將提煉出極值點偏移問題的又一解題策略：根據(jù)/&)=/(修)建立等式，通過消參、

恒等變形轉(zhuǎn)化為對數(shù)平均，捆綁構(gòu)造函數(shù)，.利用對數(shù)平均不等式鏈求解.

★例.已知函數(shù)f(x)=lnx-ox2+(2-a)x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)a>0,證明：當0cxe,時，/(—+%)>f(--x)；

aaa

(3)若函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸交于兩點，線段A8中點的橫坐標為與，證明：

/'(%)<0.

【問題的進一步探究】

對數(shù)平均不等式的介紹與證明

兩個正數(shù)。和匕的對數(shù)平均定義：L(a,b)=<lna-\nh(a*"

a(a=b\

對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：

幾$L(a,b)W號(此式記為對數(shù)平均不等式)

取等條件：當且僅當。=匕時，等號成立.

只證：當8時，J^<L(a,。)〈生史.不失一般性，可設(shè)a>b.

2

證明如下：.

(I)先證：4ab<L(a,b)...①

不等式①oInQ-Inb<&/?>In—o21nx<x--(其中x=J—>1)

4abb\b\ax

i911

構(gòu)造函數(shù)/(x)=21nx-(x一一),(%>1),貝l」/'(x)=—1—T=-(l-)2.

XXXX

因為x>i時,，r(x)<o,所以函數(shù)/(幻在(1,”)上單調(diào)遞減,

故/(x)v/(l)=。，從而不等式①成立；

(II)再證：L(a,b)〈史”……②

2

不等式②=Ina-In6>二"二")In—>---<=>lnx>~—(其中x=，口>1)

a^-bb(，］)(x+1)Vb

構(gòu)造函數(shù)g(x)=Inx一子—?,(x>1)，則g'(x)=--4=(:.

(x+1)x(x+1)x(x+l)-

因為x>l時，g'(x)>0,所以函數(shù)g(x)在(1,+℃)上單調(diào)遞增，

故g(x)<g⑴=。，從而不等式②成立；

綜合(I)(II)知，對Va,beR*,都有對數(shù)平均不等式疝4L(a,份W成立,

2

當且僅當a=b時，等號成立.

例題第(3)問另解：由/(%)=/(/)=0

oInXj-ax^+(2-a)xl=lnx2-ax^+(2-a)x2=0

*2

=>lox,-lnx2+2(玉-x2)=-x2+x1-x2)

Inx,-Inx2+2(x)-x2)

22

Xj-X〉4~X|一X<y

故要證/'(/)<0。%=^^>，

2a

22

T>X|~—X、+Xj—%2X+%2+1

In玉-Inx2+2(玉—x2)In1一In々+?

x{—x2

o2InXj-Inx2

%!+x2再一X?

根據(jù)對數(shù)平均不等式，此不等式顯然成立，故原不等式得證.

★已知函數(shù)/0)=1111%與直線丁=加交于4(須，乂),3(X2,%)兩點?

求證：0<<-4

招式演練：

★已知函數(shù)〃x)=￡(aeR),曲線y=/(x)在點處的切線與直線x+y+l=0垂

直.

(1)試比較2O1620”與2017236的.大小,并說.明理由；

2

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-Z有兩個不同的零點和Z，證明：*x2>e.

b

★已知函數(shù)/(x)=lord---e/?).

(I)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(II)若力>0.且/(x)20恒成立，求1的最大值；

(HI)在(H)的條件下，且e"T—b+i取得最大值時，設(shè)/?=￡1-m(meR),且函數(shù)F(x)

有兩個零點尤1，工2，求實數(shù)用的取值范圍，并證明：西工2>/.

★已知函數(shù)/'(%)=7-,g(x)=b(x+l),其-中aH0,bH0

(1)若(1=b,討論尸(x)=f(%)—g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知函數(shù)/(%)的曲線與函數(shù)g(x)的曲線有兩個交點，設(shè)兩個交點的橫坐標分別為右,42,

證明：沖g(Xi+%2)>2.

★已知函數(shù)〃x)=^.

(1)若/(x)在點卜2,/卜2))處的切線與直線4x+y=。垂直，求函數(shù)./(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若方程〃x)=l有兩個不相等的實數(shù)解看,與，證明：%+%>2e.

專題06：極值點偏移第四招—含指數(shù)式的極值點偏移問題

近幾年全國各地的模擬試題、高考試題中頻繁出現(xiàn)一類考查函數(shù)導數(shù)的題型：在給定區(qū)

間內(nèi)研.究兩函數(shù)之間的不等關(guān)系.要解決這類問題，往往是直接構(gòu)造某個新函數(shù)，或者分離

變量之后構(gòu)造新的函數(shù)，通過研究構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來求出最值或者得到我們.想要的不

等關(guān)系.這一類問題多數(shù)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)，解題時除了直接構(gòu)造一元函數(shù)求解，還可將問題轉(zhuǎn)

化為對數(shù)問題，再用對數(shù)平均不等式求解，本文對此類問題做一探究.

.★（2016年新課標I卷理數(shù)壓軸21題）已知函數(shù)/（幻=（尤-2）e，+a（x-l）2有兩個零點不々.

證明：x,+x2<2.

★（2040天津理）已知函數(shù)=（xeR）.如果再工々，且/（而）=/（%2）.

證明：xt+x2>2.

★設(shè)函數(shù)〃x）=e'-or+a（aeR）,其圖象與x軸交于4（為,0）3（%2,0）兩點，且％<工2.證明:

r（7v^）<o（r（x）為函數(shù)〃x）的導函數(shù)）.

招式演練：

★已知函數(shù)/（力=/-/（4€夫）在（0,+oo）上有兩個零點為冷電（為<出）?

（J）求實數(shù)。的取值范圍；

（2）求證：玉+冗2>4.

★已知函數(shù)/(》)=禽6、

⑴求的單調(diào)區(qū)間.；

(2)證明:當〃藥)=〃％)(芭工動時,xt+x2<0.

★已知函數(shù)/(x)=x-a-e'+/?(a>0,0eR),若任意不同的實數(shù)滿足/(%)=求證

.：%+w<—2Ina.

★已知函數(shù),f(x)=e，-公+a(aeE),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(x)有兩個零點為，w，證明：xy+x2<2\na.

專題07：極值點偏移第五招一函數(shù)的選取

于極值點偏移問題，前文已多次提到其解題策略是將多元問題(無論含參數(shù)或不含參數(shù))

轉(zhuǎn)化為一元問題，過程都需要構(gòu)造新函數(shù).那么，關(guān)于新函數(shù)的選取，不同的轉(zhuǎn)化方法就自然

會選取不同的函數(shù).

★已知函數(shù)/(x)=e，-6有兩個不同的零點七，々，其極值點為

(1)求。的取值范圍；

(2)求證：xt+x2<2x0；

(3)求證：x,+x2>2；

(4)求證：xtx2<1.

【思考】

練習：(安徽合肥2017高三第二次質(zhì)量檢測)已知〃x)=ln(x+㈤-如

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)機>1,石，￡為函數(shù)/(x)的兩個零點，求證

【招式演練】

★已知函數(shù)f(x)=a---Inx(ae7?)有.兩個零點%,.(西<x,)，

x

求證：2<X]+%<3e"T-1.

★已知/(x)=xln1的圖像上有A3兩點，其橫坐標為0＜西＜工2＜1，且/(3)=/(工2).

2

r(1)證明：—＜%+A：2V1；

e

(2)證明：1＜嘉+?＜寧.

★已知函數(shù)/(x)=lnx-/nr(meR).

(1)若曲線.y=/(x)過點求曲線y=/(x)在點尸處的切線方程;

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,e］上的最大值；

2

(3)若函數(shù)/(x)有兩個不同的零點演，x,,求證：.%1-x2＞e.

★已知函數(shù)f(x)-a\nx-X2.

(1)當a=2時，求函數(shù)y=〃x)在1,2上的最大值；

(2)令g(x)="x)+ox,若y=g(x)在區(qū)間(0,3)上為單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍；

(3)當a=2時，函數(shù)〃(x)=〃x)-如的圖象與x軸交于兩點4(%,0),3(入2，。)，且。＜石＜彳2,

又“(X)是〃(x)的導函數(shù).若正常數(shù)a,4滿足條件a+/?=l,/72a.證明：h'(ax}+ftx2)＜0.

★已知函數(shù)f(%)=(Inx—k—l)x,(fc6R).

(1)當%>1時，求/'(%)的單調(diào)區(qū)間和極?值.

(2)若對于任意％e卜32］，都有f(x)<41nx成立，求k的取值范圍；

(3)若X1=*2,且/(%1)=f(%2)，證明：%1%2<e2k-

★已知函數(shù)/(x)=ax1+x-lnx(a>0).

(1)求/(力的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)/'(X)極值點為與，若存在X1,x2e(0，+°°)，且工產(chǎn)了2，使/(Xi)=/(X2)，求證:

玉+々>2x0.

★已知函數(shù)g(x)=lnx-辦2+(2-a)x,aeR.

⑴求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)/(x)=g(x)+(a+l)x2一2x,%,々(內(nèi)<尤2)是函數(shù)/(x)的兩個零點，/'(X)是函數(shù)

外力的導函數(shù)，證明：七三］<0.

★已知函數(shù)/(x)與〃x)=lnx的圖象關(guān)于直線.y=x對稱.

(1)不等式對'(x)Nor-l對任意x€(0,+oo)恒成立，求實數(shù)a的最大值;

<x<x0

(2)設(shè)/'(x/G”：!在(1,+co)內(nèi)的實根為%,m(x)={x，若在區(qū)間(1,+8)上

麗…

證明：＞%.

★已知函數(shù)〃6=融山+優(yōu)a力為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為y=x-l.

(1)求實數(shù)的值及函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=""+1,證明ga)=g(x2)(x＜々)時，玉+々＞2.

★已知/(x)=ln(x+m)-/nx.

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設(shè)"＞1,王，々為函數(shù)/(x)的兩個零點，求證：%,+x2＜0.

★已知函數(shù)/(x)=x2-l+aln(l-x),awR..

(」)若函數(shù)/(x)為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(II)若函數(shù)./(x)存在兩個極值點再，x2,且玉＜々，證明：叢】＞小).

X2X\

★已知函數(shù)J(x)=x+alnx與g(x)=3-夕的圖象在點(1,1)處有相同的切線.

(I)若函數(shù)y=2(x+〃)與y=/(x)的圖象有兩個交點，求實數(shù)〃的取值范圍；

(II)若函數(shù)/@)=3卜-5)+58(%)-2"月有兩個極值點再，々，且王＜馬，證明:

F（%2）＜X2-1.

專題08：極值點偏移第六招一