第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年浙江省紹興市高一下學期6月期末數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復數1?2i的共軛復數是(

)A.1?2i B.1+2i C.?1+2i D.?1?2i2.用斜二測畫法畫水平放置的邊長為2的正方形的直觀圖，所得圖形的面積是A.4 B.22 C.23.十名工人某天生產同一批零件，生產的件數分別是：15，17，14，10，16，17，17，16，14，12，則這組數據的極差、眾數、第一四分位數分別是A.3，17，12 B.5，16，14 C.7，17，14 D.7，17，134.已知m，n是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列命題正確的是A.若m//α，n?α，則m//n B.若m//α，m//β，則α//β

C.若m?α，α⊥β，則m⊥β D.若m⊥α，n⊥α，則m//n5.已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=CD=1，AD=3，若BD=xBC+yA.34 B.1 C.54 6.設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB?bcosA=c+A.?18 B.18 C.?7.如圖是一個古典概型的樣本空間Ω和事件A，B，C，其中n(Ω)=24，n(A)=12，n(B)=8，n(C)=5，n(A∪B)=16，則(

)

A.事件A與事件B互斥 B.事件A與事件B相互獨立

C.事件A與事件C互為對立 D.事件A與事件C相互獨立8.如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=3.面積為3的平行四邊形ACEF繞AC旋轉，且E?平面ABCD，則(

)A.平面EFB⊥平面EFD B.平面ABF⊥平面ABC

C.平面ABF⊥平面BCF D.平面ABF⊥平面ADF二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是A.復數2+i的模為5

B.復數z=1?i的虛部為?1

C.若z1=2i，z2=i，則z1>z2

10.已知一組樣本數據x1，x2，x3，x4，x5，x6的標準差s≠0，其平均數xA.2x1，2x2，2x3，2x4，2x5，2x6

B.x1?x，x2?x，x3?x，x4?x，x5?11.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F，G分別為棱AA1，A.EG⊥GF

B.平面EFG經過棱AB中點H

C.平面EFG截該正方體，截面面積的最大值為334

D.點D到平面三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.拋擲兩枚質地均勻的骰子，則事件“兩枚骰子的點數都為奇數”的概率是_________．13.已知向量a與b的夾角為60°，|a|=|b|=1，則向量a在向量14.正四棱錐的外接球半徑為R，內切球半徑為r，則Rr的最小值為_________．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A(0,2)，B(?(1)求|AB|及向量OA與(2)若AB//(2OA+tOB16.(本小題12分)如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，側面PAB是正三角形，AD⊥平面PAB，M，N分別為AB，PC的中點．(1)證明：MN//平面PAD；(2)求四棱錐P?ABCD的體積．17.(本小題12分)某機構對甲、乙兩個工廠生產的一批零件隨機抽取部分進行尺寸檢測，統計所得數據分別畫出了如下頻率分布直方圖：根據乙工廠零件尺寸的頻率分布直方圖估計事件“乙工廠生產的零件尺寸不低于60?cm”的頻率為0.70．(1)估計甲工廠生產的這批零件尺寸的平均值；(2)求乙工廠頻率分布直方圖中a，b的值，并求乙工廠被測零件尺寸的中位數(結果保留兩位小數)；(3)現采用分層抽樣的方法，從甲工廠生產的零件中隨機抽取尺寸在[40,50)和[70,80)內的零件3個，從乙工廠生產的零件中隨機抽取尺寸在[40,50)和[80,90)內的零件5個，再從抽得的8個零件中任取2個，求這兩個零件的尺寸都在[40,50)內的概率．18.(本小題12分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，AB⊥DE，AB//EF，AB=BD=6，EF=4，∠EAD=∠EAB，cos∠EAB=(1)證明：BD⊥平面ACE；(2)求點E到平面ABCD的距離；(3)求側面ADE與側面BCF所成二面角的正切值．19.(本小題12分)克羅狄斯·托勒密(ptolemy)所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意平面凸四邊形(所有內角都小于180°的四邊形)中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當對角互補時取等號．已知圓O是凸四邊形ABCD的外接圓，其中CD=(1)若圓O的半徑為r，且∠CBD=2∠ABD，(ⅰ)求∠ABD的大小；(ⅱ)求AC?BD的取值范圍(用r表示(2)若AD=1，BC=2，∠ADC∈2π3,5π6參考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.B

6.A

7.B

8.A

9.AB

10.ACD

11.ABD

12.1413.314.215.解：(1)因為AB=(?3,?1)，所以|AB|=2．

設向量OA與OB的夾角為θ，則cosθ=OA·OB|OA||OB|=12，

因為θ∈[0,π]，所以θ=π16.(1)證明：如圖，取PD的中點Q，連接AQ，QN，

因為在△PDC中，Q，N分別為PD，PC的中點，

所以QN//CD，且QN=12CD，

因為在正方形ABCD中，M為AB的中點，所以AM/?/CD，且AM=12CD，

所以AM//QN，且AM=QN，

所以四邊形AMNQ是平行四邊形，

所以MN//AQ，

又AQ?平面PAD，MN?平面PAD，

所以MN/?/平面PAD．

(2)解：連接PM，因為AD⊥平面PAB，PM?平面PAB，

所以AD⊥PM，

因為側面PAB是正三角形，M為AB的中點，所以PM⊥AB，

因為AB?AD=A，AB，AD?平面ABCD，

所以PM⊥平面ABCD，

所以四棱錐17.解：(1)因為35×0.15+45×0.2+55×0.3+65×0.2+75×0.1+85×0.05=55.5，

所以，估計甲工廠生產的這批零件尺寸的平均值為55.5cm.

(2)由10a+0.2+0.15=0.7，得a=0.035，

由0.05+10b+0.15=0.3，得b=0.01.

設乙工廠被測零件尺寸的中位數為x，

則0.005×10+0.01×10+0.015×10+0.035×(x?60)=0.5，

解得x=6557≈65.71，

所以，乙工廠被測零件尺寸的中位數為65.71cm．

(3)因為采用分層抽樣，

所以，從甲工廠生產的零件中抽取尺寸在[40,50)內的零件2個，尺寸在[70,80)內的零件1個，

從乙工廠生產的零件中抽取尺寸在[40,50)內的零件2個，尺寸在[80,90)內的零件3個，

從8個零件中任取2個零件的取法有28種，

兩個零件的尺寸都在[40,50)內的取法有6種，

所以兩個零件的尺寸都在[40,50)內的概率為18.(1)證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，

因為∠EAB=∠EAD，AB=AD，AE=AE，

所以△EAB≌△EAD，所以EB=ED．

設AC∩BD=G，連接EG，如圖，

則G為BD的中點，BD⊥EG，

又EG∩AC=G，EG、AC?平面ACE，

所以BD⊥平面ACE．

(2)解：如圖，過點E作EH⊥AC，垂足為H，

因為BD⊥平面ACE，EH?平面ACE，

所以BD⊥EH，

又BD∩AC=G，BD、AC?平面ABCD，

所以EH⊥平面ABCD，

所以點E到平面ABCD的距離即為線段EH的長度．

因為DE⊥AB，EH⊥AB，DE，EH?平面EDH，

所以AB⊥平面EDH，

又DH?平面EDH，所以AB⊥DH，

易知△ABD為正三角形，

所以點H為△ABD的中心．

延長DH交AB于點I，則I為AB的中點，

因為所以AB⊥平面EDH，EI?平面EDH，所以EI⊥AI，

在Rt△AEI中，AI=3，cos∠EAB=34，

所以AE=4，

因為AH=33×6=23，

所以EH=AE2?AH2=16?12=2．

所以點E到平面ABCD的距離為2．

(3)解：過點H作BC的平行線分別交AB，CD于點J，K，則BJ=CK=4，

因為EF=4，AB//EF，

所以EF//BJ，EF=BJ，EF//CK，EF=CK，

所以四邊形EFCK和四邊形EFBJ均為平行四邊形，

所以EK//CF，EJ//BF，

所以平面JKE//平面BCF．

過點E作直線m//JK，則平面ADE∩平面JKE=m，

過點H作HL⊥AD，垂足為L，連接LE．

因為HL⊥JK，EH⊥JK，HL，EH?平面EHL，HL∩EH=H，

所以JK⊥平面EHL，

所以m⊥平面EHL，又LE，EH?平面EHL，

所以m⊥LE，m⊥EH，

所以∠LEH為二面角A?m?J的平面角，因為平面JKE//平面BCF，所以∠LEH為側面ADE與側面BCF所成二面角的平面角．

因為19.解：(1)(i)因為CDsin∠CBD=2r，ADsin∠ABD=2r，

所以CDAD=sin∠CBDsin∠ABD=sin2∠ABDsin∠ABD=2cos∠ABD，

又因為CD=3AD，所以cos∠ABD=32，

又∠ABD∈(0,π)，所以∠ABD=π6．

(ii)因為∠ABD=π6，所以∠DA