第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年云南省昆明八中高二（下）月考數學試卷（二）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合U={x∈Z|x2≤4}，A={1,2}，則?A.[?2,0] B.{0} C.{?2,?1} D.{?2,?1,0}2.已知z=(1+i)41?i，則zA.2i B.?2i C.?2 D.23.已知sin(π3?α)=1A.58 B.?78 C.?4.已知圓O：x2+y2=5，直線l經過點(1,2)，且l與圓O相切，則A.x+2y?5=0 B.x?2y+3=0 C.2x?y=0 D.2x+y?4=05.已知F1，F2為雙曲線x24?y23=1的左，右焦點，過點F2A.2 B.3 C.4 D.6.球面被平面所截得的一部分叫做球冠(如圖).球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《論球與圓柱》中記錄了一個被后人稱作Aretiintedes′Hat?Box?T?eorem”的定理：球冠的表面積=2πR?(如右上圖，這里的表面積不含底面的圓的面積).某同學制作了一個工藝品，如右下圖所示.該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為4的正方體的六個面所截后剩余的部分(球心與正方體的中心重合)，即一個球去掉了6個球冠后剩下的部分.若其中一個截面圓的周長為2π，則該工藝品的表面積為(

)

A.20π B.(245?34)π C.16π7.已知函數f(x)=2xlnx?ax2，若對任意的x1，x2∈(0,+∞)，當x1>xA.[12e,+∞) B.[1,+∞) C.[8.給定一個正整數n(n≥3)，從集合Ω={1,2,3,?,n}中隨機抽取一個數，記事件A=“這個數為偶數”，事件B=“這個數為3的倍數”.下列說法正確的是(

)A.若n=6k，k∈N?，則至少存在一個n，使事件A和事件B不獨立

B.若n≠6k，k∈N?，k∈N?，則存在無窮多個n，使事件A和事件B獨立

C.若n為奇數，則至少存在一個n，使事件A和事件B獨立

D.若n為偶數，則對任意的二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是(

)A.ω=2

B.函數y=f(x?π6)為偶函數

C.函數y=f(x)的圖象關于直線x=?5π12對稱

D.函數y=f(x)

10.在正方體ABCD?A1B1C1D1A.∠EBF為鈍角

B.AD1⊥A1C

C.ED/?/平面B1D11.直線l經過拋物線C：y2=4x的焦點，且與拋物線C相交于A(x1,yA.x1x2=1，y1y2=?4 B.直線l的斜率為1時，AB=22

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(x?1x13.數論領域的四平方和定理最早由歐拉提出，后被拉格朗日等數學家證明.四平方和定理的內容是：任意正整數都可以表示為不超過四個自然數的平方和，例如正整數12=32+12+12+12=22+14.函數f(x)=cosπx,0<x<ax2?4ax+8,x≥a，當a=1時，f(x)的零點個數為

；若f(x)恰有4個零點，則a四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某公司為招聘新員工設計了一個面試方案：應聘者從6道備選題中一次性隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成．規定：至少正確完成其中2道題便可通過．已知6道備選題中應聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是23，且每題正確完成與否互不影響．

(Ⅰ)求甲恰好正確完成兩個面試題的概率；

(Ⅱ)求乙正確完成面試題數η的分布列及其期望．16.(本小題15分)

如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC中點．

(1)證明BC⊥DA；

(2)點F滿足EF=DA，求二面角D?AB?F的正弦值．17.(本小題15分)

數列{an}的前n項和Sn滿足Sn=nan+1?n2?n(n∈N?)18.(本小題17分)

已知函數f(x)=lnx?axex．

(1)當a=1時，證明：f(x)有且僅有一個零點；

(2)當x>0時，f(x)≤x恒成立，求a的取值范圍；

(3)證明：19.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右頂點分別為A1和A2，離心率為32，且經過點P(?2,3)，過點P作PH垂直x軸于點H.在x軸上存在一點A(異于H)，使得|AA2||AA1|=|HA2||HA1|．

(Ⅰ)求橢圓C的標準方程；

(Ⅱ)判斷直線參考答案1.D

2.D

3.B

4.A

5.D

6.B

7.C

8.B

9.ACD

10.BCD

11.AD

12.15

13.28

14.1

；；(315.解：(Ⅰ)甲恰好完成兩道題的概率P1=12C42CC63=35，

(Ⅱ)設乙正確完成面試的題數為η，則η取值分別為0，1，2，3，

η0123P16128E(η)=0×12716.證明：(1)連接AE，DE，

∵DB=DC，E為BC中點．

∴DE⊥BC，

又∵DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，

∴△ACD與△ABD均為等邊三角形，

∴AC=AB，

∴AE⊥BC，AE∩DE=E，

∴BC⊥平面ADE，

∵AD?平面ADE，

∴BC⊥DA．

(2)解：設DA=DB=DC=2，

∴BC=22，

∵DE=AE=2，AD=2，

∴AE2+DE2=4=AD2，

∴AE⊥DE，

又∵AE⊥BC，DE∩BC=E，

∴AE⊥平面BCD，

以E為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

D(2,0,0)，A(0,0,2)，B(0,2,0)，E(0,0,0)，

∵EF=DA，

∴F(?2,0,2)，

∴DA=(?2,0,2)，AB=(0,2,?2)，AF=(?2,0,0)，

設平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為17.證明：(1)由題意Sn=nan+1?n2?n(n∈N?)①，

則當n≥2時，Sn?1=(n?1)an?(n?1)2?(n?1)②，

①?②，得an=nan+1?(n?1)an?2n，整理得nan=nan+1?2n，

即an+1?an=2；

當n=1時,S1=a1=1×a18.(1)證明：當a=1時，f(x)=lnx?xex，則f(x)=1x?1?xex=ex?x+x2xex．

令g(x)=ex+x2?x，則g′(x)=ex+2x?1>0在(0,+∞)上恒成立，則g(x)在(0,+∞)上單調遞增，

則g(x)>g(0)=1，故f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調遞增．

因為f(1)=?1e<0，f(e)=1?eex>0，所以根據零點存在定理可知，f(x)有且僅有一個零點．

(2)解：當x>0時，f(x)≤x等價于a≥exlnx?xexx，

令?(x)=exlnx?xexx，則?′(x)=(x?1)(lnx?x?1)exx2，令φ(x)=lnx?x?1，則φ′(x)=1?xx，

當x∈(0,1)時，φ′(x)>019.解：(Ⅰ)因為橢圓C的離心率為32，

所以e2=1?b2a2=34，①

又點P在橢圓C上，

所以4a2+3b2=1，②

聯立①②，

解得a2=16b2=4，

則橢圓C的標準方程為x216+y24=1；

(Ⅱ)不妨設A(x,0)，

因為AA2：AA1=HA2：HA1，

所以|x