第第頁專題3.4函數的應用（一）一、單選題1．一家旅社有100間相同的客房，經過一段時間的經營實踐，旅社經理發現，每間客房每天的價格與住房率之間有如下關系：每間每天定價元元元元住房率要使收入每天達到最高，則每間應定價為（

）A．20元 B．18元C．16元 D．14元【答案】C【解析】本題首先可以求出在圖表的四種情況下的每天的收入的數值，然后通過比較，即可得出結果.【詳解】當定價為元時，每天的收入為（元）；當定價為元時，每天的收入為（元）；當定價為元時，每天的收入為（元）；當定價為元時，每天的收入為（元）；故當定價為元時，每天的收入最高，收入為元，故選：C.【點睛】本題考查根據表格中的數據求每天的收入的最大值，能否根據題意得出每天的收入的計算方式是解決本題的關鍵，意在考查學生的計算能力，是簡單題.2．如圖所示，液體從一個圓錐形漏斗漏入一個圓柱形桶中，開始時漏斗中盛滿液體，經過3秒漏完，圓柱形桶中液面上升速度是一個常量，則漏斗中液面下降的高度H與下降時間t之間的函數關系的圖象只可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用特殊值法，圓柱液面上升速度是常量，表示圓錐漏斗中液體單位時間內落下的體積相同，當時間取1.5分鐘時，液面下降高度與漏斗高度的比較．【詳解】解：由于所給的圓錐形漏斗上口大于下口，當時間取時，漏斗中液面下落的高度不會達到漏斗高度的，對比四個選項的圖象可得結果．故選：．【點睛】本題考查的是函數的圖象和分段函數的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了分段函數的知識、分類討論的思想以及函數圖象的知識．屬于基礎題．3．2020年3月，國內新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光.某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優惠方案如下表：購票人數1~5051~100100以上門票價格13元/人11元/人9元/人兩個旅游團隊計劃游覽該景點.若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數之差為（

）A．20 B．30 C．35 D．40【答案】B【解析】根據990不能被13整除，得到兩個部門的人數之和為，然后結合門票價格和人數之間的關系，建立方程組，即可求解.【詳解】由題意，990不能被13整除，所以兩個部門的人數之和為，（1）若，則，可得，……(1)由共需支付門票為1290元，可知,………(2)聯立方程組，可得（舍去）；（2）若，則，可得，……(3)由共需支付門票為1290元，可知，可得，…(4)聯立方程組可得，所以兩個部門的人數之差為.故選：B.【點睛】本題主要考查了函數的實際應用問題，其中解答中認真審題，結合門票價格和人數之間的關系，建立方程組是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.4．函數與圖象交點的橫坐標所在的區間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作函數與的圖象，數形結合求解.【詳解】作函數與的圖象，如圖，由圖且當時，，當時，，所以交點的橫坐標在1與2之間.故選：A.5．已知函數的定義域為，且其圖象關于點對稱，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數的對稱性可知，結合倒序相加法即可選出正確答案.【詳解】因為圖象關于點對稱，則，令，，兩式相加得，所以.故選:.【點睛】關鍵點睛:本題的關鍵是由函數的中心對稱性得，再結合倒序相加法求值.二、多選題6．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：對于實數x，符號表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，例如，，定義函數，則下列命題中正確的是（

）A．函數的最大值為1；B．函數的最小值為0C．函數的圖象與直線有無數個交點D．函數是增函數【答案】BC【分析】由題意求出函數的解析式，即可求解.【詳解】由題意，對于A：函數，故A錯誤；對于B：函數的最小值為0，故B正確；對于C：函數的圖象與直線有無數個交點，故C正確；對于D：函數不是上的增函數，故D錯誤；故選：BC7．已知定義在R上的函數的圖象連續不斷，若存在常數，使得對任意的實數x成立，則稱是回旋函數.給出下列四個命題中，正確的命題是（

）A．常值函數為回旋函數的充要條件是；B．若為回旋函數，則；C．函數不是回旋函數；D．若是的回旋函數，則在上至少有2015個零點.【答案】ACD【解析】A.利用回旋函數的定義即可判斷；B.代入回旋函數的定義，推得矛盾，判斷選項；C.利用回旋函數的定義，令，則必有，令，則，推得矛盾；D.根據回旋函數的定義，推得，再根據零點存在性定理，推得零點的個數.【詳解】A.若，則，則，解得：，故A正確；B.若指數函數為回旋函數，則，即，則，故B不正確；C.若函數是回旋函數，則，對任意實數都成立，令，則必有，令，則，顯然不是方程的解，故假設不成立，該函數不是回旋函數，故C正確；D.若是的回旋函數，則，對任意的實數都成立，即有，則與異號，由零點存在性定理得，在區間上必有一個零點，可令，則函數在上至少存在2015個零點，故D正確.故選：ACD【點睛】本題考查以新定義為背景，判斷函數的性質，重點考查對定義的理解，應用，屬于中檔題型.8．已知定義在上的奇函數，滿足，且在區間上單調遞增，則下列說法正確的是（

）A．函數的圖象關于對稱B．函數在上單調遞增C．D．若方程在內恰有2個不同的實根，則【答案】ACD【分析】由題設遞推關系及奇函數可得的周期為8、關于對稱、在上遞增，在上遞減，結合周期性、奇偶性、對稱軸及各選項的描述判斷正誤即可.【詳解】由題設，，則是的對稱軸，A正確；∴，故的周期為8，且，C正確；又在上單調遞增，易知：在上遞增，上遞減；∴根據周期性知：在上遞減，B錯誤；由周期性、對稱性知：若在內恰有2個不同的實根，則，D正確.故選：ACD.9．若函數的圖像在R上連續不斷，且滿足，，，則下列說法錯誤的是（

）A．在區間(0，1)上一定有零點，在區間(1，2)上一定沒有零點B．在區間(0，1)上一定沒有零點，在區間(1，2)上一定有零點C．在區間(0，1)上一定有零點，在區間(1，2)上可能有零點D．在區間(0，1)上可能有零點，在區間(1，2)上一定有零點【答案】ABD【解析】根據的圖像在上連續不斷，，，，結合零點存在定理，判斷出在區間和上零點存在的情況，得到答案．【詳解】由題知，所以根據函數零點存在定理可得在區間上一定有零點，又，無法判斷在區間上是否有零點，在區間(1，2)上可能有零點．故選：．10．某商品A以每件2元的價格出售時，銷售量為10萬件.經過調查，單價每提高0.2元，銷售量減少5000件，要使商品A銷售總收入不少于22.4萬元，該商品A的單價可定為（

）A．2.6元 B．2.8元 C．3元 D．3.2元【答案】BCD【分析】根據題意設出商品A的單價為元，用含有的式子表示商品A銷售總收入，列出不等式求解即可.【詳解】設商品A的單價為元，則銷量為萬件，此時商品A銷售總收入為萬元，根據題意有，解得，故BCD符合題意.故選:BCD三、填空題11．函數的單調遞增區間是_________.【答案】,【分析】畫出函數圖像觀察即可.【詳解】易得圖像為故單調遞增區間為與故答案為：,【點睛】本題主要考查了函數圖像的運用與函數的單調性問題,屬于基礎題型.12．已測得的兩組值為，，現有兩個擬合模型，甲：，乙：.若又測得的一組對應值為，則選用________作為擬合模型較好．【答案】甲【分析】將分別代入甲乙兩個擬合模型計算，即可判斷.【詳解】對于甲：時，，對于乙：時，，因此用甲作為擬合模型較好．故答案為：甲13．某同學設想用“高個子系數k”來刻畫成年男子的高個子的程度，他認為，成年男子身高160及其以下不算高個子，其高個子系數k應為0；身高190及其以上的是理所當然的高個子，其高個子系數k應為1，請給出一個符合該同學想法?合理的成年男子高個子系數k關于身高的函數關系式___________.【答案】，(只要寫出的函數滿足在區間上單調遞增，且過點和即可.答案不唯一)【分析】由題意，個數越高，系數越大，因此在上的函數是增函數即可，初始值，，設出函數式代入求解．【詳解】由題意函數是上的增函數，設，，由，解得，所以，所以故答案為：注：在上設其他函數式也可以，只要是增函數，只有兩個參數．如，等等．【點睛】思路點睛：本題考查函數的應用，解題時注意題目的要求，只要寫出的函數滿足在區間上單調遞增，且過點和即可，因此函數模型可以很多，答案也不唯一．14．定義區間(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的長度為d＝b-a，多個區間并集的長度為各區間長度之和，例如：(1，2)[3，5]的長度d=(2-1)+(5-3)=3，設f(x)=[x]?{x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超過x的最大整數，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集區間的長度，則當時x∈[-2009，2009]，d＝____．【答案】2011【分析】化簡函數f(x)=[x]x-[x]2，對不等式f(x)≥g(x)分類討論，求出解集而得.【詳解】f(x)=[x]?{x}=[x]?(x-[x])=[x]x-[x]2，g(x)=x-1，f(x)≥g(x)?[x]x-[x]2>x-1，即([x]-1)x≥[x]2-1，當x∈[0，1)時，[x]=0，上式可化為x≤1，∴x∈[0，1)；當x∈[1，2)時，[x]=1，上式可化為0≥0，∴x∈[1，2)；當x∈[2，2009]時，[x]-1>0，上式可化為x≥[x]+1，而x<[x]+1，∴x∈?；當x∈[-2019，0)時，[x]<0，上式可化為x≤[x]+1恒成立，∴x∈[-2009，0）；∴f(x)≥g(x)在-2009≤x≤2009時的解集為[-2009，2)，故d＝2011.故答案為：2011【點睛】解決問題的關鍵是讀懂取整函數[x]的意義及符號{x}=x-[x]的意義.15．將進貨單價40元的商品按50元一個售出，能賣出500個；若此商品每漲價1元，其銷售量減少10個.為了賺到最大利潤，售價應定為_________元.【答案】【分析】根據總利潤銷售量每個利潤．設售價為元，總利潤為元，則銷售量為，每個利潤為，表示總利潤，然后根據函數性質求最大值．【詳解】設售價為元，總利潤為元，則，當時，最大，最大的利潤元；即定價為70元時可獲得最大利潤，最大的利潤是9000元．故答案為:.四、解答題16．某企業生產，兩種產品，根據市場調查與預測，產品的利潤與投資成正比，其關系如圖（1）所示；產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖（2）所示（注：利潤和投資的單位均為萬元）．圖（1）

圖（2）（1）分別求，兩種產品的利潤關于投資的函數解析式．（2）已知該企業已籌集到18萬元資金，并將全部投入，兩種產品的生產．①若平均投入兩種產品的生產，可獲得多少利潤？②如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業獲得最大利潤？其最大利潤為多少萬元？【答案】(1)，;(2)當，兩種產品分別投入2萬元，16萬元時，可使該企業獲得最大利潤，最大利潤為萬元．【分析】（1）設投資為萬元（），設，，根據函數的圖象，求得的值，即可得到函數的解析式；，（2）①由（1）求得，，即可得到總利潤．②設產品投入萬元，產品投入萬元，得到則，結合二次函數的圖象與性質，即可求解．【詳解】（1）設投資為萬元（），，兩種產品所獲利潤分別為，萬元，由題意可設，，其中，是不為零的常數．所以根據圖象可得，，，，所以，．（2）①由（1）得，，所以總利潤為萬元．②設產品投入萬元，產品投入萬元，該企業可獲總利潤為萬元，則，．令，則，且，則，．當時，，此時，．當，兩種產品分別投入2萬元，16萬元時，可使該企業獲得最大利潤，最大利潤為萬元．【點睛】本題主要考查了函數的實際應用問題，其中解答中能夠從圖象中準確地獲取信息，利用待定系數法求得函數的解析式，再結合二次函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．17．如圖，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個內接四邊形為綠地，使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知且設，綠地面積為.(1)寫出關于的函數關系式，并指出這個函數的定義域．(2)當為何值時，綠地面積最大？【答案】（1）y＝－2x2＋（a＋2）x，0<x≤2；（2）當時，AE＝時，綠地面積取最大值；當a≥6時，AE＝2時，綠地面積取最大值2a－4.【詳解】（1）SΔAEH＝SΔCFG＝x2，SΔBEF＝SΔDGH＝(a－x)(2－x)．∴y＝SABCD－2SΔAEH－2SΔBEF＝2a－x2－(a－x)(2－x)＝－2x2＋(a＋2)x．由，得∴y＝－2x2＋(a＋2)x，其定義域為．（2）當，即a<6時，則x＝時，y取最大值．當≥2，即a≥6時，y＝－2x2＋(a＋2)x，在0，2]上是增函數，則x＝2時，y取最大值2a－4．綜上所述：當a<6時，AE＝時，綠地面積取最大值；當a≥6時，AE＝2時，綠地面積取最大值2a－4．18．已知甲、乙兩地相距150km，某人開汽車以60km/h的速度從甲地到達乙地，在乙地停留1小時后再以50km/h的速度返回甲地，把汽車離開甲地的距離s表示為時間t（從甲地出發時開始）的函數，求此函數表達式．【答案】【分析】分為，，三段求函數解析式．【詳解】某人開汽車以60km/h的速度從甲地到達乙地需要的時間為h，某人開汽車以50km/h的速度返回甲地需要的時間為h，當時，，當時，，當時，，綜上所述：．【點睛】本題考查分段函數的解析式．關鍵在于正確的分段．19．根據市場調查，某種新產品投放市場的30天內，每件產品的銷售價格P（單位：元）與時間t（單位：天）的關系如圖，日銷量Q（單位：件）與時間t之間的關系如下表所示.t/天5152030Q/件35252010（1）根據圖示寫出該產品每件的銷售價格P與時間t的函數解析式.（2）在所給的平面直角坐標系（如圖）中，根據表中提供的數據描出實數對的對應點，并確定日銷量Q與時間t的一個函數解析式.（3）在這30天內，哪一天的日銷售金額最大？（日銷售金額=每件產品的銷售價格×日銷量）【答案】（1）；（2）圖像見解析，；（3）第5天【分析】（1）由圖像為一次函數模型，是常函數模型，寫出分段函數的形式即可.（2）由題中數據描點即可作出圖像，再由圖像判斷函數模型，設出解析式，代入數據即可求解.（3）由（1）（2）的函數表達式列出利用分段函數的性質即可求解.【詳解】解：（1）根據題圖知每件產品的銷售價格P與時間t的函數解析式為（2）描出實數對的對應點如圖所示.從圖中可以發現，點（5，35），（15，25），（20，20），（30，10）可能在同一條直線上，設它們所在直線l的解析式為（為常數）.將點（5，35），（30，10）代入方程，得，解得所以.經檢驗，點（15，25），（20，20）也滿足上式.因此日銷量Q與時間t的一個函數解析式為（3）設日銷售金額為y（單位：元），則即當時，，此時；當時，.所以在這30天內，第5天的日銷售金額最大.【點睛】本題考查了一次函數模型、分段函數模型以及分段函數的性質，屬于基礎題.20．如圖，已知底角為45°的等腰梯形，底邊長為，腰長為，當一條垂直于底邊（垂足為）的直線從左到右移動（與梯形有公共點）時，直線把梯形分成兩部分，令，試寫出直線左邊部分的面積與的函數解析式．【答案】【分析】可以通過分類討論明確圖形的特征，再根據圖形形狀求出函數的解析式.【詳解】解：過點A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H．∵ABCD是等腰梯形，底角為45°，AB＝cm，∴BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又∵BC＝7cm，∴AD＝GH＝3cm，①當點F在BG上時，,即時，；②當點F在GH上時，即時，．③當點F在HC上時，即時，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD?S三角形CEF，∴函數解析式為.【點睛】本題考查求分段函數的解析式，找到分段點，在各段找出已學過得的規則圖形，化未知為已知，結合圖形，比較直觀．用到轉化，化歸與數形結合的思想．21．為減少空氣污染，某市鼓勵居民用電（減少粉塵），并采用分段計費的方法計算電費．當每個家庭月用電量不超過100千瓦時時，按每千瓦時0.57元計算；當月用電量超過100千瓦時時，其中的100千瓦時仍按原標準收費，超過的部分按每千瓦時0.5元計算．（1）設月用電x千瓦時時，應交電費y元，寫出y關于x的函數關系式；（2）若某家庭一月份用電120千瓦時，則應交電費多少元？（3）若某家庭第一季度繳納電費的情況如下表：月份1月2月3月合計交費金額（元）766345.6184.6則這個家庭第一季度共用電多少千瓦時？【答案】（1）；（2）67元；（3）第一季度共用電330千瓦時.【解析】（1）根據“階梯電價”方法計算電價，可得分段函數；（2）由代入，可得結論；（3）分別計算3個月用電，可得結論．【詳解】解：（1）由題意得，當時，；當時，．所以關于的函數關系式為．（2）已知，結合（1）得，即應交電費67元．（3）1月用電：因為，所以，由得；2月用電：因為，所以，由得；3月用電：因為，所以，由得．所以（千瓦時），即第一季度共用電330千瓦時【點睛】本題考查利用數學知識解決實際問題，考查分段函數，確定函數解析式是關鍵．22．已知函數在區間上的最小值為．（1）求函數的解析式．（2）定義在上的函數為偶函數，且當時，．若，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）函數的對稱軸，討論對稱軸所在的區間即可求解．（2）根據已知定義在的函數為偶函數，再對其單調性進行研究可知，即，實數的取值范圍即可求解．【詳解】（1）因為，所以當時，，此時．當時，函數在區間上單調遞減，所以．綜上可知．（2）因為當時，，所以當時，．易知函數在上單調遞減，因為定義在上的函數為偶函數，且，所以，解得或．綜上所述，實數的取值范圍為．【點睛】本題主要考查函數的性質，求二次函數在閉區間上的最值問題主要有三種類型：軸定區間定、軸動區間定、軸定區間動，不論是哪種類型，解決的關鍵是明確對稱軸與區間的位置關系，當含有參數時，要依據對稱軸與區間的位置關系進行分類討論．23．已知二次函數滿足：對任意實數x，都有，且當時，有成立.(1)證明：；(2)設，，若圖象上的點都位于直線的上方，求實數m的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）