微專題3空間距離[2024·江西鷹潭模擬]如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC＝AC＝CC1＝4，D為AB1的中點，CB1交BC1于點E.(1)證明：CB1⊥C1D；(2)求點E到平面B1C1D的距離．5.[2024·河北石家莊二中模擬]如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CA⊥CB，側面AA1B1B為菱形，△AB1C為等邊三角形．(1)求證：CB1⊥CB；(2)若CA＝CB＝4，點E是側棱CC1上的動點，且平面AB1E與平面ABC的夾角的余弦值為，求點B到平面AB1E的距離．技法領悟利用空間向量求空間距離的答題模板[鞏固訓練3][2024·重慶模擬]在多面體ABCC1A1B1中，四邊形BB1C1C是邊長為4的正方形，AB⊥B1B，△ABC是正三角形．(1)若A1為AB1的中點，求證：直線AC∥平面A1BC1；(2)若點A1在棱AB1上且AA1＝2A1B1，求點C到平面A1BC1的距離．微專題3空間距離保分題(1)解析：證明：由于CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，所以A1C1，B1C1，CC1兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0，0，4)，C1(0，0，0)，B1(0，4，0)，A1(4，0，0)，A(4，0，4)，B(0，4，4)，D(2，2，2)，＝(0，4，－4)，＝(2，2，2)，所以·＝0＋8－8＝⊥，故CB1⊥C1D.(2)由題意可知E是CB1，BC1的中點，所以E(0，2，2)，設平面B1C1D的法向量為m＝(x，y，z)，則＝(0，4，0)，＝(2，2，2)，＝(0，2，2)，故，取x＝1，則m＝(1，0，－1)，所以點E到平面B1C1D的距離為d＝＝＝.提分題[例5]解析：(1)證明：連接A1B與AB1相交于點F，連接CF，如圖所示：∵四邊形AA1B1B為菱形，∴F為AB1的中點，則A1B⊥AB1.△AB1C為等邊三角形，有CF⊥AB1，A1B，CF?平面A1BC，A1B＝F，∴AB1⊥平面A1BC，BC?平面A1BC，∴AB1⊥BC，又AC⊥BC，AB1，AC?平面AB1C，AB1＝A，∴BC⊥平面AB1C，∵CB1?平面AB1C，∴CB1⊥CB.(2)由(1)知CB1⊥CB，CA⊥CB，且CB1＝C，CB1，AC?平面AB1C，故CB⊥平面AB1C，而CB?平面ABC，故平面AB1C⊥平面ABC，分別取AC，AB的中點O，G，連接B1O，OG，則OG∥BC，∴OG⊥平面AB1C，△AB1C為等邊三角形，B1O⊥AC，而平面AB1C∩平面ABC＝AC，B1O?平面AB1C，故B1O⊥平面ABC，以O為原點的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，－2，0)，C(0，2，0)，B(4，2，0)，B1(0，0，2)，設＝＝＝(－4λ，－2λ，2λ)(0≤λ≤1)，則E(－4λ，2－2λ，2λ)，∴＝＝(0，2，2)，設平面AB1E的一個法向量n＝(x，y，z)，則有，令z＝λ，則y＝－λ，x＝λ－，即n＝(λ－，－λ，λ)，又∵平面ABC的法向量為＝(0，0，2)，∴平面AB1E與平面ABC的夾角的余弦值為〉＝＝，∴3λ2＋2λ－1＝0，∴λ＝或λ＝－1(舍)，此時n＝(－，－)，又＝(4，4，0)，∴點B到平面AB1E的距離為：＝＝3.[鞏固訓練3](1)解析：證明：如圖，連接CB1，設CB1＝D，由題意可得D為CB1的中點，連接A1D，因為A1，D分別為AB1，CB1的中點，則A1D∥AC，A1D?平面A1BC1，AC?平面A1BC1，所以直線AC∥平面A1BC1.(2)解析：由題意可得：AB⊥B1B，BC⊥B1B，AB＝B，AB，BC?平面ABC，所以BB1⊥平面ABC，取AB的中點H，連接CH，因為△ABC是正三角形，則CH⊥AB，又因為BB1⊥平面ABC，CH?平面ABC，則CH⊥BB1，AB＝B，AB，BB1?平面ABB1，所以CH⊥平面ABB1，如圖，以H為坐標原點，HA，HC為x軸，z軸，建立空間直角坐標系，則B(－2，0，0)，C(0，0，2)，B1(－2，4，0)，C1(0，4，2