第9講函數性質的綜合問題考點1函數的單調性與奇偶性綜合問題[名師點睛]函數的單調性與奇偶性的綜合問題解題思路(1)解決比較大小、最值問題應充分利用奇函數在關于原點對稱的兩個區間上具有相同的單調性，偶函數在關于y軸對稱的兩個區間上具有相反的單調性．(2)解決不等式問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根據函數的奇偶性與單調性，列出不等式(組)，要注意函數定義域對參數的影響．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習）已知是定義在上的奇函數，當時，為增函數，且，那么不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．(2023·天津市第一中學濱海學校高三階段練習）已知函數在區間單調遞增，且，則（

）A． B．C． D．[舉一反三]1．(2023·遼寧·沈陽市第一二〇中學高三階段練習）已知定義域為的函數滿足，且當時，，則當時，的最小值為（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習）已知函數對于任意、，總有，且當時，，若已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．3．(2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的奇函數在上單調遞減，且滿足，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．4．(2023·山東省淄博實驗中學高三期末）已知函數為定義在R上的奇函數，滿足對，其中，都有，且，則不等式的解集為___________.考點2函數的周期性與奇偶性綜合問題[名師點睛]周期性與奇偶性結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的定義域內求解．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習）設是上的奇函數且滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高三專題練習）設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，若，則（

）A． B． C． D．[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習）偶函數對于任意實數x，都有成立，并且當時，，則（

）A． B．C． D．2．(2023·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數滿足：①圖象關于原點對稱；②；③當時，.若，則（

）A． B．1 C． D．23．(2023·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數的圖象關于原點對稱，且時，．當，時，，則（4）．考點3函數的奇偶性、周期性與對稱性問題[名師點睛]函數的奇偶性、對稱性、周期性，知二斷一．特別注意“奇函數若在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0；偶函數一定有f(|x|)＝f(x)”在解題中的應用．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習）已知定義在的函數滿足，，則下列結論正確的是（

）A．不是周期函數B．是奇函數C．對任意，恒有為定值D．對任意，有2．(2023·全國·高三專題練習）已知是定義在上的奇函數，滿足，下列說法：①的圖象關于對稱；②的圖象關于對稱；③在內至少有個零點；④若在上單調遞增，則它在上也是單調遞增．其中正確的是（

）A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④3．(2023·全國·高三專題練習）已知是定義域為R的函數，滿足，，當時，，則下列說法正確的是（

）①的最小正周期為4

②的圖像關于直線對稱③當時，函數的最大值為2

④當時，函數的最小值為A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習）已知函數是定義在上的偶函數，且當時，，則方程解的個數為（

）A． B． C． D．2．（多選）(2023·江蘇·南京市寧海中學模擬預測）已知是定義在R上的偶函數，且對任意，有，當時，，則（

）A．是以2為周期的周期函數B．點是函數的一個對稱中心C．D．函數有3個零點3．（多選）(2023·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知函數對任意都有，若函數的圖象關于對稱，且對任意的，且，都有，若，則下列結論正確的是（

）A．是偶函數 B．C．的圖象關于點對稱 D．4．(2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數滿足條件，且函數是奇函數，給出以下四個命題：①函數是周期函數；②函數的圖象關于點，對稱；③函數是偶函數；④函數在上是單調函數.在上述四個命題中，正確命題的序號是___________（寫出所有正確命題的序號）第9講函數性質的綜合問題考點1函數的單調性與奇偶性綜合問題[名師點睛]函數的單調性與奇偶性的綜合問題解題思路(1)解決比較大小、最值問題應充分利用奇函數在關于原點對稱的兩個區間上具有相同的單調性，偶函數在關于y軸對稱的兩個區間上具有相反的單調性．(2)解決不等式問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根據函數的奇偶性與單調性，列出不等式(組)，要注意函數定義域對參數的影響．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習）已知是定義在上的奇函數，當時，為增函數，且，那么不等式的解集是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】因為是定義在上的奇函數，則，因為，則.因為函數在上為增函數，則函數在上也為增函數.當時，由可得，則；當時，由可得，則.綜上所述，不等式的解集為.故選：C.2．(2023·天津市第一中學濱海學校高三階段練習）已知函數在區間單調遞增，且，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因為，所以函數為偶函數，圖象關于軸對稱，又由函數在區間單調遞增，可得在區間單調遞減，根據對數函數的性質，可得，即，又因為，且，所以，即.故選：D.[舉一反三]1．(2023·遼寧·沈陽市第一二〇中學高三階段練習）已知定義域為的函數滿足，且當時，，則當時，的最小值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】解：當時，，易知當時，，因為，所以，所以當時，；當時，，綜上，當時，．故選：D．2．(2023·全國·高三專題練習）已知函數對于任意、，總有，且當時，，若已知，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】令，則，對任意的、，總有，則，令，可得，可得，令時，則由，即，當時，，即，任取、且，則，即，即，所以，函數在上為增函數，且有，由，可得，即，所以，，所以，，解得.因此，不等式的解集為.故選：A.3．(2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的奇函數在上單調遞減，且滿足，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由題意，函數定義在上的奇函數，在單調減，所以在單調減，且若函數，當時，，，此時無解；當時，，可得，，此時無解；當時，，可得，此時成立；當時，可得，，所以，所以當時，滿足不等式，令，可得函數的定義域為，且，所以函數奇函數，所以當時，滿足不等式成立，綜上可得，不等式的解集為.故選：B.4．(2023·山東省淄博實驗中學高三期末）已知函數為定義在R上的奇函數，滿足對，其中，都有，且，則不等式的解集為___________.答案：【解析】因為，所以當時，，令，則在上單調遞增，又因為為定義在R上的奇函數,所以是偶函數，且在上單調遞減，因為，所以，等價于或，所以或，即不等式的解集為.故答案為：.考點2函數的周期性與奇偶性綜合問題[名師點睛]周期性與奇偶性結合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的定義域內求解．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習）設是上的奇函數且滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】對任意的，，即，所以，函數是以為周期的周期函數，，由于函數為的奇函數，且當時，，因此，.故選：D.2．(2023·全國·高三專題練習）設函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，若，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因為為奇函數，所以①；又為偶函數，所以②；令，由②得：，又，所以，得，令，由①得：；令，由②得：，所以.得時，，結合①②得，，所以函數的周期為，所以.故選：C[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習）偶函數對于任意實數x，都有成立，并且當時，，則（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由于函數為上的偶函數，則，，所以，函數是以為周期的周期函數，當時，，所以，．故選：C．2．(2023·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數滿足：①圖象關于原點對稱；②；③當時，.若，則（

）A． B．1 C． D．2答案：B【解析】由①可知函數為奇函數，又，故，即函數的周期為3，∴，解得.故選：B.3．(2023·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數的圖象關于原點對稱，且時，．當，時，，則（4）．答案：【解析】定義域為的函數的圖象關于原點對稱，故為奇函數，當時，．當，時，，（8）（6）（4）（2）（2），則（4）（2）（2）（2），故答案為：．考點3函數的奇偶性、周期性與對稱性問題[名師點睛]函數的奇偶性、對稱性、周期性，知二斷一．特別注意“奇函數若在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0；偶函數一定有f(|x|)＝f(x)”在解題中的應用．[典例]1．(2023·全國·高三專題練習）已知定義在的函數滿足，，則下列結論正確的是（

）A．不是周期函數B．是奇函數C．對任意，恒有為定值D．對任意，有答案：C【解析】，∴

，∴∴，∴∴，∴是周期為4的函數∴，∴為偶函數在中，令，有故是定值當時，即為，故D不正確故選：C2．(2023·全國·高三專題練習）已知是定義在上的奇函數，滿足，下列說法：①的圖象關于對稱；②的圖象關于對稱；③在內至少有個零點；④若在上單調遞增，則它在上也是單調遞增．其中正確的是（

）A．①④ B．②③ C．②③④ D．①③④答案：C【解析】因為且是定義在上的奇函數，則，故函數是周期為的周期函數，且，所以，，故函數的圖象關于對稱，①錯誤，②正確；由題意可知，，因為，令，可得，即，所以，，從而，故函數在內至少有個零點，③正確；因為，，且函數在上單調遞增，則函數在上也為增函數，故函數在上也是單調遞增，④正確.故選：C.3．(2023·全國·高三專題練習）已知是定義域為R的函數，滿足，，當時，，則下列說法正確的是（

）①的最小正周期為4

②的圖像關于直線對稱③當時，函數的最大值為2

④當時，函數的最小值為A．①②③ B．①② C．①②④ D．①②③④答案：A【解析】對于①，，，則，即的最小正周期為4，故①正確；對于②，由知的圖像關于直線對稱，故②正確；對于③，當時，在上單調遞減，在上單調遞增根據對稱性可知，函數在，上單調遞減，在，上單調遞增，則函數在上的最大值為，故③正確；對于④，根據周期性以及單調性可知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則函數在上的最小值為，故④錯誤.故選：A[舉一反三]1．(2023·全國·高三專題練習）已知函數是定義在上的偶函數，且當時，，則方程解的個數為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題意，函數當時，，作出函數的圖象，如圖所示，又由方程解的個數，即為函數與的圖象交點的個數，當時，結合圖象，兩函數與的圖象有5個交點，又由函數為偶函數，圖象關于軸對稱，所以當時，結合圖象，兩函數與的圖象也有5個交點，綜上可得，函數與的圖象有10個交點，即方程解的個數為10.故選：D.2．（多選）(2023·江蘇·南京市寧海中學模擬預測）已知是定義在R上的偶函數，且對任意，有，當時，，則（

）A．是以2為周期的周期函數B．點是函數的一個對稱中心C．D．函數有3個零點答案：BD【解析】依題意，為偶函數，且，有，即關于對稱，則，所以是周期為4的周期函數，故A錯誤；因為的周期為4，關于對稱，所以是函數的一個對稱中心，故B正確；因為的周期為4，則，，所以，故C錯誤；作函數和的圖象如下圖所示，由圖可知，兩個函數圖象有3個交點，所以函數有3個零點，故D正確.故選：BD.3．（多選）(2023·重慶巴蜀中學高三階段練習）已知函數對任意都有，若函數的圖象關于對稱，且對任意的，且，都有，若，則下列結論正確的是（

）A．是偶函數 B．C．的圖象關于點對稱 D．答案：ABCD【解析】對于選項A：由函數的圖像關于對稱，根據函數的圖象變換，可得函數的圖象關于對稱，所以函數為偶函數，所以A正確；對于選項B：由函數對任意都有，可得，所以函數是周期為4的周期函數，因為，可得，則，所以B正確；又因為函數為偶函數，即，所以，可得，所以函數關于中心對稱，所以C正確；由對任意的，且，都有，可得函數在區間上為單調遞增函數，又因為函數為偶函數，故函數在區間上為單調遞減函數，故，所以D正確.故選：ABCD4．(2023·全國·高