7.翻折問題

1.在ABC中，AB=AC,ZBAC<60°,。為BC延長線上一點，E為ZACD

內部一點，且石+N￡CZ)=90°.

(1)若ZABE=60°,如圖1,直接寫出AC、3石間的數量關系：；

(2)若NABE=45°,如圖2,求證：BE=42AC

(3)在(2)的條件下，如圖3,將線段A4沿BE翻折，翻折后的點A落在點"處，且

MC1.BC,連接交3c的延長線于N,若CN=2,求AN的長.

解析：(1)A.C=BE

提示：作。于/,BG_LCE交EC延長線于G

圖1

'：AB=AC,

：.BF=FC=LBC

2

vZABE+ZECD=90°,ZAB石=60。

ZECD=30°,

ZBCG=30°

??.NC8G=60。，BG=-BC

2

；.ZABF=NEBG,BF=BG

RtfABF^RtEBG,

AB^BE

AC=BE

(2)作AbJ.BC于F,3G_LCE交EC延長線于G

G

圖2

???AB=AC,

BF=FC=-BC

2

■：ZABE+ZECD=90°,/ABE=45。

ZECD=45°,

ZfiCG=45°

:.NCBG=45°,BG=—BC=41BF

2

:.ZABF=/EBG,

RtfABF^RtEBG

:.匣=里=卮

ABBD

BE=42AB

：.BE=4IAC

(3)作AP_L3C于F\MHLBE于H

則ZABF+NBA/=90°,BF=FC=-BC

2

由題意，/MBE=NABE=45°,AB=BM

ZABM=90°,

AABF-\~ZMBC=90°

/BAF=/MBC

???MC±BC,

ZBCM=ZAFB=90°

fABF^BMC,

AF=BC=2BF,BF=MC

BC=2MC

由(2)知，BE—yf2AB,

BE=42BM

???NMBH=45。,

Bi

ZBMH=45°,BH=MH=—BM=-BE

22

BH=EH=MH,

ZMEH^ZEMH=45°

ZBME=90。,

R#BMCsRtMNC

MC=2CN=4,

FC=4,FN=6,Ab=8

AN=\IFN2+AF2=A/62+82=10

2.如圖，在RrABC中，NC=90°,翻折NC,使點。落在斜邊AB上某一點。處,

折痕為砂(點￡、廠分別在邊AC、BC±)

⑴若CEF與ABC相似.

①當AC=3C=2時，求AQ的長；

②當AC=3,3C=4時，求AD的長；

(2)當點。是A6的中點時，CEF與A3。相似嗎？請說明理由.

C

E,

R

解析：(1)若CEF與ABC相似.

①當AC=BC=2時，A3c為等腰直角三角形，如答圖1所示.

j2

此時D為AB邊中點，AD=—AC=5/2.

2

②當AC=3,3C=4時，有兩種情況：

(I)若C石：C/=3：4,如答圖2所示.

???CE：CF=AC：BC,

C.EF//BC.

由折疊性質可知，CDA.EF,

CDLAB,即此時CD為AB邊上的高.

在RtABC中，AC=3,BC=4,

AB=5,

AC3

，cosA-

~AB5

AD=AC*cosA=3x-=1.8；

5

(ii)若C「：CE=3:4,如答圖3所示.

:CEFsCAB,

NCEF=/B.

由折疊性質可知，Z.CEF+ZECD=90°,

又?.?NA+N3=90。，

:.ZA=/ECD,

AD=CD.

同理可得：/B=/FCD,CD=BD,

此時AD--AB=Lx5=2.5.

22

綜上所述，當AC=3,BC=4時，AD的長為1.8或2.5.

(2)當點。是AB的中點時，CEF與A3C相似.理由如下:

如答圖3所示，連接CD,與EF交于點、Q.

???CO是RfABC的中線，

CD=DB—AB,

:.ZDCB=ZB.

由折疊性質可知，ZCQF=Z.DQF-90°,

:.ZDCB+ZCFE=90°,

???N3+ZA=90°,

NCFE=ZA,

又zc=zc,

CEFsCBA.

AB

3.在矩形ABC。中，——二a,點G,“分別在邊AB,DCk,且HA=HG.點

AD

E為AB邊上的一個動點，連接HE,把沿直線"E翻折得到FHE.

(1)如圖1,當。H=D4時，

①填空：ZHGAF=度；

②%EF//HG,求NAttE的度數，并求此時a的最小值；

(2)如圖3,NA￡”=60°,EG=23G,連接FG,交邊0c于點尸，且Q用

G為垂足，求a的值.

圖2（備用）

解析：（1）①45。

②分兩種情況:

第一種情況（如圖1）

ZHAG=/HGA=45。,

ZAHG=\80o-45°-45o=90°

由折疊可知：NHAE=NF=45。,ZAHE=ZFHE

又?：EF〃HG,

/FHg/F=45。

ZAHF=ZAHG-Z/7/G=90o-45°=45°

即ZAHE+/FHE=45。,

NA"石=22.5。

此時，當8與G重合時，a的值最小，最小值是2

第二種情況（如圖2）

vEF//HG,

ZHGA=ZFEA=45°

即ZAEH-\-ZFEH=45°

由折疊可知：ZAEH=ZFEH,

ZAEH=NFEH=225。

???EF//HG,

ZGHE=ZFEH=22.5°

ZAHE=900+22.5°=l12.5°

此時，當8與E重合時，a的值最小

設DH=DA=x,則

在RtA//G中，ZAHG-=90°,

AG=y[2AH=2x

■：ZAEH=ZFEH,/GHE=NFEH,

ZAEH=NGHE

GH=GE=42x,

AB=AE=2jcJi-42x

a=2=2x+瓜=2+6

ADx

(2)過點H作"Q交AB于Q,

則ZAQH=ZGQH=90°

在矩形ABC。中，ZD=ZDAQ=90°

ZD=ZDAQ=AAQH=9Q°

...四邊形ZX4Q”為矩形,

AD=HQ

設A￡)=%,GB=y,則”Q=x,EG=2y

由折疊可知：ZAEH—ZFEH=60°

ZFEG=180o-60°-60o=60°

在RtEFG中,EG=EF-cos60°,EF=4y

HO

在RtHQE中，EQ—

tan6003

QG=QE+EG=^x+2y

vHA=HG,HQA.AB,

AQ=GQ=^-x+2y

由折疊可知：AE=EF

.?.竽%+2工分,

c、7

%+2y+y=~

7

AD3

4.如圖，ABC為等邊三角形，D為ABC內一點，且NAZ)B=120°,ADB沿

80翻折，點A落在點E處，連接CE.

(1)求證：BD~\-CE=AD；

(2)連接CQ,若AD=8,CD=7,求CE的長.

D

BC

E

解析：（1）將A3。繞點A逆時針旋轉60°得ACF,連接。尸、CF、EF

則AD戶'是等邊三角形，

AD=DF,ZADF=ZAFD=60°

vZADg20°，:.Z.ADB+/ADF=180°

；.B、D、歹三點在同一直線上

-：ZAFC^ZADB=120°,AZ￡)FC=60°

由題意，NEDF=ZADF=60。,DE=AD

DE=DF,

。斯是等邊三角形

EF=DE=AD,NO匹￡=60°

:.E、C、尸三點在同一直線上

BD+CE=CF+CE=EF=AD

(2)過C作CGJLDE于G

???DEF是等邊三角形，：.NDEF=60°

ihI

設CE=x,則GE=—x,CG=—x,DG=S—x

222

(iY(ny

在RtCDG中，8—x+—%=7一

I2)[2)

解得F=3,%2=5

..?C￡的長為3或5

5.已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使頂點B落在CO邊上的

P點處.

(1)如圖1,已知折痕與邊3c交于點O,連結AP、OP、OA.

①求證：OCPsPDA；

②若0C0與PD4的面積比為1:4,求邊A6的長；

(2)若圖1中的點P恰好是C￡＞邊的中點，求NOA3的度數；

(3)如圖2,在(1)的條件下，擦去折痕AO、線段。尸，連結5P.動點Af在線段AP

上(點M與點夕、A不重合)，動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM,連結MN

交PB于點F,作產于點E.試問當點"、N在移動過程中，線段用的長

度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段族的長度.

DCDC

圖1圖2

解析：

(1)①：四邊形45CD是矩形，，NC=ND=90°

，AAPD+ZDAP=90°

???AO0是由A5O沿AO折疊，

ZAPO=ZB=90°

，ZAPD+ZCPO=90°

?：ZDAP=ZCPO,

:：'OCRsPDA

②OCPsPDA,OCP與PD4的面積比為1:4

/△。“/町j,

S^PDAIA。J4

CP1

"AF"2

AD=8,

CP=4r

設AB=%,則。P=L4

在火，PDA中，AP2=AD2+DP2

x.82+(L4)2，,尸10

即邊AB的長為10

(2)?..折疊后AOB與AOP重合,

AP=AB,ZOAB=ZOAP

\AB=CD,

AP=CD

???P是CO的中點，

DP=-AP

2

vZD=90°,

ZPAD=30°

又/OAB=/OAP,

NQ4B=30。

(3)線段石尸的長度不變

作MH〃BN交PB于點、H

???AP=AB,

ZAPB=ZABP

ZMHP^ZABP,ZMHF=ZNBF

ZMHP=ZAPB,

MP=MH

???MP=BN,

BN=MH

；NNFB=NMFH,

.?.「NBF9MHF

FH=FB

???EF=EH+FH，

EF=EP+FB=-PB

2

由（i）得：AB=10,AD=8,

/.DP=6

PC=4,

PB=4V5,

EF=2y/5

6.如圖1,在平行四邊形A3CD中，點E是3c邊的中點，連接AE并延長，交。。的

延長線于點E,且NAEC=2NA3石.連接AC.

(1)求證：四邊形是矩形；

(2)在圖1中，若點”是5方上一點，沿AM折疊ABM,使點8恰好落在線段。F

上的點3'處(如圖2),圖=B方，求的長.

圖1

解析：（1）???四邊形A3CD是平行四邊形,

，AB//DF

ZABE=ZFCE,ZBAE=ZCFE

?/E是BC的中點，；.BE=CE

...AEB咨FEC,:.AB=FC

四邊形ABFC是平行四邊形

AF=2AE,BC=2BE

???ZAEC=2AABE,ZAEC=/ABE+/BAE

:.ZABE=ZBAE,

AE=BE,

AF=BC

：.四邊形ABFC是矩形

(2)

?..四邊形ABR?是矩形，AB=13,AC=12

ACF=AB=13,BF^AC=12,ZACF=NMFB'=90°

?：AB'M是由ABM折疊得到的

AB'=AB=13,B'M=BM

在RtAB'C中，B'C=y/AB'2-AC2=V132-122=5

B'CF~B'C=13-5=8

設加/二工,則3'M=3A/=12—%

在RtB'MF中,B'F2+MF2=B'M2

即8?+%2=（12—x）2,解得％=此

3

7.在直角梯形A3CZ)中，AD//BC,Z5=90°,ZC=60°,4)=8,點后在射

線上，將ABE沿AE翻折，點8落到點尸處，射線石尸與射線CO交于點

(1)如圖1,當點M在CD邊上時，求證：FM—DM=——AB.

3

(2)如圖2,當點E在3c邊的延長線上時，線段EM、DM、A3的數量關系是:

(3)在(2)的條件下，過A點作AGJLCM,垂足為點G,設直線3G與直線AM交

于點N,若AD=6,F70=l,求GN的長.

M

圖2圖2

解析：（1）過A作AG，C。，交CD的延長線于G,連接40、AC

AD//BC,

ZACB=ZDAC

???AD=CD,

ZACD^ZDAC

ZACB=ZACD,

AB=AG

vAB=AF,

AF^AG

又AM=AM,NAFM=NG=90。

IAMF^AMG,

...FM=GM

FM~DM=DG

vZADg/BCD=6U°,

DG=@AG=@AB

33

n

FM~DM=—AB

3

(2)DM-FM^—AB

3

提示：過A作AG_LCM于G,連接AM、AC

BCE

同(1)可證：AB=AG=AF,FM=GM

vDM~GM=DG,DG=-—AG^—AB

33

:.DM-FM^—AB

3

(3)連接AC,作于”，DKLBC于K

N

vAD=6,FM=l,ZBCD=60°

CD=6,KC=3,AB=DK=38,3c=9

'：DM-FM^—AB,

3

Ax3^+l=4

3

/.CM=iO,HC=5,MH=S6BH=4

設BE=x,則ME=x-l,HE=x-4

'：MH2-\~HE2=ME2,

2

(5后+(L4『=(x-1)

解得x=15,

:.BE=15,CE=6

vZBCGt=60°,

ZECG=120°

ZACB=ZACD^30°,ZBAG=120°

vIAMF^AMG,

...ZMAF^ZMAG

ZMAE^ZGAC-ZEAC+ZMAG=-ZBAF-ZEAC

2

=ZBAE-ZEAC=ZBAC=60°

又NG4C=60。，

/GAN=/CAE

???AB=AG,ZBAG=120°,

ZABG=30°

/AGN=150o=/ACE,

:.lAGNsACE

■：AG=-AC,

2

:.GN==CE=3

2

8.如圖1,等腰直角三角板的一個銳角頂點與正方形ABC。的頂點A重合，將此三角板繞

點A旋轉，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊8C、DC于點E、/，連結

EF.

(1)猜想跳:、EF、OE三條線段之間的數量關系，并證明你的猜想；

(2)在圖1中，過點A作AA/_L￡/于點請直掾寫出AM和AB的數量關系；

(3)如圖2,將口肛沿斜邊AC翻折得到R,ADC,E./分別是BC、CD邊

上的點，ZEAF=-ZBAD,連接過點A作/M，E廠于點M.試猜想AM

2

與A8之間的數量關系，并證明你的猜想.

答案：見解析

解析：(1)猜想：BE+DF=EF

證明：延長C8到G，使BG=DF,連接AG

；四邊形ABC。是正方形

AB^AD,ZABC^ZD=90°

ZABG=90°,

ZABG=/D

FABG%ADF

AG^AF,ZGAB^ZFAD

???Z￡AF=45°,AFAD+ABAE=ABAD-ZE4F=90°—45°=45°

???NG4￡=NG4B+NBA石=45。

/GAE=/EAF

又???4G=Af；AE=AE,

AEG^AEF

EG^EF

即BE+DF=EF

(2)AM=AB

(3)猜想：AM—AB

證明：延長CB到G,使BG=DF,連接AG

vRtABC沿斜邊AC翻折得到RrADC

AB=AD,ZABC^ZD=90°

ZABG=90°,

ZABG=ND

ABGgADF

/.AG^AF,ZGAB=ZFAD

ZEAF^-ZBAD,

2

ZE4D+NBAE=-ZBAD

2

NGAE=ZGAB+NBAE=ZFAD+ZBAE^-ABAD

2

NGAE=NEAF

又???AG=A尸，AE=AE,

??JAEG烏AEF

EG^EF,

5^5=5AL

:.-EGAB=-EFAM

22

，AM=AB

9.(i)如圖i,將矩形紙片A3CD沿對角線8。折疊，使點C落在點E處，BE交AD

于點F.

求證：BF=DF；

(2)若矩形紙片A3c。中，AB=4,BC=10,將矩形A3GD沿過6點的直線折疊，

使點C,D落在點、E,G處，折痕交線段AP(不含端點)于點”，線段交直線AD

于點尸.圖2是該矩形折疊后的一種情況.請探究并解決以下問題：

①當BEH為直角三角形時,求士歸的長；

②當V10時，求tanNBEH的取值范圍.

圖1圖2

E

解析：(1)

由題意，Z1=Z2

?；AD//BC,

Z1=Z3

N2=N3,

/.BF=DF

(2)①

...“不與端點A,。重合

ZBEH<90°,/EBH<90。

...當BEH為直角三角形時，只能/跳汨=90°

連接

vBC^BE,NCBH=NEBH,BH=BH

BCHWBEH

NBHC=NBHE》O。

DHCsABH,

DH_AB

~DC~~AH

即生=一1一，解得"7=2或QH=8

410-DH

...當BEH為直角三角形時,DH的長為2或8

②

'：BE//HG,

ZBEH=/EHG

EG4

tan/BEH=tanZEHG=——=——

GHGH

?：1<DH<10,

.,.0.4<tanZBEH<4

IO.己知矩形A3QD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得頂點6落在CO邊上

的尸點處.

(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點O,連結AP、OP、OA.

①圖中NCOP=N_

②若OC尸與尸D4的面積比為1：4,求邊AB的長為.；

(2)若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求NOAB的度數為度；

(3)如圖2,在(1)的條件下，擦去折痕AO、線段0P,連結5P.動點〃在線段AP

上(點M與點p、A不重合)，動點N在線段A5的延長線上，且BN=PM,連結MN

交PB于點、F,作ME1.BP于點E.試問當點M、N在移動過程中，線段稗的長

度是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段族的長度.

解析：(1)如圖1,

①...四邊形ABCD是矩形，

:.AD=BC,DC=AB,ZDAB=ZB=ZC=ZD=90°.

由折疊可得：AP=AB,PO=BO,ZPAO=ZBAO.ZAPO=ZB.

??.ZAPO=90°.

/.ZAPD=900-ZCPO=ZPOC.

NQ=NC,ZAPD^ZPOC.

.-.IOCPsPDA.

②OCP與PZM的面積比為1:4,

.ocOP_CP_fT_i_

,PF-PA-ZA-V4-2

:.PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.

AD=8,，CP=4,BC=8.

設OP-x,則OB-x,CO-S-x.

在RtPCO中，

ZC=90°,CP=4,OP=x,CO=8-x,

/.x2=(8>+42.

解得：x=5.

二AB=AP=2O0=10.

...邊AB的長為10.

(2)如圖1,

P是CO邊的中點，

:.DP=-DC.

2

DC=AB,AB=AP,

DP^-AP.

2

NO=90。，

./onDP1

sinZ.DAP==—.

AP2

:.ZDAP=30°.

ZDAB=90°,/PAO=/BAO,NDA尸=30。,

/.ZQ4B=30°.

...NQ43的度數為30°.

(3)作用。〃AN,交PB于點、Q,如圖2.

AP=AB,MQ//AN,

;NAPB=NABP,NABP=NMQP.

.NAPB=NMQP.

.MP=MQ.

MP=MQ,ME1PQ,

.PE=EQ=；PQ.

BN=PM,MP=MQ,

.BN=QM.

MQ//AN,

/.ZQMF=/BNF.

在和NFB中,

ZQMF=ZBNF

<ZQFM=/BFN.

QM=BN

MFQ會NFB.

QF=BF.

：.QF=；QB.

EF=EQ+QF=^PQ+^QB=.

由（1）中的結論可得：

PC=4,BC=S,ZC=90°.

.-.PB=782+42=4^5.

EF=-PB=245.

2

.?.在（1）的條件下，當點M、N在移動過程中，線段斯的長度不變，長度為2石.

11.問題解決

如圖(1),將正方形紙片A3C。折疊，使點B落在CD邊上一點E(不與點C,D

重合)，壓平后得到折痕MN.

CE1AM

當=一時，求的值為

~CD2~BN

\D

B

圖⑴

類比歸納

CE1AM

在圖（1）中，若——=一則——的值等于；（注：若答案不是整數，請化為

CD3BN

CE1AMCE1AM

小數）；若——=一則——的值等于；若——=-（〃為整數），則——的值等

CD4BNCDnBN

于—.（用含九的式子表示）

聯系拓廣

如圖（2）,將矩形紙片A3CD折疊，使點8落在C￡）邊上一點E（不與點C、。重合）,

AB1CE1AM

壓平后得到折痕MN設——=—（zm>l1X）,——=一，則——的值等于.（用含

BCmCDnBN

機,八的式子表示）

解析：方法一：如圖(1-1),連接3M、EM、BE

由題設，得四邊形A8NM和四邊形EENM關于直線對稱.

MN垂直平分BE.BM=EM,BN=EN

?.?四邊形ABC。是正方形，

/A=/。=/C=90。,AB=BC=CD=DA=2

CE1

v——=—,;.CE=DE=T

CD2

設BN=x，則NE-x,NC-2-x

在RfCNE中,NE2=CN2+CE2.

%2=(2—%解得％=2,即BN=?

44

在RtABM和在RtDEM中,

AM2+AB2=BM2,

DM2+DE2=EM2,

AM2+AB2=DM2+DE2

設AM—y則DM=2—y

y2+22=(2-y)2+l2

1…1

解得y=―即AM

44

AM_1

方法二：同方法一，BN=-

4

如圖(1—2),過點、N做.NG//CD交.AD子效G,連接BE

圖（1-2）

AD//BC

/.四邊形GDCN是平行四邊形.

..NG=CD=BC

同理，四邊形A3NG也是平行四邊形.AG=BN=*

4

?/MN±BE,:.ZEBC+ZBNM=90°

NG±BC,/MNG+ZBNM=90°,二.ZEBC=NMNG

在BCE與NGM中

"EBC=4MNG

<BC=NG

ZC=NNGM=90°

BCE出NGM,EC=MG.

AM=AG-MG,AM=--1=-.

44

AM1

???一——.

BN5

類比歸納

聯系拓廣

n2m2-2n+l

n2m2+1

12.ABC中，A5=AC>/區4。<60°,。為BC延長線上一點，E為NACD內

部一點，且NA8E+N石CZ)=90°.

(1)若ZABE=60°，如圖1,直接寫出AC.間的數量關系：AC=BE；

(2)若NAB石=45°,如圖2,求證：BE=4^AC；

(3)在(2)的條件下，如圖3,將線段BA沿3E翻折，翻折后的點A落在點M處，且

MC1BC,連接七M,交的延長線于N,若CN=2,求AN的長為.

CDCD

解析：

(1)AC=BE

提示：作4尸_1_3。于3G_LCE1交￡C延長線于G

B\F八D

h

G

圖1

AB=AC,BF=FC=1BC

ZAB石+N石8=90。，乙鉆石二60。

ZECD=30°,/.NBCG=30。

ZCBG=60°,BG^-BC

:.ZABF=/EBG,BF=BG

Rt|ABF^RtEBG,:.AB=BE

:.AC=BE

(2)作AF_LBC于/，BGJ_C石交EC延長線于G

ZA6石+N￡CD=90°,ZAB￡=45°

ZECD=45°,...ZBCG=45°

AABF=/EBG,:.Rt|A5F^RtEBG

器嘿s.?印,

/.BE=y/2AC

(3)作A尸，3c于尸，MHLBE于H

A

E

H

圖3

則AABF+/BA/=90°,BF=FC=-BC

2

由題意，NMBE=NABE=45。,AB=BM

ZABM=90°,ZABF+ZMBC=90°

/BAF=/MBC

MC_LBC,/BCM=ZAFB=90。

ABF"BMC,AF=BC=2BF,BF=MC

BC=2MC

由⑵知，BE=4IAB,

BE=42BM

ZMBH=45°,NBMH=45。,BH=MH=—BM=-BE

22

BH=EH=MH,/MEH=/EMH=45。

ZBME=90°,RtjBMC^RtMNC

?NC—MC_1

NC=2,:.MC=4,BC=8

:.FN=6,A尸=8

/.AN=y]FN2+AF2=V62+82=10

13.如圖1,四邊形ABC。是一張正方形紙片，先將正方形A3CD對折，使與AD

重合，折痕為所，把這個正方形展平，然后沿直線CG折疊，使B點落在斯上，對應

點為8'.

(1)求NCB'/的度數為度；

(2)如圖2,在圖1的基礎上，連接AB',試判斷/8'A石與NGC3'的大小關系，并

說明理由；

(3)如圖3,按以下步驟進行操作：

第一步：先將正方形A5C。對折，使3。與AQ重合，折痕為Eb,把這個正方形展平，

然后繼續對折，使A6與OC重合，折痕為MN,再把這個正方形展平，設和腦V

相交于點O；

第二步：沿直線CG折疊，使8點落在斯上，對應點為B'；再沿直線AH折疊，使。

點落在石尸上，對應點為

第三步：設CGA”分別與MN相交于點P,Q,連接夕尸，PD,D'Q,QB'.

試判斷四邊形B'PD'Q的形狀為，并證明你的結論.

解析：(1)如圖1,由對折可知,

/EFC=90°,CF=-CD

2

四邊形ABCD為正方形，；.CD=CB,:.CF=-CB

2

又由折疊可知，CB'=CB,CF=—CB'

2

CF1

在RtB'FC中,sinZOTF=—=-

CB、2

NCBE=30。

解法二：如圖1,連接D,.

(2)N3'A￡：=NGC3'理由如下：

如圖2,連接3'。

由對折知，EF垂直平分CD,B'C=B'D

由折疊知，B'C=BC

?.?四邊形ABC。為正方形，」.BCMCD

B，C=CD=B，D,;.B'CD為等邊三角形

/.NCZ）H=60。

...四邊形ABC。為正方形

ZCDA^ZDAB=90°,NB'0A=3O0

DB』DA,ZDAB'=ZDB'A

/。5/=3（180°—/夕。4）=75°

ZB1AE^ZDAB-ZDAB'=900-J5o=i5°

由（1）知NCB'/7：?。。

EF/IBC,:.ZB'CB=ZCB'F=30°

由折疊知，ZGCB,=-Z5,CB=-x30°=15°

22

/.ZB'AE^ZGCB'

（3）四邊形8'P。'。為正方形

如圖3,連接A3'

圖3

由（2）知，/B'AE=/GCB'

由折疊知，/GCB'=/PCN,:./B'AE=/PCN

由對折知，NAEB'=/CNP^9。。,AE=LAB,CN=>BC

22

又?.?四邊形A3CD是正方形，...A5=3C

:.AE=CN,”AEB&CNP

EB=NP

同理可得，FD'=MQ

由對稱性可知，EB'=FD'

EB'=NP=FD'=MQ

由兩次對折可知，OE—ON—OF—OM

08'=0尸=0。'=OQ,.?.四邊形8'尸。'。為矩形

由對折知，MNLEF于點O,PQ±'于點O

四邊形8'尸。'。為正方形

14.如圖，在RtA3C中，NC=90P,AG=4BG=51是3c邊上一點,

CZ)=3,P是AC邊上一動點(不與A、C重合)，過點P作P石〃交A。于點E.

(1)設AP=x,DE=y,求y關于x的函數關系式；

(2)以PE為半徑的石與以OB為半徑的。能否相切？若能，求tan/OPE的值;

若不能，請說明理由；

(3)將ABO沿直線AD翻折，得到AB'。，連接石C、B'C,當NAE=KB'

時，求AP的長.

解析：（1）在RtACD中，A0=4,CD=3,:.AD=5

5-y

PE〃BY瑟,哈5

y—%+5(0?4)

35

(2)對于E,r=EP——x-,對于D,r=DB=2-,圓心距EQ=--％+5

44

當兩圓外切時，rE+rD=ED,

PE/IBC,:./DPE=/PDC

PC5

tanZ￡)PE=tanZP￡>C=——=—

CD6

35

當兩圓內切時，&一心|=七。，2|=一工葉5

71

解得尸一或x=6(舍去)，：.PC=一

22

PC1

tanZDP￡=tanZPr)C=——=-

CD6

(3)延長AD交于尸，則AF垂直平分BB'

AC4

在RtBDF中,BD=2,sinZBDF=smZADC^——=-

AD5

/.BF=-,BB'=—

55

ZADC=ZBDF,/CAD=/DBF

當NACE=N3CB'時，CAE^CBB'

ACBC4_564

即

5-y325

5

64256

—%+5=5解得尸

425725

15.如圖①，把矩形紙片ABC。沿環、G”同時折疊，B、C兩點恰好落在AD邊的

P點處，已知NF尸〃=90。，尸尸=8,PH=6.

(1)求圖①中矩形ABC。的邊3c的長為；

(2)求圖①中四邊形石FHG的面積為_____：

(3)如圖②，點〃是直線石尸上的動點，點N是直線G”上的動點，連接

A'M.MN、ND,求A'〃+MN+N。'的最小值為.

答案:24；57.6；24

解析：（1）由題意，BF=PFW,CH=PH=6

ZFPH=90°，:.FH=y/PF2+PH2=782+62=10

BC=BF+FH+HC=8+10+6=24

(2)連接3石、CG

D'

D

H

ADBC,:.NPEF=NBFE

ZPFE^ZBFE,/PEF=NPFE

PE=PFW

同理，PG=P7/=6

￡G=P￡+PG=8+6=14

PFPH8x624

作尸QJ.3C于。，則尸Q=

FH10y

izi24288

S四邊形EFHG（石G+尸H}PQ=7（14+10）X—

=7了

（3）連接AM、DN

由題意，A'M+MN+ND'=AM-\~MN+ND<AD

當點M、N都落在線段AO上時，A'M+MN+N。'取得最小值

即等于線段AQ的長

A'M+MN+ND'的最小值為24

16.如圖1,在梯形A3C7中，AB//CDA490，Aa2CB,

J3C=n。為線段3c上的一動點，且和3、C不重合，連接尸A,過尸作PE_LB4

交CD所在直線于E.設BP=x,CE=y.

(1)求y與％的函數關系式

(2)若點尸在線段3c上運動時，點E總在繾段CQ上，求相的取值范圍

(3)如圖2,若%=4,將PEC沿PE翻折至PEG位置,NHAG=90°,求3尸

長為.

解析：（1）ABCD,ZB=90°,AZ5=ZC=90°

ZAPB+ZBAP=90°

PE±PA,NAPE=90°

AAPB+ACPE=90°,/./BA—/CPE

在ABP和PCE中,ZB=ZC=90°,ZBAP=ZCPE

ABBP

ABPsPCE,

~PC~^E

BC^m,BP^x,PC=m-x

2x1m

------=—,y——x2H—x

m-xy22

.二y與x的函數關系式為y——5廠+根)