考點31數列通項的通項公式18種常見考法歸類-【考點通關】備戰2024年高考數學一輪題型歸納與解題策略(新高考地區專用)考點31數列的通項公式18種常見考法歸類考點一觀察法考點二等差等比定義求通項考點三由an與Sn的關系求通項（一）消Sn（二）消an（三）內部消化（四）隱藏的Sn考點四因式分解考點五累加法求通項考點六累乘法求通項考點七構造法求通項（一）型（二）型（三）型（四）型（五）型考點八同除以指數考點九取倒數求通項（一）形如型（二）形如型考點十不動點法求通項考點十一對數變換法考點十二周期數列考點十三等和數列考點十四等積數列考點十五前n項積型考點十六正負相間討論、奇偶討論型考點十七結合實際背景求通項考點十八構造常數列解決遞推數列通項公式1.觀察法：觀察法即根據所給的一列數、式、圖形等，通過觀察分析數列各項的變化規律，求其通項．使用觀察法時要注意：=1\*GB3①觀察數列各項符號的變化，考慮通項公式中是否有或者部分．=2\*GB3②考慮各項的變化規律與序號的關系．=3\*GB3③應特別注意自然數列、正奇數列、正偶數列、自然數的平方、與有關的數列、等差數列、等比數列以及由它們組成的數列．2.等差等比定義求通項等差數列判定：①定義法：“欲證等差，直接作差”，即證an＋1－an＝定值；②等差中項法：即證2an＋1＝an＋an＋2； ③函數結論法：即an為一次函數或Sn為無常數項的二次函數.等比數列的判定方法：(1)定義法：“欲證等比，直接作比”，即證eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數)?數列{an}是等比數列；(2)等比中項法：即證aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數列{an}是等比數列．3.利用與的關系依據求出.已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．(3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫注：an與Sn關系的應用策略(1)僅含有Sn的遞推數列或既含有Sn又含有an的遞推數列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實施消元法，將遞推關系轉化為僅含an的關系式或僅含Sn的關系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數式經過恒等變形后能否得到簡單可求的數列關系，如等差數列關系或等比數列關系，若消去an留Sn可以得到簡單可求的數列關系，那么就應當消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰更好，變形易把關系找”．(3)值得一提的是：數列通項公式an求出后，還需要驗證數列首項a1是否也滿足通項公式，即“通項求出莫疏忽，驗證首項滿足否”，這一步學生容易忘記，切記！4.累加法與累乘法（1）累加法：形如的解析式形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；=2\*GB3②若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；=3\*GB3③若是關于的二次函數，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和．注：累加法求通項公式的4步驟累乘法：形如的解析式形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．注：累乘法求通項公式的4步驟5.構造法(1)形如型的遞推式：f(當f(n)=0時,an是等比數列,首項a1當f(n)=q(q≠0)時,由an+1=pan+q,設an+1+x=f(設f(n)=An+B(A≠0),an+1=pan+An+Bf(設f(n)=An2+Bn+c(A≠0),設af(設f因an+1=pan+pn+1設f方法一：因an+1=pan+qn+1,則an+1qn+1=pq?anq方法二：因an+1=pan+qn+1,設an+1+xqn+1=p(2)形如型的遞推式：用待定系數法，化為特殊數列的形式求解．方法為：設，比較系數得，可解得，于是是公比為的等比數列，這樣就化歸為型．6.同除法對于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數)型方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),將遞推關系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝eq\f(c,p－q),則由原遞推公式構造出了an＋1＋eq\f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋eq\f(c,p－q)·qn)，而數列{an＋eq\f(c,p－q)·qn}是以a1＋eq\f(c,p－q)·q為首相以為公比的等比數列。（注：應用待定系數法時，要求pq，否則待定系數法會失效）方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以,則有eq\f(an+1,pn+1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。方法三：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1，則有，然后利用待定系數法求解。7.分式型取倒數法：形如（為常數且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．8.不動點法求通項（1）定義：方程的根稱為函數的不動點．利用函數的不動點，可將某些遞推關系所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種求數列通項的方法稱為不動點法．（2）形如的遞推關系式①當時，若，利用特征根方程求出特征根，如果特征方程只有一個實根，可將視為一個整體，構造等差數列求解，即將遞推關系式兩邊減去，然后用1除化簡得，其中.②如果特征方程有兩個實根，可將可視為一個整體，構造等比數列求解。即遞推關系式兩邊分別減去，再將兩式相除得，其中，∴.③如果特征方程無實根，則是周期數列。9.對數變換法形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數不一定要取10，可根據題意選擇）．10.常見周期數列數列周期62323211.形如型（1）若(p為常數)，則數列{}為“等積數列”，它是一個周期數列，周期為2，其通項分奇數項和偶數項來討論;（2）若f(n)為n的函數（非常數）時，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項來分求通項.12.前n項積類比前項和求通項過程：（1），得（2）時，13.關于正負相間型和奇偶分類型（1）利用n的奇偶分類討論，觀察正負相消的規律（2）分段數列（3）奇偶各自是等差，等比或者其他數列考點一觀察法1．（2023秋·新疆喀什·高三統考期末）若數列的前6項為，則數列的通項公式可以為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·學軍中學校聯考二模）已知無窮數列滿足，寫出滿足條件的的一個通項公式：___________.（不能寫成分段數列的形式）3．（2023·陜西西安·?？寄M預測）將石子擺成如圖的梯形形狀．稱數列為“梯形數”．根據圖形的構成，則數列的第項________．4．（2023·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成三角形數，如1，3，6，10，15.我國宋元時期數學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數”垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球）.若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛第10層球的個數為___________.

考點二等差等比定義求通項5．（2023·江蘇無錫·校聯考三模）記為數列的前項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)記，數列的前項和為，求除以3的余數.6．（2023·云南昆明·昆明一中校考模擬預測）設正項數列的前n項和為，且，當時，．(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，且，求數列的通項公式．7．（2023·全國·模擬預測）已知正項數列中，，，，則______，______．8．（2023·全國·高三專題練習）已知數列，，．(1)求證：數列是等差數列．(2)設，求證：數列的前n項和．考點三由an與Sn的關系求通項（一）消Sn9．（2023·內蒙古赤峰·校考模擬預測）已知數列的前n項和為，且(1)求證：數列是等差數列；(2)設求數列的前n項和.10．（2023·四川涼山·三模）數列的前n項和為，若，，則______．11．（2023·四川成都·樹德中學?？寄M預測）數列前項和，若，令，則前10項和________．12．（2023·山東德州·三模）已知為數列的前項和，．(1)求數列的通項公式；(2)設，記的前項和為，證明：．13．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯考階段練習）已知數列的前項和為.(1)求數列的通項公式;(2)若對一切正整數.不等式恒成立.求的最小值.14．（2023·全國·高三專題練習）已知數列{an}的前n項和為，，，求{an}的通項．15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考模擬預測）記為數列的前項和，已知，．(1)求的通項公式；(2)證明：．16．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯考模擬預測）已知數列的各項均不為0，其前n項和滿足，，且.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.（二）消an17．（2023·全國·高三專題練習）設是數列的前n項和，且，則下列選項錯誤的是（）A． B． C．數列為等差數列 D．－505018．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，，，求19．（2023·云南·校聯考二模）正項數列的前n項和為，已知．(1)求證：數列為等差數列，并求出，；(2)若，求數列的前2023項和．（三）內部消化20．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）數列的前項的和為，已知，，當時，(1)求數列的通項公式；(2)設，求的前項和21．（2023·全國·校聯考模擬預測）已知數列的前n項和為，且，，，則2023是數列的（

）A．第566項 B．第574項 C．第666項 D．第674項22．（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┮阎缺葦盗械那皀項和為，，且，，成等差數列．(1)求的通項公式；(2)若數列滿足，求的前2n項和．.23．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．（四）隱藏的Sn24．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數列滿足，求數列的通項公式.25．（2023·重慶·統考模擬預測）已知數列滿足，等差數列的前n項和為，且．(1)求數列和的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．26．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知數列滿足，則的通項公式為（

）A． B．C． D．27．（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預測）數列滿足，則數列的通項公式為________.考點四因式分解28．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考一模）已知正數數列，，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．29．（2023·江西·江西師大附中校考三模）已知各項為正數的數列的前項和為，滿足．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項的和．30．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）已知正項數列，其前項和為，且滿足，數列滿足，其前項和，設，若對任意恒成立，則的最小值是___________.31．（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？既＃┮阎棓盗械那绊椇蜑?，且.(1)求數列的通項公式；(2)將數列和數列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數列，求的前100項和.32．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．14333．（2023·全國·高三專題練習）若正項數列滿足，則數列的通項公式是_______．考點五累加法求通項34．（2023·全國·高三對口高考）已知數列的前n項和為，數列滿足，．則數列的通項公式________；數列的通項公式________．35．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知數列滿足：，．(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前n項和．36．（2023·內蒙古赤峰·校聯考三模）設各項都為正數的數列的前n項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)設函數，且，求數列的前n項和．37．（2023·廣西南寧·南寧三中?？家荒＃┮阎獢盗袧M足，，則數列的通項公式為______．38．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則數列的通項公式為_____________.39．（2023·北京大興·?？既＃┤鐖D的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設各層球數構成一個數列，，，，…，則（

）

A． B． C． D．40．（2023·全國·高三對口高考）已知向量序列：滿足如下條件：，且．若，則________；中第________項最?。键c六累乘法求通項41．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江中學校考二模）已知數列滿足：.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和.42．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，，．(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和，求證：．43．（2023·河南·模擬預測）已知數列滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．404744．（2023·河南·鄭州一中校聯考模擬預測）已知數列的前n項和為，，且（且），若，則（

）A．46 B．49 C．52 D．5545．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知數列滿足，且，則數列的前18項和為（

）A． B． C． D．考點七構造法求通項型46．（2023·全國·高三專題練習）若數列滿足，則數列的通項公式為________．47．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則__________．48．（2023·全國·模擬預測）在數列中，，．(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．型49．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則數列的通項公式為_____________.50．（2023·全國·高三專題練習）已知在數列中，，，則______．型51．（2023·全國·高三專題練習）設數列滿足，，則數列的通項公式為___________.52．（2023·全國·高三專題練習）已知數列是首項為.(1)求通項公式；(2)求數列的前項和.型53．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，，求54．（2023·江蘇·統考三模）已知數列滿足，，．(1)證明：是等比數列；(2)證明：存在兩個等比數列，，使得成立．55．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，求數列的通項公式．型56．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，且，分別求和的通項公式．57．（2023·福建福州·統考模擬預測）已知數列滿足，.(1)若，求數列的通項公式；(2)求使取得最小值時的值.考點八同除以指數58．（2023·全國·高三專題練習）數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為___________.59．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，求數列的通項公式.60．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，求數列的通項公式；考點九取倒數求通項形如型61．（2023春·新疆·高三?？茧A段練習）已知數列中，，．求數列的通項公式；62．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數列滿足，若的前項和為，且，則__________形如型63．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的通項公式．64．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）已知數列的各項均不為零，且滿足，（，），則的通項公式__________．65．【多選】（2023·江蘇鎮江·揚中市第二高級中學校考模擬預測）已知數列滿足，則下列結論正確的有（）A．為等比數列B．的通項公式為C．為遞增數列D．的前n項和考點十不動點法求通項66．（2023·全國·高三專題練習）已知，，求的通項公式．67．（2023·全國·高三專題練習）在數列中，，且，求其通項公式．68．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的遞推公式，且首項，求數列的通項公式．69．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，求數列的通項．70．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的通項公式為______．考點十一對數變換法71．（2023·山東日照·三模）已知數列滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．72．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知正項數列滿足，．(1)求數列的通項公式；(2)設為數列的前n項和，且．求數列的通項公式．73．（2023·全國·高三專題練習）已知為正項數列的前n項的乘積，且．(1)求的通項公式；(2)若，求證：．74．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）已知數列滿足，.(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；(2)若，數列的前項和，求證：.75．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則________考點十二周期數列76．（2023·全國·高三專題練習）設數列滿足，且，則______．77．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則_______.78．（2023·山東濰坊·統考模擬預測）數列1，3，2，…中，，則（

）A．6 B．5 C．4 D．379．（2023·河北邯鄲·統考三模）已知數列滿足：對任意，均有．若，則____．80．（2023秋·河北保定·高三校考期末）已知數列滿足且，為數列的前n項和，則=________．81．（2023·全國·高三專題練習）已知為數列的前n項和，，平面內三個不共線的向量，，滿足，若A，B，C三點在同一直線上，則______考點十三等和數列82．（2023·全國·高三專題練習）設數列的前n項和為，，且，若，則n的最大值為（

）A．50 B．51 C．52 D．5383．（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃盗袧M足，則___________.84．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，，，則（

）A．4 B．2 C．-2 D．-4考點十四等積數列85．（2023春·安徽·高三統考開學考試）已知數列滿足，,則的前項積的最大值為（

）A． B． C．1 D．486．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，若的前n項積的最大值為3，則的取值范圍為（

）A． B． C．D．考點十五前n項積型87．（2023·全國·高三專題練習）記為數列的前項和，為數列的前項積，已知，則的通項公式為______.88．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知數列的前項和為,且滿足,數列的前項積.(1)求數列和的通項公式;(2)求數列的前n項和.89．（2023·吉林長春·長春吉大附中實驗學校?？寄M預測）已知數列的前項的積(1)求數列的通項公式；(2)數列滿足，求.考點十六正負相間討論、奇偶討論型90．（2023秋·浙江湖州·高三安吉縣高級中學校考期末）已知數列滿足.(1)若數列滿足，求及的通頊公式；(2)數列的前項和.91．（2023·遼寧·遼寧實驗中學校聯考模擬預測）已知數列的前n項和為，，且，若，則______．92．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，數列滿足．(1)求數列和的通項公式；(2)求數列的前項和．93．（2023·全國·高三專題練習）在數列中，，，，則______；的前2022項和為______．考點十七結合實際背景求通項94．（2023·全國·高三專題練習）甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規則如下：若擲出的點數之和為3的倍數，原擲骰子的人再繼續擲；若擲出的點數之和不是3的倍數，就由對方接著擲．第一次由甲開始擲，則第n次由甲擲的概率______（用含n的式子表示）．95．（2023·全國·高三專題練習）有一種投擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，設棋子跳到第n站的概率為，若一枚棋子開始在第1站，棋手每次投擲骰子一次，棋子向前跳動一次．若骰子點數小于等于3，棋子向前跳一站；否則，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第9站（失?。┗蛘叩?0站（獲勝）時，游戲結束．則_________；該棋手獲勝的概率為__________．96．（2023春·山西·高三校聯考階段練習）一對夫妻計劃進行為期60天的自駕游．已知兩人均能駕駛車輛,且約定:①在任意一天的旅途中,全天只由其中一人駕車,另一人休息;②若前一天由丈夫駕車,則下一天繼續由丈夫駕車的概率為,由妻子駕車的概率為;③妻子不能連續兩天駕車．已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為．(1)在剛開始的三天中,妻子駕車天數的概率分布列和數學期望;(2)設在第n天時,由丈夫駕車的概率為,求數列的通項公式．97．（2023·海南?？凇ば？寄M預測）某電視臺綜藝欄目擬組織如下一個活動：將全體演員分成甲、乙兩組，各組每次表演一個節目（同一個節目可以由一個演員單獨表演，也可以由幾個演員合作表演），在一組表演完節目后，主持人將一枚質地均勻的骰子隨機拋擲兩次，若所得兩個點數之和為的倍數，則該組再繼續表演一個節目：否則，由另一組表演一個節目．經抽簽，第一次由甲組表演節目．(1)設在前次表演中甲組表演的次數為，求的分布列和數學期望；(2)求第次表演者是甲組的概率．98．（2023·河北·河北衡水中學校考模擬預測）一只螞蟻在四面體上從一個頂點等可能地爬向其余頂點，若其爬X次后的位置是出發點（可以繼續爬），則當時，__________（用n表示）.考點十八構造常數列解決遞推數列通項公式99．（2023春·高三校聯考階段練習）已知數列an滿足an+1?an=100．（2023春·高三校聯考階段練習）已知數列an滿足nan+1=(n+101．（2023春·高三校聯考階段練習）已知數列an滿足an+1=2a102．（2023·山西·校聯考模擬預測）記為數列的前n項和，已知，是公差為2的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．103．（2023·河南駐馬店·統考二模）設數列的前項和為，，且，若恒成立，則的最大值是（

）A． B． C． D．8考點31數列的通項公式18種常見考法歸類考點一觀察法考點二等差等比定義求通項考點三由an與Sn的關系求通項（一）消Sn（二）消an（三）內部消化（四）隱藏的Sn考點四因式分解考點五累加法求通項考點六累乘法求通項考點七構造法求通項（一）型（二）型（三）型（四）型（五）型考點八同除以指數考點九取倒數求通項（一）形如型（二）形如型考點十不動點法求通項考點十一對數變換法考點十二周期數列考點十三等和數列考點十四等積數列考點十五前n項積型考點十六正負相間討論、奇偶討論型考點十七結合實際背景求通項考點十八構造常數列解決遞推數列通項公式1.觀察法：觀察法即根據所給的一列數、式、圖形等，通過觀察分析數列各項的變化規律，求其通項．使用觀察法時要注意：=1\*GB3①觀察數列各項符號的變化，考慮通項公式中是否有或者部分．=2\*GB3②考慮各項的變化規律與序號的關系．=3\*GB3③應特別注意自然數列、正奇數列、正偶數列、自然數的平方、與有關的數列、等差數列、等比數列以及由它們組成的數列．2.等差等比定義求通項等差數列判定：①定義法：“欲證等差，直接作差”，即證an＋1－an＝定值；②等差中項法：即證2an＋1＝an＋an＋2； ③函數結論法：即an為一次函數或Sn為無常數項的二次函數.等比數列的判定方法：(1)定義法：“欲證等比，直接作比”，即證eq\f(an＋1,an)＝q(q≠0的常數)?數列{an}是等比數列；(2)等比中項法：即證aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)?數列{an}是等比數列．3.利用與的關系依據求出.已知Sn求an的三個步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式．(3)對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，如果符合，則可以把數列的通項公式合寫；如果不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫注：an與Sn關系的應用策略(1)僅含有Sn的遞推數列或既含有Sn又含有an的遞推數列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)實施消元法，將遞推關系轉化為僅含an的關系式或僅含Sn的關系式，即“二者消元留一象”．(2)究竟消去an留Sn好，還是消去Sn留an好？取決于消元后的代數式經過恒等變形后能否得到簡單可求的數列關系，如等差數列關系或等比數列關系，若消去an留Sn可以得到簡單可求的數列關系，那么就應當消去an留Sn，否則就嘗試消去Sn留an，即“何知去留誰更好，變形易把關系找”．(3)值得一提的是：數列通項公式an求出后，還需要驗證數列首項a1是否也滿足通項公式，即“通項求出莫疏忽，驗證首項滿足否”，這一步學生容易忘記，切記！4.累加法與累乘法（1）累加法：形如的解析式形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：將上述個式子兩邊分別相加，可得：=1\*GB3①若是關于的一次函數，累加后可轉化為等差數列求和；=2\*GB3②若是關于的指數函數，累加后可轉化為等比數列求和；=3\*GB3③若是關于的二次函數，累加后可分組求和；=4\*GB3④若是關于的分式函數，累加后可裂項求和．注：累加法求通項公式的4步驟累乘法：形如的解析式形如型的遞推數列（其中是關于的函數）可構造：將上述個式子兩邊分別相乘，可得：有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．注：累乘法求通項公式的4步驟5.構造法(1)形如型的遞推式：f(當f(n)=0時,an是等比數列,首項a1當f(n)=q(q≠0)時,由an+1=pan+q,設an+1+x=f(設f(n)=An+B(A≠0),an+1=pan+An+Bf(設f(n)=An2+Bn+c(A≠0),設af(設f因an+1=pan+pn+1設f方法一：因an+1=pan+qn+1,則an+1qn+1=pq?anq方法二：因an+1=pan+qn+1,設an+1+xqn+1=p(2)形如型的遞推式：用待定系數法，化為特殊數列的形式求解．方法為：設，比較系數得，可解得，于是是公比為的等比數列，這樣就化歸為型．6.同除法對于an＋1＝pan＋cqn(其中p,q,c均為常數)型方法一：觀察所給的遞推公式，它一定可以變形為an＋1＋xqn+1＝p(an＋xqn),將遞推關系an＋1＝pan＋cqn待入得pan＋cqn＋xqn+1＝p(an＋xqn)解得x＝eq\f(c,p－q),則由原遞推公式構造出了an＋1＋eq\f(c,p－q)·qn+1＝p(an＋eq\f(c,p－q)·qn)，而數列{an＋eq\f(c,p－q)·qn}是以a1＋eq\f(c,p－q)·q為首相以為公比的等比數列。（注：應用待定系數法時，要求pq，否則待定系數法會失效）方法二：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以,則有eq\f(an+1,pn+1)＝eq\f(an,pn)＋eq\f(cqn,pn+1)然后利用累加法求得。方法三：將an＋1＝pan＋cqn兩邊分別除以qn+1，則有，然后利用待定系數法求解。7.分式型取倒數法：形如（為常數且）的遞推式：兩邊同除于，轉化為形式，化歸為型求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數方法轉化成形式，化歸為型求出的表達式，再求．8.不動點法求通項（1）定義：方程的根稱為函數的不動點．利用函數的不動點，可將某些遞推關系所確定的數列化為等比數列或較易求通項的數列，這種求數列通項的方法稱為不動點法．（2）形如的遞推關系式①當時，若，利用特征根方程求出特征根，如果特征方程只有一個實根，可將視為一個整體，構造等差數列求解，即將遞推關系式兩邊減去，然后用1除化簡得，其中.②如果特征方程有兩個實根，可將可視為一個整體，構造等比數列求解。即遞推關系式兩邊分別減去，再將兩式相除得，其中，∴.③如果特征方程無實根，則是周期數列。9.對數變換法形如型的遞推式：在原遞推式兩邊取對數得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數不一定要取10，可根據題意選擇）．10.常見周期數列數列周期62323211.形如型（1）若(p為常數)，則數列{}為“等積數列”，它是一個周期數列，周期為2，其通項分奇數項和偶數項來討論;（2）若f(n)為n的函數（非常數）時，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項來分求通項.12.前n項積類比前項和求通項過程：（1），得（2）時，13.關于正負相間型和奇偶分類型（1）利用n的奇偶分類討論，觀察正負相消的規律（2）分段數列（3）奇偶各自是等差，等比或者其他數列考點一觀察法1．（2023秋·新疆喀什·高三統考期末）若數列的前6項為，則數列的通項公式可以為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】觀察每項的特點，分別確定項的符號以及分子分母的取值的規律，即可找出數列的通項公式.【詳解】通過觀察數列的前6項，可以發現有如下規律：且奇數項為正，偶數項為負，故用表示各項的正負；各項的絕對值為分數，分子等于各自的序號數，而分母是以1為首項，2為公差的等差數列，故第n項的絕對值是，所以數列的通項可為，故選：D2．（2023·全國·學軍中學校聯考二模）已知無窮數列滿足，寫出滿足條件的的一個通項公式：___________.（不能寫成分段數列的形式）【答案】（或）（答案不唯一）【分析】根據猜想.【詳解】由，，，猜想.故答案為：.（答案不唯一）3．（2023·陜西西安·?？寄M預測）將石子擺成如圖的梯形形狀．稱數列為“梯形數”．根據圖形的構成，則數列的第項________．【答案】77【分析】根據前面圖形中，編號與圖中石子的個數之間的關系，分析他們之間存在的關系，并進行歸納，用得到一般性規律，即可求得結論．【詳解】由已知的圖形我們可以得出：圖形的編號與圖中石子的個數之間的關系為：n=1時，，n=2時，，n=3時，，…由此我們可以推斷：.∴，故答案為：77.4．（2023·全國·高三專題練習）古希臘畢達哥拉斯學派的“三角形數”是一列點（或圓球）在等距的排列下可以形成三角形數，如1，3，6，10，15.我國宋元時期數學家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數”垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球）.若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛第10層球的個數為___________.

【答案】55【分析】根據給定條件歸納總結出“三角形數”的通項公式即可求出第10層球的個數.【詳解】設“落一形”三角錐垛從頂上一層開始，依次往下的各層球的個數形成數列，，，，，，…，由此得，即，則，∴堆垛第10層球的個數為55.故答案為：55.考點二等差等比定義求通項5．（2023·江蘇無錫·校聯考三模）記為數列的前項和，已知，.(1)求的通項公式；(2)記，數列的前項和為，求除以3的余數.【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據等差數列的定義和增位相減以及累乘法即可求解；（2）根據等比數列求和和二項式定理即可求解.【詳解】（1）因為，，所以是首項為1，公差為的等差數列，所以，即①，所以②，由②－①可得，即，所以.（2）由（1）可得，則，所以，所以所以除以3的余數為2.6．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）設正項數列的前n項和為，且，當時，．(1)求數列的通項公式；(2)設數列滿足，且，求數列的通項公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據結合題意可得是以為首項，1為公差的等差數列，進而可得的通項公式；（2）根據累加法與錯位相減法求解即可.【詳解】（1）由，得，因為，所以，所以是以為首項，1為公差的等差數列，所以，所以，當時，，當時，也滿足上式，所以數列的通項公式為．（2）由知：當時，，①，則②，由得：，化簡得：，當時，也滿足上式，所以數列的通項公式為．7．（2023·全國·模擬預測）已知正項數列中，，，，則______，______．【答案】2【分析】先根據已知遞推關系式列方程組，求得的值，然后將已知遞推關系式化簡、變形，得到數列是首項為，公比為2的等比數列，進而得到，最后利用累乘法求得．【詳解】由，得，消去，得，則．由，得，又，所以數列是首項為，公比為2的等比數列，所以，所以當時，，經檢驗當時上式也成立，所以．故答案為：；.8．（2023·全國·高三專題練習）已知數列，，．(1)求證：數列是等差數列．(2)設，求證：數列的前n項和．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據，證明等于定值即可；（2）利用裂項相消法求出數列的前n項和，即可得證.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是首項為，公差為的等差數列；（2）由（1）知，∴，∴，∴，∵，∴，∴．考點三由an與Sn的關系求通項（一）消Sn9．（2023·內蒙古赤峰·?？寄M預測）已知數列的前n項和為，且(1)求證：數列是等差數列；(2)設求數列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據前n項和與通項公式之間的關系可得，再結合等差數列定義證明；（2）結合（1）中的結果，利用裂項相消法求解.【詳解】（1）當時，則；當時，則；顯然當時，也滿足上式，所以.當n≥2時，則，所以數列是首項為3，公差為2的等差數列.（2）由（1）可知，，則，可得，所以數列前n項和為.10．（2023·四川涼山·三模）數列的前n項和為，若，，則______．【答案】【分析】由，可得當時，，兩式相減可證得數列是以1為首項，公比為2的等比數列，即可求出的通項公式.【詳解】由已知，，①，當時，，當時，②，①－②得：，整理得：，即，又符合上式，所以數列是以為首項，公比為2的等比數列，所以.故答案為：.11．（2023·四川成都·樹德中學校考模擬預測）數列前項和，若，令，則前10項和________．【答案】45【分析】利用已知條件求出數列和的通項公式，進而求和即可.【詳解】數列前項和，由①得當時解得，當時②，由①②式作差得出，所以數列是等比數列，首項為1，公比為2，所以.所以，從而前10項和為.故答案為：4512．（2023·山東德州·三模）已知為數列的前項和，．(1)求數列的通項公式；(2)設，記的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據數列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構造數列，可求得的通項公式；（2）由（1）的結論可得的表達式，利用裂項求和法，可得答案.【詳解】（1）當時，，則，因為，所以，兩式相減得：，所以，，，，則，即也適合上式，所以是以5為首項，公比為2的等比數列，故：，故；（2）由（1）得，故，當時，，故.13．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯考階段練習）已知數列的前項和為.(1)求數列的通項公式;(2)若對一切正整數.不等式恒成立.求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關系得到,即,再利用等差數列的通項公式求解即可;（2）根據（1）的結論得到對一切正整數恒成立,分離參數轉化為求解數列最小值問題.令,設當時,最大,列不等式組求解即可.【詳解】（1）當時,,得,當時,,整理得,等式兩邊同除得,則數列是以為首項,為公差的等差數列,所以,則.（2）不等式對一切正整數恒成立,即對一切正整數恒成立.令,設當時,最大,則,解得,因為,所以,又,則,即的最小值為.14．（2023·全國·高三專題練習）已知數列{an}的前n項和為，，，求{an}的通項．【答案】【分析】由題意可得，又，構造可得，再利用累乘法，即可求出數列的通項公式，即可得的通項公式.【詳解】∵①，∴②，②-①得：，③，因為{an}的特征函數為：，由x=1．設，④，將④代入③得：，，∴，∵，∴，∴．15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈九中校考模擬預測）記為數列的前項和，已知，．(1)求的通項公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用退一相減法可得數列的遞推公式，再利用累乘法可得數列的通項公式；（2）利用裂項相消法求數列的前項和，再根據，即可得證.【詳解】（1）由已知①，所以當時，②，①②得，整理可得，則，，，，，，等式左右分別相乘得，又，所以；（2）由（1）得，則，所以，所以，又，所以，所以，即.16．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯考模擬預測）已知數列的各項均不為0，其前n項和滿足，，且.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據數列與的關系，轉化為數列的遞推公式，根據等差數列的定義，即可求解；（2）首先數列，再利用裂項相消法求和.【詳解】（1）當時，，即，因為，所以，兩式相減得，因為，所以，所以是以1為首項，4為公差的等差數列，是以3為首項，4為公差的等差數列，所以，，故.（2）因為，所以，因為，所以.（二）消an17．（2023·全國·高三專題練習）設是數列的前n項和，且，則下列選項錯誤的是（）A． B． C．數列為等差數列 D．－5050【答案】A【分析】由可得－＝－1，即數列是以＝－1為首項，－1為公差的等差數列可判斷C，由求出可判斷A，B；由等差數列的前n項和公式可判斷D.【詳解】是數列的前n項和，且，則，

整理得－＝－1（常數），所以數列是以＝－1為首項，－1為公差的等差數列，故C正確；所以，故．所以當時，－，不適合上式，故故B正確，A錯誤；所以，故D正確．故選：A.18．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的前n項和為，，，求【答案】【分析】根據可得，再利用累乘法即可求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，又因為，所以.19．（2023·云南·校聯考二模）正項數列的前n項和為，已知．(1)求證：數列為等差數列，并求出，；(2)若，求數列的前2023項和．【答案】(1)；；(2).【分析】（1）將代入遞推公式即可求出答案；（2）將通項公式代入，將展開并項求和即可得出答案.【詳解】（1）由可得，，又因為為正項數列的前n項和，所以，因為，所以，所以，數列為等差數列，所以，，，所以.（2），.（三）內部消化20．（2023·黑龍江大慶·大慶實驗中學?？寄M預測）數列的前項的和為，已知，，當時，(1)求數列的通項公式；(2)設，求的前項和【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，由已知變形可得，利用累加法可求得數列的通項公式；（2）對任意的，計算得出，然后利用等差數列的求和公式可求得.【詳解】（1）解：當時，由可得，即，因為，，所以時也滿足，當時，，所以，，當時，，也滿足上式，所以.（2）解：，對任意的，，所以，.21．（2023·全國·校聯考模擬預測）已知數列的前n項和為，且，，，則2023是數列的（

）A．第566項 B．第574項 C．第666項 D．第674項【答案】D【分析】由題意可證得數列是等差數列，再由等差數列的通項公式和前n項和公式代入求解即可求出的通項公式，令，解方程即可得出答案.【詳解】由，得，即，所以數列是等差數列，設公差為d，則由和可得：，解得，所以．由，得n=674．故選：D．22．（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┮阎缺葦盗械那皀項和為，，且，，成等差數列．(1)求的通項公式；(2)若數列滿足，求的前2n項和．.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，，成等差數列得出，再根據與的關系得出，即可求出的通項公式；（2）結合（1）的結論及條件，得出，，再根據分組求和即可求出的前2n項和．【詳解】（1）由，，成等差數列知，即，所以，即，因為是首項為，公比為的等比數列，所以，所以的通項公式．（2）由（1）知，，所以，，所以，所以的前2n項和．23．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數列的前項和為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將化簡為，再利用和與項的關系可得，從而確定數列從第二項起，構成以為首項，公比的等比數列，根據等比數列的前項和公式即可求解.【詳解】因為，所以，即，所以，因為數列的各項都是正項，即，所以，即，所以當時，，所以數列從第二項起，構成以為首項，公比的等比數列.所以.故選：C（四）隱藏的Sn24．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數列滿足，求數列的通項公式.【答案】【分析】當時，求出的值，在時，由可得出，兩式作差可得出在時的表達式，然后檢驗是否滿足在時的表達式，進而可得出數列的通項公式.【詳解】解：因為，①當時，．②①②得，所以．當時，，也滿足上式，所以對任意的，．25．（2023·重慶·統考模擬預測）已知數列滿足，等差數列的前n項和為，且．(1)求數列和的通項公式；(2)若，求數列的前n項和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）根據給定的遞推公式求出，再求出等差數列公差、首項即可求解作答.（2）利用（1）的結論求出，再利用錯位相減法求和作答.【詳解】（1）當時，，，當時，，兩式相減，得，即，顯然滿足上式，因此，設公差為，則，即，解得，因此，所以數列和的通項公式分別為，.（2）由（1）知，，則，于是，兩式相減得：，所以.26．（2023·四川·校聯考模擬預測）已知數列滿足，則的通項公式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題中等式，可得，再結合時，可得.【詳解】當時，有，所以，當時，由，，兩式相減得，此時，，也滿足，所以的通項公式為.故選：B.27．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預測）數列滿足，則數列的通項公式為________.【答案】【分析】根據題目給出的遞推公式進行升次作差即可求解.【詳解】由題意…①，，…②，②①得：，則當時，，當，不適合上式.

；故答案為：.考點四因式分解28．（2023·湖南長沙·雅禮中學校考一模）已知正數數列，，且滿足．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）因式分解，從而可推導得，再利用累乘法計算數列的通項公式；（2）根據裂項相消法計算數列的前項和.【詳解】（1）∵，∴，又，∴，即．又，且，∴（2），∴，，又，∴.29．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┮阎黜棡檎龜档臄盗械那绊椇蜑?，滿足．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據條件，利用與間的關系即可求出結果；（2）利用錯位相減法即可求出結果.【詳解】（1），兩式相減得：，由于，則，當時，，得，，則，所以是首項和公差均為2的等差數列，故．（2）①所以②由得：，所以．30．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學校考模擬預測）已知正項數列，其前項和為，且滿足，數列滿足，其前項和，設，若對任意恒成立，則的最小值是___________.【答案】1【分析】利用，得出，即可判斷數列是首項為3，公差為2的等差數列，因此，，，，根據，不等式恒成立，轉化為，不等式且恒成立，即可得出結論.【詳解】由題意知，，且，則當時，，兩式相減得，所以，而，即，又，解得，數列是首項為3，公差為2的等差數列，因此，則，，，數列是單調遞增的，，而數列是單調遞減的，，因為，不等式恒成立，則，不等式且恒成立，因此且，即有，又，所以的最小值是1.故答案為：131．（2023·湖北黃岡·黃岡中學校考三模）已知正項數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)將數列和數列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數列，求的前100項和.【答案】(1)(2)9089【分析】（1）根據題意，由與的關系，即可得到數列是等差數列。從而得到其通項公式；（2）根據題意，由分組求和即可得到結果.【詳解】（1）依題意，當時，解得，，當時，有，作差得：，，，數列是首項為3，公差為2的等差數列，.（2）由（1）得，，又，同時，.所以的前100項和為9089.32．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則=（

）A．80 B．100 C．120 D．143【答案】C【分析】根據，可得，從而可證得數列是等差數列，從而可求得數列的通項，即可得解.【詳解】解：因為，所以，即，等式兩邊開方可得：，即，所以數列是以首項為，公差為1的等差數列，所以，所以，所以.故選：C．33．（2023·全國·高三專題練習）若正項數列滿足，則數列的通項公式是_______．【答案】【分析】根據給定條件將原等式變形成，再利用構造成基本數列的方法求解即得.【詳解】在正項數列中，，則有，于是得，而，因此得：數列是公比為2的等比數列，則有，即，所以數列的通項公式是.故答案為：考點五累加法求通項34．（2023·全國·高三對口高考）已知數列的前n項和為，數列滿足，．則數列的通項公式________；數列的通項公式________．【答案】【分析】利用與之間的關系可得的通項公式；利用累加法可求出的通項公式【詳解】因為①，所以有，②，得，即，所以數列的通項公式為；由可得，上述式子相加可得，經檢驗滿足所以數列的通項公式故答案為：；35．（2023·河南鄭州·模擬預測）已知數列滿足：，．(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前n項和．【答案】(1)(2)且【分析】（1）由，利用累加法求數列通項公式，注意驗證；（2）由題設得，討論的奇偶性分別求出對應前n項和即可.【詳解】（1），當時，檢驗知：當時上式也成立，故．（2）．當為偶數時，；當為奇數時，且，又時滿足上式，此時；且.36．（2023·內蒙古赤峰·校聯考三模）設各項都為正數的數列的前n項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)設函數，且，求數列的前n項和．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由遞推關系，根據累加法求數列的通項公式；（2）由條件可得，利用錯位相減法求數列的前n項和.【詳解】（1）由，可得，當時，，以上各式分別相加得，又，所以當時，，經檢驗符合，所以，；（2），，，兩式相減得：，所以，故，所以.37．（2023·廣西南寧·南寧三中校考一模）已知數列滿足，，則數列的通項公式為______．【答案】【分析】對已知遞推關系的等式兩邊同時除以，利用累加法，結合裂項求和法即可求得結果.【詳解】，兩邊同除得：，所以，即，化簡得，∵，∴．故答案為：.38．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則數列的通項公式為_____________.【答案】【分析】根據題意分和兩種情況，結合疊加法和裂項相消法運算求解.【詳解】∵，則當時，則，解得；當時，等式兩側同除，可得，則，令，則，，利用疊加法可得：，，，疊加得，即，所以，即，可得；綜上所述：.故答案為：.39．（2023·北京大興·?？既＃┤鐖D的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，…，設各層球數構成一個數列，，，，…，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由累加法可得，求出，可得答案.【詳解】由題意可得，時，，，，…，，以上各式相加可得，所以，且，所以，所以，，則.故選：B.40．（2023·全國·高三對口高考）已知向量序列：滿足如下條件：，且．若，則________；中第________項最?。敬鸢浮?3【分析】由可得，根據條件計算即可得的值；根據數量積與模的關系將轉化為關于的函數求何時取得最小值即可.【詳解】因為，所以累加得，所以，則；,易知當時取得最小值，此時.故答案為：9；3.考點六累乘法求通項41．（2023·江蘇鎮江·江蘇省鎮江中學校考二模）已知數列滿足：.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前n項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）運用累乘法計算；（2）運用裂項相消法求和.【詳解】（1）由題意：

，，，，將代入上式也成立，；（2），.42．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，，．(1)求數列的通項公式；(2)設，數列的前n項和，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，得到，再利用累乘法求解；（2）由（1）易得，再利用裂項相消法求解.【詳解】（1）解：因為，，所以，所以當時，滿足條件，所以；（2）因為，所以，所以，所以.43．（2023·河南·模擬預測）已知數列滿足，，則（

）A．2023 B．2024 C．4045 D．4047【答案】C【分析】根據遞推關系化簡后，由累乘法直接求.【詳解】，，即，可得，.故選：C.44．（2023·河南·鄭州一中校聯考模擬預測）已知數列的前n項和為，，且（且），若，則（

）A．46 B．49 C．52 D．55【答案】B【分析】根據遞推關系利用累乘法求數列的通項，然后代入計算即可.【詳解】因為當時，，即，所以．因為．又，所以．因為，所以，解得或（舍去）．故選：B．45．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知數列滿足，且，則數列的前18項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用數列的遞推公式，結合累乘法，求得其通項公式，根據三角函數的計算，求得數列的周期，整理數列的通項公式，利用分組求和，可得答案.【詳解】由，則，即，顯然，滿足公式，即，當時，；當時，；當時，；當時，，當時，；當時，；則數列是以為周期的數列，由，則，設數列的前項和為，.故選：D.考點七構造法求通項型46．（2023·全國·高三專題練習）若數列滿足，則數列的通項公式為________．【答案】【詳解】，，，．是首項為，公比為2的等比數列．所以．故答案為．【方法點睛】本題主要考查數列通項公式的求法，難度稍大．求數列通項公式的方法常用的有:觀察法，公式法，累加法，累乘法，構造法，取倒數法等．本題應用構造法求數列的通項公式，即先構造一個等比數列，先求等比數列的通項公式，再求所求數列的通項公式．47．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則__________．【答案】【分析】待定系數構造等比數列求解.【詳解】∵，由，解得，∴有，是首項為3，公比為3的等比數列，得，∴．故答案為：48．（2023·全國·模擬預測）在數列中，，．(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知數列是首項為，公比為的等比數列，進而得；（2）由題知為單調遞減數列，再根據，，分和兩種情況討論求解即可；【詳解】（1）解：因為在數列中，，，所以，，所以，等式兩邊同加上得，因為，所以，數列是首項為，公比為的等比數列，所以，．（2）解：因為，即所以，為單調遞減數列，因為，，所以，時，，時，，記的前項和為，則，所以，當時，，；當時，，，①，②所以，①②得：，即，綜上，型49．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則數列的通項公式為_____________.【答案】【分析】解法一：利用待定系數法可得，結合等比數列分析運算；解法二：整理得，結合等比數列分析運算；解法三：整理得，根據累加法結合等比數列求和分析運算.【詳解】解法一：設，整理得，可得，即，且，則數列是首項為，公比為的等比數列，所以，即；解法二：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，整理得，且，則數列是首項為，公比為的等比數列，所以，即；解法三：(兩邊同除以)兩邊同時除以得：，即，當時，則，故，顯然當時，符合上式，故.故答案為：.50．（2023·全國·高三專題練習）已知在數列中，，，則______．【答案】【分析】由構造法可得，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，即可求出數列的通項公式.【詳解】因為，，所以，整理得，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，解得．故答案為：.型51．（2023·全國·高三專題練習）設數列滿足，，則數列的通項公式為___________.【答案】【分析】變換得到，令，得到，得到答案.【詳解】設，化簡后得，與原遞推式比較，對應項的系數相等，得，解得，即，令，則，又，故，，得.故答案為：52．（2023·全國·高三專題練習）已知數列是首項為.(1)求通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設，解得，得到是首項為，公比為的等比數列，得到通項公式.（2）確定，再利用分組求和結合等差等比數列求和公式計算得到答案.【詳解】（1），設，即，即，解得，，故是首項為，公比為的等比數列.，故.（2），則.型53．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，，求【答案】=．+．【分析】法1：構造為等比數列，求出其通項，再分奇偶討論，利用累加法求解即可；法2：利用二階特征根方程求解得到，根據，列方程組求出和即可.【詳解】法1：已知，所以，則是首項為，公比為3的等比數列，故，則，得，當n為奇數時，，，，，，累加可得，，所以，當n為偶數時，，綜上，；法2：由特征根方程得，，，所以，其中，解得，，.54．（2023·江蘇·統考三模）已知數列滿足，，．(1)證明：是等比數列；(2)證明：存在兩個等比數列，，使得成立．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由構造出，用等比數列定義證明即可；（2）通過兩次構造等比數列，求出的通項公式，根據通項公式得出結論即可.【詳解】（1）由已知，，∴，∴，顯然與，矛盾，∴，∴，∴數列是首項為，公比為的等比數列.（2）∵，∴，∴，顯然與，矛盾，∴，∴∴，∴數列是首項為，公比為的等比數列，∴，①，又∵由第（1）問，，②，∴②①得，，∴存在，，兩個等比數列，，使得成立．55．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，求數列的通項公式．【答案】.【分析】用待定系數法構造數列，再利用迭代法求通項公式；也可用數列的特征根求解.【詳解】解法一：（待定系數——迭加法）由，得，且．則數列是以為首項，為公比的等比數列，于是,把代入，得，,,，．把以上各式相加，得.所以．解法二：（特征根法）：數列：，的特征方程是：．所以又由，于是，故.型56．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，且，分別求和的通項公式．【答案】，【分析】根據數列的構造關系和等比數列的定義以及通項公式和累加法即可求解.【詳解】因為，所以．令，則，即，所以，又，所以，所以，所以．所以.，累加可得．57．（2023·福建福州·統考模擬預測）已知數列滿足，.(1)若，求數列的通項公式；(2)求使取得最小值時的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據可得，即，再利用累加法求解即可；（2）根據數列的通項公式判斷出數列的單調性，結合數列的單調性即可得解.【詳解】（1），由，得，即，當時，，所以，當時，上式也成立，所以；（2）由（1）可知，，當時，，即，當時，，即，當或時，，即，則數列在且上遞減，在且上遞增，，所以取得最小值時或.考點八同除以指數58．（2023·全國·高三專題練習）數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為___________.【答案】．【分析】已知式兩邊同除以，構造一個等差數列，由等差數列的通項公式可得結論．【詳解】∵，所以，即，∴是等差數列，而，所以，所以．故答案為：．59．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，求數列的通項公式.【答案】.【分析】由待定系數法構造等比數列后求解【詳解】由兩邊同除以得，令，則，設，解得，，而，數列是以為首項，為公比的等比數列，，得60．（2023·全國·高三專題練習）已知數列中，，求數列的通項公式；【答案】．【分析】由已知可得數列是首項為1，公差為2的等差數列，求其通項公式，可得數列的通項公式；【詳解】解：由，得：，∴，即數列是首項為1，公差為2的等差數列，∴，得．考點九取倒數求通項形如型61．（2023春·新疆·高三?？茧A段練習）已知數列中，，．求數列的通項公式；【答案】【分析】首先證得是等差數列，然后求出的通項公式，進而求出的通項公式；【詳解】解：因為，所以令，則，解得，對兩邊同時除以，得，又因為，所以是首項為1，公差為2的等差數列，所以，所以；【點睛】感悟升華（核心秘籍：注意判斷已知條件是否符合標準形式）類型1：用“待定系數法”構造等比數列1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型1的標準形式；2、直接記憶，解題時直接在草稿紙上構造好；3、構造等比數列類型2：用“同除法”構造等差數列（1）1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型2（1）的標準形式；2、兩邊同除；3、構造數列為等差數列類型2：用“同除法”構造等差數列（2）1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型2（2）的標準形式；2、兩邊同除；3、構造出新的等差數列62．（2023·全國·高三專題練習）已知正項數列滿足，若的前項和為，且，則__________【答案】【分析】根據可得出數列是周期為2的周期數列，利用周期數列求解即可.【詳解】因為正項數列滿足，所以，即，則，因此，即，數列是周期為2的數列，因此由可得，，解得，即，故答案為：.形如型63．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的通項公式．【答案】．【分析】將已知式子變形為，進而根據等比數列的定義求得答案．【詳解】，，則，則，，所以是以2為首項，2為公比的等比數列．于是，．64．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）已知數列的各項均不為零，且滿足，（，），則的通項公式__________．【答案】【分析】變換得到，設，得到，利用累加法計算得到答案.【詳解】，則，設，，則，，而也符合該式，故，故.故答案為：65．【多選】（2023·江蘇鎮江·揚中市第二高級中學?？寄M預測）已知數列滿足，則下列結論正確的有（）A．為等比數列B．的通項公式為C．為遞增數列D．的前n項和【答案】ABD【分析】根據已知證明為定值即可判斷A；由A選項結合等比數列的通項即可判斷B；作差判斷的符號即可判斷C；利用分組求和法即可判斷D.【詳解】因為，所以+3，所以，又因為，所以數列是以4為首項，2為公比的等比數列，故A正確；，即，故B正確；因為，因為，所以，所以，所以為遞減數列，故C錯誤；，則，故D正確.故選：ABD.考點十不動點法求通項66．（2023·全國·高三專題練習）已知，，求的通項公式．【答案】．【分析】先將條件進行變形，化簡為，進而變形為，然后通過等比數列的概念求得答案．【詳解】由題意，，所以，則，而，故是以為首項，3為公比的等比數列．于是．67．（2023·全國·高三專題練習）在數列中，，且，求其通項公式．【答案】【分析】根據特征方程解出，令，得到，利用取倒數法求出，即可求出的通項公式．【詳解】因為，所以特征方程為，解得,令，代入原遞推式得,因為，所以，故,因此，，從而,又因為，所以．68．（2023·全國·高三專題練習）已知數列的遞推公式，且首項，求數列的通項公式．【答案】【分析】令，求出數列的不動點，據此變形遞推關系式，可構造等差數列，即可求出數列通項公式．【詳解】令．先求出數列的不動點，解得．將不動點代入遞推公式，得，整理得，，∴．令，則，．∴數列是以為首項，以1為公差的等差數列．∴的通項公式為．將代入，得．∴．69．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，求數列的通項．【答案】【分析】用數列的特征方程可求解.【詳解】其特征方程為，化簡得，解得，令由得，可得，數列是以為首項，以為公比的等比數列，，．70．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的通項公式為______．【答案】【分析】根據遞推公式構造得到數列是等比數列，根據等比數列求通項公式.【詳解】，①．②由得．又因為，所以是公比為，首項為的等比數列，從而，即．故答案為：考點十一對數變換法71．（2023·山東日照·三模）已知數列滿足，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變換得到，得到是首項為，公比為的等比數列，，計算得到答案.【詳解】，，易知，故，故是首項為，公比為的等比數列，，，故.故選：C.72．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知正項數列滿足，．(1)求數列的通項公式；(2)設為數列的前n項和，且．求數列的通項公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用換底公式和累乘法求出數列的通項公式；（2）由作差法求出數列的通項公式．【詳解】（1）已知（且），設，則，所以，當時，．即，所以，當時，符合上式，所以；（2），當時，，當時，，則．73．（2023·全國·高三專題練習）已知為正項數列的前n項的乘積，且．(1)求的通項公式；(2)若，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析【分析】（1）由，兩式相除結合對數運算得，代入數值可得數列是常數列，即可得通項公式；（2）不等式由裂項相消法求和放縮即可證.【詳解】（1），所以，所以，所以，即，所以，當時，，解得，所以，所以數列是常數列，所以，所以，所以．（2）證明：因為，所以74．（2023春·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）已知數列滿足，.(1)證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；(2)若，數列的前項和，求證：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）根據遞推公式證明為定制，即可證明數列為等比數列，再根據等比數列得通項即可得解；（2）由，得，則，則，再利用裂項相消法求出數列的前項和，即可得證.【詳解】（1）因為，所以，則，又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，則，所以；（2）由，得，則，所以，所以，所以，因為，所以，所以.75．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，則________【答案】【解析】等價變形，換元設，得，兩邊取對數，得是首項，公比的等比數列，求出可解.【詳解】，，，設，則，，兩邊取對數，，，所以是首項，公比的等比數列，，，故答案為：【點睛】本題考查的是由數列的遞推公式求通項公式，常見的求解方法有如下幾種：累和法，適用于的形式，累乘法，適用于的形式，構造法，適用于的形式，適當的配湊常數使其變形為，轉化等比數列求解，形如的遞推公式可兩邊同除以指數式，轉化為的形式，形如的遞推公式可通過兩邊取倒數的方法轉化為的形式考點十二周期數列76．（2023·全國·高三專題練習）設數列滿足，且，則______．【答案】【分析】根據給定的遞推公式，求出數列的周期即可計算作答.【詳解】，，顯然，否則，矛盾，則，于是，因此是周期為4的周期數列，所以.故答案為：77．（2023·全國·高三專題練習）已知數列滿足，，則_______.【答案】2【分析】先求不動點方程，根據方程無解再逐項計算根據周期求解即可.【詳解】第一步，求不動點，設，令得：，化簡得：，顯然該方程無解，這種情況下一般是周期不大的周期數列，我們只需算出前幾項，找出規律即可，由題意，，所以，，，，，，從而是以6為周期的周期數列，故.故答案為：2.78．（2023·山東濰坊·統考模擬預測）數列1，3，2，…中，，則（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】利用推導出，即數列具有周期，利用數列的周期性可求得和的值.【詳解】因為，所以，所以，所以數列的周期為6，因為，，所以，，所以.故選：C79．（2023·河北邯鄲·統考三模）已知數列滿足：對任意，均有．若，則____．【答案】2024【分析】由得到數列是以6為周期的周期數列求解.【詳解】解：由題意得，所以，所以數列是以6為周期的周期數列，所以，故答案為：202480．（2023秋·河北保定·高三?？计谀┮阎獢盗袧M足且，為數列的前n項和，則=________．【答案】2026【分析】根據遞推公式推出數列是以3為周期的數列，求出和，則，代入相應值計算即可．【詳解】由得，則，則，所以數列是以3為周期的數列，在中，令，得，得，得，在中，令，得，得，得，所以+.故答案為：81．（2023·全國·高三專題練習）已知為數列的前n項和，，平面內三個不共線的向量，，滿足，若A，B，C三點在同一直線上，則______【答案】/8.5【分析】根據向量共線的充要條件得，再推出，確定其周期性計算即可.【詳解】由A，B，C三點在同一直線上可知，即，則，又，則，，，，故數列是周期為3的周期數列，．故答案為：考點十三等和數列82．（2023·全國