重難點02 絕對值的化簡與絕對值方程 專項講練(解析版)-2024小升初數學暑假銜接講義_第1頁
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文檔簡介

重難點02.絕對值的化簡與絕對值方程專項講練1.掌握絕對值的幾何意義和代數意義,化簡絕對值的一般步驟;2.能利用絕對值的性質解方程;3.回歸數學思想,在課堂中充分滲透整體思想、分類討論、數形結合等數學思想解決問題。題型探究題型1、根據字母取值范圍化簡求值 2題型2、已知點在數軸上的位置化簡求值 3題型3、絕對值化簡(型): 5題型4、采用零點分段討論化簡求值 7題型5、含絕對值的方程(幾何法與代數法) 10題型6、含絕對值的不定方程(絕對值的幾何意義求解) 14培優精練A組(能力提升) 16B組(培優拓展) 161.絕對值的性質:①正數的絕對值是它本身,即;②0的絕對值是0,即;③負數的絕對值是它的相反數,即;④絕對值具有非負性,即。2.已知范圍的絕對值化簡步驟:①判斷絕對值符號里式子的正負;:大的數-小的數>0,轉化到數軸上:右-左>0;小的數-大的數<0,轉化到數軸上:左-右<0。:正數+正數>0,化到數軸上:原點右側兩數相加>0;負數+負數<,化到數軸上:原點左側兩數相加<0;正數+負數:取絕對值較大數的符號,轉化到數軸上:原點兩側兩數相加,取離原點遠的符號。②根據絕對值符號里式子的正負去絕對值;若正數,絕對值前的正負號不變(即本身);若負數,絕對值前的正負號改變(即相反數)。③去括號:括號前是“+”,去括號,括號內不變;括號前是“-”,去括號,括號內各項要變號。④化簡(合并同類項).3.絕對值化簡(型):.當時,=1;當時,=-1。4.零點分段法一般步驟:①求零點;②分段;③在各段內分別進行化簡;④將各段內的情況綜合起來,得到問題的答案。題型1、根據字母取值范圍化簡求值【解題技巧】已知范圍的絕對值化簡步驟:①判斷絕對值符號里式子的正負;②根據絕對值符號里式子的正負去絕對值;③去括號;④化簡(合并同類項)。例1.(2023?廣東七年級期中)已知﹣1≤x≤2,則化簡代數式|x﹣3|﹣2|x+1|的結果是()A.1﹣3x B.1+3x C.﹣1﹣3x D.﹣1+3x【答案】A【詳解】解:∵﹣1≤x≤2,∴x﹣3≤0,x+1≥0,∴|x﹣3|﹣2|x+1|=﹣(x﹣3)﹣2(x+1)=﹣x+3﹣2x﹣2=﹣3x+1=1﹣3x.故選:A.變式1.(2023·成都市七年級期中)點A,B在數軸上分別表示有理數a、b,A、B兩點之間的距離表示為AB,在數軸上A、B兩點之間的距離,若x是一個有理數,且,則_____.【答案】4【分析】根據x的取值范圍,分別判斷x-1與x+3的正負,然后根據絕對值的性質求解即可.【詳解】∵,∴,,∴原式【點睛】此題主要考查了兩點間距離公式的應用,解題的關鍵是根據絕對值的性質化簡.變式2.(2023?肇源縣七年級期末)當2≤x<5時,化簡:|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值為.【答案】12﹣3x【詳解】解:∵2≤x<5,∴4≤2x<10,0≤x﹣2.∴2x﹣10<0,|x﹣2|=x﹣2.∴|2x﹣10|=10﹣2x.∴|2x﹣10|﹣|x﹣2|=10﹣2x﹣(x﹣2)=10﹣2x﹣x+2=12﹣3x.題型2、已知點在數軸上的位置化簡求值【解題技巧】已知點在數軸上的位置的絕對值化簡步驟:①判斷絕對值符號里式子的正負;②根據絕對值符號里式子的正負去絕對值;③去括號;④化簡(合并同類項)。例1.(2022·江蘇·七年級專題練習)有理數a、b、c在數軸上的位置如圖:(1)判斷正負,用“>”或“<”填空:b﹣c______0,a+b______0,c﹣a______0.(2)化簡:|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|.【答案】(1),,(2)【分析】(1)根據數軸可知,且,然后問題可求解;(2)根據(1)可進行求解.(1)解:由圖可知,a<0,b>0,c>0且|b|<|a|<|c|,所以,b﹣c<0,a+b<0,c﹣a>0;故答案為:<,<,>;(2)解:|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|=(c﹣b)+(﹣a﹣b)﹣(c﹣a)=c﹣b﹣a﹣b﹣c+a=﹣2b.【點睛】本題主要考查絕對值的意義、有理數的大小比較及化簡絕對值,熟練掌握絕對值的意義、有理數的大小比較及化簡絕對值是解題的關鍵.變式1.(2023·四川·七年級期末)已知有理數a、b在數軸上表示的點如圖所示,化簡|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|=()A.a B.﹣a﹣4b C.3a+2b D.a﹣2b【答案】A【分析】結合數軸知b<-1<0<a<1,據此判斷出b-a<0,a+2b<0,-a-b>0,再利用絕對值的性質去絕對值符號、合并即可得出答案.【詳解】由數軸知b<-1<0<a<1,∴b-a<0,a+2b<0,-a-b>0,則原式=a-b+a+2b-a-b=a,故選:A.【點睛】本題主要考查數軸,解題的關鍵是結合數軸判斷出b-a、a+2b、-a-b與0的大小.變式2.(2023·陜西·七年級期末)已知、兩數在數軸上的位置如圖所示,則化簡代數式的結果是(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】由數軸可知b<-1<1<a<2,且,得到a+b>0,b+1<0,化簡絕對值再合并即可.【詳解】解:由數軸可知,b<-1<1<a<2,且,∴a+b>0,b+1<0,∴=a+b-b-1=a-1,故選:A.【點睛】此題考查了利用數軸比較數的大小,判斷式子的正負,化簡絕對值,正確理解數軸上數的大小關系是解題的關鍵.題型3、絕對值化簡(型):【解題技巧】.當時,=1;當時,=-1。例1.(2023·河北七年級期中)有理數a,b在數軸上對應的位置如圖所示,那么代數式的值是()A.﹣1 B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由圖得,a+1>0,a<0,a-b<0,b-1<0,=,選D.點睛:化簡絕對值問題,根據,此時,a可以看做一個式子,a是正數或0,則,把絕對值變成括號,如果a是負數,則絕對值變括號,前面加負號.a+1+b-1=a+b.故答案為:a+b.【點睛】本題主要考查了關于數軸的知識以及有理數大小的比較,正確去掉絕對值是解題的關鍵.例2.(2023·福建泉州·七年級校考期中)已知:,且,則共有個不同的值,若在這些不同的值中,最大的值為,則____________.【答案】3【分析】根據絕對值的性質進行化簡即可【詳解】,,,,,,,三個數中有兩負一正,當,為負,為正數時,當,為負,為正數時,當,為負,為正數時,共有個不同的值,若在這些不同的值中,最大的值為,,,,故答案為:3【點睛】本題主要考查了絕對值,掌握絕對值的性質是解題的關鍵變式1.(2023·上海楊浦·期中)若a,b各表示一個有理數,且,則算式的可能值有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【分析】由于a、b的符號不確定,應分a、b同號,a、b異號兩種情況分類求解.【詳解】解:①a、b同號時,、也同號,即同為1或-1,故此時原式=0;②a、b異號時,、也異號,即一個是1,另一個是-1,故此時原式=2或-2;所以所給代數式的值可能有3個:±2或0.故選:C.【點睛】此題主要考查了絕對值的性質,有理數的減法運算,分類討論是解答本題的關鍵.變式2.(2023·浙江·七年級課時練習)已知非零有理數a,b,c,滿足,則等于(

)A.﹣1 B.0 C.±1 D.1【答案】A【分析】根據絕對值的性質和a、b、c的正負分情況討論化簡計算即可.【詳解】解:當a、b、c同為正數時,=1+1+1=3不滿足條件;當a、b、c為兩正一負時,=1+1-1=1滿足條件,此時abc<0,∴==-1;當a、b、c為兩負一正時,=1-1-1=-1不滿足條件;當a、b、c同為負數時,=-1-1-1=-3不滿足條件,綜上,=-1,故選:A.【點睛】本題考查絕對值的性質,熟練掌握絕對值的性質,會利用分類討論思想解決問題是解答的關鍵.題型4、采用零點分段討論化簡求值【解題技巧】零點分段法一般步驟:①求零點;②分段;③在各段內分別進行化簡;④將各段內的情況綜合起來,得到問題的答案。例1.(22-23七年級上·北京西城·階段練習)當代印度著名詩人泰戈爾在《世界上最遙遠的距離》中寫道,世界上最遙遠的距離,不是瞬間便無處尋覓,而是尚未相遇,便注定無法相聚。距離是數學、天文學、物理學中的熱門話題,唯有對宇宙距離進行測量,人類才能掌握世界尺度.我們可以從圖形和代數化簡兩個角度來計算距離:①已知點A,B在數軸上分別表示有理數a,b,A,B兩點之間的距離表示為,例如表示到2的距離,而則表示到的距離;②我們知道:,于是可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式.例如化簡時,可先令和,分別求得,(稱和2分別為的零點值),在實數范圍內,零點值和可將全體實數分成不重復且不遺漏的如下3種情況:①;②;③.從而化簡可分以下3種情況:①當時,原式;②當時,原式;③當時,原式.綜上,原式=結合以上材料,回答以下問題:(1)化簡代數式;(2)化簡代數式.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】根據數軸上兩點之間的距離公式計算即可;(1)分、、分別化簡,結合的取值范圍確定代數式值的范圍,從而化簡代數式;(2)分、、分別化簡,結合的取值范圍確定代數式值的范圍,從而化簡代數式.【詳解】(1)當時,原式,當時,原式,當時,原式,則=.(2)當時,原式,當時,原式,當時,原式,則=.【點睛】本題考查了數軸上的點與點之間的距離及代數式的最值問題,明確數軸上的點之間的距離及絕對值的運算法則,是解題的關鍵.變式1.(2023·廣東·七年級培優)已知x為實數,且的值是一個確定的常數,則這個常數是(

).A.5 B.10 C.15 D.75【答案】A【分析】將按照每一段的取值范圍進行分類討論,即可得到答案.【詳解】解:(1)當時,原式,不是常數;(2)當時,原式,不是常數;(3)當時,原式,不是常數;(4)當時,原式,不是常數;(5)當時,原式,不是常數;(6)當時,原式,不是常數;(7)當時,原式,不是常數;(8)當時,原式,不是常數;(9)當時,原式,不是常數;(10)當時,原式,不是常數;(11)當時,原式,是常數;(12)當時,原式,不是常數;(13)當時,原式,不是常數;(14)當時,原式,不是常數;(15)當時,原式,不是常數;(16)當時,原式,不是常數.故選:A.【點睛】本題考查了絕對值的性質,解決本題的關鍵是弄清絕對值的性質以及具有分類討論的意識.變式2.(2023七年級上·綿陽·專題練習)學習了絕對值我們知道,,用這一結論可化簡含有絕對值的代數式.如化簡代數式時,可令和,分別求得和,我們就稱和分別為|和|的零點值在有理數范圍內,零點值,可將全體有理數分成不重復、不遺漏的五個部分,可在演草本上畫出數軸,找到對應的部分然后進行分類討論如下:①當時,原式;②當時,原式;③當時,原式;④當時,原式;⑤當時,原式.綜上所述,原式,以上這種分類討論化簡方法就叫零點分段法,其步驟是:求零點、分段、區段內化簡、綜合,根據以上材料解決下列問題:(1)化簡代數式;(2)的最大值是.(請直接寫出結果)【答案】(1)原式(2)【分析】(1)根據零點分段法和絕對值的性質,分,,計算即可;(2)分別求出當,時式子的最值,即可得出結果;【詳解】(1)當時,原式;當時,原式;當時,原式;綜上所述:原式;(2)當時,原式的最大值;當時,原式的最大值;∴的最大值為.故答案是.【點睛】本題主要考查了絕對值的性質,熟練掌握絕對值的性質,分類討論是解題的關鍵.題型5、含絕對值的方程(幾何法與代數法)【解題技巧】代數法:同題型4;幾何法:利用絕對值的幾何意義求解。例1.(23-24七年級上·廣東·期中)綜合應用題:的幾何意義是數軸上表示m的點與表示n的點之間的距離.(1)的幾何意義是數軸上表示的點與之間的距離;;(2)的幾何意義是數軸上表示2的點與表示1的點之間的距離;則;(3)的幾何意義是數軸上表示的點與表示的點之間的距離,若,則.(4)的幾何意義是數軸上表示的點與表示的點之間的距離,若,則.(5)找出所有符合條件的整數x,使得這樣的整數是.【答案】(1)x,原點,=(2)1(3)x,3,4或2(4)x,,0或(5)【分析】(1)根據的幾何意義求解;(2)根據的幾何意義及絕對值的意義求解;(3)根據的幾何意義及絕對值的意義求解;(4)根據的幾何意義及絕對值的意義求解;(5)根據的幾何意義及解不等式組求解;【詳解】(1)解:的幾何意義是數軸上表示x的點與原點之間的距離;,故答案為:x,原點,=;(2)解:的幾何意義是數軸上表示2的點與表示1的點之間的距離;則,故答案為:1;(3)解:的幾何意義是數軸上表示x的點與表示3的點之間的距離,若,則或2,故答案為:x,3,4或2.(4)解:的幾何意義是數軸上表示x的點與表示的點之間的距離,若,則或.故答案為:x,,0或(5)解:使得這樣的整數是;故答案為:.【點睛】本題主要考查了絕對值的應用,掌握數形結合是解題的關鍵.例2.(23-24七年級上·內蒙古·階段練習)閱讀下面的材料:在學習絕對值時,根據絕對值的幾何意義,我們知道表示、在數軸上對應的兩點間的距離;,所以表示、在數軸上對應的兩點之間的距離;,所以表示在數軸上對應的點到原點的距離.一般地,點在數軸上分別表示有理數,那么兩點之間的距離可以表示為.回答下列問題:(1)數軸上表示與的兩點之間的距離是______;數軸上表示與的兩點之間的距離是______.(2)若,則______.(3)滿足的有理數有______個.【答案】(1),(2)或(3)無數【分析】(1)根據材料提示的兩點之間距離的計算方法即可求解;(2)根據絕對值的性質即可求解;(3)根據絕對值的性質,結合數軸即可求解.【詳解】(1)解:與的兩點之間的距離是,與的兩點之間的距離是,故答案為:,.(2)解:當時,;當時,;∴或,故答案為:或.(3)解:根據材料提示兩點之間距離公式,則表示為,即點到表示的點,與點到表示的點的距離和為,如圖所示,

∴在點之間的任何數都可以,故答案為:無數.【點睛】本題主要考查數軸上兩點之間的距離的計算,絕對值的性質的綜合,掌握絕對值的性質計算數軸上兩點之間的距離的計算方法是解題的關鍵.變式1.(23-24七年級·江蘇·假期作業)點A、B在數軸上分別表示有理數a、b,A、B兩點之間的距離表示為,則在數軸上A、B兩點之間的距離.所以式子的幾何意義是數軸上表示x的點與表示2的點之間的距離.借助于數軸回答下列問題:(1)數軸上表示2和5兩點之間的距離是,數軸上表示1和的兩點之間的距離是.(2)如果,那么.(3)若,且數a,b在數軸上表示的數分別是點A,點B,則A,B兩點間的最大距離是,最小距離是.(4)①若數軸上表示x的點位于與1之間,則;②若,則.【答案】(1)3,4(2)2或(3)8,2(4)①4;②5或.【分析】(1)根據距離公式計算即可.(2)根據絕對值的意義計算即可.(3)根據絕對值的意義,確定a,b的值,再最值的意義計算即可.(4)①根據取值范圍,化簡絕對值計算即可.②分,,三種情況計算即可.【詳解】(1)數軸上表示2和5兩點之間的距離是:,數軸上表示1和的兩點之間的距離是:;故答案為:3,4.(2),∴,∴,故答案為:2或.(3)∵,∴,∴,∴或1,或,∴A,B兩點間的最大距離是:,最小距離是:;故答案為:8,2.(4)①∵x的點位于與1之間,∴,故答案為:4.②當時,,得到,解得,;當時,,得到,解得,;當時,,得到,無解;綜上,或;故答案為:5或.【點睛】本題考查了數軸上的兩點間的距離,絕對值的化簡與取值范圍的關系,熟練掌握絕對值方程的計算是解題的關鍵.變式2.(23-24七年級上·江西贛州·期中)【閱讀】表示4與1兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離:可以看做,表示4與兩數在數軸上所對應的兩點間的距離.(1)________;(2)在數軸上,有理數5與所對應的兩點之間的距離為________;(3)結合數軸找出所有符合條件的整數,使得,則________;(4)利用數軸分析,若是整數,且滿足,則滿足條件的所有的值的和為_______.【答案】(1)5(2)8(3)或2(4)【分析】(1)根據值的概念計算即可;(2)根據材料列出絕對值,然后再計算即可;(3)觀察數軸,找到與距離是3點即可解答;(4)根據表示x與2和的距離之和為5,再結合數軸即可解答.【詳解】(1)解:.故答案為:5.(2)解:5與的兩點之間的距離為.故答案為:8.(3)解:觀察數軸:∵表示x與的距離為3,∴或2.故答案為:或2.(4)解:觀察數軸∵表示x與和2的距離之和為5,∵和2之間的距離為5,∴所有符合條件的整數,其和為.故答案為:.【點睛】本題主要考查了數軸上的點所表示的數、數軸的應用等知識點,明確數軸上的點之間的距離與絕對值的關系是解題的關鍵.題型6、含絕對值的不定方程(絕對值的幾何意義求解)例1.(2023秋·陜西西安·七年級校考期末)實數a,b滿足,則的最小值為______.【答案】【分析】利用絕對值的定義:“絕對值代表與原點的距離”可知答案.【詳解】解:∵,∴,表示a到,2的距離與b到的距離之和為8,∵時,時,,∴,∴.故答案為:.【點睛】本題考查了絕對值,掌握絕對值的意義是關鍵.變式1.(23-24七年級上·湖北武漢·階段練習)已知,求的最大值與最小值的差.【答案】【分析】表示數軸上表示x的點到表示和2的兩個點的距離之和,得.同理,,,可得,,.于是.【詳解】解:表示數軸上表示x的點到表示和2的兩個點的距離之和,∴.同理,,,而,∴,,.∴.∴.∴的最大值為15,最小值為,∴的最大值與最小值的差為.故答案為:.【點睛】本題考查了數軸上兩點間距離計算,理解數軸上兩點間距離公式是解題的關鍵.變式2.(23-24七年級·陜西·階段練習)已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|=10,則2x+y的最小值是.【答案】【分析】根據絕對值的意義可得當時,有最小值3,當時,有最小值7,再結合已知,當,時有最小值.【詳解】解:表示數軸上表示的點與表示和的點的距離和,當時,有最小值3,表示數軸上表示的點與表示和的點的距離和,當時,有最小值7,∵,∴,,∴的最小值為.故答案為:.【點睛】本題可得絕對值的幾何意義,熟練掌握數軸上點的特征,絕對值的幾何意義是解題的關鍵.A組(能力提升)1.(2023·江蘇·七年級期末)已知a,b的位置如圖,則的值為()A.0 B.-2b C.-2a D.2b-2a【答案】B【分析】結合數軸可知:,進一步可知:,,再去絕對值即可.【詳解】解:由圖可知:,∴,,∴.故選:B【點睛】本題考查根據數軸上的點判斷式子的正負,去絕對值,解題的關鍵是根據數軸得出,得出,.2.(2023·河南周口·七年級期末)有理數,在數軸上對應的位置如圖所示,那么代數式的值是(

)A.-1 B.1 C.3 D.-3【答案】D【分析】先根據數軸求出-1<a<0,0<b<1,|a|<|b|,再去掉絕對值,然后根據分式的性質計算即可.【詳解】解:根據數軸可知:-1<a<0,0<b<1,|a|<|b|,∴原式.故選:D.3.(2023·廣東·七年級校考期中)如圖,、、、是數軸上的四個整數所對應的點,且,而數在與之間,數在與之間,若,且、、、中有一個是原點,則此原點可能是(

)A.點或點 B.點或點 C.點 D.點【答案】A【分析】先根據圖形和已知條件找出各線段長度,然后由推測原點位置.【詳解】解:由“B-A=C-B=D-C=1且數m在A與B之間,數n在C與D之間”可以得出:①當原點是B點或C點時,與已知相矛盾,故原點不可能是B點或C點;②當原點在A點或D點且時,,綜上可知:數軸原點可能是A點或D點.故選A.【點睛】本題主要考查了數軸和絕對值,解決本題的關鍵在于理解絕對值的幾何意義.4.(2023·山東·七年級期末)已知有理數在數軸上的位置如圖所示,且滿足.則下列各式:①;②;③;④.其中正確的有()A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【分析】根據數a、b、c在數軸上的位置和絕對值的意義,進行逐一計算即可判斷.【詳解】解:∵|a|<|b|<|c|,∴①?b>?a>?c,故①正確;②=1+1=2,故②錯誤;③,故③正確;④|a?b|?|c-b|+|a?c|=a?b?(c?b)+(c?a)=a-b-c+b+c-a=0,故④正確:所以正確的個數有①③④,共3個.故選:B.【點睛】本題考查了數軸、絕對值,解決本題的關鍵是掌握數軸和絕對值.5.(2023·重慶·七年級期末)有理數a,b,c在數軸上對應的點的位置如圖所示,其中,則下列各式:①;②;③;④,正確的有(

)A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】B【分析】①根據a,b,c在數軸上對應的點的位置分別得出,即可判定的正負;②由得到,即可判斷的正負;③根據,,即可得出的值;④首先根據,,得出,化簡即可求解.【詳解】解:由有理數a,b,c在數軸上對應的點的位置可得:,∴,故①正確,符合題意;∵,∴,∴;故②錯誤,不符合題意;,故③正確,符合題意;∵,,,∴,,故④正確,符合題意;綜上所述,正確的有①③④,共有3個.故選:B.【點睛】此題考查了利用數軸進行相關的計算,絕對值的意義,解題的關鍵是掌握數形結合的方法和絕對值等的化簡法則.6.(2023·廣東·一模)如圖,在關于x的方程(a,b為常數)中,x的值可以理解為:在數軸上,到A點的距離等于b的點X對應的數.例如:因為到實數1對應的點A距離為3的點X對應的數為4和-2,所以方程的解為,.用上述理解,可得方程的解為______.【答案】,【分析】根據題目中(a,b為常數)的特點解方程即可.【詳解】依題意得:表示x對應的點到實數3對應的點距離為2到實數3對應的點距離為2的點對應的數是5和1∴的解為,.故答案為:,【點睛】本題考查絕對值的幾何意義,理解題目中給出的解釋是解題的關鍵.7.(2023·廣東·七年級統考期末)有理數a,b,c在數軸上對應點的位置如圖所示,則的值為___________.【答案】/【分析】根據數軸得到,,,,根據絕對值的性質去掉絕對值,化簡即可得到答案.【詳解】解:,,,原式故答案為:【點睛】此題考查了實數與數軸、絕對值,掌握正數的絕對值等于正數,負數的絕對值等于它的相反數是解題關鍵.8.(2023秋·江蘇·七年級統考期末)已知,,在數軸上的位置如圖所示,化簡的結果是___________.【答案】【分析】根據數軸上點的位置判斷出絕對值里邊式子的正負,再利用絕對值的代數意義化簡、去括號、合并同類項即可解答.【詳解】解:由數軸上點的位置得:,且,,,,則原式.故答案為:.【點睛】本題考查數軸、絕對值、去括號、合并同類項等知識點,靈活運用相關運算法則是解題的關鍵.9.(2023·廣東·七年級期末)如圖,已知a、b、c在數軸上的位置.(1)a+b0,abc0,0.填(“>”或“<”)(2)如果a、c互為相反數,求=.(3)化簡:|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|.【答案】(1)<,<,<;(2)﹣1;(3)2a.【分析】(1)根據、、在數軸上的位置即可求解;(2)根據相反數的定義即可求解;(3)結合數軸,根據絕對值性質去絕對值符號,再合并即可求解.【詳解】解:由數軸可知,,,則(1),,.故答案為:,,;(2)、互為相反數,.故答案為:;(3).【點睛】本題主要考查數軸、絕對值的性質、整式的加減,解題的關鍵是根據數軸和題目條件判斷出、、的大小關系.10.(2023·浙江·七年級期中)如圖,點A和B表示的數分別為a和b,若c是絕對值最小的數,d是最大的負整數.(1)在數軸上表示c=,d=.(2)若|x+3|=2,則x的值是多少?(3)若﹣1<x<0,化簡:|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|.【答案】(1)0,;(2)或;(3)【分析】(1)根據c是絕對值最小的數,d是最大的負整數,即可得到,;(2)由,則,由此求解即可;(3)根據數軸上的位置可得,則,,,由此進行化簡即可.【詳解】解:(1)∵c是絕對值最小的數,d是最大的負整數,∴,,故答案為:0,;(2)∵,∴,∴或;(3)根據數軸上的位置可得,∵,∴,,,∴.【點睛】本題主要考查了根據數軸上點的位置化簡絕對值,解絕對值方程,解題的關鍵在于能夠熟練掌握化簡絕對值的相關方法.11.(23-24七年級上·北京西城·期中)先閱讀,再探究相關的問題:表示5與2差的絕對值,也可理解為5與2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離;可以看作,表示5與差的絕對值,也可理解為5與兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離.(1)點A的位置如圖所示,點B與點A分別位于原點兩側且與原點距離相等,把點A向左移動1.5個單位,得到點C,則B,C兩點間的距離是;

(2)點D和E分別在數軸上表示數x和,如果D,E兩點之間的距離為3,那么x為;(3)借助數軸思考,當x為時,與的值相等.【答案】(1)3.5(2)2或(3)【分析】(1)根據數先在數軸上描出點,再根據點得出兩點間的距離;(2)根據數軸上兩點間的距離公式,可得到的值兩個;(3)根據到兩點距離相等的點是這兩個點的中點,可得答案;【詳解】(1)解:如圖,

點表示的數,點表示的數1,的距離是;故答案為:3.5(2)數軸上表示和的兩點D和E之間的距離表示為:,如果D,E兩點之間的距離為3,即,或,那么為或2;故答案為:2或(3)與的值相等,此種情況等式不成立,或,,如圖:到距離和到2的距離相等

時,與的值相等;故答案為:【點睛】本題考查了數軸,絕對值,相反數,解題的關鍵是掌握數軸知識,絕對值的定義,相反數的定義.12.(23-24七年級上·廣東河源·期中)對于數軸上的兩點P,Q給由如下定義:P,Q兩點到原點的距離之差的絕對值稱為P,Q兩點的“絕對距離”,記為.例如,P,Q兩點表示的數如圖1所示,則.

(1)A,B兩點表示的數如圖2所示.①求A,B兩點的“絕對距離”;②若點C為數軸上一點(不與點O重合),且,求點C表示的數;(2)點M,N為數軸上的兩點.(點M在點N左側)且,,請直接寫出點M表示的數為___________.【答案】(1)①2;②或2(2)或【分析】(1)①根據絕對距離的定義即可解題;②由題意可求出,再根據絕對距離的定義即可解題;(2)由題意可知,即得出或.再分類討論:①當M,N都在原點的左側時,②當M,N都在原點的右側時和③當M點在原點的左側,N點在原點的右側時,結合,即可求解;【詳解】(1)①,即A,B兩點的友好距離為2.故答案為:2;②∵,∴,又∵點A所表示的數是1,即,∴,即,∴或,又∵點C不與點O重合,∴,∴點C表示的數為或2;(2)由題可知,∴或.∵點M在點N左側,故可分類討論:①當M,N都在原點的左側時,∴.∵,∴,∴此情況不存在;②當M,N都在原點的右側時,∵,∴,∴此情況不存在;③當M點在原點的左側,N點在原點的右側時,∵,∴.∵或,∴或,∴點M表示的數為或.故答案為:或.【點睛】本題考查絕對值實際應用,數軸上兩點之間的距離.讀懂題意,理解絕對距離的概念是解題關鍵.13.(23-24七年級上·貴州黔東南·期中)閱讀下面材料:在數軸上2與所對應的兩點之間的距離為;在數軸上與3所對應的兩點之間的距離為;在數軸上與所對應的兩點之間的距離為.歸納:在數軸上點A,B分別表示數a,b,則A,B兩點之間的距離或.回答下列問題:(1)數軸上表示數x和1的兩點之間的距離表示為;數軸上表示數x和的兩點之間的距離表示為;(2)試說明當表示數x的點在與3的對應點之間移動時,的值總是一個固定的值,并求出這個固定值.【答案】(1)或,(2)這個固定值為5【分析】本題考查了絕對值的意義與性質:(1)結合題干條件,即可作答;(2)因為當表示數x的點在與3的對應點之間移動時,即,再根據絕對值的性質進行化簡,即可作答;正確掌握相關性質內容是解題的關鍵.【詳解】(1)解:依題意,數軸上表示數x和1的兩點之間的距離表示為或,因為,所以數軸上表示數x和的兩點之間的距離表示為;(2)解:依題意,因為當表示數x的點在與3的對應點之間移動時,所以,故,即當表示數x的點在與3的對應點之間移動時,的值總是一個固定的值,且為5.B組(培優拓展)1.(2023·江蘇·七年級期末)若有理數a、b滿足等式│b-a│-│a+b│=2b,則有理數數a、b在數軸上的位置可能是(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】根據數值上表示的數和絕對值的意義逐一判斷分析各項即可.【詳解】解:A.∵a<0,b>0,<,∴,∴選項不符合題意;B.∵a>0,b>0,<,∴,∴本選項不符合題意;C.∵a>0,b>0,>,∴,∴本選項不符合題意;D.∵a<0,b<0,>,∴,∴本選項符合題意;故選:D.【點睛】本題考查數軸,絕對值的意義,解題的關鍵是正確化簡絕對值:正數和0的絕對值等于它本身,負數的絕對值等于它的相反數.2.(2023春·廣東河源·七年級校考開學考試)滿足的x的值是(

).A.0 B. C. D.【答案】C【分析】先將范圍分類,再去絕對值進行運算,最后核對選項即可.【詳解】時,,,舍去;時,得,∴或,得,滿足,可取;時,,舍去;綜上所述,故選C.【點睛】本題考查復雜的含有絕對值的一次方程,遇到絕對值須先判斷絕對值內式子正負,在不確定范圍的情況下,按照絕對值為0進行未知數范圍的分類討論是常見的辦法.對未知數進行范圍分類而去除絕對值是解題的關鍵.3.(2022秋·山東七年級課時練習)已知有理數a,c,若,且,則所有滿足條件的數c的和是()A.﹣6 B.2 C.8 D.9【答案】D【分析】根據絕對值的代數意義對進行化簡,或,解得或有兩個解,分兩種情況再對進行化簡,繼而有兩個不同的絕對值等式,和,每個等式同樣利用絕對值的代數意義化簡,分別得到c的值有兩個,故共有四個值,再進行相加,得到所有滿足條件的數的和.【詳解】,或,或,當時,等價于,即,或,或;當時,等價于,即,或,或,故或或或,所有滿足條件的數的和為:.故答案為:D【點睛】本題主要考查了絕對值的代數意義,負數的絕對值是它的相反數,正數的絕對值是它本身,0的絕對值是0,解題的關鍵在于經過兩次分類討論,的值共有4種可能,不能重復也不能遺漏.4.(22-23七年級上·江蘇南京·階段練習)如果對于某一特定范圍內的任意允許值,P=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒為一常數,則此值為.【答案】1【分析】因為P=|1-4x|+|1-5x|+|1-6x|+|1-7x|+|1-8x|的值恒為一常數,即P的值與x無關,因此化簡后不含x項,根據絕對值的意義化簡得出答案.【詳解】的值恒為一常數,P的值與x無關,,且且且且,,==1.故答案為:1.【點睛】此題考查絕對值的意義和計算方法,理解并掌握絕對值的意義和計算結果為常數的意義是解此題的關鍵.5.(23-24七年級上·四川成都·期中)對于有理數,,,,若,則稱和關于的“絕對關聯數”為,,則和關于的“絕對關聯數”為(1)和關于的“絕對關聯數”為;(2)若和關于的“絕對關聯數”為,求的值;(3)若和關于的“絕對關聯數”為,和關于的“絕對關聯數”為,和關于的“絕對關聯數”為,…,和關于的“絕對關聯數”為,…①的最小值為;②的最小值為.【答案】(1)(2)或(3)①;②【分析】本題考查了絕對值的應用,解題的關鍵是掌握絕對值的意義,數軸上點與點的距離.(1)認真讀懂題意,利用新定義計算即可;(2)利用新定義計算求未知數;(3)①讀懂題意尋找規律,利用規律計算;②由①得到的規律寫出含有絕對值的等式,一一分析到、、、、……、的距離和為的時候兩點表示的數的和的最小值,最后得出最小值.【詳解】(1)解:,故答案為:;(2)和關于的“絕對關聯數”為,,,解得:或;(3)(3)①和關于的“絕對關聯數”為,,在數軸上可以看作數到的距離與數到的距離和為,有最小值,故答案為:;②由題意可知:,,,的最小值;,,,的最小值;同理,,的最小值;,的最小值;……;,的最小值;的最小值:.故答案為:.6.(23-24七年級上·山東煙臺·期中)閱讀理解:數軸上表示有理數的點到原點(有數數0表示的點)的距離,叫做這個有理數的絕對值例如:,它表示數軸上有理數2表示的點到原點0的距離,從數軸上容易發現,有理數2表示的點到原點0的距離是2個單位長度,即(如圖1).同樣的,數軸上表示m和表示n的兩個有理數之間的距離可以用來表示.例如:數軸上表示的點到表示2的點的距離用表示,從數軸上容易發現,表示-3的點到表示2的點的距離是5個單位長度,即(如圖2).以上這種借助直觀的數軸來解決問題的方法就是研究數學問題常用的“數形結合”的方法.請你根據以上學到的方法完成下列任務解答:任務一:請根據以上閱讀列式并計算(不必在卷面上畫數軸):數軸上表示2的點和表示的點之間的距離;任務二:根據絕對值的意義求字母的值:(1)若,求x所表示的有理數.根據絕對值的意義,“”指數軸上表示x的點到表示3的點的距離是2個單位長度,x表示的有理數是______.(2)若,求x所表示的有理數.根據絕對值的意義,“”指數軸上表示x的點到表示_______的點的距離是4個單位長度,x表示的有理數是______.任務三:設點P在數軸上表示的有理數是x,借助數軸解答下列問題:(1)當x取哪些有理數時,的值最小?最小值是多少?(2)若,求x所表示的有理數;(3)若,求x所表示的有理數.【答案】任務一:數軸上表示2的點和表示的點之間的距離為9個單位長度;任務二:(1)1或5;(2);3或;任務三:(1)x取與4之間(包含和4)的有理數時,+的值最小;最小值是5;(2)x所表示的有理數是或;(3)x所表示的有理數的值是【分析】此題主要考查了數軸上兩點間的距離的求法,以及相反數和絕對值的含義和求法,熟練掌握數形結合是解題關鍵.任務一,閱讀:數軸上表示m和表示n的兩個有理數之間的距離可以用表示,,可求出.任務二∶(1)數軸上表示x的點到表示3的點的距離是2個單位長度,x有兩個值;(2)數軸上表示必的點到表示的點的距離是4個單位長度,必有兩個值,計算即可.任務三∶(1)指數軸上表示必的點到表示4和的兩點的距離的和;(2)指數軸上表示x的點到表示4和的兩點的距離的和等于8;(3)指數軸上表示必的點到表示2和-3的兩點的距離相等.【詳解】任務一:,所以,數軸上表示2的點和表示的點之間的距離為9個單位長度;任務二:(1),數軸上表示x的點到表示3的點的距離是2個單位長度,,,故答案為:1或5(2),數軸上表示x的點到表示-1的點的距離是4個單位長度,,,故答案為:;3或任務三:(1)指數軸上表示x的點到表示4和的兩點的距離和,x取與4之間(包含和4),的值最小;最小值是;(2)①當點P在和4之間時,,∴點P表示的數不在

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