松江區2020學年度第二學期期末質量監控試卷高一數學（滿分150分，完卷時間120分鐘）2021．06考生注意：1．本考試設試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或寫（非選擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分．2．答題前，務必在答題紙上填寫學校、班級、姓名和考號．3．答題紙與試卷在試題編號上是一一對應的，答題時應特別注意，不能錯位．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果．1．計算______．（為虛數單位)2．已知向量，，若，則實數的值是______．3．復數為純虛數（為虛數單位），其中，則______．4．已知，則______．5．已知一扇形的弧所對的圓心角為，半徑，則扇形的周長為______．6．化簡：______．7．在中，若，則的形狀是______三角形．8．函數的部分圖像如圖所示，則______．9．已知，向量，，當取到最大值時，的值是______．10．已知、滿足，在方向上的數量投影為，則的最小值為______．11．如圖，是線段外一點，，，是線段的垂直平分線上的動點，則的值為______．12．已知函數，，若的所有零點依次記為，，，…，，且，則______．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．若，則（）A． B． C． D．14．要得到函數的圖像，只需將函數的圖像（）A．向左平移個單位； B．向左平移個單位；C．向右平移個單位； D．向右平移個單位15．歐拉公式（為虛數單位，，為自然底數)是由瑞士著名數學家歐拉發明的，它將指數函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位，被譽為“數學中的天橋”，現有以下兩個結論：①；②其中所有正確結論的編號是（）16．設函數和函數的圖像公共點的橫坐標從小到大依次為，，，…，，若，則的值為（）A． B． C． D．三、解答題（本大題滿分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．17．(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．（1）已知角終邊上有一點的坐標是，其中，求的值．(2)證明恒等式：．18．(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知復數，（，是虛數單位）．(1)若復數在復平面上對應點落在第一象限，求實數的取值范圍；(2)若虛數是實系數一元二次方程的根，求實數的值．19．(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．東西向的鐵路上有兩個道口、，鐵路兩側的公路分布如圖，位于的南偏西15°，且位于的南偏東15°方向，位于的正北方向，，處一輛救護車欲通過道口前往處的醫院送病人，發現北偏東45°方向的處(火車頭位置)有一列火車自東向西駛來，若火車通過每個道口都需要1分鐘，救護車和火車的速度均為．(1)判斷救護車通過道口是否會受火車影響，并說明理由；(2)為了盡快將病人送到醫院，救護車應選擇、中的哪個道口？通過計算說明．20．(本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．已知函數，．(1)求函數的值域；(2)求函數單調遞減區間；(3)若不等式恒成立，求實數的取值范圍．21．(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．已知是線段外一點，若，．(1)設點是的重心，證明：；(2)設點、是線段的三等分點，、及的重心依次為、、，試用向量、表示；（3）如果在線段上有若干個等分點，請你寫出一個正確的結論？(不必證明)說明：第（3）題將根據結論的一般性程度給予不同的評分．松江區2020學年度第二學期期末質量監控試卷高一數學參考答案一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果．1．【答案】：2．【答案】：3．【答案】：34．【答案】：65．【答案】：6．【答案】：17．【答案】：等腰8．【答案】：9．【答案】：（或或）10．【答案】：1011．【答案】：12．【答案】：【解析】：令，可得，即函數的對稱軸方程為，又的周期為，令，可得，所以函數在上有9條對稱軸．根據正弦函數的性質可知，，，…，，(最后一條對稱軸為函數的最大值點，應取前一條對應的對稱軸），將以上各式相加得，．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．【答案】C14．【答案】B15．【答案】A16．【答案】C【解析】：因為，則有或，，，解得或，，又函數和函數的圖象的公共點的橫坐標從小到大依次為，，，…，，所以，，，，，，…，故，．所以，即，則，解得，故．三、解答題（本大題滿分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．17．【解析】：解（1）當時，點到原點的距離為，由三角比的定義可得：，原式；（2）證明：．18．【解析】：（1）．∵在復平面內對應的點落在第一象限，∴解得：．∴實數的取值范圍是；(2)∵虛數是實系數一元二次方程的根，．∴也是實系數一元二次方程的根，19．【解析】：（1）依據題意：在中，正弦定理：，解得：，∴救護車到達處需要時間：，火車到達處需要時間：，火車影響道口時間為，，∴救護車經過會受影響．(2)若選擇道口：一共需要花費時間為：若選擇道口：由余弦定理求長：，得：，所以火車到達處所需時間為：，救護車到達處所需時間為，所以不受火車影響。．∴一共花費時間為：∴選擇過道．20．【解析】：（1），∵，∴，∴，∴函數的值域為．(2)得，，又，∴函數的單調遞減區間是；(3)函數的值域為，于是，，原不等式等價于，由，得的最大值為，所以，實