清華大學計算固體力學

全套課件計算固體力學

第1章緒論

全面介紹非線性有限元的前沿性內容，使學習者能進入這一領域的前沿，應用非線性有限元方法求解彈塑性材料、幾何大變形和接觸碰撞這些非線性力學的主要問題，增強工程結構中非線性計算和虛擬仿真的能力，提高非線性有限元的教學和科研水平。計算固體力學課程體系非線性有限元的內容：三場變分原理（弱形式）：速度，變形率，應力一種格式：Lagrangian格式（TL，UL，ALE）

TL－完全的L格式

UL－更新的L格式兩種解法：隱式和顯式求解器 隱式－Newton-Raphson迭代 顯式－中心差分三種非線性：材料，幾何，接觸 材料：彈塑性，超彈性，粘彈性 幾何：Jaumann率，弧長法， 接觸：Lagrange乘子，罰函數計算固體力學課程體系緒論：非線性有限元的基本概念，發展歷史，工程應用，標記方法，網格表述和偏微分方程的分類。（2）一維L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式的控制方程，弱形式與強形式。（4）連續介質力學：變形和運動，應力－應變的度量，守恒方程，框架不變性。（4）L網格：UL有限元離散，編制程序，旋轉公式。（4）材料本構模型：一維彈性，非線性彈性，如次彈性和超彈性。一維塑性，多軸塑性，超彈－塑性（橡膠和泡沫模型），粘彈性（蠕變和松弛等），經驗本構模型，如J-C方程等。應變硬化和軟化。（4）求解方法：應力更新算法，平衡解答和隱式時間積分（N-R求解等），顯示時間積分（中心差分等），波的傳播問題。（4）教學內容：計算固體力學課程體系7.穩定性：穩定性和連續化，平滑性，數值穩定性，材料穩定性。屈曲和后屈曲，弧長法，模態分析。（4）8.ALE有限元：ALE連續介質力學，公式推導，率形式，弱形式，路徑相關材料，網格更新方法，Petrov-Galerkin公式的動量方程，離散方程的線性化，整體ALE公式。（4）有限元單元性能：分片試驗，完備性和再造條件，Hu-Washizu多場變分原理，多場弱形式。（4）單元穩定性：體積自鎖，剪切自鎖，減積分，不完全積分，沙漏模式。（4）梁、殼和連續體單元：理論分析，基于連續體（CB）的梁。（4）基于連續體（CB）的殼，連續體單元，膜單元的性能，假設應變單元，一點積分單元。（4）接觸和沖擊：接觸界面方程（主從接觸，從從接觸，多點約束，約束方程），摩擦模型（罰函數，庫侖等），接觸弱形式，有限元離散。（4）計算固體力學課程體系14.斷裂力學的有限元計算：K場計算，J積分，T積分，動態裂紋擴展計算（能量平衡、節點力釋放和XFEM）。（4）15.流固弱耦合算法。（2）16.材料本構計算－陳震。（4）計算固體力學課程體系程序訓練：1.顯式有限元程序－DYFRAC：大變形板殼結構分析計算2.隱式有限元程序－ABAQUS/Standard：開發UMAT或UEL接口程序，完成一個結構的完整計算分析過程成績：1.期末考試：60％2.程序實踐：20％3.課堂作業：20％

緒論

虛擬科學與工程有限元的發展和相關著作有限元軟件的發展非線性有限元的分類非線性有限元的應用網格和標記偏微分方程分類1虛擬科學與工程(Simulation-basedEngineeringandScience，SBES)

人類需要借助各種工具來增強、延伸和擴大自己認識世界的能力，虛擬科學與工程(VirtualScience

andEngineering)正是用高科技手段構造出一種人工環境，幫助工程師和科學家創造一個時域和空域可變的虛擬世界，使人們能夠在這個虛擬世界中縱觀古今，瞬扶四海，實現從必然王國到自由王國的認識過程。

CAD/CAE/CAM，伴隨著計算機硬件和軟件的發展而發展，適應工業與科技的需求。

在國家十一、五發展規劃中，提出自主創新、集成創新、引進吸收再創新，發展CAE技術，是工業和科技提高創新能力的手段之一。1虛擬科學與工程

縱觀古今，瞬扶四海：源于我國晉代的儒學家陸機（261－303）在他的《文賦》中談及文學創作的思維活動時說，應“觀古今于須臾，扶四海于一瞬”。1虛擬科學與工程

實現從必然王國到自由王國的認識過程：源于毛澤東（1893－1976）的《實踐論》。虛擬科學與工程是指對科學現象、工程／產品的功能、性能和運行行為實施計算機模擬的方法體系，尤其對：難以或耗資昂貴的科學現象的物理實驗，如受控熱核反應、核聚變、環境污染等;重大工程／復雜產品的功能、性能和極端行為的模擬仿真、科學本質的顯現，如潰壩，車輛、船舶或飛機的碰撞等。1虛擬科學與工程

虛擬科學與工程是迅速發展中的計算力學、計算數學、計算物理、計算材料科學以及相關的計算工程科學，與現代計算機科學和技術相結合，而形成的一種綜合性、集成化、網絡化與智能化的信息處理方法、技術和產品?？茖W與工程計算＝》科學與工程仿真＝》虛擬科學與工程1虛擬科學與工程

力學的分支計算力學，發展了有限元、有限差分等理論和方法，為虛擬科學與工程仿真提供了工具。有限元分析是虛擬設計的基本組成部分。它提供了更快捷和低成本的方式評估設計的概念和細節，因此，人們越來越多地應用仿真的方法代替樣品原型的試驗(VirtualPrototyping)。1虛擬科學與工程

1997年9月，錢學森院士已經預見到了虛擬工程與科學在未來世紀的重要性，他在為清華大學工程力學系建系40周年的賀信中寫道：“隨著力學計算能力的提高，用力學理論解決設計問題成為主要途徑，而試驗手段成為次要的了。由此展望21世紀，力學加電子計算機將成為工程設計的主要手段，就連工程型號研制也只用電子計算機加形象顯示。都是虛的，不是實的，所以稱為“虛擬型號研制”（VirtualPrototyping）。最后就是實物生產了?！?虛擬科學與工程

1Simulation-basedEngineeringandScience-SBES2005年6月，美國總統信息技術咨詢委員會的報告中指出“計算科學已成為科學領導地位、經濟競爭力和國家安全的關鍵”，并發出“美國政府還沒有充分認識到計算科學的潛力”的警告。

2006年2月，美國國家科學基金會（NSF）發表報告“基于仿真的工程與科學”(Simulation-basedEngineeringandScience，SBES)，指出“SBES采用模擬和計算機仿真的原理和方法以獲取和應用知識并造福人類，應成為工程與科學領域國家優先發展項目”。1Simulation-basedEngineeringandScience-SBESThepromise:Advancesinmathematicalmodeling,incomputationalalgorithms,inthespeedofcomputers,andinthescienceandtechnologyofdataintensivecomputinghavebroughtthefieldofcomputersimulationtothethresholdofanewera,anerainwhichunprecedentedimprovementsinthehealth,security,productivity,andcompetitivenessofournationmaybepossible.Ahostofcriticaltechnologiesareonthehorizonthatcannotbeunderstood,developed,orutilizedwithoutsimulationmethods.--TheNSFBRPanelReportonSBES-J.T.Oden,20071Simulation-basedEngineeringandScience-SBESScience-CambridgeInternationalDictionaryofEnglish:Knowledgeobtainedfromthesystematicstudyofthestructureandbehaviorofthephysicaluniverse,involvingexperimentationandmeasurementandthedevelopmentofthetheoriestodescribetheresultsoftheseactivities.Knowledgeobtainedintwoways:Observationandtheory.1Simulation-basedEngineeringandScience-SBESEngineering-istheapplicationofsciencetotheneedsofhumanity.Thisisaccomplishedthroughtheapplicationofscientificandmathematicalprinciples,andpracticalexperiencetothedesignofusefulobjectsorprocesses.EngineeringScience-isthesystematicacquisitionofknowledgeforthepurposeofapplyingittothesolutionofproblemseffectingtheneedsandwell-beingofhumankind.SBES-engineeringscienceandsciencethatemploystheprinciplesandmethodsofmodelingandcomputersimulationtoacquireandapplyknowledgeforthebenefitofhumankind.

2有限元的發展和相關著作2有限元的發展和相關著作

涉及非線性有限元分析的著作包括:

Zienkiewicz和Taylor(1967),(1991),(2000),

莊茁、岑松譯，有限元方法(第5版)－第2卷，固體力學，清華大學出版社，2006

Oden(1972),是固體和結構非線性有限元分析的開拓Kleiber(1989),Crisfield(1991),ZhongZH(1993)。

Belytschko和Hughes(1983)，Hughes（1987）

Cook、Malkus和Plesha(1989)

Bathe(1996),Bonet和Wood(1997),

Simo和Hughes(1998)。2.1著作

徐芝綸，彈性力學問題的有限單元法，水利電力出版社，1972

謝貽權，何福保編著，彈性和塑性力學中的有限單元法，機械工業出版社，1981

徐次達，華伯浩，固體力學有限元理論、方法及程序，水利電力出版社，1983

王勖成，邵敏，有限單元法基本原理和數值方法，清華大學出版社，1987，1995

王勖成，有限單元法，清華大學出版社，2003

郭乙木，陶偉明，莊茁，線性與非線性有限元及應用，

機械工業出版社，2003NonlinearFiniteElementsforContinuaandStructures,

T.Belytschko,W.K.Liu,B.Moran,JohnWiley&Sons,Ltd,2000

莊茁等譯，連續體和結構的非線性有限元，清華大學出版社，20022有限元的發展和相關著作有限元的創立與科學的發展和工業界需求相關

RayW.Clough，畢業于MIT

1949，Berkeley土木工程學院任教

1952，Boeing暑期研究，detal三角形機翼振動分析，應用傳統梁理論和數學計算，基于一維梁模型的機翼結構撓度計算結果與小比例機翼模型試驗數據相差甚遠，工作失敗。1953，計算小三角形板的剛度性能，將一片片匯合成機翼，

directstiffnessmethod–直接剛度法，有限元的雛形。機翼結構撓度計算結果與小比例模型試驗數據吻合。1955，JohnH.Argyris,矩形單元1956，第一篇有限元文章發表。

2有限元的發展和相關著作2.2發展歷史

通過波音研究組的工作和Turner、Clough、Martin和Topp（1956）的著名文章，使線性有限元分析得以聞名，不久后，在許多大學和研究所里，工程師們開始將方法擴展至非線性、小位移的靜態問題。他們非常清楚有限元方法的前途，它提供了處理復雜形狀真實問題的可能性。2有限元的發展和相關著作

我們不僅關注發表的文章，而是更關注軟件的發展。在這個信息－計算機時代，象許多其它方面的進步一樣，在有限元分析中，軟件常常比文獻更好地代表了最新的進展。有限元程序兩條脈絡：隱式-ABAQUS/Standard，Nastran，ANSYS，MARC顯式-ABAQUS/Explicit，Dytran，Dyna3D2有限元的發展和相關著作3有限元軟件的發展在20世紀60年代，由于EdWilson發布了他的第一個程序，這種激情終于被點燃了。這些程序的第一代沒有名字。在遍布世界的許多實驗室里，通過改進和擴展這些早期在Berkeley開發的軟件，工程師們擴展了新的用途，帶來了對工程分析的巨大沖擊和有限元軟件的隨之發展。SAP：在Berkeley開發的第二代線性程序稱之為SAP（StructuralAnalysisProgram），之后發展的第一個非線性程序是NONSAP，它具有隱式積分進行平衡求解和瞬時問題求解的功能。3有限元軟件的發展隱式有限元程序-ImplicitMARC：1969年，在Brown大學任教的PedroMarcal，為了第一個非線性商業有限元程序進入市場，于建立了一個公司；程序命名為MARC，目前它仍然是主要軟件，1999年被MSC公司兼并，MSC/MARC。ANSYS：大約在同期，JohnSwanson為了核能應用在Westinghouse發展了一個非線性有限元程序。為了使ANSYS程序進入市場，他于1969年離開Westinghouse。ANSYS盡管主要是關注非線性材料而非求解完全的非線性問題，它多年來仍壟斷了商業非線性有限元軟件的舞臺。3有限元軟件的發展ABAQUS：DavidHibbitt，他與PedroMarcal合作到了1972年，1978年創立了HKS公司，使ABAQUS商用軟件進入市場。因為該程序是能夠引導研究人員增加用戶單元和材料模型，對軟件行業帶來了實質性的沖擊。2005年被法國達索公司(DassaultSystemes)收購，該公司的主要產品有CATIA。2007年更名為Simulia。NASTRAN

：大型通用有限元軟件。TheMacHeal-SchwendlerCorporation(MSC)，1963年創立，主要得到美國航空界贊助，如NASA和FAA，為飛行器驗證軟件。前處理為PATRAN。3有限元軟件的發展按照美國反壟斷法，于2003年將NASTRAN源代碼一式二份，分別屬于：

MSC/NASTRAN

：MSC公司產品；

NX.NASTRAN

：UGS公司產品。2007年，SIEMENS收購UGS。ADINA

：JürgenBathe是在EdWilson的指導下在Berkeley獲得博士學位的，不久之后開始在MIT任教，這期間他便發布了他的程序。這是NONSAP軟件的派生產品，稱為ADINA。據說UGS目前正準備收購ADINA。3有限元軟件的發展DOE實驗室的工作強烈地影響了早期的顯式有限元方法，特別是命名為hydro-codes的軟件，Wilkins(1964)。顯式有限元程序-Explicit3有限元軟件的發展

在1964年，Costantino在芝加哥的IIT研究院發展了可能是第一個顯式有限元程序。它局限于線性材料和小變形，由帶狀剛度矩陣乘以節點位移計算內部的節點力。它首先在一臺IBM7040系列計算機上運行，花費了數百萬美元，其速度遠遠低于一個megaflop和32000字節RAM。

剛度矩陣存儲在磁帶上，通過觀察磁帶驅動能夠監測計算的過程；當每一步驟完成時，磁帶驅動將逆轉以便允許閱讀剛度矩陣。這些和以后的ControlData機器有類似的性能，如CDC6400和6600。一臺CDC6400價值為一千萬美元，32k內存和大約一個megaflop的真實速度。3有限元軟件的發展一臺CDC6400價值為一千萬美元，32k內存和大約一個megaflop的真實速度。3有限元軟件的發展每芯片的晶體管數每過18個月加倍為什么要發展納米技術奔騰Ⅳ最小元件～130納米保持計算機技術的持續高速發展！在1969年，開發了著名的從單元到單元的技術；節點力的計算不必應用剛度矩陣。因此，發展了名為SAMSON的二維有限元程序，它被美國的武器實驗室應用了十年。在1972年，該程序功能擴展至結構的完全非線性三維瞬態分析，稱為WRECKER。3有限元軟件的發展這一工作得到美國運輸部敢于幻想的計劃經理

LeeOvenshire的基金資助，他在七十年代初期就預言汽車的碰撞試驗可能被仿真所代替。然而，比他所預言的時間稍微提前了一點，在當時進行一個300個單元模型的仿真，對于兩千萬次模擬需要約30小時機時，花費約3萬美元，相當于助理教授三年的工資。

LeeOvenshire的計劃資助了若干個開拓性的工作：Hughes的接觸－沖擊，IvorMcIvor的碰撞工作，以及由TedShugar和CarlyWard在PortHueneme的關于人頭的模擬研究。3有限元軟件的發展WHAMS：但是，大約在1975年，運輸部認為仿真太昂貴，決定所有的基金轉向試驗方面，使這些研究努力令人痛心的停止下來。

在Ford，WRECKER勉強維持生存了下一個十年，在Argonne，由Belytschko發展的顯式程序被移植應用在核安全工業上，其程序命名為SADCAT和WHAMS。WHAMS-PFRAC

Tsinghua-MPFRAC

3有限元軟件的發展DYNA：顯式有限元程序發展的里程碑來自于LawrenceLivermore實驗室的JohnHallquist的工作。1975年，John開始他的工作，1976年，他首先發布DYNA程序。他慧眼吸取了前面許多人的成果，并且與Berkeley的研究人員緊密交流合作，包括JerryGoudreau，BobTaylor，TomHughes和JuanSimo。他之所以成功的部分關鍵因素是與DaveBenson合作發展了接觸－沖擊相互作用，和他的令人敬畏的編程效率，以及計算程序DYNA-2D和DYNA-3D的廣泛傳播。3有限元軟件的發展

目前，隱式方法比顯式方法的功能增加得更加迅速。對于處理非線性約束，例如接觸和摩擦，隱式方法已經有了明顯的改進。稀疏迭代求解器也已經成為更加有效的工具。科學與工程分析功能的強健需要兩種方法的有效性。

因此，在工業和研究中，精通非線性軟件的應用要求分析者重視對于非線性有限元方法的理解，能夠清楚在分析中許多有興趣的挑戰和機遇。這將是本課程的宗旨。3有限元軟件的發展中國建研院：PKPM－建筑結構分析程序

胡平(北)KMAX和鐘志華(南)：分別開發了研制汽車

覆蓋件模具的有限元軟件

梁國平：飛箭軟件大連理工大學：有限元程序

鄭州機械所：紫瑞軟件

清華大學：東方(DYFRAC)－斷裂與強度分析程序

…3有限元軟件的發展CAE的發展概況與前景國內外高性能計算對比分析目前我國與美國研究領域先進的數值仿真相比，在計算機硬件設備和軟件開發能力，以及基礎研究等方面存在的主要差距有以下幾點：（1）硬件與軟件環境在硬件方面，美國國家實驗室裝備了峰值速度為136.8萬億次計算機，用于結構分析的計算機浮點運算速度，我國與美國相差2～3個數量級。在軟件方面，美國可以同時利用數千個CPU開展并行計算，而我國在結構分析方面有效使用的CPU并行應用數量比美國低1～2個數量級，在并行計算效率方面嚴重依賴于國外商用軟件。2005年，LLNL裝備的藍色基因計算機的并行計算峰值速度達到136.8萬億次。美國完成了武器系統在敵方輻射與爆炸沖擊波環境下的仿真，以及武器系統從庫存到靶目標的多物理場動力學數值仿真，計算規模達數千萬乃至上億自由度。

1992年法國在進行了210次核試驗之后，宣布其核武器更新將依靠數值仿真計劃來實現，該項目15年總投資210億歐元，這標志著發達國家在復雜武器工程分析方面已經進入了大規模并行計算時代。參考文獻[1]ASCprogramplanFY05,NNSA,USA,2002-2003[2]法國原子能委員會《挑戰》，2003年6～8月刊CAE的發展概況與前景美國戰略武器儲存和管理的挑戰是確保突發事件時的攻擊力量CAE的發展概況與前景（2）求解規模美國在結構動力學分析的求解規模已達到數千萬自由度，而我國在結構非線性問題分析中的求解規模一般限制在百萬自由度量級。與美國相比，自由度數目相差1～2個數量級，這樣使得三維數值仿真非線性分析模型的規模較小，對結構的物理內涵和幾何細節考慮不夠充分。再是大量的仿真分析基于通用商用程序完成，數值仿真方法研究和軟件開發的能力不足，沒有形成較強的創新能力。CAE的發展概況與前景基于網絡架構的NEST系統平臺CAE的發展概況與前景硬件技術：上海超級計算中心－曙光4000A系統峰值10.2Tflops（10萬億次/秒）512節點×4＝2048CPU內存4256GB，容量95TBCAE的發展概況與前景清華航院的并行計算機群－－985-I期系統峰值0.3萬億次/秒，16節點×2＝32CPU－985-II期系統峰值1.0萬億次/秒，64節點×2＝128CPU4非線性有限元的分類線性分析：外加載荷與系統的響應之間為線性關系。例如線性彈簧，結構的柔度陣（將剛度陣集成并求逆）只需計算一次。通過將新的載荷向量乘以剛度陣的逆，可得到結構對其它載荷情況的線性響應。此外，結構對各種載荷情況的響應，可以用常數放大和/或相互疊加，以確定它對一種全新載荷情況的響應，所提供的新載荷情況是前面各種載荷的疊加（或相乘）。這種載荷的疊加原理假定所有的載荷情況采用了相同的邊界條件。4非線性有限元的分類非線性分析：非線性結構問題是指結構的剛度隨其變形而改變。所有的物理結果均是非線性的。線性分析只是一種近似，它對設計來說通常已經足夠了。但是，對于許多結構包括加工過程的模擬（諸如鍛造或者沖壓）、碰撞分析以及橡膠部件的分析（諸如輪胎或者發動機支座），線性分析是不夠的。一個簡單例子就是具有非線性剛度響應的彈簧。4非線性有限元的分類4非線性有限元的分類由于剛度依賴于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加載荷的方法來計算任意載荷時彈簧的位移。在非線性隱式分析中，結構的剛度陣在整個分析過程中必須進行許多次的生成和求逆，分析求解的成本比線性隱式分析昂貴得多。在顯式分析中，非線性分析增加的成本是由于穩定時間增量減小而造成的。非線性系統的響應不是所施加載荷的線性函數，因此不能通過疊加來獲得不同載荷情況的解答。每種載荷情況都必須作為獨立的分析進行定義和求解。4非線性有限元的分類非線性的來源：在結構的力學模擬中有三種：材料非線性邊界非線性（接觸）幾何非線性4非線性有限元的分類材料非線性大多數金屬在低應變值時都具有良好的線性應力/應變關系；但是在高應變時材料發生屈服，此時材料的響應成為了非線性和不可恢復的。

橡膠材料是一種非線性、可恢復（彈性）響應的材料。材料的非線性也可能與應變以外的其它因素有關。應變率相關材料數據和材料失效都是材料非線性的形式。材料性質也可以是溫度和其它預先定義的場變量的函數。4非線性有限元的分類邊界非線性如果邊界條件在分析過程中發生變化，就會產生邊界非線性問題。懸臂梁隨著施加的載荷產生撓曲。

梁端點在接觸到障礙物以前，其豎向撓度與載荷成線性關系（如果撓度是小量）。當碰到障礙物時梁端點的邊界條件發生了突然的變化，阻止了任何進一步的豎向撓度，因此梁的響應將不再是線性的。邊界非線性是極度的不連續；當在模擬中發生接觸時，結構中的響應在瞬時會發生很大的變化。另一個邊界非線性的例子是將板材材料沖壓入模具的過程。在與模具接觸前，板材在壓力下比較容易發生伸展變形。在與模具接觸后，由于邊界條件的改變，必須增加壓力才能使板材繼續成型。4非線性有限元的分類幾何非線性幾何非線性發生在位移大小影響到結構響應的情況。由于：大撓度或大轉動；“突然翻轉”（Snapthrough）；初應力或載荷剛性化。

如果端部的撓度較小，可以認為是近似的線性分析。然而，如果端部的撓度較大，結構的形狀乃至其剛度都會發生改變。另外，如果載荷不能保持與梁軸垂直，載荷對結構的作用也將發生明顯的改變。當懸臂梁撓曲時，載荷的作用可以分解為一個垂直于梁的分量和一個沿梁長度方向的分量。這兩種效應都會對懸臂梁的非線性響應產生貢獻（即，隨著梁承受載荷的增加，梁的剛度發生變化）。4非線性有限元的分類

不難理解大撓度和大轉動對結構承載的方式會產生顯著的影響。然而，并不一定位移相對于結構尺寸很大時，幾何非線性才顯得重要?？紤]一塊很大的具有小曲率的板在所受壓力下的“突然翻轉”。

板的剛度在變形時會產生劇烈的變化。當板突然翻轉時，剛度變負；盡管位移的量值相對于板的尺寸很小，但是有明顯的幾何非線性，必須在模擬中加以考慮。4非線性有限元的分類幾何非線性剛性懸臂梁值域平衡條件

約束剛度K

非線性關系

線性關系4非線性有限元的分類幾何非線性剛性懸臂柱平衡條件

約束剛度K

線性關系

非線性關系

3個解答有限元分析：Buckling特征值(eigenvalues)－彈性臨界(屈曲)載荷特征向量(eigenvectors)－屈曲模態非線性分析包含下列步驟：建立模型－Pre-process基本方程的公式離散方程求解方法表述結果－Post-process4非線性有限元的分類4非線性有限元的分類非線性有限元基本解決方案：材料非線性－Newton-Raphson迭代(隱式)，中心差分，R-K（顯式）邊界非線性－接觸(約束，連接，摩擦，滑移）

Lagrange乘子，罰函數幾何非線性－考慮Jaumann率的大變形算法，弧長法（Riks）非線性分析包含幾個重要主題：選擇近似的方法（如Newton-Raphson）選擇合適的網格描述，動力學和運動學的描述檢驗結果和求解過程的穩定性（物理和數值）認識模型的平滑響應和隱含的求解質量和困難判斷假設的作用和誤差的來源4非線性有限元的分類5非線性有限元的應用

（略）6網格和標記

6網格和標記

非線性有限元分析關聯三個領域：線性有限元方法，結構分析矩陣方法的擴展；非線性連續介質力學；數學，包括數值分析、線性代數和泛函。標記方法：矩陣、張量和指標標記3種標記方法：

1.指標標記矢量，一階張量，指標重復兩次為求和，

三維問題

缺點：公式，程序難以閱讀

2.張量標記指標不出現，獨立于坐標系統：直角，柱，曲線

小寫黑體字母表示一階,v，大寫表示高階,E;除外。

內部指標縮并，

例如線性本構方程：

6網格和標記

3.矩陣標記

二次項：應變能：，

6網格和標記

Voigt標記

在有限元編程中，將對稱的二階張量寫成列矩陣。我們將它和高階張量的任何其它換算稱為列矩陣Voigt標記。關于轉換對稱二階張量到列矩陣的過程稱為Voigt規則。動力學Voigt規則：Voigt規則取決于是否一個張量是一個動力學量，諸如應力，或者運動學量，諸如應變。關于動力學張量的Voigt規則，諸如對稱張量（二維問題）ija1112221236網格和標記

Voigt標記

運動學Voigt規則

對于二階張量，運動學張量，諸如應變也可以在表A1.1中給出。但是，剪切應變，即用不相同指標表示的分量，需要乘以2。因此，關于應變的Voigt規則為

張量Voigt

(A1.3)矩陣向量化

i是分量指標，I是節點編號6網格和標記

空間坐標：x,

Eulerian坐標，指一點在空間的位置。

材料坐標：X,Lagrangian坐標,標記一個材料點，每一個材料點有唯一的材料坐標，一般為在物體初始構形中的空間坐標，當t=0,X=x。物體的運動或變形用函數

稱其為在初始構形與當前構形之間的變換，如運動：

逆變換：1.網格描述，

2.動力學描述，應力張量和動量方程

3.運動學描述，應變度量6網格和標記

6網格和標記

Lagrangian網格和Eulerian網格描述6網格和標記

一個Lagrangian網格像在材料上的蝕刻：當材料變形時，蝕刻(和單元)隨著變形。一個Eulerian網格像放在材料前面一薄片玻璃上的蝕刻：當材料變形時，蝕刻不變形，而材料橫穿過網格。6網格和標記

Lagrangian網格，材料點與網格點保持重合，單元隨材料變形，適合描述固體與結構的變形，但容易嚴重扭曲。解決方法：ALE網格

(ArbitraryLagrangianEulerian)

節點能夠有序地任意運動，在邊界上的節點保持在邊界上運動，內部的節點運動使網格扭曲最小化。7偏微分方程分類

當面對這樣的力學問題，引起物體開裂的原因既要考慮到溫度的影響，又要考慮到振動的效應，我們會被問到：應該選擇哪種類型的偏微分方程?

在有限元軟件中，可以將各種因素作為輸入文件，計算得到解答。然而，當討論這些結果的合理性時，我們會被問到：哪些因素控制著解答，什么情況下是溫度控制，或是振動控制，他們共同控制解答的條件是什么?

帶著這些問題，為了理解各種有限元程序的適用性，我們需要理解偏微分方程的屬性。7偏微分方程分類

雙曲線，典型問題是波的傳播，如弦振動拋物線，典型問題是擴散方程，如熱傳導橢圓，典型例子是彈性力學平衡方程；

Laplace方程，及其非齊次Poisson方程； 斷裂力學中Griffith解答,應用了Inglis無限大平板含橢圓孔的解。7偏微分方程分類

雙曲線拋物線橢圓為了理解有限元程序的適用性，解答的屬性，影響解的因素，如解答的平順性，信息傳播(如波、力和場)、邊界與初始條件的影響，因此需要了解各種類型的偏微分方程。

如果不計時間相關性，三個方程退化為同一種形式，固體力學方程從雙曲線變化為橢圓。7偏微分方程分類

PDEs發展是先降為一階系統，如兩個未知量的一個準線性系統：PDEs分類依據是線段或者表面是否存在交叉，若存在交叉，導數是不連續的。式中的Ai,Bi,Ci,Di是獨立變量x和y，以及兩個非獨立變量u和v的函數。方程中的導數是線性的。

讓我們檢驗u和v在x-y平面內是否可能有不連續的導數?？紤]參數為s的一條曲線Г，沿著Г導數可能連續，橫向Г導數可能不連續。由連鎖法則，非獨立變量的導數可以寫成：7偏微分方程分類

將上面公式寫成一個矩陣方程，得到如果導數是不連續的，上面系統線性代數方程的解答是非確定的，例如，沒有唯一解答，它暗示在某些運算后，得到一個條件服從

式中除以，并注意到7偏微分方程分類

得到一元二次方程公式的解答為二次方程的根

有兩族特征函數，雙曲線，導數不連續有一族特征函數，拋物線，平滑無實特征函數，橢圓，平滑

雙曲線系統的特征－存在交叉，穿過特征函數線的導數可能是不連續的，如應變或速度分量。7偏微分方程分類

雙曲線，典型問題是波的傳播，如弦振動

在雙曲線系統中，信息以有限的速度傳播，例如一維情況，波速為c＝x/t的直線斜率。一個力在t＝0時刻施加在桿的左端，在右側x處的觀察者直到波傳播到該點時才有感覺。例1：一維波動方程其解答為兩個實根

波速為的直線斜率。2.拋物線，典型問題是擴散方程，如熱傳導7偏微分方程分類

在拋物線系統中，僅存在一族特征函數值，它們平行于時間軸，因此信息以無限速度傳播。施加在桿的左端的熱源，使得沿著整個桿件的溫度瞬間升高，升溫呈梯度變化，遠離熱源處，溫度增加的可能非常少，而在雙曲線型模型中，該處在波傳播到達前沒有反應。例2：一維熱傳導的方程7偏微分方程分類

3.橢圓，典型例子是彈性力學平衡方程

在橢圓系統中，虛根，無實特征函數，與雙曲線是對立的，方程與時間無關，在任何邊界點的數據趨向于影響全部解答，數據的影響域是全部區域。而在邊界處小量的不規則數據滿足St.Venant’s原理。求解橢圓PDEs的困難在于邊界處尖角所導致的解答奇異性，如斷裂力學中的裂紋尖端奇異性和赫茲接觸中的邊界奇異性等。例3：平面彈性力學的Laplace方程學習要求

計算機仿真的5個方面訓練：理論模型：科學知識，經驗公式，實驗數據數學模型：推導和描述系統和過程的數學公式計算模型：建立前處理模型，算法，數據處理計算模型的求解：計算機科學，工程數學，概率統計后處理，預見、決策：經驗和準則，數據分析的知識，科學原理的理解計算固體力學

第2章Lagrangian和Eulerian有限元第2章一維Lagrangian和Eulerian有限元

引言完全的Lagrangian格式的控制方程,弱形式有限元離散，單元和總體矩陣更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，單元方程求解方法Eulerian格式的控制方程，弱形式,有限元方程1引言

1引言

非線性連續體一維模型（桿）的有限元方程在固體力學中，Lagrangian網格是最普遍應用的，其吸引力在于它們能夠很容易地處理復雜的邊界條件，并且能夠跟蹤材料點，因此能夠精確地描述依賴于歷史的材料。在Lagrangian有限元的發展中，一般采用兩種方法：以Lagrangian度量的形式表述應力和應變的公式，導數和積分運算采用相應的Lagrangian（材料）坐標X，稱為完全的Lagrangian格式（TL）。2.以Eulerian度量的形式表述應力和應變的公式，導數和積分運算采用相應的Eulerian（空間）坐標x，稱為更新的Lagrangian格式（UL）。非線性與線性公式的主要區別是前者需要定義積分賦值的坐標系和確定選擇應力和應變的度量。兩種格式的主要區別在于：TL，在初始構形上描述變量，UL，在當前構形上描述變量。不同的應力和變形度量分別應用在這兩種格式中。TL，習慣于采用一個應變的完全度量，UL，常常采用應變的率度量。這些并不是格式的固有特點，在UL中采用應變的完全度量是可能的，并且在TL中可以采用應變的率度量。盡管TL和UL表面看來有很大區別，兩種格式的力學本質是相同的；因此，TL可以轉換為UL，反之亦然。1引言

對于每一種公式，將建立動量方程的弱形式，已知為虛功原理（或虛功）。這種弱形式是通過對變分項與動量方程的乘積進行積分來建立。在TL格式中，積分在所有材料坐標上進行；在Eulerian和UL格式中，積分在空間坐標上進行。也將說明如何處理力邊界條件，因此近似（試）解不需要滿足力邊界條件。這個過程與在線性有限元分析中的過程是一致的，在非線性公式中的主要區別是需要定義積分賦值的坐標系和確定選擇應力和應變的度量。1引言

推導有限元近似計算的離散方程。對于考慮加速度（動力學）或那些包含率相關材料的問題，推導離散有限元方程為普通微分方程（ODEs）。這個空間的離散過程稱為半離散化，因為有限元僅將空間微分運算轉化為離散形式，而沒有對時間導數進行離散。對于靜力學與率無關材料問題，離散方程獨立于時間，有限元離散將導致一組非線性代數方程。2完全的Lagrangian格式2.2TL的控制方程初始構形參考構形當前構形變形構形2完全的Lagrangian格式物體的運動由Lagrangian坐標和時間的函數描述是在初始域與當前域之間的映射

當材料坐標在初始位置

2完全的Lagrangian格式位移差

或者

變形梯度

偏微分的意義？

2完全的Lagrangian格式定義Jacobian：作為變形物體的無限小體積相對于變形前物體微段體積的比值

應變的度量

在變形前構形中上式為零，它等效于工程應變

應力的度量

Cauchy應力

名義應力

在多維上沒有工程應力的定義。

工程應力

物理應力

初始值，J0＝12完全的Lagrangian格式推導方程應用下面方程推導非線性桿：

1.質量守恒

2.動量守恒

3.能量守恒

4.變形度量，也常稱為應變-位移方程

5.本構方程，描述材料應力與變形度量的關系

另外，要求變形保持連續性，稱為協調性要求。質量守恒

2完全的Lagrangian格式對于Lagrangian格式，質量守恒方程為對于一維桿動量守恒

由名義應力P和Lagrangian坐標給出(單位長度的力)

如果初始橫截面面積在空間保持常數，則動量方程成為應力在坐標方向的分量

b－單位質量的力－體力

平衡方程

2完全的Lagrangian格式平衡意味著物體處于靜止或者以勻速運動

能量守恒

內部功率由變形率的梯度和名義應力P的乘積給出

本構方程

不計慣性力，則動量方程成為平衡方程etc.

表示影響應力的其他變量，如溫度，夾雜等。

是變形歷史的函數。

完全形式

率形式

2完全的Lagrangian格式本構方程的例子

1)線彈性材料

完全形式

率形式

2)線性粘彈性材料

etc.

表示影響應力的其他變量，如溫度，夾雜等。

是變形歷史的函數。

完全形式

率形式

2完全的Lagrangian格式邊界條件

位移邊界

力邊界n0單位法線（＋,－）

一端固定一端自由桿

邊界條件滿足

初始條件

動量方程是關于X二階的（偏微分方程）。因此在每一端，必須描述u或者作為邊界條件。2完全的Lagrangian格式內部連續條件

跳躍條件函數的連續性

如果函數的第n階導數是連續函數，該函數為連續函數是連續可導的（它的一階導數存在并且處處連續）

在函數中，導數只是分段可導，一維函數不連續發生在點上，二維函數不連續發生在線段上，三維函數不連續發生在面上。

函數本身不連續，xi是不連續點。動量平衡要求關于泛函和變分的概念變

量函數函數泛函

泛函－函數的函數（functional,functionoffunction)當虛位移是真實位移的增量時，虛位移原理

We＝V

中的

V

就是泛函V

的變分。微分是函數的增量，變分是泛函的增量。w(x)是x函數V

(w(x))是w(x)的泛函

自然變分原理是對物理問題的微分方程和邊界條件建立對應的泛函，使泛函取駐值得到問題的解答，但是其未知場函數需要滿足一定的附加條件。

廣義變分原理（或稱約束變分方程）不需要事先滿足附加條件，采用Lagrange乘子法和罰函數法將附加條件引入泛函，重新構造一個修正泛函，將問題轉化為求修正泛函的駐值。稱為無附加條件的變分原理。對于罰函數方法，將罰參數取正值，對修正泛函得到的近似解只是近似地滿足附加條件，罰參數值越大，附加條件的滿足程度就越好。而在實際計算中，罰函數只能取有限值，所以利用罰函數求解只能得到近似解。2完全的Lagrangian格式

有限元方法不能直接離散動量方程。為了離散這個方程，需要一種弱形式，稱為變分形式，即虛功原理或者虛功率，通過對變分項與動量方程的乘積進行積分來建立的。虛功原理或者弱形式是等價于動量方程和力邊界條件的。后者稱為經典強形式。2完全的Lagrangian格式2.3TL的弱形式強形式到弱形式弱形式到強形式

對于動量方程和力邊界條件,現在建立弱形式，要求：滿足所有位移邊界條件并足夠平滑，因此確切定義了動量方程中的所有導數。也假設足夠光滑，這樣確切定義了所有的后續步驟，并在指定的位移邊界條件上為零。這是標準和經典的建立弱形式的方法。盡管它所導致的連續性要求比在有限元近似中更加嚴格，在我們看到以較少的強制連續性要求所得到的結論之前，我們仍繼續采用這種方法。2完全的Lagrangian格式試函數變分項強形式到弱形式取動量方程與變分項的乘積并在全域內積分得到弱形式，給出

2完全的Lagrangian格式強形式到弱形式名義應力P是一個試位移函數。展開第一項乘積的導數，整理得到分布積分在指定位移邊界處變分項消失，第二行服從邊界互補條件和力邊界條件。給出完全的Lagrangian格式的動量方程和力邊界條件的弱形式

弱形式到強形式2完全的Lagrangian格式弱形式給出

由虛位移的任意性，試證明得到強形式

(參考4.3.2節)：動量方程力邊界條件內部連續條件

可以看出，如果允許較低平滑的變分項和試函數，在強形式中將附加一個方程－－內部連續條件。如果選取的變分項和試函數滿足經典的平滑條件，在強形式中則沒有內部連續條件。對于平滑的變分項和試函數，弱形式僅采用動量方程和力邊界條件。

較低平滑性要求的變分項和試函數僅是連續，需要處理在橫截面上和材料參數中的不連續點。在材料界面，經典強形式是不適用的，因為它假設任何點的二階導數是唯一定義的。然而，在材料界面處，應變，即位移場的導數是不連續的。采用粗糙的變分項和試函數，在這些界面上自然出現附加條件－內部連續條件。在TL弱形式中，所有的積分都是在材料域上進行，比如參考構形。由于求導是對材料坐標X進行，所以在材料域上應用分部積分是最方便的。2完全的Lagrangian格式2完全的Lagrangian格式虛功項的物理名稱

外力虛功內力虛功慣性虛功虛功原理

方程是動量方程、力邊界條件和應力跳躍條件的弱形式。

弱形式中包含強形式，并且強形式中包含弱形式，所以弱和強形式是等價的。對于動量方程，強和弱形式的這種等價稱為虛功原理。2完全的Lagrangian格式

以弱形式作為虛功表達式的觀點提供了統一性，對于在不同坐標系上和不同類型問題中建立弱形式是很有用途的：為了獲得弱形式，只需要寫出虛能量方程。因此，可以避免前面所做的由變分項與方程相乘并進行各種處理的過程。

從數學觀點來看，沒有必要考慮變分函數作為虛位移：它們是簡單的變分函數，滿足連續條件和在位移邊界上為零。對于有限元方程的離散，方程與變分函數的乘積沒有物理意義。

建立弱形式中的關鍵步驟是分部積分，從而消除了關于應力P的導數。如果沒有這一步，力邊界條件就不得不強加在試函數上。作為弱形式，由分部積分和降低對應力和試位移平滑性的要求是更方便的。2完全的Lagrangian格式3有限元離散，單元和總體矩陣3.1TL的有限元離散有限元近似

通過對變分項和試函數應用有限元插值，由虛功原理得到有限元模型的離散方程。

有限元試函數

是連續插值函數，稱為形函數。形函數滿足條件：是Kroneckerdelta或單位矩陣：當I=J時；當IJ時；運動學條件，試函數u要滿足連續性和基本邊界條件。方程表示變量分離：解的空間相關性由形函數表示，而時間相關性歸屬于節點變量。3有限元離散，單元和總體矩陣節點力

3有限元離散，單元和總體矩陣為了建立有限元方程，要為每一個虛功項定義節點力

外力虛功內力虛功慣性虛功

這些名稱給節點力賦予了物理意義：內部節點力對應于在材料內部的應力，外部節點力對應于外部施加的荷載，而動態或慣性節點力對應于慣性。節點力與節點位移是功共軛的，一個節點位移的增量與節點力的標量積給出功的增量，一旦違背，質量和剛度矩陣的對稱性將被破壞。節點力

內部節點力是由固體對變形的阻力而引起的節點力；

外部節點力

慣性節點力

3有限元離散，單元和總體矩陣每一個虛功項節點力表達式代入虛功原理給出由于的任意性，在所有節點除了位移邊界外，即節點1，它服從

運動方程－－半離散方程

3有限元離散，單元和總體矩陣

在模型中，節點1的加速度并不是未知的，它是一個給定位移的節點?？梢酝ㄟ^給定節點位移對時間求二次導數，得到給定位移節點的加速度。這個給定的位移必須足夠光滑，可求導二次；這要求它是時間的C1函數(細長梁模型）。

當質量矩陣不是對角陣時，給定位移對沒有在邊界的節點也作出貢獻。對于對角質量陣的情況，不出現下式右端項。

MIJ－J處位移對I處慣性力貢獻的質量。

在矩陣形式中，不能簡單地表示給定位移邊界條件，所以必須考慮指標形式(上式)以補充。

運動方程－半離散方程(矩陣形式)

運動方程在空間是離散的，在時間上是連續的，有時簡稱離散方程。在有限元離散中，質量矩陣常常為非對角陣(一致質量矩陣)，運動方程區別于牛頓第二定律，當MIJ≠0時，節點I處的力可以在節點J處產生加速度。而集中質量矩陣的運動方程等價于牛頓第二定律。3有限元離散，單元和總體矩陣為在質點I上的凈力。由牛頓第三定律，作用在節點上的力大小相等，而方向相反，因此內部節點力需要一個負號。

單元和總體矩陣

在有限元程序中，通常以一個單元水平計算節點力和質量矩陣，將單元節點力結合入總體矩陣，稱為離散或矢量組合。

組合單元的質量矩陣和其它方陣到總體矩陣，稱為矩陣裝配。

通過計算可以從總體矩陣中提取單元節點位移，稱為集合。3有限元離散，單元和總體矩陣2節點單元一維網格的集合和離散運算的描述，兩組單元節點位移的集合：位移根據單元節點編號集合；計算節點力的離散：節點力根據節點編號返回總體力矩陣。3有限元離散，單元和總體矩陣2節點單元一維網格的單元形函數Ne(X)和總體形函數N(X)3有限元離散，單元和總體矩陣單元節點位移與總體節點位移的關系為

Le為連接矩陣。類似的獲得單元節點力。

應用連接矩陣還可以建立單元形函數和總體形函數之間的關系，總體位移場可以由所有單元的位移求和得到：對單元形函數求和得到總體形函數

3有限元離散，單元和總體矩陣例題

3有限元離散，單元和總體矩陣3有限元離散，單元和總體矩陣3有限元離散，單元和總體矩陣3有限元離散，單元和總體矩陣4更新的Lagrangian格式4.1UL的控制方程初始構形參考構形當前構形變形構形4更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，單元方程4更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，單元方程UL格式是TL格式的一個簡單轉換。在數值上，離散方程是相同的，而實際在同一程序中，對某些節點力我們可以應用TL格式，而對其它的節點力應用UL格式。為什么采用兩種方法，而它們基本上是一致的。4.1UL的控制方程

主要原因是它們都在被廣泛地應用，因此，為了理解程序和文獻，有必要熟悉兩種格式。

應變的度量由變形率給出

應力的度量

Cauchy應力

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.1UL的控制方程以Eulerian坐標表述相關變量，空間坐標速度應變

UL格式的兩個相關變量－速度和Cauchy應力

質量守恒

對于桿

動量守恒

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程能量守恒

－熱流量－熱源本構方程

變形度量

4.1UL的控制方程邊界條件

速度邊界等價位移邊界

力邊界n

單位法線（＋,－）

一端固定一端自由桿

邊界條件滿足

初始條件

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.1UL的控制方程4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.2UL的弱形式由動量方程乘以變分函數

弱形式－虛功率原理

強形式－虛功率原理的逆過程：動量方程， 力邊界條件 內部連續條件

積分在當前域上完成

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.2UL的弱形式內部虛功率

外力虛功率

慣性力虛功率

弱形式

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程

在一個單元的水平上建立方程，通過裝配獲得總體方程。相關變量為速度和應力。建立本構方程、質量守恒方程，動量方程。由于質量守恒是一個代數方程，可以容易地計算任意一點的密度。建立半離散方程。單元的速度場為單元的加速度場為

將形函數表示成為材料坐標的函數是非常關鍵的，它與時間無關。如果將形函數由Eulerian坐標表示為形函數的材料時間導數不為零（注意與TL區別），并且不能將加速度表示為同樣形函數與節點加速度乘積的形式。

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程Eulerian坐標與單元坐標之間的映射為

位移可以由相同的形函數進行插值

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程

形函數與時間無關，通過位移的導數得到速度和加速度，變分函數由同一形函數給出變形率可以表示為形函數的形式為4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程通過一個B矩陣，將變形率表示為節點速度的形式變形率可以表示為形函數的形式為形函數的空間導數由鏈規則得到

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程

與TL格式相同，在UL格式中，質量矩陣不隨時間變化，在程序中僅計算一次即可。4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節點二次位移單元以單元坐標的形式寫出位移和速度場

以單元坐標的形式寫出位移和速度場

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節點二次位移單元其中:

B矩陣給出為

變形率給出為

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節點二次位移單元如果是常數，單元中的變形率是線性地變化，這是節點2位于其它兩節點中間時的一種情況。然而，當由于單元的畸變，節點2偏離中間位置時，變成為的線性函數，而變形率變成為一個有理函數。而當節點2從中間移開時，有可能成為負數，或為零，在這種情況下，當前空間坐標和單元坐標的映射將不再一一對應。變形率

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節點二次位移單元內部節點力

其中

這個表達式與TL格式的內力表達式是相同的。4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節點二次位移單元-檢查網格畸變當單元的節點2是位于離節點1的1/4單元長度時

在

有

Jacobian

在該點處的當前密度為無窮大。若節點2移動并接近節點1，在部分單元上Jacobian成為負數，這意味著是負密度值,違背了質量守恒。這些情況經常隱藏在數值積分中，因為在高斯積分點，當Jacobian成為負數時,畸變是非常嚴重的。由

不能滿足一一對應條件也可能導致變形率出現奇異。當分母為零或成為負數，我們難以得到勢能。

例2.53節點二次位移單元-檢查網格畸變4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程

在節點1處變形率為無窮大。在斷裂力學中，利用這種二次位移單元的性質建立包含裂紋尖端奇異應力的單元，稱為四分之一點單元。但是在大位移分析中，這種行為會出現問題。在一維單元中，網格畸變的影響不像在多維問題中那么嚴重。事實上，應用變形梯度F作為這種單元的變形度量多少可以減輕網格畸變的影響。在3節點單元中，如果X2的初始位置位于中點，那么變形梯度F絕不會成為奇異。例2.53節點二次位移單元-檢查網格畸變4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節點二次位移單元-檢查網格畸變4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程3節點1/4點二次位移單元例2.53節點二次位移單元-檢查網格畸變5求解方法5求解方法

為了求解非線性問題，最簡單的方法，即時間顯式積分。最廣泛應用的顯式方法是中心差分方法，采用對角或集中質量矩陣。速度

加速度

在時間間隔中點的導數值由在間隔端點處函數值的差得到，顧名思義為中心差分公式。

從t＝0出發，取時間步長Δt

5求解方法5求解方法

對于位移的更新不需要代數方程的任何解答，因此，在某種意義上，顯式積分比靜態線性應力分析更加簡單,不需要矩陣求逆解剛度方程。如在流程圖中看到，對于控制方程和時間積分公式，大多數的顯式程序是直接向前賦值。程序從施加初始條件開始,第一個時間步多少與其它時間步的不同在于它僅取半步，這使程序能正確地解釋關于應力和速度的初始條件。大部分程序運算時間是在計算單元節點力，尤其是內部節點力。節點力是逐個單元進行計算的。在開始計算前，從總體的列矩陣中集合出單元節點速度和位移。如流程圖所示，內部節點力的計算包括應變方程和本構方程的應用。通過應力為內部節點力賦值。當完成了單元節點力的計算，根據它們的節點編號將其離散到總體列矩陣。5求解方法穩定性準則顯式積分的缺陷在于時間步長必須低于一個臨界值，否則由于數值不穩定將使解答‘隆起’。對于采用對角質量的2節點單元的臨界時間步長為是單元的初始長度

是波速

穩定性準則能量守恒(斷裂力學中為能量平衡)增加時間步長：放大質量，調整單元尺寸。6Eulerian格式的控制方程6Eulerian格式的控制方程，弱形式，有限元方程

在Eulerian格式中，節點在空間固定，相關變量為Eulerian空間坐標x和時間t的函數，應力度量為Cauchy（物理的）應力，變形度量為變形率，運動由速度描述。在Eulerian格式中，因為不能建立未變形、初始的構形，所以不能將運動表示為參考坐標的函數。

TL格式比UL格式需要更多的存儲空間，以存儲形函數及其導數值；而UL則需要在每一個時間步重復搜索和計算形函數，也會影響計算效率。因此，在實際問題中應有所選擇，例如對于大變形的瞬態問題，或者路徑無關材料，可采用TL，而與變形歷史有關的路徑相關材料，如彈塑性和粘彈塑性材料，則可采用UL。非線性有限元

第3章連續介質力學

計算固體力學第2講連續介質力學

引言變形和運動應變度量應力度量守恒方程Lagrangian守恒方程極分解和框架不變性1引言

連續介質力學是非線性有限元分析的基石。從描述變形和運動開始。在剛體的運動中著重于轉動的描述。轉動在非線性連續介質力學中扮演了中心的角色，許多更加困難和復雜的非線性連續介質力學問題都是源于轉動。

1引言

非線性連續介質力學中的應力和應變，有多種方式定義。在非線性有限元程序中應用最頻繁的是：

應變度量：Green應變張量和變形率。應力度量：Cauchy應力、名義應力和第二Piola－Kirchhoff應力，簡稱為PK2應力。還有許多其它的度量，過多的應力和應變度量是理解非線性連續介質力學的障礙之一。一旦理解了這一領域，就會意識到這么多的度量沒有增加基礎的東西，也許只是學術過量的一種顯示。我們只用一種應力和應變度量的方式進行講授，也涉及到其它的方式，以便能夠理解文獻和軟件。1引言

守恒方程，通常也稱為平衡方程，包括質量、動量和能量守恒方程。平衡方程是在動量方程中當加速度為零時的特殊情況。守恒方程既從空間域也從材料域中推導出來。推導并解釋極分解原理，檢驗Cauchy應力張量的客觀率，也稱作框架不變率。解釋了率型本構方程要求客觀率的原因，然后表述了幾種非線性有限元中常用的客觀率。2變形和運動

它們的屬性和響應可以用空間變量的平滑函數來表征，至多具有有限個不連續點。它忽略了非均勻性，諸如分子、顆粒或者晶體結構。晶體結構的特性有時也通過本構方程出現在連續介質模型中，但是假定其響應和屬性是平滑的，只具有有限個不連續點。

連續介質力學的目的就是提供有關流體、固體和組織結構的宏觀行為的模型。

Kinematicdescription:應變是如何度量的？Kineticdescription:應力是如何度量的？Meshdescription:網格移動如何聯系連續體的運動？2變形和運動

在初始域和當前域域之間的映射

初始構形

當前構形

材料點的位置矢量

ei:直角坐標系的單位基矢量，xi:位置矢量的分量。

2變形和運動

運動描述空間坐標當參考構形與初始構形一致時，在t＝0時刻任意點處的位置矢量x與其材料坐標一致一致映射