第二節平面向量的數量積

考綱解讀

理解平面向量數量積的含義及其物理意義.

了解平面向量的數量積與向量投影的關系.

掌握數量積的坐標表示，會進行兩個平面向量數量積的運算.

能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.

會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題及其他一些實際問題.

命題趨勢探究

平面向量數量積的運算、化簡、證明及數量積的應用問題，如證明垂直、求夾角、距離等

是每年必考內容，單獨命題時，以選擇、填空題的形式出現，注意考查向量的運算及性質，

高考中，與向量有關的解答題一般與其他內容相結合(如解析幾何、三角函數、平面幾何)

進行考查，重在考查向量的工具性作用，向量的應用是跨學科知識的一個交匯點，應引起

重視.

預測2019年高考將考查平面向量的數量積的幾何意義及坐標運算，同時與三角函數結合的

解答題也是熱點之一，每年高考分值一般保持在5分左右.

知識點精講

平面向量的數量積

(1)已知兩個非零向量。和作汝=2,Oh=b,如％)叫作向量￡與坂的

夾角.記作可，并規定(￡出)€[(),可.如果￡與石的夾角是就稱[與B垂直，記為

aYb.

(2)\a||b|cos叫作a與B的數量積(或內積)，記作ad,即a||b|cos

規定：零向量與任一向量的數量積為0.兩個非零向量%與b垂直的充要條件是a-b=0.

兩個非零向量a與B平行的充要條件是￡不=±|?||

二、平面向量數量積的幾何意義

數量積等于￡的長度|與B在￡方向上的射影|&|cos0的乘積.即7B=|a||

一一一一ci*b一一一ci,b

b|cos0.(b在。方向上的射影|b\cos0=-rzr；。在8方向上的射影Ia|cos，=k).

三.平面向量數量積的重要性質

性質1ea=ae=\a\cos6.

性質2alboa?b=0.

性質3當a與8同向時。?A二|a||》|；當當。與b反向時a?b=-|a||b|.

a.a==|〃|2或|a|=y[a^.

性質4cos0=(aO^b0).

\a\\b\

性質5\a-b\<\a\\b\.

注利用向量數量積的性質2可以解決有關垂直問題；利用性質3可以求向量長度；利用性

質4可以求兩向量夾角；利用性質5可解決不等式問題.

四、平面向量數量積滿足的運算律

(1)ab=ba(交換律)；

(2)(勿)0=/“/=4,(/1〃)(幾為實數)；

(3)(a+b)c-ac+bc(分配律)。

數量積運算法則滿足交換律、分配律，但不滿足結合律(a2>cHa(?c),不可約分

a-b^ac^b-c.

五、平面向量數量積有關性質的坐標表示

設向量a=(X],yJ力=儀2，丫2),則。?)=*山2+丫]丫2由此得到

(1)若a=(x,y),則a?=|a『=f+V或|“|=^x2+y2；

22

(2)設A區,y,)產區生),則AB兩點間距離|AB|=7(x2-x,)+(y2-y,)

(3)設a=(X1,yJ/=心其),。是a與)的夾角，則cosq=-/

由非零向量。，瓦Q~L辦的充要條件是玉&+X%=。?

2由|cosM=|中2：X%]?1得(%也+必必)2?(芭2城)|&2+1)?

VV+%U+y2

六、向量中的易錯點

(1)平面向量的數量積是一個實數，可正、可負、可為零，且I。祝I\a\\b\.

(2)當加0時，由a?。0不能推出力一定是零向量，這是因為任一與a垂直的非零向

量方都有a?。0.

當"。時，且a?。a%時，也不能推出一定有萬=c,當b是與。垂直的非零向量，c

是另一與a垂直的非零向量時，有由bdk0,但〃c.

(3)數量積不滿足結合律，即匿)c(yic)a,這是因為3Moe是一個與c共線的向

量，而(力是一個與。共線的向量，而。與c不一定共線，所以不一定等于

(b^c)a,即凡有數量積的結合律形式的選項，一般都是錯誤選項.

(4)非零向量夾角為銳角(或鈍角).當且僅當a?。0且a?0)(或a?b0,

且a?勸(20))

題型歸納及思路提示

題型79平面向量的數量積

思路提示

平面向量的數量積的計算有其定義式和坐標式，若告訴坐標或容易建立坐標系利用坐標計

算，否則運用定義式.這里要考慮將向量盡可能轉化為共線或垂直.

一、平面向量的數量積

例5.19(1)在心A4%中，NC=90°,&7=4,則誦.而=()

A.-16B.-8C.8D.16

(2)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點，則DE-CB=;DE-DC

的最大值為.

(3)在A48仲，M是BC的中點AM=L點P在AM上且滿足AP=2PM,貝!j

正.(雨+元)等于()

分析利用向量數量積的幾何意義(投影)求解.

變式1如圖5-27所示，在平行四邊形ABCD中，APVBD,垂足為P,且小=3,則

AP-AC=.

圖5-27

變式2在A/比中，AB=1,BC=亞,AC=舊,若G為A4比1的重心，則

AG-AC=.

例5.20如圖5-28所示，在矩形ABCD中，AB=M,BC=2,點E為BC的中點，點F

在邊CD上，若同?M=亞，貝龐?赤的值是：____________.

圖5-28

變式1如圖5-30所示在式中，ABAC=120°,AB=2,AC=1,。是邊BC上一點,

DC=2BD,貝麗?~BC=.

BC

圖5-30

變式2如圖5-31所示，在

\ABOV,ADVAB,~BC=囪而,|而|=1,則而?~AD=.

圖5-31

變式3（2016天津理7）已知△ABC是邊長為1的等邊三角形點D,E分別是邊AB.

BC的中點，連接。E并延長到點歹，使得。￡=2即，則衣?比的值為（）.

A.二1II

B.-D.—

888

例5.21已知向量a,8c滿足a+方+c=0,|a|二l,|b|=2,|c|=J5,則

a!bbRc(f!a.

變式1在A彼中，若|四|=3,|a'|=4,|4。|=6,則

~AB-~BC+~BC-CA+CA-~AB=.

變式2向量a,4c滿足a+Z>+c=O,且出|=2,則|c|二

變式3設向量滿足a+Z>+c=O,且（a-Z0Ac,1A〃，若|。|=1,,貝！）

\af^bf^c\2=.

例5.22設a,4C是單位向量且。為0,則m-c）?9C）的最小值為（）.

A.-2B.亞-2C.-1D.l-V2

變式1已知a,萬是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足5-c)?(bc)=0,則

舊的最大值是()

rzV2

A.1B.2C.V2D.—

z2

變式2若平面向量a,方滿足12a-b?3,則a><&的最小值是:

例5.23在DABC中，M是BC的中點，AM=3,BC=10,則而、恁=

-------*--------*9z~1jS"

評注利用中線向量求解ABXAC,可得衍生結論而?恁AM-衛-，利用這一結論可

4

求解向量數量積運算中有關中線向量所涉及的最值計算的問題，其變式題如下.

變式1設DABC,凡是邊AB上一點，滿足《3=；A氏且對于邊A8上任一點P,恒

有麗》玩片石?麻，則()

A.?ABC90°B.90°c,AB=ACc.AC=BC

變式2點P是棱長為1的正方體ABC。-的底面A/CiA上一點，則中存C的

取值范圍是().

A.[-1,--]B.[---]C.[-1,0]C.[--,0J

4242

二.平面向量的夾角

得功-”’2

求夾角，用數量積，由4?形\a\T\b\cosqcos<?=-4

\a\Ab\&；+城收+為2

進而求得向量的夾角.

例5.24已知向量。=(1,V3),￡>=(-2,0),則勾入的夾角是.

例5.25已知a,是非零向量且滿足(a-2b)人a,(b-2a)A”則a/的夾角是().

評注求兩向量的夾角主要是應用公式c°s"=就來解決'為此應該求出。功的值或與

IaI￥切的關系，或在a,)坐標已知的情況下直代帶入計算.

例5.26已知向量。,仇。滿足|。|=1,2|=2,。=。+"”。,則9的夾角為（）

TCTC27r7T

A.c.

6332

變式1已知a/是非零向量，且滿足|a|=SI=|a-b\,則。與a+A的夾角是.

變式2若平面向量a,//滿足|a|=1,|A|?1,且以向量a,//為鄰邊的平行四邊形的面積為

；,則a,p的夾角q的取值范圍是.

例題5.27已知|a|=0,|W=1,6入的夾角為45°,求使向量a+/b與/a+b的夾角為銳

角的/的取值范圍.

分析由公式cosq=一也一可知，夾角q若為銳角，則cosq＞0,即a?b0,同時也應

注意從以上結果中排除同向共線這一情形.

評注注意當（。+/〃）?（/“萬）＞0時，已包括了向量與/a+b的夾角為0°,即方

向相同的情況，故應排除.本題若改為與/a+5的夾角為鈍角，求/的范圍”，同樣

需用（a+//＞）?（/ab）＜0且排除兩向量方向相反的情況.

變式1設兩個向量4,e2，滿足|ej=2,|e?卜1，4,e2的夾角為g，若向量2%+7e?與

4+小2的夾角為鈍角，求實數t的范圍.

變式2（2017北京理6）設機，〃為非零向量則“存在負數4使得加=力1”是

的（）.

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

變式3若向量。與力不共線，a凄0,且C=4-（3絲）），則向量4與C的夾角為（）

717[71

A.0B.—C.-D.—

632

三、平面向量的模長

求模長，用平方，|。|=必.

7C

例5.28已知|。|=傳|=5,向量a與b的夾角為一，求|a+",|a-b\.

評注在求解向量的模長時，常用到如下公式來求解.

(1)|a/=/=a?a或|a|=7^"；

(2)|a?6|2弊2a6；

(3)若“=(1,}0貝!]|。|=^x2+y2.

變式1已知向量滿足|a|=1,2|=2,a,6的夾角為60°,則|Q-b\=

變式2已知向量滿足|a|=1,|切=2,|a-切=2,則|a+切等于（）

A.1B.V2C.V5D.V6

變式3在DABC中，已知|而|=3,|團|=4,?ABC60°求|恁|.

例5.29已知向量〃，力的夾角為120°,|。|=3,|。+切=舊,則|加等于()

A.5B.4C.3D.1

變式1(2017全國1理13)13.已知向量。，b的夾角為600，時=2,。|=1,則

|。+2.=<

變式2已知|“|=2|=2,3+2㈤?(ab)=-2,則a,萬的夾角為.

變式3設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，配'=16,|通+恁卜|麗-AC\,

則|通7|=()

A.8B.4C.2D.1

例5.30已知平面向量a,/?(a構0,a0，滿足|少卜1，且a與/?-a的夾角120°，貝!||a|

的取值范圍是.

變式1若4,6,C均為單位向量，且a?b0,(a-c)?(bc)?0|,貝!l|a+〃-C|的最大值

為O

A.\/2-1B.1C.5/2D.2

變式2已知a,人為單位向量，alb0,若向量C滿足貝!||c|的取值范圍是（）

A.[V2-1,V2+1]B.[V2-l,V2+2]C.[1,V2+1]D.[1,V2+2]

例5.31在平面上，AB,A砥函卜|明|=1,Q=AB.+福■，若|麗Kg,貝力麗|

的取值范圍是。.

變式1在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為線段CD的中點，則

|而『+|而

IPCP=

A.2B.4C.5D.10

最有效訓練題22（限時45分鐘）

1.下列四個命題中真命題的個數為（）

4若由b0,則2若出blf!c,且〃。貝ija=c；

3（。鬃）。=。勤。）；4（a?b）2a21b2.

A.1B.2C.3D.4

2.已知向量a=（l,l）,2a+Z>=（4,2）,則向量凡》的夾角為（）.

7C7Cn7t

A.—B.—C.——D.—

6432

3.已知向量a=（l,2）,》=（2,-3）,若向量c滿足（c+a）//》,”（a+A）,則c