2．4正態分布教學目標：知識目標：理解并掌握〔標準〕正態分布和正態曲線的概念，意義及性質，能簡單應用。能力目標：能用正態分布、正態曲線研究有關隨機變量分布規律，引導學生通過觀察并探究規律，提高分析問題，解決問題的能力，培養學生數形結合等數學思想方法。情感、態度與價值觀：通過數學中一系列的探究過程，使學生體驗發現的快樂，形成積極的情感，培養學生進取的意識和科學精神。教學重點：正態分布曲線的性質、正態曲線的特點及其所表示的意義。教學難點：通過正態分布的圖形特征，歸納正態曲線的性質。教具準備：多媒體、實物投影儀。教學設想：在總體分布研究中我們選擇正態分布作為研究的突破口，正態分布在統計學中是最根本、最重要的一種分布。內容分析：1．這節課是學生在必修三中已經學習過統計的知識根底之上來進行學習的。學生已經知道當樣本容量無限增大時，頻率分布直方圖就無限接近于一條總體密度曲線，總體密度曲線較科學地反映了總體分布.但總體密度曲線的相關知識較為抽象，學生不易理解，因此在總體分布研究中我們選擇正態分布作為研究的突破口.正態分布在統計學中是最根本、最重要的一種分布.2．課本中首先通過高爾頓板實驗向學生演示了小球落下的規律，畫出頻率直發圖，發現隨著實驗重復次數的增加，頻率直方圖的形狀會越來越像一條鐘形曲線。接著給出正態曲線的定義，引出正態分布的概念。課本中還談到正態曲線的由來及其實際生活中的應用。3．正態分布是可以用函數形式來表述的.其密度函數可寫成：，〔σ＞0〕由此可見，正態分布是由它的平均數μ和標準差σ唯一決定的常把它記為.4．從形態上看，正態分布是一條單峰、對稱呈鐘形的曲線，其對稱軸為x=μ，并在x=μ時取最大值.從x=μ點開始，曲線向正負兩個方向遞減延伸，不斷逼近x軸，但永不與x軸相交，因此說曲線在正負兩個方向都是以x軸為漸近線的.5．通過三組正態分布的曲線，可知正態曲線具有兩頭低、中間高、左右對稱的根本特征.6．結合正態曲線的圖形特征，歸納正態曲線的性質.正態曲線的作圖較難，教科書沒做要求，授課時借助幾何畫板作圖，學生只要了解大致的情形就行了，關鍵是能通過正態曲線，引導學生歸納其性質.教學過程：學生探究過程：上節課，給全班學生布置了一道作業：即讓每個學生在計算機課上搜索正態分布的由來及其相關的知識。具體做法如下：將全班學生按座位分成了四個小組，每個小組有一個小組長，小組長在上課之前將各個小組成員查到的資料做總結，寫成報告稿的形式。上課之前老師先讓每位小組長將調查的情況同全班同學分享。老師再作總結，其內容如下：一、正態分布的由來正態分布是最重要的一種概率分布。正態分布概率是由法國數學家和天文學家棣莫弗于1733年首次提出的。但由于德國數學家高斯最先將其應用于天文學家研究，故正態分布又叫高斯分布。高斯這項工作對后世的影響極大，他使正態分布同時有了“高斯分布”的名稱，后世之所以多將最小二乘法的創造權歸之于他，也是出于這一工作。高斯是一個偉大的數學家。重要的奉獻不勝枚舉。現今德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票，其上還印有正態分布的密度曲線。這傳達了一種想法：在高斯的一切科學奉獻中，其對人類文明影響最大者，就是這一項。二、講解新課復習引入：總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數越多，各組的頻率就越接近于總體在相應各組取值的概率．設想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線．創設情境：給學生演示高爾頓板實驗：這個實驗是英國科學家高爾頓設計的。具體操作如下：自上端放入一小球，任其自由下落，在下落過程中小球碰到釘子從左邊落下的概率記為P，從右邊落下的概率記為1-P，碰到下一排釘子時，也是如此。最后落入底板中的某個格。因此任意放入一個球，小球最后落入某個格子內事先是難以確定的，但是實驗證明，如果放入大量球的話那么其最后呈現的曲線總是雷同的，也就是說落入格中的小球的頻率趨向穩定。下面我們來驗證一下：給學生演示動畫，讓學生更直觀地看到小球動態的落入情況，提高了學生的學習興趣。演示完動畫后，給5分鐘時間讓學生之間進行合作交流總結實驗結果有什么共同特征？最后老師進行點評。它反映了總體在各個范圍內取值的概率．根據這條曲線，可求出總體在區間(a，b)內取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積．觀察總體密度曲線的形狀，它具有“兩頭低，中間高，左右對稱”的特征，具有這種特征的總體密度曲線一般可用下面函數的圖象來表示或近似表示：式中的實數、是參數，分別表示總體的平均數與標準差，的圖象為正態分布密度曲線,簡稱正態曲線．三、探求新知一般地，如果對于任何實數，隨機變量X滿足,那么稱X的分布為正態分布〔normaldistribution)．正態分布完全由參數和確定經驗說明，一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結果之和，它就服從或近似服從正態分布．例如，高爾頓板試驗中，小球在下落過程中要與眾多小木塊發生碰撞，每次碰撞的結果使得小球隨機地向左或向右下落，因此小球第1次與高爾頓板底部接觸時的坐標X是眾多隨機碰撞的結果，所以它近似服從正態分布．正態分布的應用：在現實生活中，很多隨機變量都服從或近似地服從正態分布．例如長度測量誤差；某一地區同年齡人群的身高、體重、肺活量等；一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產量等；正常生產條件下各種產品的質量指標〔如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容量、電子管的使用壽命等〕；某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度、降雨量等；一般都服從正態分布．因此，正態分布廣泛存在于自然現象、生產和生活實際之中．正態分布在概率和統計中占有重要的地位．說明:1參數是反映隨機變量取值的平均水平的特征數，可以用樣本均值去佑計；是衡量隨機變量總體波動大小的特征數，可以用樣本標準差去估計．2．正態分布〕是由均值μ和標準差σ唯一決定的分布思考：觀察上圖，結合的解析式及概率的性質，你能說說正態曲線的特點嗎？正態曲線的性質：〔1〕曲線在軸的上方，與軸不相交.〔2〕曲線是單峰的，它關于直線=μ對稱〔由得〕〔3〕曲線在=μ處到達峰值〔4〕曲線與軸之間的面積為1四、用計算機〔幾何畫板〕研究正態曲線隨著和變化而變化的特點通過固定其中一個值，討論均值與標準差對于正態曲線的影響.如以下圖所示請一個學生上講臺演示，其它學生在下面觀察圖像的變化趨勢。上下拖動點A，觀察參數的變化及圖像的變化趨勢上下拖動點B，觀察參數的變化及圖像的變化趨勢同桌之間互相討論，得出結論：〔5〕當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿X軸平移〔6〕當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散。五、特殊區間的概率：假設~，那么對于任何實數，為圖中陰影局部的面積，對于固定的和a而言，該面積隨著的減少而變化，這說明越小，X落在區間的概率越大，即X集中在周圍概率越大。特別有：上述結果可用以下圖表示：可以看到，正態總體幾乎總取值于區間之內，而在此區間以外取值的概率只有0.0026，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生。在實際應用中就只考慮這個區間，稱為原那么.六、講解范例：例1．給出以下三個正態總體的函數表達式，請找出其均值μ和標準差σ.〔１〕〔２〕〔３〕答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5例2