Page27數學試題時限：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點，若，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間向量的線性運算進行求解.【詳解】.故選：D2.平面內到兩定點、的距離之差等于10的點的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線 C.雙曲線的一支 D.以上選項都不對【答案】D【解析】【分析】依據動點滿意的幾何性質推斷即可.【詳解】因為、，所以，而平面內到兩定點、的距離之差等于的點的軌跡為一條射線.故選：D3.“”是“方程表示圓的方程”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據表示圓得到或，然后推斷充分性和必要性即可.【詳解】若表示圓，則，解得或，可以推出表示圓，滿意充分性，表示圓不能推出，不滿意必要性，所以是表示圓的充分不必要條件.故選：A.4.已知橢圓的離心率為，則實數的值為（）A. B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的標準方程、橢圓的離心率公式分析運算即可得解.【詳解】由題意，橢圓，則，且，由離心率，解得：，若橢圓的焦點在軸上，則，解得：；若橢圓的焦點在軸上，則，解得：；綜上知，或.故選：C.5.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉一周形成的曲面）的一部分．過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點上，片門位于另一個焦點上．由橢圓的一個焦點發出的光線，經過旋轉橢圓面反射后集中到另一個焦點．已知，，．若透亮窗所在的直線與截口所在的橢圓交于一點，且，則的面積為（）A.2 B. C. D.5【答案】D【解析】【分析】由橢圓定義，依據，結合勾股定理可得可得的值，則即可求的面積．【詳解】由，，，得，則橢圓長軸長，由點在橢圓上，得，又，則，因此，所以的面積為.故選：D6.已知圓與圓外切，則的最大值為（）A.2 B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】利用兩圓外切求出的關系，再利用基本不等式求解即得.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，依題意，，于是，即，因此，當且僅當時取等號，所以的最大值為3.故選：D7.如圖所示，三棱錐中，平面，，點為棱的中點，分別為直線上的動點，則線段的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據給定條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量建立的函數關系求解即可.【詳解】三棱錐中，過作平面，由，知，以為原點，直線分別為建立空間直角坐標系，如圖，由平面，得，則，令，則，設，于是，當且僅當時取等號，所以線段的最小值為.故選：B8.已知分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上存在兩點使得梯形的高為（為該橢圓的半焦距），且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據，可得，則，為梯形的兩條底邊，作于點P，所以，則可求得，再結合，建立的關系即可得出答案.【詳解】如圖，由，得，則，為梯形的兩條底邊，作于點P，則，由梯形的高為c，得，在中，，則有，，在中，設，則，，即，解得，在中，，同理，又，所以，即，所以離心率.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.直線與圓的公共點的個數可能為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】BC【解析】【分析】依據給定條件，求出圓心到直線距離的取值范圍，即可推斷得解.【詳解】圓的圓心，半徑，當時，點到直線的距離，因此直線與圓相切或相交，所以直線與圓的公共點個數為1或2.故選：BC10.下列四個命題中正確的是（）A.過點，且在軸和軸上的截距互為相反數的直線方程為B.過點且與圓相切的直線方程為或C.若直線和以為端點的線段相交，則實數的取值范圍為或D.若三條直線不能構成三角形，則實數全部可能的取值組成的集合為【答案】BC【解析】【分析】利用直線截距式方程推斷A；求出圓的切線方程推斷B；求出直線斜率范圍推斷C；利用三條直線不能構成三角形的條件求出a值推斷D.【詳解】對于A，過點在軸和軸上的截距互為相反數的直線還有過原點的直線，其方程為，A錯誤；對于B，圓的圓心，半徑，過點斜率不存在的直線與圓相切，當切線斜率存在時，設切線方程為，則，解得，此切線方程為，所以過點且與圓相切的直線方程為或，B正確；對于C，直線恒過定點，直線的斜率分別為，依題意，或，即為或，C正確；對于D，當直線平行時，，當直線平行時，，明顯直線交于點，當點在直線時，，所以三條直線不能構成三角形，實數的取值集合為，D錯誤.故選：BC11.已知橢圓的兩個焦點分別為，點是橢圓上的動點，點是圓上隨意一點．若的最小值為，則下列說法中正確的是（）A. B.的最大值為5C.存在點使得 D.的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】首先得到圓心坐標與半徑，即可推斷在橢圓外部，在求出，即可求出，再依據數量積的運算律及橢圓的性質推斷B、C，依據橢圓的定義推斷D.【詳解】橢圓，則，所以，圓的圓心為，半徑，所以，所以點在橢圓外部，又，當且僅當、、三點共線（在之間）時等號成立，所以，解得，所以，解得（負值舍去），故A正確；，又，所以，所以，即的最大值為，當且僅當在上、下頂點時取最大值，故B正確；設為橢圓的上頂點，則，，所以，所以，所以，則存在點使得，故C正確；因為，當且僅當、、、四點共線（且、在之間）時取等號，故D錯誤.故選：ABC12.在棱臺中，底面分別是邊長為4和2的正方形，側面和側面均為直角梯形，且平面，點為棱臺表面上的一動點，且滿意，則下列說法正確的是（）A.二面角的余弦值為B.棱臺的體積為26C.若點在側面內運動，則四棱錐體積的最小值為D.點的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】A選項，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，利用空間向量相關公式求出二面角的余弦值；B選項，利用棱臺體積公式求出答案；C選項，設出，求出軌跡方程，得到點的軌跡，從而得到點到平面的最短距離為，利用體積公式求出答案；D選項，考慮點在各個面上運算，求出相應的軌跡，求出軌跡長度，相加后得到答案.【詳解】A選項，因為平面，平面，所以，又底面分別是邊長為4和2的正方形，故，故兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系，則，平面的法向量為，設平面的法向量為，則，解得，令得，，故，則，又從圖形可看出二面角為銳角，故二面角余弦值為，A正確；B選項，棱臺的體積為，B錯誤；C選項，若點在側面內運動，，設，則，整理得，故點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在側面內部（含邊界）部分，如圖所示，圓弧即為所求，過點作⊥于點，與圓弧交于點，此時點到平面的距離最短，由勾股定理得，因為，，，故點到平面的最短距離為，因為與平行，且⊥平面，又平面，所以⊥，故四邊形為直角梯形，故面積為，則四棱錐體積的最小值為，C正確；D選項，由C選項可知，當點在側面內運動時，軌跡為圓弧，設其圓心角為，則，故，所以圓弧的長度為，當點在面內運動時，，設，則，整理得，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在側面內部（含邊界）部分，如圖所示，圓弧即為所求軌跡，其中，故，則圓弧長度為，若點面內運動時，，設，則，整理得，點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在側面內部（含邊界）部分，如圖所示，圓弧即為所求，此時圓心角，故圓弧長度為，經檢驗，當點在其他面上運動時，均不合要求，綜上，點的軌跡長度為，D正確.故選：ACD【點睛】立體幾何中體積最值問題，一般可從三個方面考慮：一是構建函數法，即建立所求體積的目標函數，轉化為函數的最值問題進行求解；二是借助基本不等式求最值，幾何體變更過程中兩個相互牽制的變量（兩個變量之間有等量關系），往往可以運用此種方法；三是依據幾何體的結構特征，變動態為靜態，直觀推斷在什么狀況下取得最值.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，且直線與直線垂直，則實數的值為______．【答案】【解析】【分析】首先求出直線的斜率，由兩直線垂直得到斜率之積為，即可求出，再由斜率公式計算可得.【詳解】因為直線的斜率，又直線與直線垂直，所以，即，解得.故答案為：14.以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線的標準方程為______．【答案】【解析】【分析】依據給定的橢圓方程求出雙曲線的頂點及焦點坐標，即可求出雙曲線方程.【詳解】橢圓的長軸端點為，焦點為，因此以為頂點，為焦點的雙曲線虛半軸長為，方程為.故答案為：15.橢圓上的點到直線的最遠距離為______．【答案】【解析】【分析】設出橢圓上隨意一點的坐標，再利用點到直線距離公式，結合三角函數性質求解即得.【詳解】設橢圓上的點，則點到直線的距離：，明顯當時，，所以橢圓上的點到直線的最遠距離為.故答案為：16.已知點的坐標為，點是圓上的兩個動點，且滿意，則面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】設，，的中點，由題意求解的軌跡方程，得到的最大值，寫出三角形的面積，結合基本不等式求解．【詳解】設，，的中點，點，為圓上的兩動點，且，，①，，②，③由③得，即④，把②中兩個等式兩邊平方得：，，即⑤，把④代入⑤，可得，即在以為圓心，以為半徑的圓上．則的最大值為．所以．當且僅當，的坐標為時取等號．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的頂點，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．（1）求點的坐標；（2）求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由垂直關系求出直線的方程，再求出兩直線的交點坐標即得.（2）設出點的坐標，利用中點坐標公式求出點坐標，再利用兩點式求出直線方程.【小問1詳解】由邊上的高線所在的直線方程為，得直線的斜率為1，直線方程為，即，由，解得，所以點的坐標是.【小問2詳解】由點在直線上，設點，于是邊的中點在直線上，因此，解得，即得點，直線的斜率，所以直線的方程為，即.18.如圖，在三棱柱中底面為正三角形，．（1）證明：；（2）求異面直線與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依據數量積的運算律及定義得到，即可得證；（2）取中點，連接交于點，連接、，即可得到為異面直線與所成角或其補角，再由余弦定理計算可得.【小問1詳解】因為，所以，所以，即.【小問2詳解】取的中點，連接交于點，連接、，則為的中點，所以，所以為異面直線與所成角或其補角，在等邊三角形中，在平行四邊形中，所以，所以，因為，，所以，在矩形中，所以，在中由余弦定理，所以異面直線與所成角的余弦值為.19.已知圓的圓心在軸上，其半徑為1，直線被圓所截的弦長為，且點在直線的下方．（1）求圓的方程；（2）若為直線上的動點，過作圓的切線，切點分別為，當的值最小時，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設圓心，依據直線被圓所截的弦長為列方程得到，然后寫圓的方程即可；（2）依據等面積的思路得到當時，最小，然后依據直線為以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線求直線方程.【小問1詳解】設圓心到直線的距離為，則，解得或，因為點在直線的下方，所以，，所以圓的方程為.【小問2詳解】因為，所以最小即最小，當時，最小，所以此時，的直線方程為：，聯立得，所以，中點，，所以以為直徑的圓的方程為：，直線為以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線，聯立得，所以直線的方程為.20.已知分別為橢圓的左、右焦點，離心率，點為橢圓上的一動點，且面積的最大值為2．（1）求橢圓的方程；（2）若點為橢圓的左頂點，點在橢圓上，線段的垂直平分線與軸交于點，且為等邊三角形，求點的橫坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據三角形的面積、離心率以及列出關于的方程組，由此求解出的值，則橢圓的方程可求；（2）表示出的垂直平分線方程，由此確定出點坐標，再依據為等邊三角形可得，由此列出關于的等式并結合橢圓方程求解出點坐標.【小問1詳解】依題意當為橢圓的上、下頂點時面積的取得最大值，則，解得，所以橢圓方程為：.【小問2詳解】依題意，則，且，若點為右頂點，則點為上（或下）頂點，則，，此時不是等邊三角形，不合題意，所以，.設線段中點為，所以，因為，所以，因為直線的斜率，所以直線的斜率，又直線的方程為，令，得到，因為，所以，因為為正三角形，所以，即，化簡，得到，解得，（舍）故點的橫坐標為.【點睛】關鍵點點睛：解答本題其次問關鍵在于垂直平分線方程的求解以及將的結構特點轉化為等量關系去求解坐標，在計算的過程中要留意利用點坐標符合橢圓方程去簡化運算.21.如圖，在多面體中，側面為菱形，側面為直角梯形，為的中點，點為線段上一動點，且．（1）若點為線段的中點，證明：平面；（2）若平面平面，且，問：線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）依據中位線和平行四邊形的性質得到，然后依據線面平行的判定定理證明；（2）建系，然后利用空間向量的方法列方程，解方程即可.【小問1詳解】取中點，連接，，因為分別為中點，所以，，因為四邊形為菱形，為中點，所以，，所以，，則四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以