目錄 第一章多項式 4第二章行列式 13第三章線性方程組 19第四章矩陣 25第五章二次型 31第六章線性空間 35第七章線性變換 40第八章λ－矩陣 43第九章歐氏空間 44緒論一、高等代數在數學課程體系中的地位和作用2．高等代數是數學相關類專業的研究生入學考試的必考課程，初步統計近三年全國數百所高校的889個專業都將高等代數作為考研必考的專業基礎課．3．高等代數重點研究一般對象的結構，將諸多數學結構進行抽象，統一表達為線性空間、線性變換、歐氏空間等抽象結構，從而使它成為數學中的語言．4．高等代數的一般性、抽象性的特點，對培養學生的抽象思維能力，邏輯推理能力有重要作用．2．主要手段：線性變換—矩陣；4．局限性： (1)線性空間(線性變換)在域上定義，限制了它的應用范圍．如果將域一般化為環，即研究環上 (2)線性空間缺乏度量性質，若考慮幾何度量，即產生歐氏空間理論，考慮距離度量，即產生距離室代數小組編．1．該教材的內容覆蓋了《高等代數》考試大綱的所有內容和知識點．2．全國采用該教材的學校所占比例非常大．3．該教材榮獲全國高等學校優秀教材．縱觀近幾年名校高代考研真題，有以下特點：之間．這些特點表明，各校的考研題注重綜合性和靈活性．2．從內容看，考察的熱點有： (1)矩陣理論．中山大學2012年考題中，12道題中有8道題分別考察了矩陣的行列式、矩陣的特征值和特征向—2—量、矩陣的若當標準型、矩陣的方冪、矩陣的對角化、矩陣的秩、矩陣張成的線性空間、正定矩陣等概念，分值占到150分中的105分．廈門大學2012年考題中，16道題中有10道題考察了矩陣的相關概念和理論．中科院研究生院2012年考題中，8道題中有5道題考察了矩陣的相關內容． (2)線性空間和線性變換理論．南開2012年試題中，9道題中有4道題考察了線性空間及線性變換的內容，占到150分中的70分． (3)多項式理論．多項式理論在各校的考研題中所占的比例適中，一般占到150分的15分至25分，但這部分內容是各校考試題中的必考內容．3．從方法看，考察的熱點有： (1)矩陣的初等變換方法； (2)特征值和特征向量方法； (3)標準正交化方法； (4)子空間直和的判定方法．4．發展趨勢 (1)題型仍會以證明題和計算題為主，因為研究生考試重點考察學生分析問題的能力及綜合利用知識解決問題的能力．但隨著數學在各個領域的應用逐漸擴大，計算題的比重有上升的趨勢． (2)考察內容仍將以矩陣理論、線性空間和線性變換理論、多項式理論和線性方程組為熱點內容． (3)注意新的概念和新的理論的出現．中山大學2001年考察了線性空間商空間的概念、對偶空間、子空間的零化子等概念． (4)反問題的討論． xx高等代數考研輔導第一階段分為三部分：提煉數學思想和方法，利用典型例題來闡述如何運用基本理論和知識去分析問題、解決問題的方法．每個章節具體輔導內容： (1)本章考情分析：常考題型，分值分布，本章重點，本章難點． (2)本章考點之間聯系，復習思路． (3)本章要點精講．—3— (4)本章技巧點，方法點的總結，包括難題選講．空間理論(包括線性變換和歐氏空間)． (1)精選習題：a)選取名校近年的考研真題；b)選取有一定難度的考研真題；c)選取綜合性強的真題；d)選取的真題要達到足夠的量，以保證對重要知識點的覆蓋面； (2)注重總結方法； (3)注意總結分類．通過前兩輪的復習，在臨近考試前期，對之前的考點進行系統的串講．從而使考生查漏補缺，整體最后沖刺．—4—第一章多項式本章是以多項式為重點展開的，多項式是高等代數的重要組成部分，它相對獨立、自成體系，但為高等代數的后續內容提供了理論依據．同時也是編碼、密碼等重要應用領域的數學工具．常考題型：基本以證明題出現．分值分布：分值不等，有10分，15分，甚至有20分的綜合題．本章重點：本章對多項式理論進行了深入、系統、全面的論述，內容可分為一元多項式與多元多項式兩大部分，考研以一元多項式為主．一元多項式理論可歸納為四個方面：一般理論、整除理論、因式分解理論、根理論．本章的重點是多項式的整除與因式分解理論．整除是本章的基礎．在多項式理論中，最基本的結論有：帶余除法、最大公因式表示定理、兩個多項式互素的充要條件、因式分解唯一性定理．而貫穿本章的是將多項式分別在復數域，實數域及有理數域上分解成不可約多項式的乘積．至今沒有解決的問題是將整系數多項式能否分解成兩個次數都比它低的整系數多項式的乘積．在復習的過中，要重點把握這兩個重點和四個結論．本章難點：1．關于兩個多項式的最大公因式證明的習題有一定難度，可以利用習題中的第8題作為定理，它在證明最大公因式的問題中會有很好的效果．2．關于兩個多項式互素的證明，也有較大的難度，可以充分利用定理3．3．關于整除性的證明，既是重點，也是難點．要注意應用根理論、因式分解和相關性質來解決這一問題．—5—技巧．2)本章的特點之一是與中學教學聯系比較密切，例如多項式的運算及運算律，多項式的求根，多項式的因式分解．因而要熟悉中學教學中有關多項式的運算、技巧和結論．3)特點之二習題難度較大，證明題較多，為突破這一難點，一方面多作些例題，另外討論一些抽象的問題時，先考慮具體的簡單的情況．【3－1】證明：有理數的全體構成數域，而且是最小的數域(或任何數域包含有理數域)．由素數有無窮多個，所以數域有無窮多個．則H構成數域．【3－5】不構成數域的例子：思路提示：多項式的定義、運算、次數等概念．【3－7】設f(x)是一個多項式，證明f(x)＝kx(k為常數)的充分必要條件是f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．2)在復數域上，上述命題是否成立？證明： 思路提示： Qxg(x)不能整除f(x)，—6— (2)如果f(x)與g(x)在Q[x]中互素，思路提示：整除、范德蒙行列式、n次根、根與一次因式的關系．那么f1(1)＋εf2(1)＋ε2f3(1)＋…εn－2fn－1(1)＝0|f1(1)＋ε2f2(1)＋(ε2)2f3(1)＋…＋(ε2)n－2fn－1(1)＝0f1(1)＋εn－f1(1)＋εn－1f2(1)＋(εn－1)2f3(1)＋…＋(εn－1)n－2fn－1(1)＝0以上關于f1(1)，f2(1)，…，fn－1(1)的齊次線性方程組的系數行列式為111ε2εεε2ε (ε2)2 εε (ε2)n－2 ≠0n－1【3－11】(云南大學研究生入學試題)思路提示：整除、根與因式的關系、互素的性質．【3－12】(中國人民大學期末試題)若(x－1)f(xn)，問是否必有(xn－1)f(xn)？—7—思路提示：整除、根與因式的關系、變量代換．xf2(x)互素．xgxfxgxgxf(x)|g－g2(x)．要點3．4因式分解理論：不可約多項式、因式分解、重因式、實數域和復數域上的多項式的因式分解、有理系數多項式的不可約判別．＋1在有理數域上不可約或是某一有理系數多項式的平方．思路提示：如果f(x)在有理數域上不可約，則結論成立．如果f(x)在有理數域上可約，則f(x)可以寫成兩個次數比它低的整系數多項式的乘積．fxfxnfxn證明f(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－an)－1在有理數域上不可約．【3－15】(大連理工大學，2004)設f(x)是Q[x]中不可約多項式，則f(x)的根都是單根．思路提示：有重因式，與f(x)不可約矛盾．于是f(x)沒有重因式，所以f(x)的根都是單根．【3－16】(首都師大研究生入學試題) (1)f(x)在復數域上沒有重根； (2)f(x)在有理數域中不可約．思路提示： (1)容易驗證(f(x)，f′(x))＝1，所以f(x)在復數域上沒有重根． (i)p不能整除1； (iii)p2不能整除p！．由Eisenstein判別法，p！f(x)在有理數域上不可約，于是f(x)在有理數域上不可約．【3－17】(南京大學，1997)F是任意一數域，f(x)是F上的一元多項式，首項系數為a，次數為n，證明f′(x)|f(x)當且僅當存在b∈F，使f(x)＝a(x－b)n．思路提示：如果f(x)＝a(x－b)n，f′(x)|f(x)，fxfxfxfxdfx，其中d是f′(x)首項系數的倒數，要點3．5多項式的分析理論：多項式函數、多項式的根、代數基本定理、有理系數多項式的有理根的求法、根與系數關系．【3－18】(西北大學研究生入學試題)設f(x)為滿足下列條件的次數最大的整系數多項式．②f(x)恰有n個不同的有理根；試求f(x)的次數n及所有根．思路提示：由有理系數多項式有理根的求法知，可能的有理根只能是±1，±p，由②f(x)＝(x－1)(x＋1)(x－p)(x＋p)．從而f(x)的次數為4，有理根是±1，±p．【3－19】(華東師大，1997)證明：一個非零復數α是某一有理系數非零多項式的根的充分必要條于是—9—利用上述方法同樣可以找出f(x)，使＝f(α)． (1)利用定義； (2)證明等式兩邊能互相整除； 的一個最大公因式．【4－1】(上海交通大學，2004)假設f1(x)與f2(x)為次數不超過3的首項系數為1的互異多項式，假設x4＋x2＋1整除f1(x3)＋x4f2(x3)試求f1(x)與f2(x)的最大公因式．于是有方程組解方程組，f1(1)＝f2(1)＝0，f1(－1)＝f2(－1)＝0，fxxxfx而f1(x)與f2(x)是互異的次數不超過3的多項式，x【4－2】(蘭州大學，2004)設f1(x)與f2(x)是數域F上的兩個不完全為零的多項式，試證： (1)I關于多項式的加法和乘法封閉，并且對任意的h(x)∈I和任意的k(x)∈F[x]，有 )容易證明，略； ，則I0是非負整數的一個子集，由最小數原理，I0中存在最小數，也就是說，I中存在次數最小的首項項式， (1)利用定義； (2)反證法； x而【4－4】(首都師大研究生入學試題)設f(x)，g(x)∈Q[x]． 思路提示：互素的充要條件． (1)利用定義； (2)反證法； (3)根方法； (4)因式分解法．【4－5】(華東師大，1996)已知f(x)，g(x)是數域P上的兩個一元多項式，k是給定的正整數，求 思路提示：整除、多項式的因式分解．其中pi(x)是首項系數為1的互不相同的不可約多項式，gx4．4有理系數多項式不可約的判定與證明的方法有： (1)利用定義； (2)艾森斯坦判別法； (3)反證法； (4)有理根方法．解取p＝3，應用艾森斯坦判別法即可．fixQxfxf(x))，(f2(x))＜(f(x))．比較系數得〈j1j2…jn第二章行列式本章主要討論行列式的概念、計算和應用．行列式是高等代數的基本概念，也是討論線性方程組、矩陣、二次型和線性空間理論的重要工具．行列式是研究生考試的必考內容之一．常考題型：主要以證明題或計算題的形式獨立出現，也常常出現在其他部分的考查內容中．本章重點：1．利用行列式性質計算行列式(行列式的初等變換)．2．利用行列式按行(列)展開定理計算行列式(降階法)．本章難點：在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大于后面的數，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數稱為這個排列的逆序數．2)n級行列式aaaD＝DT．4)用一個數乘行列式等于用這個數乘行列式某一行(列)的所有元素，或行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面．5)如果行列式中有兩行相同，那么行列式為零．6)如果行列式中兩行成比例，那么行列式為零．7)對換行列式中兩行的位置，行列式反號．8)把一行的倍數加到另一行，行列式不變．9)aanna1a2abna＋aacna其中Aij是元素aij的代數余子式．11)(拉普拉斯定理)設在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n－1)個行，由這k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數余子式的乘積的和等于行列式D．1)熟練掌握初等變換和降階法；2)分析特點，總結方法；3)掌握技巧，靈活應用．n00:0n－1000:00…0…2:…0…0…010:0000:00n n1x→0－1x→0－x2x231行列式行列式1n111D＝Dn111－x1x20…00nDn＝0－x2x3…00，其中Πxi≠nxnxnf1(a1)f2(a1) fn(a1)f1(a2)f2(a2) fn(a2)f1(an)f2(an)…fn(an)不超過n－2”是不可缺少的．Δ＝anaaa1 a－11 a－n1nnD要點3．3行列式按行(列)展開01101100110anacn．．bndn【3－11】(廈門大學)設22n≥i＞j≥1證明：f(x)有重根的充要條件是Δ＝snsn僅有零解．200200nnDD200200nnDD幾種常見的行列式計算方法：1．化三角形法：利用行列式的性質，將行列式化成上(下)三角行列式．x444…41x22…212x2…2D＝Dn122x…21222…xDDk列式化成較低階的列222000200000nx＋1xx…xxx2x…xxxx…x＋nbbbabba…aa…ax3…ab…xn其中f(其中f(＝nz000yz000y00000z000y德列式列式11111n3n3n3n3nn3112n2n32nnnnnnn3第三章線性方程組線性方程組理論是數學各分支的重要基礎，在許多領域有廣泛的應用．本章主要討論線性方程組有解的判別條件、解的個數、求解方法以及解的結構等內容．線性方程組理論是研究生考試的主要內容之一．常考題型：主要以計算題形式出現，也有部分證明．分值分布：分值不等，有10分，15分，或20分．本章重點：三個中心問題，如何求解？如何判定有解？解的結構如何？三種解決方法．1．求解線性方程組的基本方法—消元法(矩陣的初等變換法)，即對線性方程組的增廣矩陣施行初等變換化為階梯形矩陣求解．2．線性方程組有解的判定方法：通過引入向量的線性相關、秩與極大線性無關組、矩陣的秩等概念，給出了線性方程組有解的充要條件．3．利用向量空間的概念研究了線性方程組解的結構．本章難點：1．本章的難點之一是線性相關性的概念，它相對抽象，對邏輯推理要求較高．2．本章的難點之二是含參數的線性方程組的求解，因為它綜合考查矩陣的秩的確定，線性方程組解的情況的判定，求解方法及解的結構．2)矩陣的秩—矩陣的秩＝矩陣行(列)向量組的秩，即矩陣的行(列)秩＝不為零的子式的最大級數，初等變換不改變矩陣的秩，用初等變換計算矩陣的秩．3)線性方程組的解的情形①線性方程組有解的判定：有解的充分必要條件是系數矩陣與增廣矩陣的秩相等．②線性方程組解的個數：當秩(A)＝秩(A)＝n，方程組有唯一解；當秩(A)＝秩(A)＝r＜n，方程組有無窮多解．AnArn，方程組有非零解．4)線性方程組解的結構①齊次線性方程組的基礎解系．—20—③當秩(A)＝秩(A)＝r＜n時，非齊次線性方程組的任一個解γ都可以表成γ＝γ0＋k1η1＋k2η2＋…－r．1)總體思路：以線性方程組的消元法(矩陣的初等變換法)為基本方法，圍繞如何求解、如何判定有解和如何把握解的結構等中心問題，以向量、向量空間、秩與極大線性無關等概念為工具，解決線性方程組相關問題．2)向量組線性無關判定思路：x＋…＋xsαs＝0只有零解一有解與向量的線性表示互相轉化，會給解題帶來一些方便．【3－1】求下列齊次線性方程組的一個基礎解系及一般解：—21—3】設A是數域P上的n階方陣，證明：【3－5】(首都師范大學)設A為n階矩陣，證明：R(AA′)〗≥2R(A)－n，并給出等號成立的一個充分條件．示：等號成立的一個充分條件為：A滿秩．證明： nr線性無關． (2)ξ0，ξ0＋η1，ξ0＋η2，…，ξ0＋ηn－r為AX＝b的n－r＋1個線性無關的解向量． (3)方程組AX＝b的任一個解γ，都可表成γ＝k0ξ0＋k1(ξ0＋η1)＋k2(ξ0＋η2)＋…＋kn－r(ξ0＋ηn－r)，【3－7】(南開大學2012)設向量組α1，α2，…，αm(m＞2)線性無關． 向量組的秩與極大線性無關組組，并用極大無關組中的向量表示其余向量．當λ為何值時方程組有： (1)唯一解，并求其解；—22— (2)無窮多解，此時請用對應的齊次線性方程組的基礎解系表示所得到的一般解；(3)無解．定證明：A′AX＝A′b一定有解．【3－14】(東南大學，1998)對非齊次線性方程組AX＝b，下面的結論是正確的． (1)若AX＝0只有零解，則AX＝b有唯一解． (2)若AX＝0有非零解，則AX＝b有無窮多解． (3)若AX＝b有無窮多解，則AX＝0只有零解． (4)若AX＝b有無窮多解，則AX＝0有非零解．本章主要方法：1．用消元法解線性方程組，利用方程組的增廣矩陣的初等變換解方程組的方法．2．向量組線性相關性的判定法．【4－2】問下列向量組是否線性相關？ 23—「a「a3．向量組極大線性無關組的求法． (一般用消元法：將向量按行構成矩陣，對矩陣用初等列變換化為階梯形矩陣) (將向量按列構成矩陣，對矩陣用初等變換化為階梯形矩陣)秩和一個極大無關組．b…b]aa…bb…b」 (n≥2)6．齊次線性方程組(導出組)基礎解系的求法． (先求系數矩陣秩判斷基礎解系含解的個數，再解同解方程組，求出基礎解系)b有非零解，并求相應的基礎解系．7．非齊次線性方程組解的公式求法． (先求特解，再求導出組的一般解)8．線性方程組有解(即相容)的判別法． (利用系數矩陣與增廣矩陣的秩進行判別)【4－7】判別下列方程組是否有解—24—9．用線性方程組理論計算行列式．證明：a…a1n]為一實數域上的矩陣．…為一實數域上的矩陣．…a2n…a」j≠ij≠i—25—第四章矩陣矩陣理論是高等代數的主要內容之一，也是數學及許多其它科學領域的重要工具，它有著廣泛的應用．矩陣理論是研究生考試的主要內容之一．常考題型：主要以證明和計算題的形式出現．，占本章重點：1．本章的重點是掌握矩陣的運算以及它們的運算規律．由于矩陣的運算和熟知的數的運算規律有些是相同的，但也有許多不同之處，這些不同之處正是易犯錯誤的地方．2．伴隨矩陣是為計算逆矩陣而引入的，但在具體求逆矩陣時，伴隨矩陣法只對2階矩陣較方便，對2階以上的矩陣利用初等變換法求逆矩陣更方便．在涉及伴隨矩陣的有關計算和證明時，往往利用AAAAAE來推證及化簡．3．利用初等矩陣及分塊初等矩陣可以將對矩陣和分塊矩陣的初等變換轉換為矩陣的乘法運算，這對于解決一些涉及矩陣的理論和計算題很有用，但推理過程有一定的技巧．本章難點：本章的難點之一是有關矩陣的秩的等式或不等式的證明，它常常和向量組的秩、線性方程組的解和矩陣的運算等相聯系，推證有一定的難度．熟記關于矩陣的秩的一些結論，對有關問題的論證會有很大的幫助．—26—\0\0要點3．1矩陣及其運算【3－1】設α為3維列向量，若α′＝1α′＝1AA；A＝λ1λ2…λnf(B)＝P－1f(A)P＝f(A)求n階方陣A的k次冪常采用如下一些方法：法；2．利用二項展開公式A＝F＋G；3．利用矩陣乘法結合律：若矩陣A可分解為αβT，其中α，β是列向量，則有Ak＝(αβT)k＝α (1(2l0ll0l要點3．4矩陣可逆性的判別及逆矩陣的求法可逆矩陣的性質(設A，B是n階可逆矩陣)—27—))))矩陣可逆的條件A非退化一A是滿秩陣一A可表示成若干個可逆陣的乘積一A可表示成若干個初等陣的積一(A：E)→(E：A－1)一A的列向量組線性無關(列滿秩)一任何n維列向量b均可由A的列向量線性表出(且表出法唯一)一A沒有零特征值求逆矩陣的方法方法2初等變換法：(A：E)→…→(E：A－1)(初等行變換)方法3分塊對角矩陣求逆2\2\nn\\AE4階單位陣，—28—(000\000k00 (1)試計算E＋AB，并指出A中元素滿足什么條件時，E＋AB為可逆矩陣． (2)當E＋AB可逆時，試證明(E＋AB)－1A為對稱矩陣．Ak數λ，證明矩陣λE－A與E－λA同時可逆或同時不可逆，這里E為n階單位陣．矩陣方程是含未知矩陣的等式，求解矩陣方程時，往往先做恒等變形，再代入已知條件求解．不要一步就代入已知數據，那樣會使運算復雜化，費時易錯．化簡時要正確把握矩陣的有關重要公式和性11\111\1與證明但對于n≥3的情形，直接用定義求伴隨矩陣是比較麻煩的．涉及伴隨矩陣的計算與證明一般都是從公式AA*＝A*A＝AE及伴隨矩陣的有關結論著手分析．A對于抽象矩陣求秩，常利用矩陣秩的如下結果： —29— (1)證明B可逆； 本章的復習思路：注重矩陣和其它章知識的聯系． A′B＝－1； (2)A′B有特征值－1； (3)A＋B＝0．求證C也是正定矩陣．2．關于矩陣的秩的等式或不等式其中R(X)表示矩陣X的秩．【4－6】(蘇州大學)設A，B是n×n實對稱矩陣，且A＋B＝E，E為單位矩陣．證明下列結論—30—等價： (2)秩(A)＋秩(B)＝n．—31—第五章二次型二次型理論起源于解析幾何中化二次曲線和二次曲面方程為標準型的問題．目前二次型理論不僅在幾何中而且在數學的其它分支及物理、力學、工程技術中也經常用到．二次型理論是研究生考試的主要內容之一．常考題型：主要以證明和計算題的形式出現．分值分布：分值在整套題中分量適中，有10分、15分和20分．本章重點：線性替換化二次型成標準型的方法．2．正定二次型與正定矩陣的判定與證明．具體二次型或實對稱矩陣，一般采用各階順序主子式大于零的充要條件來判定，而對于抽象的實二次型或實對稱矩陣，往往采用定義或特征值等來判定其正定性．本章難點：本章的難點是抽象的實二次型或實對稱矩陣的正定性的判定．要點3．1二次型的基本概念及化標準型nni＝1j＝1—32—非退化線性替換〈|………標準型的方法方法1配方法用配方法化二次型為標準形的關鍵是消去交叉項，其要點是利用兩數和的平方公式與兩數平方差公式逐步消去非新平方項．方法2初等變換法用初等變換法化二次型為標準形的步驟如下：方法3正交變換法第一步：寫出二次型f的矩陣A(實對稱矩陣)fyyλny【3－2】(昆明理工，2007)設用正交線性變換把f化為標準形．【3－3】(華東師大，2005)求實二次型nn—33—(010\000y101AP陣一正慣性指數為n一A的順序主子式全大于零一A的特征值全大于零A為正定矩陣，證明：A*也是正定矩陣．本章的復習思路：本章復習注意兩個特點：一是二次型化標準型方法的規范性，即采用初等變換法和正交變換法；二是正定矩陣判別和論證的靈活性，注意正定矩陣與其它知識點的結合．xxn－xnan1…anmA的伴隨矩陣A*．證明：—34— (1)B＞0； (2)φ(λ)＝λE－B，證明對任意實數b，φ(b)＞0．AE【4－6】(上海交大，2003)A，B是n階正定矩陣，證明：AB的特征值為實數．A，C為n階實正定矩陣，B是矩陣方程AX＋XA＝C的唯一解．證明： (1)B是對稱矩陣； (2)B是正定矩陣．—35—第六章線性空間線性空間是n維向量空間的推廣．線性空間是在不考慮集合的對象，抽去它們的具體內容來研究規定了加法和數乘的集合的公共性質，因此，線性空間具有高度的抽象性和應用的廣泛性，學習時要深入理解各個基本概念及其相互之間的聯系，養成從定義出發進行嚴格推理的習慣．常考題型：主要以證明的形式出現．本章重點和難點：1．本章的重點之一是線性空間的基與維數．因為在確定了有限維線性空間的基之后，一方面明晰了線性空間的結構(由基生成整個線性空間)，另一方面將線性空間中抽象的元素及規定的運算與Pn中具體的向量及向量的運算相對應，因此可歸結為對Pn中向量的討論，即它們具有相同的代數結構．2．本章的另一個重點與難點是子空間的和與直和．能夠將一個線性空間分解為若干個子空間的直和，則這個線性空間的研究就歸結為若干個較簡單的子空間的研究．應掌握直和的概念和等價條件．維數；—36— (2)求V的一組標準正交基．求元素組生成的線性空間W的一組基以及W的維數．W＝{f(x)f(1)＝0，(f(x))≤n}是實數域上的線性空間，并求出它的一組基．VP的線性空間，W是V的一個非空子集合，如果W對于V的兩種運算也構成P上的線性空間，則稱W為V的一個線性子空間．2．生成子空間3．驗證線性空間V的非空子集W是否構成子空間，只要驗證W對于V的兩種線性運算的封．4．設W1和W2是線性空間V的兩個子空間，則它們的交W1∩W2也是V的子空間．但兩個子空間的并一般未必是子空間．5．子空間的和7．求子空間的交與和的基與維數的方法kkkssll2β2＋…＋ltβt個n元齊次線性方程組的解空間．大學，2002)設V1，V2，…，Vm是n維線性空間V的非平凡子空間． (1)存在α∈V，使得α∈V1∪V2∪…∪Vm； 37—nnnn〈稱為基變換公式．基變換公式可形式地寫為 則點3．4子空間直和的判定與證明一零向量的分解是唯一的 —38— (1)證明V2是V的子空間； (2)證明V＝V1V2．【3－9】(廈門大學，1999)設V是數域F上所有n階對稱矩陣關于矩陣的加法與數乘構成的線性這里E為單位矩陣，Tr(A)為A的對角線元素之和． (1)求證U，W為V的子空間； (2)分別求U，W的一組基與維數； (3)求證V＝UW．要點3．5線性空間同構的判斷與證明設V與V′是數域P上的兩個線性空間，如果可以建立V到V′的一個雙射σ，且對任意α，β=V，kP有σ(α＋β)＝σ(α)＋σ(β)，σ(kα)＝kσ(α)則稱σ為同構映射，而稱線性空間V與V′同構．同構線性空間的有關結論數域P上兩個有限維線性空間同構的充分必要條件是它們具有相同的維數．本章的復習思路：1．抓住線性空間的基與維數的論證與計算問題；2．子空間的直和是出題的熱點內容．【4－1】(北京大學，2005)用Mn(k)表示數域K上所有n級矩陣組成的集合，它對于矩陣的加法和數量乘法成為K上的線性空間，數域K上n級矩陣A稱為循環矩陣，(a1anan)用U表示K上所有n級循環矩陣組成的集合，證明：U是Mn(K)的一個子空間，并求U的一個基和維數． VXW—39— WXXTAX＝0}不是R4的子空間； (3)V＝{XXTA2X＝0}是R4的子空間并求維(V)．V【4－6】設V和V′都是數域P上的有限維線性空間，σ是V到V′的線性映射，即σ滿足σ(α＋β)＝σ(α)＋σ(β)，Vα，β∈V；σ(kα)＝kσ(α)，Vk∈P，α∈V．證明：V＝UW，V′＝MNkerU，WM—40—第七章線性變換線性變換是線性空間到自身的一種特殊映射，它反映了線性空間元素之間的一種最基本的聯系，通過它可以研究線性空間的一些內在性質，線性變換理論是高等代數的主要內容之一，也是研究生考試的主要內容之一．常考題型：題型以證明題為主，也有一些計算題．本章重點和難點：1．通過特征值和特征向量的概念，討論一個線性變換能否在某組基下的矩陣是對角陣問題．2．特征值和特征向量的概念及計算是本章的重點和難點之一，其計算問題涉及到行列式計算，多求證：(1)σ是V的線性變換．—41— (2)當C＝D＝0時，σ可逆的充要條件是AB≠0．【3－2】(武漢大學)以Rn[x]表示次數不超過n的實系數多項式構成的實向量空間，其加法是多性變換． (2)求D在上述基下的矩陣； (3)試證：n≥1時D不能對角化(即Rn[x]沒有基使D相應矩陣為對角矩陣)． (2)若X是A的屬于特征值1的特征向量，則X也是B的屬于特征值0的特征向量．(11＝\11…1)1…11…1J (1)求A的特征值和特征向量； 復數域上n階矩陣A與對角陣相似一A有n個線性無關的特征向量一對A的每個特征值λi，λi的代數重數＝λi的幾何重數一A的最小多項式沒有重根一A的初等因子都是一次的證明：A與對角矩陣相似．ABn，A的特征值互異，且AB＝BA．試證： (1)A的特征向量也是B的特征向量； (3)AB可對角化．【3－7】(武漢大學，2003)設α＝(a1，…，an)是n(n≥2)維非零向量，證明：α′α可相似于一對角矩陣，并求此對角矩陣．fVf＝f，證明：V＝ImfKerf．—42—fImf＝{α∈V存在β∈V，使f(β)＝α}證明： (1)如果λ是f的特征值，那么Vλ(λ的特征子空間)是g的不變子空間； (2)f，g至少有一個公共的特征向量．PxVh證明： (1)V1與V2都是σ－子空間； 本章的復習思路：把握線性變換與矩陣的轉化；注意特征值，特征向量與其它知識點的聯系．【4－1】(北京大學，2005)設σ是數域R上n維線性空間V的一個線性變換，用ι表示V上的恒等＝ι一rank(ι－σ)＋rank(ι＋σ＋σ2)＝n．【4－2】(華東師大，2002)設σ為數域K上n維線性空間V的一個線性變換，滿足σ2＝σ，A為σ (1)證明：(i)σ＋ι為V的可逆線性變換； (2)試求|2E－A|．為(1)(1)(1)(1) (1)將β用ξ1，ξ2，ξ3表示； 求．．(n為自然數)—43—浙江大學，2003)設A為n階復矩陣，若存在正整數m使得Am＝0．則稱A為冪零矩陣．求證： (1)A為冪零矩陣的充要條件是A的特征值全為零． 零矩陣，C是可逆矩陣．【4－6】(武漢大學，1995)設A，B是n階矩陣，AB＝A＋B． (1)證明A，B的特征根≠1． (2)設λ1，λ2，…，λn是A的特征根，求B的特征根． (1)A，B有公共的特征向量； 第八章λ－矩陣【根據辛老師多年考研輔導經驗以及對往年考研試題的研究，本章內容在考研試題中很少涉及，請考生根據所報考院校及自身情況，對本章進行選擇性復習。】—44—第九章歐氏空間線性空間中，向量之間的基本運算只有加法與數量乘法．作為幾何空間的推廣，可以發現幾何向量的度量性質，如長度、夾角等，在線性空間的理論中沒有得到反映．但是向量的度量性質在許多問題 (包括幾何問題)有特殊的地位．因此有必要在線性空間中引入度量的概念，使其更接近于幾何空間，并有更豐富的內容與方法．這就是本章要研究的對象：歐氏空間．常考題型：以證明題或計算題的形式出現．分值分布：分值在整套題中比例適中，如：南開2012年試題中，歐氏空間的題占到150分中的本章重點和難點：1．本章通過在實數域上的線性空間中引入內積的概念得到歐氏空間，進而討論了長度、夾角及正交等度量概念，特別是引入了歐氏空間的標準正交基這一結構特征．利用標準正交基的特性，可以使許多問題變得非常簡單，這是引入標準正交基的好處．要求準確理解和掌握標準正交基的概念及基本性質，能熟練運用施密特正交化方法由一組基求出標準正交基．2．歐氏空間中與內積有關的正交變換與對稱變換在現實生活中有著廣泛而重要的應用，這兩種變換在標準正交基下分別對應著正交矩陣及實對稱矩陣這兩種具有特殊性質的矩陣．要求掌握正交變換與對稱變換的概念及性質，能夠運用它們與對應特殊矩陣之間的關系解題對實對稱矩陣A，要求練地找到正交矩陣Q，使QTAQ為對角陣，以及以另一種形式出現的同一個問題，即用正交變換化實二次型為標準形．3．將線性空間關于某個子空間進行直和分解是不唯一的，但是歐氏空間關于某個子空間及其正交補空間的直和分解是唯一的．歐氏空間的這種分解是很重要的，要求掌握子空間的正交補的概念及基本性質，會求某些子空間的正交補．—45—2)(kα，β)＝k(α，β))4)(α，α)≥0，并且