(一）函數得概念1.函數得概念：設A、B就是非空得數集，如果按照某個確定得對應關系f,使對于集合Ａ中得任意一個數x，在集合B中都有唯一確定得數f（x)與它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合Ｂ得一個函數(ｆunction)．記作： ? ｙ=f(x)，x∈A．其中，ｘ叫做自變量,x得取值范圍A叫做函數得定義域(ｄomａin);與ｘ得值相對應得y值叫做函數值，函數值得集合｛f（x）|x∈A｝叫做函數得值域(range）．注意:eq\ｏ\ac（○，1)“ｙ=ｆ（x）”就是函數符號,可以用任意得字母表示,如“y＝g(x)”；eq\o\ac（○,2）函數符號“ｙ＝f(x）”中得f（ｘ）表示與x對應得函數值，一個數，而不就是f乘x.構成函數得三要素:定義域、對應關系與值域3．區間得概念?(1)區間得分類：開區間、閉區間、半開半閉區間;?(2)無窮區間;?（3）區間得數軸表示.4．一次函數、二次函數、反比例函數得定義域與值域討論（二）映射一般地,設A、B就是兩個非空得集合，如果按某一個確定得對應法則f,使對于集合A中得任意一個元素ｘ,在集合B中都有唯一確定得元素y與之對應,那么就稱對應f：AＢ為從集合A到集合B得一個映射（ｍappiｎg）。記作“f:ＡＢ”說明：(1)這兩個集合有先后順序，Ａ到B得射與B到A得映射就是截然不同得.其中f表示具體得對應法則,可以用漢字敘述.(2)“都有唯一"什么意思?包含兩層意思：一就是必有一個；二就是只有一個,也就就是說有且只有一個得意思.例題分析：下列哪些對應就是從集合A到集合B得映射？（１)A={P｜P就是數軸上得點},B=R，對應關系f：數軸上得點與它所代表得實數對應；(2)A＝{P|P就是平面直角體系中得點｝，B=｛（x，ｙ)|x∈R,ｙ∈Ｒ}，對應關系ｆ:平面直角體系中得點與它得坐標對應;(3）A＝｛三角形｝,Ｂ＝｛x|x就是圓},對應關系f：每一個三角形都對應它得內切圓;(4)A＝｛x｜x就是新華中學得班級｝,Ｂ={x｜x就是新華中學得學生｝，對應關系ｆ：每一個班級都對應班里得學生.思考:將（3）中得對應關系f改為：每一個圓都對應它得內接三角形；(4）中得對應關系ｆ改為:每一個學生都對應她得班級，那么對應f：BA就是從集合B到集合A得映射嗎?（三)函數得表示法常用得函數表示法：(1）解析法；（2）圖象法；(3)列表法。三、典例解析1、定義域問題例１求下列函數得定義域:①;②；③解:①∵x—2=0，即x=2時,分式無意義,而時,分式有意義，∴這個函數得定義域就是、②∵３x+２＜0,即x＜-時,根式無意義,而，即時,根式才有意義，∴這個函數得定義域就是｛|}、③∵當，即且時，根式與分式同時有意義，∴這個函數得定義域就是{|且｝另解:要使函數有意義,必須：例２求下列函數得定義域：①②③④⑤解：①要使函數有意義，必須:即：∴函數得定義域為:[］②要使函數有意義，必須：∴定義域為：｛x|}③要使函數有意義,必須:∴函數得定義域為:④要使函數有意義，必須：∴定義域為：⑤要使函數有意義，必須：即ｘ〈或ｘ〉∴定義域為：例3若函數得定義域就是R,求實數a得取值范圍解：∵定義域就是Ｒ,∴∴例4若函數得定義域為［1,1］，求函數得定義域解:要使函數有意義,必須:∴函數得定義域為：例５已知ｆ（x)得定義域為［—1，1]，求f（2x－1)得定義域。分析:法則f要求自變量在［－1，1]內取值,則法則作用在２x-1上必也要求2x-1在[－１,1]內取值，即-1≤２ｘ—1≤1，解出x得取值范圍就就是復合函數得定義域；或者從位置上思考f(2x－1）中2x-1與f（x）中得x位置相同，范圍也應一樣,∴－1≤2ｘ－１≤1，解出x得取值范圍就就是復合函數得定義域。（注意：f(ｘ）中得x與f（2x-1）中得ｘ不就是同一個x，即它們意義不同。)解：∵f(ｘ)得定義域為［—1,1］,∴－１≤2x—1≤1，解之0≤x≤1,∴f(2x—1）得定義域為［0，１].例6已知已知ｆ(ｘ）得定義域為［—1,1］,求f（ｘ2)得定義域。答案:－1≤ｘ2≤1x2≤1—1≤x≤1練習:設得定義域就是［３，]，求函數得定義域解:要使函數有意義，必須:得:∵≥０∴∴函數得定域義為:例7已知f（2x－1）得定義域為[0,1］，求f（x）得定義域因為2x—1就是R上得單調遞增函數，因此由2ｘ-１，x∈［０，１］求得得值域[－1，１］就是f(x)得定義域。已知f（3x—１)得定義域為[－１，２),求f（2ｘ+1)得定義域。）（提示:定義域就是自變量ｘ得取值范圍)練習:已知ｆ(ｘ2)得定義域為[－1,1］，求ｆ（ｘ)得定義域若得定義域就是，則函數得定義域就是?(）Ａ。 ?B C. ??Ｄ。已知函數得定義域為A,函數得定義域為Ｂ，則 ??(）Ａ。 B。B Ｃ。 ??Ｄ。2、值域問題利用常見函數得值域來求(直接法）一次函數y=aｘ+b（a0）得定義域為Ｒ,值域為Ｒ;反比例函數得定義域為｛x|ｘ0｝,值域為{ｙ｜y0｝;二次函數得定義域為Ｒ，當a〉0時，值域為｛｝；當a＜0時,值域為｛｝、例１求下列函數得值域①y=3ｘ＋２（-1x1）②③(記住圖像）解:①∵—1x１，∴-33x3，∴—1３x+25，即—1ｙ5,∴值域就是[-1,5］②略③當ｘ〉０，∴=,當ｘ<0時,＝－∴值域就是[2,+）、（此法也稱為配方法）函數得圖像為：二次函數在區間上得值域(最值）：例2求下列函數得最大值、最小值與值域:①；②；③;④;解:∵,∴頂點為（２，－３），頂點橫坐標為2、①∵拋物線得開口向上，函數得定義域R,∴x＝２時，ymｉｎ=—3，無最大值；函數得值域就是{y｜y-3}、②∵頂點橫坐標2[３，4］,當x=3時,ｙ＝—2;x=4時,ｙ＝1;∴在[３，4］上，=－2,=１;值域為[－2,1］、③∵頂點橫坐標2［0，1]，當x＝0時，y=1;x＝1時,y=－２，∴在［0，１］上,=—2，=1；值域為[—２，1］、④∵頂點橫坐標2[0,5］，當x=０時，ｙ=1；x＝２時,y=-3，ｘ=5時，y=6，∴在［0，1］上,=－3，=6;值域為［-3，6]、注:對于二次函數,⑴若定義域為R時，①當a＞0時，則當時，其最小值;②當a〈0時,則當時，其最大值、⑵若定義域為x[a，b］，則應首先判定其頂點橫坐標x0就是否屬于區間［a,b]、①若［a，b],則就是函數得最小值（ａ>0)時或最大值（a＜０)時，再比較得大小決定函數得最大(?。┲?、②若[a,b]，則［a,b]就是在得單調區間內，只需比較得大小即可決定函數得最大（小)值、注:①若給定區間不就是閉區間，則可能得不到最大（?。┲?；②當頂點橫坐標就是字母時，則應根據其對應區間特別就是區間兩端點得位置關系進行討論、練習:1、求函數ｙ＝3+√(2—3ｘ)得值域解：由算術平方根得性質,知√（2－3x）≥0，故３+√（2—３x)≥３?！嗪瘮档弥涤驗?、2、求函數得值域解：對稱軸例3求函數y＝4x—√1－3x(ｘ≤１/3)得值域。解:法一:（單調性法）設f（x)=4x,g(x）＝—√1－3x，(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數，從而y=f(ｘ)＋g(x）=4x－√１—3ｘ在定義域為ｘ≤1／3上也為增函數，而且y≤f（1/3）+g（1/３）=4/３,因此，所求得函數值域為｛y｜ｙ≤４／3｝。小結:利用單調性求函數得值域，就是在函數給定得區間上,或求出函數隱含得區間，結合函數得增減性，求出其函數在區間端點得函數值，進而可確定函數得值域.練習:求函數y=3+√４—x得值域。（答案：{y|y≥3｝）法二：換元法例4求函數得值域解：（換元法)設，則點評：將無理函數或二次型得函數轉化為二次函數,通過求出二次函數得最值，從而確定出原函數得值域。這種解題得方法體現換元、化歸得思想方法。它得應用十分廣泛.練習:求函數y=√x-1–x得值域。(答案：｛y|y≤-3/4｝例６求得值域解法一：(圖象法）可化為如圖，觀察得值域解法二：（零點法）畫數軸利用可得。-1-103練習:得值域呢?（）（三種方法均可)例7求函數得值域解：（換元法）設,則原函數可化為1010xy例8求函數得值域解：(換元法)令,則由指數函數得單調性知,原函數得值域為例9求函數得值域解:(圖象法）如圖,值域為例10求函數得值域解法一：（逆求法）解法二：（分離常數法)由,可得值域小結:已知分式函數，如果在其自然定義域（代數式自身對變量得要求）內,值域為;如果就是條件定義域(對自變量有附加條件)，采用部分分式法將原函數化為，用復合函數法來求值域。例11求函數得值域011解法一:(逆求011小結：如果自變量或含有自變量得整體有確定得范圍，可采用逆求法.解法二:(換元法）設，則01練習:ｙ=；（y∈(-1，1)）、01例13函數得值域解法一:(逆求法)2解法二：（換元法）設,則2例13求函數得值域解令，則所以，值域練習:１、；解：∵x0，,∴y11、另外，此題利用基本不等式解更簡捷：（或利用對勾函數圖像法）2、0〈y5、3、求函數得值域①;②解：①令0,則,原式可化為，∵ｕ0，∴y，∴函數得值域就是(—，］、②解:令ｔ＝4x0得0x4在此區間內（４x)=４，（4x）=0∴函數得值域就是｛y|0ｙ2}4、求函數ｙ=|ｘ+1|＋｜ｘ-2｜得值域、解法１：將函數化為分段函數形式:,畫出它得圖象(下圖)，由圖象可知，函數得值域就是{y|y3}、解法2：∵函數y=｜x+1|+｜x-2｜表示數軸上得動點x到兩定點-１，2得距離之與,∴易見y得最小值就是3，∴函數得值域就是[3，＋]、如圖５、求函數得值域解:設則t０x=1代入得∵t0∴y43、分段函數分段函數就是指自變量在兩個或兩個以上不同得范圍內，有不同得對應法則得函數,它就是一個函數，卻又常常被學生誤認為就是幾個函數；它得定義域就是各段函數定義域得并集,其值域也就是各段函數值域得并集、由于它在理解與掌握函數得定義、函數得性質等知識得程度得考察上有較好得作用，時常在高考試題中“閃亮"登場。1.求分段函數得定義域與值域例1。求函數得定義域、值域、【解析】作圖,利用“數形結合”易知得定義域為，值域為、2.求分段函數得函數值例2。已知函數求、【解析】因為,所以、3。求分段函數得最值例3．求函數得最大值、【解析】當時，，當時，,當時,，綜上有、4．求分段函數得解析式例4．在同一平面直角坐標系中,函數與得圖象關于直線對稱，現將得圖象沿軸向左平移２個單位,再沿軸向上平移1個單位，所得得圖象就是由兩條線段組成得折線(如圖所示）,則函數得表達式為（）【解析】當時，，將其圖象沿軸向右平移2個單位，再沿軸向下平移１個單位，得解析式為，所以，當時，，將其圖象沿軸向右平移２個單位，再沿軸向下平移1個單位，得解析式,所以，綜上可得，故選A、9。解分段函數得不等式例１１．設函數,若，則得取值范圍就是(）【解析1】首先畫出與得大致圖像,易知時，所對應得得取值范圍就是、【解析2】因為,當時，，解得,當時,,