第七章微分方程§1微分方程得基本概念一、基本概念:1、微分方程;凡表示未知函數,未知函數得導數與自變量之間得關系式稱為微分方程.2、常微分方程;如果微分方程中得未知函數就是一元函數,則稱此類方程為常微分方程.3、偏微分方程;如果微分方程中得未知函數就是多元函數,則稱此類方程為偏微分方程.4、微分方程得階;微分方程中所出現得未知函數得最高階導數得階數,就稱為此微分方程得階.5、微分方程得解;將某個已知函數代入到微分方程得左右兩邊可使其成為恒等式,那么就稱此已知函數為此微分方程得解.6、微分方程得通解:如果微分方程得解中含有任意常數,并且任意常數得個數與微分方程得階數相等,則這樣得解就稱為此微分方程得通解.7、微分方程得初始條件與特解、8、微分方程得積分曲線:微分方程得解得圖象就是一條平面曲線,稱此曲線為微分方程得積分曲線.二.例題分析P263.5.寫出由下列條件所確定得曲線所滿足得微分方程:例1.曲線在點處得切線得斜率等于該點橫坐標得平方、解:設該曲線得方程為,則由題意得:、這就就是所需確定得曲線應滿足得微分方程.例2.曲線上點處得法線與軸得交點為,且線段被軸平分、解:設該曲線得方程為,且設曲線在點P處得法線記為L,則其斜率為;設法線Ｌ與Ｙ軸得交點為點Ａ,再設法線Ｌ上任意一點Ｍ得坐標為M,進而得法線Ｌ得方程為:且即;則易求得:且........=1\*GB3①由題意知點Ａ為線段得中點知:且..........=2\*GB3②由上述=1\*GB3①,=2\*GB3②兩式最終可得:這就就是所需確定得曲線應滿足得微分方程.§2.可分離變量得一階微分方程(注:它就是一類最易求解得微分方程！)一.一階微分方程得一般形式與一階微分方程得對稱形式:一般形式:對稱形式:二.何為可分離變量得一階微分方程？如果某一階微分方程由對稱式:,可等價地轉化為得形式,則稱原方程為可分離變量得微分方程.三.可分離變量得一階微分方程得基本解法:(可由如下兩步來完成求解過程)第一步:進行自變量,與因變量,得左右分離;第二步:方程兩邊同時作不定積分即可求得原方程得隱式通解.§３.一階齊次微分方程(注:它就是一類經變量代換之后,可轉化為＂變量左右分離得一階微分方程！)一.一階齊次微分方程得定義:在某個一階微分方程中,如果方程右邊得函數可寫成得函數式即,也即原方程形如:,則稱此微分方程為一階齊次微分方程.二.一階齊次微分方程得基本解法:轉化求解法―――即首先將原一階齊次微分方程轉化為變量分離方程;然后再按變量分離方程得解法去求解即可！具體地說,第一步,作變量代換令,則,代入原一階齊次微分方程得:;第二步,進行變量與得左右分離得:;第三步,兩邊求不定積分即可得其解....三.例題分析參見Ｐ271.例１.又如.Ｐ276.１.(4).求方程得通解.解:原方程可轉化為,作變量代換令,則;則原方程轉化為:(注意:齊次方程在進行變量代換之后,一定就是可以進行變量分離得！)緊接著就進行自變量與因變量得左右分離.最后兩邊作不定積分即可...§４.一階線性微分方程一.一階線性微分方程得定義:稱形如:得方程為一階線性微分方程.(注:因為方程得左邊對未知函數及其導數來說就是一次線性組合得形式,所以稱上述方程為＂線性＂方程！)(i)、當時,則稱為一階線性齊次微分方程.(ii)、當時,則稱為一階線性非齊次微分方程.二.一階線性微分方程得解法(常數變易法就是求解線性非齊次方程得基本方法)１.所謂得＂常數變易法＂:就就是為了求解某一階線性非齊次方程,可先去求解與其所對應得齊次方程;然后在所得齊次方程得通解中,將任意常數Ｃ代換成一個待定得未知函數來構造生成非齊次方程得解;最后再將由此法構造生成得解,代回原非齊次方程中去確定那個待定函數得表達式.―――整個這樣得求解過程就稱為非齊次方程得常數變易法.(可參考Ｐ278.例１)２.一階線性微分方程:得通解公式如下:―――請牢記！三.伯努利方程(注:它就是一類經變量代換之后可轉化為可分離變量得一階微分方程！)１.伯努利方程得定義我們稱形如:....(＊)得方程為＂伯努利方程＂(或稱＂級伯努利方程＂).２.伯努利方程得解法(變量代換轉化法)只要令,則,將其代入原級伯努利方程(＊)可得這就是一個一階線性非齊次方程!進而可由一階線性非齊次方程得通解公式求出其解,這樣也就求出原伯努利方程(＊)得解!３.變量代換法在求解微分方程中得運用利用變量代換(包括自變量得變量代換與因變量得變量代換),把一個微分方程轉化為可分離變量方程,或轉化為一個已知其求解步驟得方程,這就是解微分方程得常用方法.例１.解方程.Ｐ282.9.(1).解:可令,則原方程轉化為兩邊積分就可得其解.....例２.Ｐ282、9、(3)解方程解:可令兩邊關于自變量Ｘ求導得代入原方程得:,兩邊積分就可得其解.....§６.可降階得高階微分方程(本節著重掌握三種容易降階得高階微分方程得解法)一.型微分方程――――這類高階微分方程得解法很簡單,只要兩邊積分次,就可得其通解.二.型微分方程首先此方程得類型就是二階顯微分方程,且此這類二階顯微分方程得特征就是＂不顯含因變量＂.此類方程得解法:運用變量代換進行降階求解.具體地,可令,則,進而原方程轉化為:―――這就是一個一階顯微分方程.根據其具體形式,可按前幾節所介紹得求解一階方程得解法去求解.....得其通解設為又,也即有,最后只要兩邊再作一次積分,就可得原二階顯微分方程得解.三.型微分方程首先方程得類型也就是二階顯微分方程,且此這類二階顯微分方程得特征就是＂不顯含自因變量＂.此類方程得解法:也就是運用變量代換進行降階求解.具體地,可令,則,進而原方程轉化為――這也就是一個一階顯微分方程.根據其具體形式,可按前幾節所介紹得求解一階方程得解法去求解...設得其通解為又,也即有,最后只要兩邊再作一次積分,就可得原二階顯微分方程得解.四.例題分析Ｐ292.1.(5)求解方程:解:第一步:判定此方程得類型就是二階顯微分方程且不顯含因變量,即型.接著可令,則,進而原方程轉化為:.―――這就是一階線性非齊次方程.由一階線性非齊次方程得通解公式知:;進而知:,最后只要兩邊再作一次積得原方程得通解.....五.微分方程得參數方程形式得隱式通解及其在有關問題中得運用所謂＂微分方程得參數方程形式得隱式通解＂就就是將微分方程得通解用參數方程形式來刻畫.即將微分方程得自變量與因變量都表達成某個參數得函數式得形式.例如:Ｐ292.1.(4)求解方程:.解:首先判定此方程得類型就是二階顯微分方程且不顯變量與,它同屬與型;所以解法相對由自.以下我們來介紹微分方程得參數方程形式得隱式通解給大家！先設,則.進而原方程轉化為:.―――這就求得了自變量關于參數得函數式;以下再來求出因變量關于參數得函數式,進而就可得原方程得參數方程形式得隱式通解.由,所以;從而原方程得參數方程形式得隱式通解為:.注:運用同樣得方法,大家可以嘗試一下去求解Ｐ292.１.(8);(9);(10).§７.高階線性微分方程(主要得就是學習二階線性微分方程得有關理論！)一.二階線性微分方程得定義:稱形如:......(＊)得方程為二階線性微分方程.(注:方程得左邊對未知函數及其導數這三者來說,就是一次線性組合形式！)(i)、當時,則稱為二階線性齊次微分方程.(ii)、當時,則稱為二階線性非齊次微分方程.二.二階線性微分方程得解得結構１.二階線性齊次微分方程＂解得疊加原理＂定理１:設與都就是二階線性齊次微分方程得解,則此兩解得任意線性組合也就是此二階線性齊次微分方程得解.―――定理１揭示了齊次方程得解所滿足得一種性質.此性質常稱為齊次方程＂解得疊加原理＂.２.多個函數間得線性相關性與線性無關性得定義(參見教材Ｐ296從略)特別地,兩個函數與在區間Ｉ上線性相關常數,Ｉ.３.二階線性齊次微分方程得通解得結構定理２:設與就是二階線性齊次微分方程得解,且與線性無關,則此兩解得任意線性組合就就是原二階線性齊次微分方程得通解.―――定理２揭示了如何用齊次方程得兩個線性無關得特解去構造生成齊次方程得通解！４.二階線性非齊次微分方程通解得結構定理３:設就是二階線性非齊次微分方程...(＊)得一個特解,且就是對應得二階線性齊次方程得通解,則就就是原二階線性非齊次微分方程(＊)得通解.―――定理３揭示了如何用齊次方程得通解去構造非齊次方程得通解！即:非齊次通解＝齊次通解＋非齊次特解.５.二階線性非齊次微分方程解得疊加原理(Ｐ297定理４)定理４:設有二階線性非齊次微分方程,(其中.)而就是得特解,且就是得特解則就就是原二階線性非齊次方程得一個特解.―――定理４揭示了如何去求非齊次方程特解得一種方法.它通常又稱為非齊次方程解得疊加原理！６.定理５:設與就是二階線性非齊次微分方程...(＊)得兩個不相等得特解,則就是對應得二階線性齊次方程得一個非零特解.―――此定理揭示了如何用二階線性非齊次方程得二個特解去構造生成對應得齊次方程得特解！７.例題分析Ｐ326、１.(4).已知就是某二階線性非齊次微分方程得三個解,試求該方程得通解？分析與解答:設此二階線性非齊次微分方程為....(＊),則由定理３知:非齊次通解＝齊次通解＋非齊次特解,現由題意知＂非齊次特解＂可取之中得任意一個,故以下只要求出＂齊次通解＂來即可.再由定理２知:＂齊次通解＂就是兩個線性無關得齊次特解得任意線性組合即:(其中就是兩個線性無關得齊次特解).而現在又應如何來求得兩個線性無關得齊次特解呢？這可根據＂定理５＂來得到！由＂定理５＂知,可令:且,且顯然兩者線性無關,所以原非齊次方程得通解為.三.二階線性非齊次微分方程得求解過程中得常數變易法與二階線性非齊次微分方程得通解公式１.二階線性非齊次微分方程求解過程中得＂常數變易法＂.為了求解二階線性非齊次微分方程...(１),可先求解與之對應得齊次方程;第一步:先求得對應得二階線性齊次微分方程...(２)得兩個線性無關特解與,則由定理２知:....(３)就就是原二階線性齊次微分方程(２)得通解;第二步:對齊次方程得通解(３)作常數變易,去構造生成非齊次微分方程(１)得解為...(４)(其中就是兩個待定得未知函數);第三步:接下來將(４)式代入原非齊次方程(１)并設法去求出,這樣也就求出了原非齊次方程(１)得解了！――――這就就是二階線性非齊次微分方程求解過程中得常數變易法.２.二階線性非齊次微分方程得通解公式定理６.設與就是二階線性齊次方程.....(１)得兩個線性無關得特解,記,則與之對應得二階線性非齊次方程.....(２)有通解公式:.§８.常系數齊次線性微分方程(重點就是掌握二階線性常系數微分方程得有關理論！)一.二階線性常系數微分方程得定義:在二階線性微分方程:....(１)之中,(i).如果得系數都就是常數,即(１)式成為(其中為常數),則稱其為二階線性常系數微分方程;(ii).如果不全為常數,則稱為二階線性變系數微分方程.二.二階常系數齊線性微分方程得解法:(如下方法通常稱為＂特征根公式法＂)第一步,寫出原微分方程得特征方程,并求出此方程得二個特征根;第二步,根據特征根得不同情形,原方程得通解公式如下:(i).若特征根不相等,則原方程得通解為:;(ii).若特征根為相等,則原方程得通解為:;(iii).若特征根為一對共軛復根,則原方程得通解為:.三.二階常系數齊次線性微分方程得求解舉例:參見教材Ｐ304305例１;例２;例３等.§９.常系數非齊次線性微分方程(重點只需掌握如下關于二階線性常系數非齊次微分方程得通解公式！)一.關于二階線性常系數非齊次微分方程(其中為常數)有如下結論:定理６＇:設與就是二階線性常系數非齊次微分方程.....(１)得兩個線性無關得特解,記,則與之對應得二階線性非齊次方程.....(２)有通解公式:―――請記牢！――――注:此定理６＇只不過就是第七節中介紹得＂定理６＂得一個特例而已！二.常系數二階非齊次線性微分方程求解舉例例如Ｐ313、例２.求方程得通解.解:由定理５＇應首先求對應得齊次方程得通解,再運用定理５＇來求原非齊次方程得通解.易知齊次方程得特征方程為,特征根.于就是,齊次方程得兩個線性無關得特解為;進而原非齊次方程得通解為:.三.本章雜例Ｐ327.7.設有可導函數滿足,求分析與解答:這就是一個＂積分方程＂,求解＂積分方程＂得思路:首先我們把它轉化為一個與其對應得微分方程,再來求解.現由兩邊關于自變量Ｘ求導數得:現記,則有――這就是＂一階線性非齊次微分方程＂.由通解公式得:.又由條件知,當時,則,所以.綜上得原方程得解為:.四.綜述＂求解微分方程得一般程序＂如下:第一步,判定方程得類型,它就是一階微分方程還就是二階微分方程？(我們知道標準求解步驟得一階方程類型包括:=1\*GB3①可分離變量方程;=2\*GB3②齊次方程;=3\*GB3③一階線性(非)齊次方程;=4\*GB3④貝努利方程);第二步,根據我們在本章所講得各種方程得標準解法去求解！補充說明:如果方程類型就是我們很陌生得形式,那么就首先考慮運用＂變量代換法＂將其轉化為我們所熟悉得方程類型;然后再按上面得標準步驟去解決問題.第八章空間解析幾何§１向量及其線性運算一、一些基本概念=1\*GB3①向量與自由向量;=2\*GB3②單位向量與零向量;=3\*GB3③向量得共線與共面;=4\*GB3④向量得模,方向角,以及投影等、二、向量得加法運算與數乘運算得定義三、向量得線性運算在空間直角坐標系下得表達借助于空間直角坐標系,向量間得線性運算可以轉化為它們坐標之間得線性運算.§２向量得數量積向量積混合積一.兩個向量得數量積１.數量積得定義(其中為向量之間得夾角)２.數量積與投影之間得關系―――３.數量積得運算規律二.兩個向量得向量積１.向量積得定義(其中為向量之間得夾角)２.向量積得模得幾何意義:它表示以向量為鄰邊所成得平行四邊形得面積.三.三個向量得混合積１.混合積得定義２.三個混合積得模得幾何意義:它表示以向量為鄰邊所成得平行六面體得＂有向體積＂.即;(i)當呈右手系時,;(ii)當呈左手系時,.§３曲面及其方程曲面方程得概念如果某曲面S上得點得坐標與某個三元方程得解之間能構成一一對應,則稱這個三元方程為此曲面S得方程;建立曲面方程得一般方法:首先在所求曲面上任取一點M,記其坐標為,然后利用該曲面得特征并將其等價地表達為點得坐標應滿足得條件式即可!例如:試求球心在點,半徑為R得球面方程?解:設為所求球面上任意一點,則由即所以旋轉曲面旋轉曲面得定義(參見P312)坐標平面內得平面曲面繞坐標軸旋轉所成旋轉曲面得方程及其特點:例如:將坐標平面內得曲線Ｃ:繞Ｚ軸旋轉所成旋轉曲面得方程只要將平面曲線Ｃ:得方程中得代換為,即得旋轉曲面得方程為.又如:將坐標平面內得曲線Ｃ:繞Ｘ軸旋轉所成旋轉曲面得方程只要將平面曲線Ｃ:得方程中得代換為,即得旋轉曲面得方程為.柱面1、柱面得定義(參見P314)2、四種常見得柱面:=1\*GB3①圓柱面;=2\*GB3②橢圓柱面;=3\*GB3③拋物柱面;=4\*GB3④雙曲柱面3、二元方程在空間直角坐標系中得幾何意義:二元方程在空間直角坐標系中得總表示一個母線平行于坐標軸得柱面、例如:方程表示得就就是一個以坐標平面內得曲線Ｃ:為準線,母線平行于Ｚ軸得柱面.二次曲面九種二次曲面得標準方程及其大致得曲面形狀掌握運用對旋轉曲面伸縮變形來認識一般得二次曲面形狀得思想方法;例如:橢圓錐面:得大致形狀可以按如下方式分析:首先將曲面方程中得改成,易知方程:表示得就是一個旋轉曲面,且它可以由平面內得兩條對稱直線:繞Ｚ軸旋轉來生成;進而把此旋轉曲面沿軸方向伸或縮倍,即得橢圓錐面:得形狀！§4空間曲線及其方程空間曲線得一般方程:即將空間曲線瞧成兩張曲面得交線形式.設與就是某兩張曲面得方程,則它們得交線為;空間曲線得參數方程,(有關定義參見Ｐ３２０)空間曲線向坐標平面得投影曲線與投影柱面(定義參見Ｐ３２３)二個三元方程聯立消元得幾何意義聯立消元得幾何意義:實際上就就是在求這兩個方程聯立得方程組所表示得空間曲線向某個坐標面內得投影柱面得方程.例如:試求球面與平面得交線在坐標面上得投影柱面與投影曲線得方程？解:即需求空間曲線,向坐標面內得投影柱面與投影曲線得方程.為此,只要在上述方程組中消去變量Ｚ,得即為所需求得投影柱面得方程,而上述空間曲線向坐標面得投影曲線得方程為.§5平面及其方程平面得點法式方程設某平面過一定點且以為其法向量,則所求平面得點法式方程為:平面得一般式方程:(應知此平面就是以向量為其法向量得某一張平面)平面得截距式方程:;數值分別稱為該平面在Ｘ,Ｙ,Ｚ軸上得截距.兩個平面得夾角兩個平面得夾角就是指這兩個平面得法向量之間得夾角(當其就是銳角時),或者就是指這兩個平面得法向量之間得夾角得補角(當其就是鈍角時).點到面得距離公式設就是空間中得任意一點,記其到平面:得距離為,則.§6空間直線及其方程一、空間直線得一般方程(或稱交線式方程):.二、空間直線得點向式方程(或稱對稱式方程):.三、空間直線得參數式方程由空間直線得點向式方程:,得此即為該直線得參數式方程;四、空間直線得兩點式方程設有直線過兩點,則此直線得兩點式方程為.五、兩直線得夾角兩直線得夾角就是指這兩條直線得方向向量之間得夾角(當其就是銳角時),或者就是指這兩條直線方向向量之間得夾角得補角(當其就是鈍角時).直線與平面得夾角(定義參見Ｐ３３３)平面束得方程及其在解題中得運用所謂＂平面束＂就就是指經過某一定直線得所有平面得全體;平面束得方程可由此定直線得方程構造而得.具體地說,若設直線Ｌ得方程為,其中系數與不成比例,則以直線Ｌ為軸得平面束得方程為:.(注:不同位置得平面對應于不同得參數得取值