/2024屆四川省南充市中考數學學業水平考試質量檢測試題注意事項：1.答題前將姓名、座位號、身份證號、準考證號填在答題卡指定位置；2.所有解答內容均須涂、寫在答題卡上；3.選擇題須用2B鉛筆將答題卡相應題號對應選項涂黑，若需改動，須擦凈另涂；4.填空題、解答題在答題卡對應題號位置用0.5毫米黑色字跡筆書寫．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）每小題都有代號為A，B，C，D四個答案選項，其中只有一個是正確的．請根據正確選項的代號填涂答題卡對應位置，填涂正確記4分，不涂、錯涂或多涂記0分．1.如圖，數軸上表示的點是（）

A.點A B.點B C.點C D.點D【正確答案】C【分析】本題考查了實數與數軸，無理數的估算．先估算出的范圍，再找出符合條件的數軸上的點即可．解：∵，∴數軸上表示的點是點C，故選：C．2.學校舉行籃球技能大賽，評委從控球技能和投球技能兩方面為選手打分，各項成績均按百分制計，然后再按控球技能占，投球技能占計算選手的綜合成績（百分制人選手李林控球技能得90分，投球技能得80分．李林綜合成績為（）A.170分 B.86分 C.85分 D.84分【正確答案】B【分析】本題考查求加權平均數，利用加權平均數的計算方法，進行求解即可．解：（分）；故選B．3.如圖，兩個平面鏡平行放置，光線經過平面鏡反射時，，則的度數為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】本題考查利用平行線的性質求角的度數，平角的定義求出的度數，再根據平行線的性質，即可得出結果．解：∵，∴，∵兩個平面鏡平行放置，∴經過兩次反射后的光線與入射光線平行，∴；故選C．4.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】本題考查整式的運算，根據合并同類項，同底數冪的乘除法則，積的乘方和冪的乘方法則，逐一進行判斷即可．解：A、不能合并，原選項計算錯誤，不符合題意；B、，原選項計算錯誤，不符合題意；C、，原選項計算錯誤，不符合題意；D、，原選項計算正確，符合題意；故選D．5.如圖，在中，，平分交于點D，點E為邊上一點，則線段長度的最小值為（）A. B. C.2 D.3【正確答案】C【分析】本題主要考查解直角三角形和角平分線的性質，垂線段最短，根據題意求得和，結合角平分線的性質得到和，當時，線段長度的最小，結合角平線的性質可得即可．解：∵，∴，在中，，解得，∵平分，∴，∴，解得，當時，線段長度的最小，∵平分，∴．故選∶C．6.我國古代《算法統宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么有7人無房住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房．設該店有客房x間、房客y人，下列方程組中正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據“如果每一間客房住7人，那么有7人無房住；如果每一間客房住9人，那么就空出一間客房”分別列出兩個方程，聯立成方程組即可．根據題意有故選：A．本題主要考查列二元一次方程組，讀懂題意找到等量關系是解題的關鍵．7.若關于x的不等式組的解集為，則m的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】本題考查根據不等式組的解集求參數的范圍，先解不等式組，再根據不等式組的解集，得到關于參數的不等式，進行求解即可．解：解，得：，∵不等式組的解集為：，∴，∴；故選B．8.如圖，已知線段，按以下步驟作圖：①過點B作，使，連接；②以點C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點D；③以點A為圓心，以長為半徑畫弧，交于點E．若，則m的值為（）

A. B. C. D.【正確答案】A【分析】本題考查了勾股定理，根據垂直定義可得，再根據，設，然后在中，利用勾股定理可得，再根據題意可得：，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答．解：∵，∴，∵，設∴，∴，由題意得：，∴，∵，∴，故選：A9.當時，一次函數有最大值6，則實數m的值為（）A.或0 B.0或1 C.或 D.或1【正確答案】A【分析】本題主要考查了一次函數的性質，以及解一元二次方程，分兩種情況，當時和當，根據一次函數性質列出關于m的一元二次方程，求解即可得出答案．解：當即時，一次函數y隨x的增大而增大，∴當時，，即，整理得：解得：或（舍去）當即時，一次函數y隨x的增大而減小，∴當時，，即，整理得：解得：或（舍去）綜上，或，故選：A10.如圖是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成．在正方形中，．下列三個結論：①若，則；②若的面積是正方形面積的3倍，則點F是的三等分點；③將繞點A逆時針旋轉得到，則的最大值為．其中正確的結論是（）

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【正確答案】D【分析】根據，設，得到，進而得到，求出的值，判定①，根據的面積是正方形面積的3倍，求出，進而得到，判斷②；旋轉得到，進而得到點在以為直徑的半圓上，取的中點，連接，得到，判斷③．解：在中，，∴設，則：，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故①正確；若的面積是正方形面積的3倍，則：，∴，即：，∴或（舍去），∴，∴點F是的三等分點；故②正確；∵將繞點A逆時針旋轉得到，∴，∴點在以為直徑的半圓上，取的中點，連接，則：，，

∴，∴，即：的最大值為；故③正確；故選D．本題考查解直角三角形，勾股定理，旋轉的性質，解一元二次方程，求圓外一點到圓上一點的最值，熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）請將答案填在答題卡對應的橫線上．11.計算的結果為___________．【正確答案】1【分析】本題主要考查了同分母分式減法運算，按照同分母減法運算法則計算即可．解：，故1．12.若一組數據，，，，，的眾數為，則這組數據的中位數為___________．【正確答案】【分析】本題考查眾數與中位數的意義．中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數（最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數．眾數是數據中出現最多的一個數．根據眾數的定義可得的值，再依據中位數的定義即可得答案．解：∵，，，，，的眾數為，∴，把這組數據從小到大排列為：，，，，，，則中位數為．故．13.如圖，是的直徑，位于兩側的點C，D均在上，，則______度．【正確答案】75【分析】本題考查圓周角定理，補角求出，根據同弧所對的圓周角是圓心角的一半，進行求解即可．解：∵是的直徑，位于兩側的點C，D均在上，，∴，∴；故75．14.已知m是方程的一個根，則的值為___________．【正確答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數式的值，根據m是方程的一個根，可得出，再化簡代數式，整體代入即可求解．解：∵m是方程的一個根，∴，故．15.如圖，在矩形中，為邊上一點，，將沿折疊得，連接，，若平分，，則的長為_____．

【正確答案】【分析】過作于點，于點，，由四邊形是矩形，得，，證明四邊形是矩形，通過角平分線的性質證得四邊形是正方形，最后根據折疊的性質和勾股定理即可求解．如圖，過作于點，于點，

∴，∵四邊形是矩形，∴，，∴四邊形是矩形，∵平分，∴，，∴四邊形是正方形，由折疊性質可知：，，∴，∴，，在中，由勾股定理得，故．本題考查了矩形的性質和判定，折疊的性質，勾股定理，所對直角邊是斜邊的一半，角平分線的性質，正方形的判定與性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．16.已知拋物線與軸交于兩點，（在的左側），拋物線與軸交于兩點，（在的左側），且．下列四個結論：與交點為；；；，兩點關于對稱．其中正確的結論是_____．（填寫序號）【正確答案】【分析】由題意得，根據可以判斷；令求出，，由可以判斷；拋物線與軸交于兩點，（在的左側），拋物線與軸交于兩點，（在的左側），根據根的判別式得出或，或，可以判斷，利用兩點間的距離可以判斷．解：由題意得，∴，∵，∴，當時，，∴與交點為，故正確，當時，，解得，∴，當時，，解得，∴，∵，∴，即，∴，則有：，∵，∴，故正確；∵拋物線與軸交于兩點，（在的左側），拋物線與軸交于兩點，（在的左側），∴，，解得：或，或，由得，∴，當時，，或當時，，∴，故錯誤；由得：，解得，∵在的左側，在的左側，∴，，，，∵，∴，整理得：，∴，∴由對稱性可知：，兩點關于對稱，故正確；綜上可知：正確，故．本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數與一元二次方程的關系，解一元二次方程，根的判別式，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．三、解答題（本大題共9個小題，共86分）解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.先化簡，再求值：，其中．【正確答案】，【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，運用完全平方公式展開，先算除法，再算加減法，最后代入求值即可．解：原式，當時，原式．18.如圖，在中，點D為邊的中點，過點B作交的延長線于點E．（1）求證：．（2）若，求證：【正確答案】（1）見解析（2）見解析【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質：（1）由中點，得到，由，得到，即可得證；（2）由全等三角形的性質，得到，進而推出垂直平分，即可得證．【小問1】證明：為的中點，．；在和中，；【小問2】證明：垂直平分，．19.某研學基地開設有A，B，C，D四類研學項目．為了解學生對四類研學項目的喜愛情況，隨機抽取部分參加完研學項目的學生進行調查統計（每名學生必須選擇一項，并且只能選擇一項），并將調查結果繪制成兩幅不完整的統計圖，（如圖）．根據圖中信息，解答下列問題：（1）參加調查統計的學生中喜愛B類研學項目有多少人？在扇形統計圖中，求C類研學項目所在扇形的圓心角的度數．（2）從參加調查統計喜愛D類研學項目的4名學生（2名男生2名女生）中隨機選取2人接受訪談，求恰好選中一名男生一名女生的概率．【正確答案】（1）喜愛B類研學項目有8人，C類研學項目所在扇形的圓心角的度數為（2）【分析】本題考查條形圖和扇形圖的綜合應用，列表法求概率：（1）類項目的人數除以所占的比例求出總人數，再用總人數乘以類項目的人數所占的比例求解即可；（2）設喜愛D類研學項目的4名學生分別記為男1，男2，女1，女2，列出表格，利用概率公式進行計算即可．【小問1】解：（人）．．答：喜愛B類研學項目有8人，C類研學項目所在扇形的圓心角的度數為．【小問2】喜愛D類研學項目的4名學生分別記為男1，男2，女1，女2，列表如下：第2位第1位男1男2女1女2男1男1男2男1女1男1女2男2男2男1男2女1男2女2女1女1男1女1男2女1女2女2女2男1女2男2女2女1由表可知，抽選2名學生共有12種等可能結果，抽中一名男生和一名女生（記作事件M）共8種可能．．答：抽中一名男生和一名女生的概率為．20.已知，是關于的方程的兩個不相等的實數根．（1）求的取值范圍．（2）若，且，，都是整數，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】本題主要考查了根據一元二次方程根的情況求參數范圍、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關系是解題的關鍵．（1）根據“，是關于的方程的兩個不相等的實數根”，則，得出關于的不等式求解即可；（2）根據，結合（1）所求的取值范圍，得出整數的值有，，，分別計算討論整數的不同取值時，方程的兩個實數根，是否符合都是整數，選擇符合情況的整數的值即可．【小問1】解：∵，是關于的方程的兩個不相等的實數根，∴，∴，解得：；【小問2】解：∵，由（1）得，∴，∴整數的值有，，，當時，方程為，解得：，（都是整數，此情況符合題意）；當時，方程為，解得：（不是整數，此情況不符合題意）；當時，方程為，解得：（不是整數，此情況不符合題意）；綜上所述，值為．21.如圖，直線經過兩點，與雙曲線交于點．（1）求直線和雙曲線的解析式．（2）過點C作軸于點D，點P在x軸上，若以O，A，P為頂點的三角形與相似，直接寫出點P的坐標．【正確答案】（1）直線解析式為，雙曲線解析式為（2）點P坐標為或或或【分析】本題考查反比例函數與一次函數的綜合應用，相似三角形的性質：（1）待定系數法求出一次函數的解析式，進而求出點的坐標，再利用待定系數法求出反比例函數的解析式即可；（2）分和，兩種情況進行討論求解即可．【小問1】解：直線經過兩點，∴，解得：，∴，當時，，解得：，∴，∴，∴；【小問2】∵，，∴，，當以O，A，P為頂點的三角形與相似時，分兩種情況進行討論：①當，則：，∴，∴，∴或；②當，則：，∴，∴，∴或；綜上：點P坐標為或或或．22.如圖，在中，是直徑，是弦，點F是上一點，，交于點C，點D為延長線上一點，且．（1）求證：是的切線．（2）若，求的半徑長．【正確答案】（1）見解析（2）【分析】本題考查圓周角定理，切線的判定，解直角三角形，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵：（1）圓周角定理推出，根據，結合三角形內角和定理，推出，即即可得證；（2）連接，易得，直徑得到在中，勾股定理求出的長，三角函數求出的長即可．【小問1】證明：．，．即．又∵為半徑，是的切線．【小問2】解：連接．∴．是直徑，．在中，．．又是直徑的半徑長為．23.2024年“五一”假期期間，閬中古城景區某特產店銷售A，B兩類特產．A類特產進價50元/件，B類特產進價60元/件．已知購買1件A類特產和1件B類特產需132元，購買3件A類特產和5件B類特產需540元．（1）求A類特產和B類特產每件的售價各是多少元？（2）A類特產供貨充足，按原價銷售每天可售出60件．市場調查反映，若每降價1元，每天可多售出10件（每件售價不低于進價）．設每件A類特產降價x元，每天的銷售量為y件，求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）在（2）的條件下，由于B類特產供貨緊張，每天只能購進100件且能按原價售完．設該店每天銷售這兩類特產的總利潤為w元，求w與x的函數關系式，并求出每件A類特產降價多少元時總利潤w最大，最大利潤是多少元？（利潤＝售價－進價）【正確答案】（1）A類特產的售價為60元/件，B類特產的售價為72元/件（2）（）（3）A類特產每件售價降價2元時，每天銷售利潤最犬，最大利潤為1840元【分析】本題主要考查一元一次方程的應用、函數關系式和二次函數的性質，根據題意設每件A類特產的售價為x元，則每件B類特產的售價為元，進一步得到關于x的一元一次方程求解即可；根據降價1元，每天可多售出10件列出函數關系式，結合進價與售價，且每件售價不低于進價得到x得取值范圍；結合（2）中A類特產降價x元與每天的銷售量y件，得到A類特產的利潤，同時求得B類特產的利潤，整理得到關于x的二次函數，利用二次函數的性質求解即可．【小問1】解：設每件A類特產的售價為x元，則每件B類特產的售價為元．根據題意得．解得．則每件B類特產的售價（元）．答：A類特產的售價為60元/件，B類特產的售價為72元/件．【小問2】由題意得∵A類特產進價50元/件，售價為60元/件，且每件售價不低于進價∴．答：（）．【小問3】．∴當時，w有最大值1840．答：A類特產每件售價降價2元時，每天銷售利潤最大，最大利潤為1840元．24.如圖，正方形邊長為，點E為對角線上一點，，點P在邊上以的速度由點A向點B運動，同時點Q在邊上以的速度由點C向點B運動，設運動時間為t秒（）．（1）求證：．（2）當是直角三角形時，求t的值．（3）連接，當時，求的面積．【正確答案】（1）見解析（2）秒或2秒（3）【分析】（1）根據正方形性質，得到，再題意得到，從而得到；（2）利用題目中的條件，分別用t表示、、，再分別討論當、和時，利用勾股定理構造方程求出t即可；（3）過點A作，交的延長線于點F，連接交于點G．由此得到，由已知得到進而得到，由題意，則，再依次證明、，得到，從而證明，即是等腰直角三角形．則，再用求出的面積．【小問1】證明：四邊形是正方形，．，．【小問2】解：過點E作于點M，過點E作于點N．由題意知，∵∴，∵∴由已知，．，即，，即，，即．①當時，有．即，整理得．解得（不合題意，舍去）．②當時，有．即，整理得，解得