2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【知識點梳理】知識點一一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．知識點二二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點.知識點三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集．知識點四二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，應先利用不等式的性質轉化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集.知識點五利用不等式解決實際問題的一般步驟(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；(2)由題中給出的不等關系，列出關于未知數(shù)的不等式(組)；(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結合題目的實際意義確定答案．知識點六一元二次不等式恒成立問題(1)轉化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉化為求最值問題.知識點七簡單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【題型歸納目錄】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關系的交匯題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法題型四：一次分式不等式的解法題型五：實際問題中的一元二次不等式問題題型六：不等式的恒成立問題【典型例題】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式例1．（2022·浙江·高一階段練習）不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．例2．（2022·廣東·新會陳經綸中學高一期中）不等式的解集是（

）A．R B． C．或 D．例3．（2022·安徽省利辛縣第一中學高一階段練習）不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或例4．（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：(1)；(2).【方法技巧與總結】解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數(shù)為正．(2)對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．(3)求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根．(4)根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)的草圖．(5)根據(jù)圖象寫出不等式的解集．題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關系的交匯例5．（2022·四川省高縣中學校高一階段練習（理））已知關于的不等式的解集為，則的最小值是（

）A． B． C． D．例6．（2022·四川·射洪中學高一階段練習）已知不等式的解集為，則（

）A． B． C． D．例7．（2022·湖南·懷化五中高一期中）若關于x的不等式的解集為，則實數(shù)m的值為______.例8．（2022·浙江·金華市曙光學校高一階段練習）已知不等式的解集是，則不等式的解集是________.例9．（2018·浙江·長興縣教育研究中心高一期中）若不等式的解集是，則實數(shù)_____，_____．【方法技巧與總結】三個“二次”之間的關系(1)三個“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過一元二次函數(shù)的圖象及性質來解決問題，關系如下：題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法例10．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高一階段練習）解關于x的不等式例11．（2022·陜西·長安一中高一期中）已知關于x的不等式的解集為．(1)寫出a和b滿足的關系；(2)解關于x的不等式．例12．（2022·貴州·遵義航天高級中學高一階段練習）設函數(shù).(1)若，解不等式；(2)若，解關于x的不等式例13．（2022·陜西·西安高新第三中學高一期中）已知函數(shù).(1)若關于的不等式的解集為，求的值；(2)若，解關于的不等式.例14．（2022·北京市第五中學高一階段練習）請回答下列問題：(1)若關于的不等式的解集為或，求，的值.(2)求關于的不等式的解集.【方法技巧與總結】解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)討論二次項系數(shù)：二次項若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式．(2)判斷方程根的個數(shù)：討論判別式Δ與0的關系．(3)寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式．題型四：一次分式不等式的解法例15．（2022·吉林延邊·高一期末）若不等式的解集為，則不等式的解集為___________.例16．（2022·河北省博野中學高一階段練習）不等式的解集是____________.例17．（2022·全國·高一期末）不等式的解集為______．例18．（2022·上海師大附中高一期中）不等式的解集是_________例19．（2022·天津·南開翔宇學校高一期中）不等式的解集為________.【方法技巧與總結】分式不等式轉化為整式不等式的基本類型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且題型五：實際問題中的一元二次不等式問題例20．（2022·貴州黔東南·高一期末）黔東南某地有一座水庫，設計最大容量為128000m3．根據(jù)預測，汛期時水庫的進水量（單位：m3）與天數(shù)的關系是，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時系統(tǒng)就會自動報警提醒，水庫水量超過最大容量時，堤壩就會發(fā)生危險；如果汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會出現(xiàn)系統(tǒng)自動報警．(1)求的值；(2)當汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會發(fā)生危險嗎？請說明理由．例21．（2022·湖南·高一課時練習）一家汽車制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產的摩托車數(shù)量（輛）與創(chuàng)收價值（元）之間有如下關系式：．若這家制造廠希望在一個星期內利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內生產的摩托車數(shù)量應滿足什么條件？例22．（2022·湖北十堰·高一期中）某學校欲在廣場旁的一塊矩形空地上進行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均種滿寬度相同的鮮花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.(1)若矩形草坪的長比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.例23．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高一開學考試）為持續(xù)推進“改善農村人居環(huán)境，建設宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計劃在該村廣場旁一矩形空地進行綠化．如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（陰影部分）均種植寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為300平方米．(1)若矩形草坪的長比寬至少多5米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周的花壇寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值．例24．（2022·江蘇·南京市第二十九中學高一期中）1.通過技術創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場.2021年，該種玻璃售價為25歐元/平方米，銷售量為80萬平方米，銷售收入為2000萬歐元.(1)據(jù)市場調查，若售價每提高1歐元/平方米，則銷售量將減少2萬平方米；要使銷售收入不低于2000萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米？(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在2022年對該種玻璃實施二次技術創(chuàng)新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術創(chuàng)新費用，投入500萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位/萬平方米）至少達到多少時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和？并求出此時的售價.【方法技巧與總結】利用不等式解決實際問題需注意以下四點(1)閱讀理解材料：應用題所用語言多為文字語言，而且不少應用題文字敘述篇幅較長．閱讀理解材料要達到的目的是將實際問題抽象成數(shù)學模型，這就要求解題者領悟問題的實際背景，確定問題中量與量之間的關系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向．(2)建立數(shù)學模型：根據(jù)(1)中的分析，把實際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數(shù)學模型，并且，建立所得數(shù)學模型與已知數(shù)學模型的對應關系，以便確立下一步的努力方向．(3)討論不等關系：根據(jù)(2)中建立起來的數(shù)學模型和題目要求，討論與結論有關的不等關系，得到有關理論參數(shù)的值．(4)作出問題結論：根據(jù)(3)中得到的理論參數(shù)的值，結合題目要求作出問題的結論．題型六：不等式的恒成立問題例25．（2022·江西師大附中高一期中）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________.例26．（2022·江蘇·高一專題練習）若關于的不等式有解，則實數(shù)a的取值范圍是____________．例27．（2022·湖北·黃石市有色第一中學高一期中）關于的不等式在內有解，則的取值范圍為________．例28．（2022·江蘇省天一中學高一期中）已知關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是__________．例29．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高一階段練習）若不等式在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________．例30．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高一階段練習）若對任意，恒成立，則的最大值為_________．例31．（2022·湖南·高一課時練習）設二次函數(shù)．（1）若方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是______；（2）若不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是______；（3）若不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是______．例32．（2022·全國·高一專題練習）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.例33．（2022·全國·高一專題練習）已知二次函數(shù).若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【方法技巧與總結】不等式對一切實數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)。【同步練習】一、單選題1．（2022·廣東·新會陳經綸中學高一期中）已知關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或2．（2022·全國·高一課時練習）若不等式的解集是，則的值為（

）A．-10 B．-14 C．10 D．143．（2022·重慶市石柱中學校高一階段練習）已知函數(shù)的圖象都在軸的上方，求實數(shù)的取值范圍(

)A． B．C． D．4．（2022·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學高一階段練習）不等式的解集為，則的解集為（

）A． B．C． D．5．（2022·湖南·高一課時練習）一元二次不等式的解集為R的一個充要條件是（

）A． B． C． D．6．（2022·廣東廣州·高一期末）使不等式成立的充分不必要條件是（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·高一）關于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或48．（2022·全國·高一專題練習）不等式組有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或二、多選題9．（2022·重慶·西南大學附中高一期中）關于x的不等式-10(其中xZ，a)的解集中元素的個數(shù)可能有（

）A．個 B．個 C．個 D．無數(shù)個10．（2022·福建·晉江市第一中學高一階段練習）已知關于的不等式的解集為或，則下列結論中，正確結論的序號是（

）A． B．不等式的解集為C．不等式的解集為或 D．11．（2022·江蘇·高一專題練習）已知方程及分別各有兩個整數(shù)根，及，，且，則下列結論一定正確的是（

）A．，，，B．C．D．12．（2022·浙江·金華市曙光學校高一期中）在上定義運算，若關于的不等式的解集是集合的子集，則整數(shù)的取值可以是（）A．0 B．1 C． D．2三、填空題13．（2022·上海·上外附中高一期中）關于的方程的兩個根為素數(shù)，則___________．14．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高一階段練習）不等式的解集為__________．15．（2022·安徽·涇縣中學高一開學考試）記關于x的不等式的解集為A，集合，若，則實數(shù)a的取值范圍為___________.16．（2022·上海楊浦·高一期末）設a為實數(shù)，若關于x的一元一次不等式組的解集中有且僅有4個整數(shù)，則a的取值范圍是____________.四、解答題17．（2022·黑龍江·大慶外國語學校高一階段練習）解不等式：(1)(2)18．（2022·江蘇·揚州大學附屬中學高一期中）已知關于的不等式.(1)若不等式的解集為，求；(2)若，求不等式的解集.19．（2022·安徽·合肥市第十中學高一期中）經過長期觀測得到：在某地交通繁忙時段內，公路段汽車的車流量y(單位：千輛/h)與汽車的平均速度v(單位：km/h)之間的函數(shù)解析式為：(1)若要求在該時間段內車流量超過9.1千輛/h，則汽車的平均速度應在什么范圍內？(2)該時段內當汽車的平均速度v為多少時車流量最大？最大車流量為多少？20．（2022·甘肅·靜寧縣第一中學高一階段練習）已知關于的方程有兩個不等實根.(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)設方程的兩個實根為，且，求實數(shù)的值；21．（2022·福建省德化第一中學高一階段練習）已知關于x的不等式的解集為或．(1)求的值；(2)當，且滿足時，有恒成立，求的取值范圍．22．（2022·全國·高一課時練習）解關于的不等式：.2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【知識點梳理】知識點一一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均為常數(shù)，的不等式都是一元二次不等式．知識點二二次函數(shù)的零點一般地，對于二次函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做二次函數(shù)的零點.知識點三一元二次不等式的解集的概念使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集．知識點四二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應關系對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項系數(shù)為負，應先利用不等式的性質轉化為二次項系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集.知識點五利用不等式解決實際問題的一般步驟(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；(2)由題中給出的不等關系，列出關于未知數(shù)的不等式(組)；(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結合題目的實際意義確定答案．知識點六一元二次不等式恒成立問題(1)轉化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉化為求最值問題.知識點七簡單的分式不等式的解法系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【題型歸納目錄】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關系的交匯題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法題型四：一次分式不等式的解法題型五：實際問題中的一元二次不等式問題題型六：不等式的恒成立問題【典型例題】題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式例1．（2022·浙江·高一階段練習）不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】【分析】直接解一元二次不等式即可得答案.【詳解】解：原式化為，即，故不等式的解集為.故選:D例2．（2022·廣東·新會陳經綸中學高一期中）不等式的解集是（

）A．R B． C．或 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，分析即可得答案.【詳解】由題意得所求，令，為開口向上的拋物線，，所以恒成立，所以不成立，故的解集為.故選：B例3．（2022·安徽省利辛縣第一中學高一階段練習）不等式的解集為（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】【分析】將式子變形再因式分解，即可求出不等式的解集；【詳解】解：依題意可得，故，解得或，所以不等式的解集為或故選：B．例4．（2022·新疆喀什·高一期末）解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)或(2)【解析】(1)(1)因為，所以方程有兩個不等實根x1＝－1，x2＝－3.所以原不等式的解集為或.(2)(2)因為，所以方程有兩個相等實根x1＝x2＝所以原不等式的解集為.【方法技巧與總結】解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數(shù)為正．(2)對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．(3)求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根．(4)根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)的草圖．(5)根據(jù)圖象寫出不等式的解集．題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關系的交匯例5．（2022·四川省高縣中學校高一階段練習（理））已知關于的不等式的解集為，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由根與系數(shù)關系及基本不等式求目標式的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設，，且，所以，當且僅當時等號成立.故選：C例6．（2022·四川·射洪中學高一階段練習）已知不等式的解集為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集和一元二次方程根的關系直接求解即可.【詳解】由不等式的解集知：和是方程的兩根，.故選：A.例7．（2022·湖南·懷化五中高一期中）若關于x的不等式的解集為，則實數(shù)m的值為______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)二次不等式的解，結合韋達定理即可求出m.【詳解】由題可知，－7和－1是二次方程的兩個根，故.經檢驗滿足題意故答案為：3.例8．（2022·浙江·金華市曙光學校高一階段練習）已知不等式的解集是，則不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的解集求出a，b的值，再代入解不等式即可作答.【詳解】依題意，，是方程的兩個根，且，于是得，解得：，因此，不等式為：，解得，所以不等式的解集是.故答案為：例9．（2018·浙江·長興縣教育研究中心高一期中）若不等式的解集是，則實數(shù)_____，_____．【答案】

【解析】【分析】由一元二次不等式解集，結合對應一元二次方程根與系數(shù)關系即可求參數(shù)a、b.【詳解】由題設及對應方程根與系數(shù)關系知：，.故答案為：，.【方法技巧與總結】三個“二次”之間的關系(1)三個“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過一元二次函數(shù)的圖象及性質來解決問題，關系如下：題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法例10．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高一階段練習）解關于x的不等式【答案】答案不唯一，具體見解析【解析】【分析】原不等式可化為然后分，和三種情況求解不等式【詳解】解：關于x的不等式可化為（1）當時，，解得．（2）當，所以所以方程的兩根為-1和，當，即時，不等式的解集為或}，當，即時，不等式的解集為．當，即時，不等式的解集為或}，．（3）當時，因為方程的兩根為—1和，又因為，所以．即不等式的解集是，綜上所述：當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為或當時，不等式的解集為當時，不等式的解集為或}，例11．（2022·陜西·長安一中高一期中）已知關于x的不等式的解集為．(1)寫出a和b滿足的關系；(2)解關于x的不等式．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）化簡，結合不等式的解集即可判斷，得到即可得到a和b滿足的關系.（2）可用或對不等式進行等價轉化，化簡計算即可求出不等式的解集.(1)解：因為，所以，因為不等式的解集為，所以，且，解得．(2)由（1）得則不等式等價為，即，即．因為，所以不等式的解為．即所求不等式的解集為．（說明：解集也可以用a表示）例12．（2022·貴州·遵義航天高級中學高一階段練習）設函數(shù).(1)若，解不等式；(2)若，解關于x的不等式【答案】(1)或；(2)詳見解析.【解析】【分析】（1）利用二次不等式的解法即可得解；（2）將原不等式變形為，對實數(shù)的取值進行分類討論，結合二次不等式的解法即可得解.(1)當時，由，解得或，故當時，不等式的解集為或.(2)由可得，當時，方程的兩根分別為，.當時，，解原不等式可得；當時，原不等式即為，該不等式的解集為；當時，，解原不等式可得.綜上所述，當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為.例13．（2022·陜西·西安高新第三中學高一期中）已知函數(shù).(1)若關于的不等式的解集為，求的值；(2)若，解關于的不等式.【答案】(1)(2)時，解集為；時，解集為；時，解集為或【解析】(1)的解集為，和是方程的兩個根，∴，解得：.(2)不等式，可化為：.當時，原不等式即為，．當時，原不等式化為，或.當時，原不等式為，可化為因，．綜上，時，原不等式的解集為；時，原不等式的解集為；時，原不等式的解集為或例14．（2022·北京市第五中學高一階段練習）請回答下列問題：(1)若關于的不等式的解集為或，求，的值.(2)求關于的不等式的解集.【答案】(1)、(2)答案見解析【解析】【分析】（1）由題意可得和為方程的兩根，利用韋達定理得到方程組，解得即可；（2）不等式為，即，討論，，，，，由二次不等式的解法，即可得到所求解集．(1)解：因為關于的不等式的解集為或，所以和為方程的兩根，所以，解得；(2)解：不等式，即，即，當時，原不等式解集為；當時，方程的根為，，①當時，，原不等式的解集為或；②當時，，原不等式的解集為；③當時，，原不等式的解集為；④當時，，原不等式的解集為．【方法技巧與總結】解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟(1)討論二次項系數(shù)：二次項若含有參數(shù)應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式．(2)判斷方程根的個數(shù)：討論判別式Δ與0的關系．(3)寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式．題型四：一次分式不等式的解法例15．（2022·吉林延邊·高一期末）若不等式的解集為，則不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】由不等式的解集為可得參數(shù)a的值，則不等式也具體化了，按分式不等式解之即可.【詳解】由不等式的解集為，可知方程有兩根，故，則不等式即等價于，不等式的解集為，則不等式的解集為，故答案為：.例16．（2022·河北省博野中學高一階段練習）不等式的解集是____________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意將化為，利用分式不等式的解法解分式不等式即可.【詳解】可化為，，等價于，解得，所以不等式的解集是，故答案為：.例17．（2022·全國·高一期末）不等式的解集為______．【答案】或【解析】【分析】將分式不等式變形轉化為二次不等式求解即可.【詳解】，解得不等式解集為或故答案為：或.例18．（2022·上海師大附中高一期中）不等式的解集是_________【答案】##【解析】【分析】原不等式轉化為，即，進而可解得結果.【詳解】等價于，即，等價于，解得.故答案為：.例19．（2022·天津·南開翔宇學校高一期中）不等式的解集為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式不等式的解法規(guī)則求解即可.【詳解】原不等式可化為，解得故答案為：.【方法技巧與總結】分式不等式轉化為整式不等式的基本類型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且題型五：實際問題中的一元二次不等式問題例20．（2022·貴州黔東南·高一期末）黔東南某地有一座水庫，設計最大容量為128000m3．根據(jù)預測，汛期時水庫的進水量（單位：m3）與天數(shù)的關系是，水庫原有水量為80000m3，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000m3；水庫水量差最大容量23000m3時系統(tǒng)就會自動報警提醒，水庫水量超過最大容量時，堤壩就會發(fā)生危險；如果汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會出現(xiàn)系統(tǒng)自動報警．(1)求的值；(2)當汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會發(fā)生危險嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)汛期的第9天會有危險，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件可建立方程，解出即可；（2）設第天發(fā)生危險，由題意得，解出此不等式，然后可得答案.(1)由題意得：，即(2)由（1）得設第天發(fā)生危險，由題意得，即，得．所以汛期的第9天會有危險例21．（2022·湖南·高一課時練習）一家汽車制造廠引進了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產的摩托車數(shù)量（輛）與創(chuàng)收價值（元）之間有如下關系式：．若這家制造廠希望在一個星期內利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內生產的摩托車數(shù)量應滿足什么條件？【答案】.【解析】【分析】根據(jù)已知列出一元二次不等式，結合解一元二次不等式的方法進行求解即可.【詳解】由題意可得：，解得：.例22．（2022·湖北十堰·高一期中）某學校欲在廣場旁的一塊矩形空地上進行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（斜線部分）均種滿寬度相同的鮮花.已知兩塊綠草坪的面積均為200平方米.(1)若矩形草坪的長比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.【答案】(1)10米(2)平方米【解析】【分析】（1）設草坪的寬為米，長為米，則由題意，列出關于的不等式，求解即可；（2）求出整個綠化面的長為米，寬為米，然后由面積公式以及基本不等式求解最值即可．(1)設草坪的寬為x米，長為y米，由面積均為200平方米，得，因為矩形草坪的長比寬至少多10米，所以，又，所以，解得，所以寬的最大值為10米；(2)記整個綠化面積為S平方米，由題意得，，當且僅當米時，等號成立，所以整個綠化面積的最小值為平方米例23．（2022·新疆·烏蘇市第一中學高一開學考試）為持續(xù)推進“改善農村人居環(huán)境，建設宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計劃在該村廣場旁一矩形空地進行綠化．如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍（陰影部分）均種植寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為300平方米．(1)若矩形草坪的長比寬至少多5米，求草坪寬的最大值；(2)若草坪四周的花壇寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值．【答案】(1)15米(2)864平方米【解析】【分析】（1）根據(jù)“矩形草坪的長比寬至少多5米”列不等式，解不等式來求得草坪寬的最大值.（2）求得綠化面積的表達式，利用基本不等式求得最小值.(1)設草坪的寬為x米，長為y米，由面積為300平方米，得，∵矩形草坪的長比寬至少多5米，∴，∴，解得，又，∴，草坪寬的最大值為15米．(2)記整個綠化面積為S平方米，由題意可得，當且僅當時，等號成立，∴整個綠化面積的最小值為864平方米．例24．（2022·江蘇·南京市第二十九中學高一期中）1.通過技術創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進入歐洲市場.2021年，該種玻璃售價為25歐元/平方米，銷售量為80萬平方米，銷售收入為2000萬歐元.(1)據(jù)市場調查，若售價每提高1歐元/平方米，則銷售量將減少2萬平方米；要使銷售收入不低于2000萬歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米？(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在2022年對該種玻璃實施二次技術創(chuàng)新和營銷策略改革：提高價格到歐元/平方米（其中），其中投入萬歐元作為技術創(chuàng)新費用，投入500萬歐元作為固定宣傳費用，投入萬歐元作為浮動宣傳費用，試問：該種玻璃的銷售量（單位/萬平方米）至少達到多少時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和？并求出此時的售價.【答案】(1)40(2)該種玻璃的銷售量至少達到102萬平方米時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，此時求出此時的售價為30歐元.【解析】【分析】（1）設出未知數(shù)，列不等式進行求解；（2）根據(jù)題意，得到關于的關系式，，利用基本不等式進行求解(1)設該種玻璃的售價提高到x歐元/平方米解得：所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米(2)整理得：除以得：由基本不等式得：，當且僅當，即時，等號成立，所以該種玻璃的銷售量至少達到102萬平方米時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和，此時求出此時的售價為30歐元/平方米.【方法技巧與總結】利用不等式解決實際問題需注意以下四點(1)閱讀理解材料：應用題所用語言多為文字語言，而且不少應用題文字敘述篇幅較長．閱讀理解材料要達到的目的是將實際問題抽象成數(shù)學模型，這就要求解題者領悟問題的實際背景，確定問題中量與量之間的關系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向．(2)建立數(shù)學模型：根據(jù)(1)中的分析，把實際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數(shù)學模型，并且，建立所得數(shù)學模型與已知數(shù)學模型的對應關系，以便確立下一步的努力方向．(3)討論不等關系：根據(jù)(2)中建立起來的數(shù)學模型和題目要求，討論與結論有關的不等關系，得到有關理論參數(shù)的值．(4)作出問題結論：根據(jù)(3)中得到的理論參數(shù)的值，結合題目要求作出問題的結論．題型六：不等式的恒成立問題例25．（2022·江西師大附中高一期中）若不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】分離參數(shù)，求出的取值范圍即可得到答案.【詳解】解：∵不等式對任意恒成立，即對任意恒成立，又所以.故答案為：.例26．（2022·江蘇·高一專題練習）若關于的不等式有解，則實數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】或【解析】【詳解】本題考查了二次函數(shù)的性質，函數(shù)恒成立問題．分類討論，先驗證是否成立，再根據(jù)二次函數(shù)的性質列出不等式得出a的范圍．【解答】當時，不等式為有解，故，滿足題意；當時，若不等式有解，則滿足，解得或；當時，此時對應的函數(shù)的圖象開口向下，此時不等式總是有解，所以，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是或.例27．（2022·湖北·黃石市有色第一中學高一期中）關于的不等式在內有解，則的取值范圍為________．【答案】【解析】在內有解，，其中；設，則當時，，，解得：，的取值范圍為.故答案為：.例28．（2022·江蘇省天一中學高一期中）已知關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】求出的最大值，然后可得，解出即可.【詳解】因為關于的不等式在上有解，的最大值為4所以，解得故答案為：例29．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學高一階段練習）若不等式在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】分和兩種情況分析求解即可【詳解】當時，不等式為滿足題意；當時，需滿足，解得綜上可得，a的取值范圍為，故答案為：例30．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高一階段練習）若對任意，恒成立，則的最大值為_________．【答案】##【解析】【分析】先令，可得，再根據(jù)恒成立，可得，，由此可得，再驗證符合恒成立即可．【詳解】解：令，則，故，對任意，，則恒成立，∴∴，此時，∴，當時取等號，此時成立，∴的最大值為．故答案為：．例31．（2022·湖南·高一課時練習）設二次函數(shù)．（1）若方程有實根，則實數(shù)的取值范圍是______；（2）若不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是______；（3）若不等式的解集為R，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】

或.

【解析】【分析】根據(jù)方程的解或不等式的解的情況結合判別式可得相應的結果.【詳解】對于（1），因為方程有實根，故，解得或.對于（2），因為不等式的解集為，故，解得.對于（3），不等式的解集為R，故，故.例32．（2022·全國·高一專題練習）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)給定條件，等價變形不等式，構造函數(shù)，借助基本不等式計算作答.【詳解】對于任意的，不等式，即，因此，對于任意的，恒成立，當時，，，當且僅當，即時取“=”，即當時，取得最小值4，則，所以實數(shù)的取值范圍是.例33．（2022·全國·高一專題練習）已知二次函數(shù).若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】.【解析】【分析】對目標式分離參數(shù)，結合基本不等式，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式即為：，當時，可變形為：，即.又，當且僅當，即時，等號成立，，即.故實數(shù)的取值范圍是：.【方法技巧與總結】不等式對一切實數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)。【同步練習】一、單選題1．（2022·廣東·新會陳經綸中學高一期中）已知關于的不等式對任意恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】當時，不等式顯然成立；當時，由題意有，求解不等式組即可得答案.【詳解】解：當時，恒成立，符合題意；當時，由題意有，解得，綜上，.故選：B.2．（2022·全國·高一課時練習）若不等式的解集是，則的值為（

）A．-10 B．-14 C．10 D．14【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集，結合根與系數(shù)關系求出a、b，即可得結果.【詳解】由題意，和是方程的兩個根，由韋達定理得：且，解得：，，所以.故選：B3．（2022·重慶市石柱中學校高一階段練習）已知函數(shù)的圖象都在軸的上方，求實數(shù)的取值范圍(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】分類討論函數(shù)的平方項系數(shù)是否為零，根據(jù)常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像性質即可求出k的取值范圍.【詳解】的圖象都在軸上方，①時，k＝－5或k＝1，k＝－5時，函數(shù)為一次函數(shù)，不滿足條件；k＝1時，y＝3滿足條件；故k＝1；②k≠－5且k≠1時，函數(shù)為二次函數(shù)，則，解得；綜上，.故選：A.4．（2022·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學高一階段練習）不等式的解集為，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】分析可知關于的方程的兩根分別為、，利用韋達定理可求得、的值，然后利用二次不等式的解法解所求不等式，即可得解.【詳解】由題意可知，關于的方程的兩根分別為、，則，可得，故所求不等式為，即，解得.故選：A.5．（2022·湖南·高一課時練習）一元二次不等式的解集為R的一個充要條件是（

）A．a>0,Δ>0 B．a>0,Δ<0 C．a<0,Δ>0 【答案】D【解析】【分析】依據(jù)二次函數(shù)的圖像性質把不等式恒成立轉化成不等式組即可解決.【詳解】一元二次不等式的解集為R，即二次函數(shù)的圖像在x軸的下方，等價于，則一元二次不等式的解集為R的充要條件是選項A：二次函數(shù)的圖像只有一部分在x軸的下方.判斷錯誤；選項B：二次函數(shù)的圖像都在x軸的上方.判斷錯誤；選項C：二次函數(shù)的圖像只有一部分在x軸的下方.判斷錯誤；故選：D6．（2022·廣東廣州·高一期末）使不等式成立的充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義結合集合間的關系直接判斷作答.【詳解】解不等式得：，對于A，因，即是成立的充分不必要條件，A正確；對于B，是成立的充要條件，B不正確；對于C，因，且，則是成立的不充分不必要條件，C不正確；對于D，因，則是成立的必要不充分條件，D不正確.故選：A7．（2022·全國·高一）關于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或4【答案】A【解析】【分析】，利用韋達定理可得答案.【詳解】關于x的方程有兩個實數(shù)根，，解得：，關于x的方程有兩個實數(shù)根，，，，，即，解得：或舍去故選：A.8．（2022·全國·高一專題練習）不等式組有解，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件化簡不等式組，再列式即可求解作答.【詳解】依題意，，而不等式組有解，則不等式成立，因此，，即，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是：.故選：A二、多選題9．（2022·重慶·西南大學附中高一期中）關于x的不等式-10(其中xZ，a)的解集中元素的個數(shù)可能有（

）A．個 B．個 C．個 D．無數(shù)個【答案】AC【解析】【分析】在限定條件下討論的取值情況，從而判斷解集中x的個數(shù)【詳解】由題(其中xZ，a)，當時，，解得，即解集中有3個元素；當時，，故，解集中只有一個解，即解集中只有1個元素；故選：AC10．（2022·福建·晉江市第一中學高一階段練習）已知關于的不等式的解集為或，則下列結論中，正確結論的序號是（

）A． B．不等式的解集為C．不等式的解集為或 D．【答案】AD【解析】【分析】由一元二次不等式的解集可確定，并知兩根為和，利用韋達定理可用表示，由此將不等式中用替換后依次判斷各個選項即可得到結果.【詳解】對于A，由不等式的解集可知：且，，，A正確；對于B，，又，，B錯誤；對于C，，即，解得：，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD.11．（2022·江蘇·高一專題練習）已知方程及分別各有兩個整數(shù)根，及，，且，則下列結論一定正確的是（

）A．，，，B．C．D．【答案】ACD【解析】【分析】只需分別利用二次方程根與系數(shù)的關系，以及判別式判斷出正確的結論．【詳解】解：對于A：由知，與同號．若，則，這時，所以，此時與矛盾，所以，．同理可證，故A正確；對于B：根據(jù)題意可知，，，，解得．同理，，即，故B不正確，D正確；對于C：由A知，，，，是整數(shù)，所以，．由韋達定理有，所以，故C正確；故選：ACD．12．（2022·浙江·金華市曙光學校高一期中）在上定義運算，若關于的不等式的解集是集合的子集，則整數(shù)的取值可以是（）A．0 B．1 C． D．2【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定的運算列出關于x的一元二次不等式，再分情況求出不等式的解集即可討論作答.【詳解】由在上定義的運算：得，，即，當a=1時，不等式的解集為空集，而，則a=1，當a>1時，不等式的解集為{x|1<x<a}，顯然{x|1<x<a}不是{x|0≤x≤1}的子集，不滿足題意，舍去，當a<1時，不等式的解集為{x|a<x<1}，當{x|a<x<1}是{x|0≤x≤1}的子集時，a≥0，則0≤a<1，綜上所述，a的取值范圍是{a|0≤a≤1}，又a為整數(shù)，所以a=0或a=1.故選：AB三、填空題13．（2022·上海·上外附中高一期中）關于的方程的兩個根為素數(shù)，則___________．【答案】【解析】【分析】設關于x的方程的兩根分別為，由韋達定理得，則中一個是偶數(shù)一個是奇數(shù)，從而得，進而求出參數(shù)．【詳解】設關于x的方程的兩根分別為，且則因為均為素數(shù)，所以中一個是偶數(shù)一個是奇數(shù)，故，所以．故答案為：．14．（2022·江蘇·南京市金陵中學河西分校高一階段練