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課時提升作業十一

排序不等式

圓15分鐘練/

分值：30分

一、選擇題（每小題4分，共12分）

1.若00102,0<bi<b2,Sai+a2=bi+b2=l,則下列代數式中值最大的是

（）

A.aibi+a2b2B.aia2+bib2

C.aib2+a2biD.-

【解析】選A.因為0<ai<a2,0<bi<b2,由排序不等式可知aibi+a2b2最大.

2.（2016商丘高二檢測）設21?2,..向都是正數也上2”..耳是2112,..向的任一排

列，則aibj+a2bli+...+anb?的最小值為（）

A.lB.n

CMD.無法確定

【解析】選B.因為ai,a2,…,an者數,不妨設aiWazW…wan,貝（］工4^—w…

aa

nan-il

由題意及排序不等式知，反序和最小，所以81bi+a2b2+...+anbn>

111

=

ai—na2—H.?.+an—nz

ala2an

-1—1―1

即ai%+a2b2+...+anbn的最小值為n.

3.已知a,b,c￡R+,則a2Q2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正負情況是(

A.大于零B.大于等于零

C.小于零D.小于等于零

【解題指南】限制a,b,c的大小關系，取兩數組利用排序不等式求解.

【解析】選B.設a2b">0,所以a32b3次3,

根據排序原理彳導:a3xa+b3xb+c3xc>a3b+b3c+c3a.

又知ab>ac>bc,ai2>b2>c2,

所以a3b+b3c+c3a>a2bc+b2ca+c2ab.

所以a4+b4+c4>a2bc+b2ca+c2ab.

即a2(a2-be)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)>0.

二填空題(每小題4分，共8分)

h22

4.(2016?梅州高二檢測)若a>0,b>0且a+b=l廁匕+ia的最小值是一

aD

【解析】不妨設a2b>0廁有a22b2,且名，

由排序不等式-■^^-^-*a2+^,b2=：a4-b=l.

abaD

ik2a2

當且僅當a=b弓時取等號，所以g+夫的最小值為1.

2ab

答案:1

5.設a,b都蔻E數若P=(r+CIQ噌

【解析】由題意不妨設a2b>0.

由不等式的性質，知于印*若所以9之9

根據排序原理，知

"口>。+人.

bbaabaab

即(滬限編

答案:P2Q

【誤區警示】本題易出現觀察不等式找不出排序原理用到的兩組數，并用排序不

等式比較大小.

三、解答題

6.(10分)(2016?廣州高二檢測)已知a,b,c為正數，用排序不等式證明:2(a3+b3+c3)

>a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).

【證明】設正數a,b,c滿足awbwc,則a2wb24c2,由排序不等式得,

a2b+b2c+c2a<a3+b3+c3,

a2c+b2a+c2b<a3+b3+c3,

兩式相加彳導：

2(a3+b3+c3)>a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b).

頌遑國)15分鐘練/

分值：30分

一、選擇題（每小題5分，共10分）

1.已知x?y,M=x4+y4,N=x3y+xy3,貝（］M與N的大小關系是（）

A.M>NB.M>N

C.M<ND.M<N

【解析】選B.由排序不等式，知MNN.

2.（2016長沙高二檢測）已知xi,X2,…,Xn均為正數,A=x：+x，+...+x^

B=X1X2+X2X3+...+XnXl.

則A與B的大小關系為（）

A.A>BB.A<B

C.A>BD.A<B

【解析】選C.因為X1,X2,…,Xn均為正數不妨設

X1<X2<...<Xn,根據排序不等式彳導

Xl+Xl+—+Xn-X1X2+X2X3+...+XnXl.

即A>B.

二、填空題（每小題5分，共10分）

3.（2016?武漢高二檢測）若a,b,c>0,a2+b2+c2=3,則ab+bc+ca的最大值是

【解析】不妨設a2b^c>0,則b,c,a為亂序，于是由排序不等式知a2+b2+c2>

ab+bc+ac,所以ab+bc+ca<3,BPab+bc+ca的最大值為3.

答案：3

22

a1a2

----

4.（2016?珠海高二檢測）設31,32,...,an為正數，且31+32+...+ana2a3

22

+a■+蹌的最小值為_______.

anal

【解析】由所求代數式的對稱性,不妨設0<ai<a2<...<an,

所以基…

aTa2an

而;，…,為，…,:的一個排列，由亂序和之反序和，得

aa

323naiaTa2a3an

22

12l212l21a1a2

+.-+.即-+-+>

a21a2n----

n-『aa2a3

92a3ala2an

=

81+82+...+an5/

故所求最小值為5.

答案：5

三、解答題

5.（10分）設x>0,W：l+x+x2+...+x2n>（2n+l）xn.

【解題指南】題中只給出了x>0,但是對于x>l,x<l并不確定，因此，需要分類討

論.

【證明】Q）當X”時，

l<x<x2<...<xn.

由排序原理知，

l-l+X-X+X2-X24-...+Xn-Xn>Xn-l+Xn'1-X+...+l-Xn,

所以l+x2+x4+...4-x2n>(n+l)xn.(i)

又因為X,x2,...,xn,l為LX*,...*的一個排序于是由排序原理得Lx+X?x2+...+xn-

LXn+

Xn-l>l-Xn+X-Xn-1+...+Xn'1-X+Xn-l.

所以x+x3+...+x2n-1>nxn.(2)

①+②狷

l+x+x2+...+x2n>(2n+l)xn.

⑵當O<X<1時,l>x>x2>...>xn,同理可得結論.

綜合⑴與⑵，所以當X>O時，

l+x+x2+...+x2n>(2n+l)xn.

222

a1+a2++an

【補償訓練】設a"2,…吊為實數證明:虹美二包4n

【證明】不妨設aiWa24a3W...wan

由排序原理得

222

1+a2+a39

.+8n-3181+3232+9393+...+9n3n.

22

1+a2+ag+...+aaNaia2+a2a3+a3a4+.??+anai

22

1+a2

+a|+...+an>3133+3234+3335+...+an32

222

1+a2+a32

+...+3p^3ian+a2ai+asa2+...+an3n-i

以上n個式子兩邊相加

222

n(za+a+a

\123??+戴）之（ai+a2