第2講導數與函數的單調性1.[命題點1/多選/2024山東省青島市檢測]若函數g（x）＝exf（x）在f（x）的定義域上單調遞增，則稱函數f（x）具有M性質.下列函數中具有M性質的為（BC）A.f（x）＝5－x B.f（x）＝2－xC.f（x）＝34x2＋1 D.f（x）＝x解析對于A選項，exf（x）＝ex·5－x＝（e5）x，在R上單調遞減，故f（x）＝5－x不具有M對于B選項，exf（x）＝ex·2－x＝（e2）x，e2＞1，在R上單調遞增，故f（x）＝2－x具有對于C選項，exf（x）＝ex（34x2＋1），則[exf（x）]'＝ex（34x2＋1）＋ex·32x＝ex（34x2＋32x＋1）＝34ex[（x＋1）2＋13]＞0，所以exf（x）＝ex（34x2＋1）在R上單調遞增，故f（x）＝對于D選項，f（x）＝x3的定義域為R，則exf（x）＝exx3，[exf（x）]'＝exx3＋3x2ex＝x2ex（x＋3），令ex·x2（x＋3）＜0，解得x＜－3，所以exf（x）在（－∞，－3）上單調遞減，故f（x）＝x3不具有M性質.故選BC.2.[命題點2/2024綿陽市一診]已知函數f（x）＝x2＋12lnx－mx＋m－1（m∈R）（1）探討函數f（x）在（0，＋∞）上的單調性；（2）當x∈[12，＋∞）時，f（x）≥0，求m的值解析（1）由題意得f'（x）＝2x＋12x－m，∵x＞0，∴2x＋12x≥22x·12①當m≤2時，不等式f'（x）≥0恒成立（當且僅當x＝12，且m＝2時“＝”∴函數f（x）在（0，＋∞）上單調遞增.②當m＞2時，由f'（x）＞0，得0＜x＜m－m2－44或x＞m＋m2－44；由f'∴函數f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋單調遞減.綜上，當m≤2時，函數f（x）在（0，＋∞）上單調遞增，無單調遞減區間；當m＞2時，函數f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋m（2）當x∈[12，＋∞）時，由f（1）＝0知，要使得f（x）≥0恒成立，則f'（1）＝又f'（x）＝2x＋12x－∴f'（1）＝2＋12－m＝0，解得m＝5下證：當m＝52時，f（x）≥0此時f（x）＝x2＋12lnx－52x＋f'（x）＝2x＋12x－52＝4∵x∈[12，＋∞∴由f'（x）＞0，解得x＞1，由f'（x）＜0，解得12≤x＜∴f（x）在[12，1）上單調遞減，在（1，＋∞）上單調遞增.∴f（x）≥f（1）＝綜上，m＝523.[命題點3角度2/2024全國卷乙]設a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝1.04－1，則（BA.a＜b＜c B.b＜c＜aC.b＜a＜c D.c＜a＜b解析b－c＝ln1.02－1.04＋1，設f（x）＝ln（x＋1）－1+2x＋1，則bf（0.02），f'（x）＝1x+1－22當x≥0時，x＋1＝（x+1）2≥1+2x，故當x≥0時，f'（x）＝1+2x－（x+1）1+2所以f（x）在[0，＋∞）上單調遞減，所以f（0.02）＜f（0）＝0，即b＜c.a－c＝2ln1.01－1.04＋1，設g（x）＝2ln（x＋1）－1+4x＋1，則a－c＝g（0.01），g'（x）＝2x+1當0≤x＜2時，4x+1≥（x+1）故當0≤x＜2時，g'（x）≥0（當且僅當x＝0時“＝”成立），所以g（x）在[0，2）上單調遞增，所以g（0.01）＞g（0）＝0，故c＜a，從而有b＜c＜a，故選B.4.[命題點3角度3/2024廣州二模]已知偶函數f（x）與其導函數f'（x）的定義域均為R，且f'（x）＋e－x＋x也是偶函數，若f（2a－1）＜f（a＋1），則實數a的取值范圍是（B）A.（－∞，2） B.（0，2）C.（2，＋∞） D.（－∞，0）∪（2，＋∞）解析因為f（x）為偶函數，所以f（x）＝f（－x），等式兩邊求導可得f'（x）＝－f'（－x）①，（易錯：對等式f（x）＝f（－x）兩邊同時求導的時候，要留意等式右邊是一個復合函數，不要把負號漏掉了）因為函數f'（x）＋e－x＋x為偶函數，所以f'（x）＋e－x＋x＝f'（－x）＋ex－x②，聯立①②可得f'（x）＝ex－e令g（x）＝f'（x），則g'（x）＝ex+e－x2－1≥當且僅當x＝0時取等號，所以函數g（x）在R上單調遞增，即函數f'（x）在R上單調遞增，故當x＞0時，f'（x）＞f'（0）＝0