高中數學集合知識點

高中數學集合知識點

一.知識歸納：

1.集合的有關概念。

1）集合（集）:某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）.其中

每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描

述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性（a?A和a?A,二者必居其一）、互異性

（若a?A,b?A,則aWb）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素;

只要是它的元素就必須符號條件

2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3）集合的分類：有限集，無限集，空集。

4）常用數集：N,Z,Q,R,N_

2.子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。

1）子集：若對產A都有_￡B,則AB（或AB）;

2）真子集:AB且存在_0￡B但_0A;記為AB（或，且）

3）交集：AAB={_eAl._eB}

4）并集：AUB={_￡A或_￡B}

5）補集：CUA=L_A但_￡U}

1

注意：①?A,若AW?,則?A;

②若，，則;

③若且，則A=B(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號,

特別要注意以下的符號：(1)與、？的區別；(2)與的區別；(3)與的區別。

4.有關子集的幾個等價關系

①AnB=AAB;②AUB=BAB;③ABCuACuB;

④AnCuB=空集CuAB;⑤CuAUB=IABO

5.交、并集運算的性質

①AGA=A,AA?=?,AGB=BCA;②AUA=A,AU?=A,AUB=BUA;

③Cu(AUB)=CuAClCuB,Cu(AAB)=CuAUCuB;

6.有限子集的個數：設集合A的元素個數是n,則A有2n個子集，

2n-l個非空子集，2n-2個非空真子集。

二.例題講解：

［例1］已知集合M={—=m+,mGZ},N={_=,nGZ},P={_=,pGZ},

則M,N,P滿足關系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：從判斷元素的共性與區別入手。

解答一：對于集合M：{_=,111￡2};對于集合2{_=,11￡2}

對于集合P：{—二,p￡Z},由于3(n-1)+1和3p+l都表示被3除余

1的數，而6m+l表示被6除余1的數，所以MN=P,故選B。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

2

解答二：M={…，，…},N={…，，，，…},P={…，，，…},這時不

要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。

=eN,￡N,AMN,又二加，AMN,

=P,「.NP又￡N,APN,故P=N,所以選B。

點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決

問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設集合，，則(B)

A.M=NB.MNC.NMD.

解：

當時，2k+l是奇數，k+2是整數，選B

【例2】定義集合A_B={_eA且_B},若A={1,3,5,7},B={2,3,5),

則A_B的子集個數為

A)1B)2C)3D)4

分析：確定集合A_B子集的個數，首先要確定元素的個數，然后再

利用公式：集合A={al,a2,…，an}有子集2n個來求解。

解答：,.?A_B={_￡A且_B},.,.A_B={1,7},有兩個元素，故A_B

的子集共有22個。選D。

變式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5},且若a￡M,則6?a￡M,那

么集合M的個數為

A)5個B)6個C)7個D)8個

變式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

3

集合A可能是

{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評析本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共

有個.

【例3】已知集合A={_2+p_+q=0},B={_2?4_+r=0}，且AGB={1},A

UB={?2,1,3},求實數p,q,r的值。

解答：VAnB={l}.*.ieB.,.12?4Xl+r=O,r=3.

.-.B={_2?4_+r=0}={l,3},VAUB={?2,1,3},?2B,.,.?2eA

：AAB={1}.\1￡A方程_2+p_+q=0的兩根為-2和1,

變式：已知集合A={_2+b_+c=0},B={_2+m_+6=0},且AGB={2},A

UB=B,求實數b,c,m的值.

解：VAAB={2}AIGB22+m?2+6=0,m=-5

.B={_2-5_+6=0}={2,3}：AUB=B/.

又：AGB={2}A={2}b=-(2+2)=4,c=2X2=4

b=-4,c=4,m=-5

［例4］已知集合A={_(_T)(_+l)(_+2)0},集合B滿足：AU

B={_-2},且AGB={_1

分析：先化簡集合A,然后由AUB和AGB分別確定數軸上哪些元

素屬于B,哪些元素不屬于B。

解答：A={_-2-1或」}。由AAB={」-2}可知［-1,1］B,而解8,-2)

nB=(t)o-1或—

4

-1或—

綜合以上各式有B={_-1W_W5}

變式1：若A=L_3+2_2-8_0},B={_2+a_+bW0},已知AUB={_-4},

AGB=O＞，求a,b。（答案：a=-2,b=0）

點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的方

法，作出數軸來解之。

變式2：設M={_2-2_-3=0},N={_a_T=0},若MAN=N,求所有滿

足條件的a的集合。

解答：M={-1,3}（VMnN=N,ANM

①當時，a_T=O無解，，a=0②

綜①②得：所求集合為h1,0,}

【例5】已知集合，函數y=Log2（a_2-2_+2）的定義域為Q,若PAQ

W①，求實數a的取值范圍。

分析：先將原問題轉化為不等式a_2-2_+20在有解，再利用參數分

離求解。

解答：（1）若，在內有有解

令當時，

所以a-4,所以a的取值范圍是

變式：若關于JI勺方程有實根，求實數a的取值范圍。

解答：

點評：解決含參數問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所

有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。

5

三.隨堂演練

選擇題

I.下列八個關系式①{0}=②=0③H④仆⑤8}

⑥0⑦{0}⑧。其中正確的個數

(A)4(B)5(C)6(D)7

2.集合合,2,3}的真子集共有

(A)5個(B)6個(C)7個(D)8個

3.集合A={」B={}C={}又則有

(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A>B、C任一個

4.設A、B是全集U的兩個子集，且AB,則下列式子成立的是

(A)CUACUB(B)CUACUB=U

(C)ACUB=(D)CUAB=

5.已知集合A={},B={}貝!JA=

(A)R(B)(}

(C){}⑻{}

6.下列語句：(1)0與{0}表示同一個集合；(2)由1,2,3組成的集

合可表示為

{1,2,3}或{3,2,1};(3)方程(_-1)2(_-2)2=0的所有解的集合

可表示為{1,1,2};(4)集合{}是有限集，正確的是

(A)只有⑴和(4)(B)只有(2)和(3)

(C)只有(2)(D)以上語句都不對

7.設S、T是兩個非空集合，且ST,TS,令_=S那么SU_=

6

(A)_(B)T(C)①(D)S

8設一元二次方程a_2+b_+c=0(a0)的根的判別式，則不等式

a_2+b_+c0的解集為

(A)R(B)(C){}(D){}

填空題

9.在直角坐標系中，坐標軸上的點的集合可表示為

10.若A={1,4,_},B={1,_2}且AB=B,則_=

11.若A={」B={_},全集U=R,則人=

12.若方程8_2+(k+l)_+k-7=0有兩個負根，則k的取值范圍是

13設集合A={},B={J,且AB,則實數k的取值范圍是。

14.設全集U={_為小于20的非負奇數},若A(CUB)={3,7,15),

(CUA)B={13,17,19},又(CUA)(CUB)=,則AB=

解答題

15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+l},若AB={-3},

求實數a。

16(12分)設A=,B=,

其中_R,如果AB=B,求實數a的取值范圍。

四.習題答案

選擇題

12345678

CCBCBCDD

填空題

7

9.{(_,y)}10.0,11.{_,或_3}12.{}13.{}14.{1,5,9,H}

解答題

15.a=-l

16.提示:A={0,-4},又AB=B,所以BA

(I)B=時，4(a+l)2-4(a2-l)0,得aT

(11元={0}或13={-4}時，0得a=T

(III)B={0,-4},解得a=l

綜上所述實數a=l或a-1

提高數學成績的方法

1.要