722復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)

一、內(nèi)容及內(nèi)容解析

1、內(nèi)容

復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算

2、內(nèi)容解析

引入一類(lèi)代數(shù)對(duì)象，就要研究它的運(yùn)算。上一節(jié)課，研究了復(fù)數(shù)的加減法法則，

本節(jié)主要討論復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，并從它的逆運(yùn)算的角度，給出復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法

則。復(fù)數(shù)的乘法法則，教材中是直接規(guī)定的，由于復(fù)數(shù)的乘法法則的形式較為復(fù)

雜，不需要記憶，只需類(lèi)比多項(xiàng)式的乘法，將復(fù)數(shù)的乘法按多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行,

只要在所得結(jié)果中把尸換成-1,并且把實(shí)部和虛部分別合并即可。在復(fù)數(shù)的乘法

法則之下，復(fù)數(shù)的乘法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律。共貌復(fù)數(shù)

的概念比較簡(jiǎn)單，旁白提出的問(wèn)題，其實(shí)是是共輾復(fù)數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。這個(gè)性

質(zhì)也為學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的除法作了準(zhǔn)備。類(lèi)比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，規(guī)定復(fù)數(shù)的

除法是乘法的逆運(yùn)算。而可探求復(fù)數(shù)的除法法則。但復(fù)數(shù)的除法法則形式太復(fù)雜,

在實(shí)際進(jìn)行復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算時(shí)，類(lèi)比根式的除法得到簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，即先把兩

個(gè)復(fù)數(shù)相除寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，再把分子分母都乘分母的共粗復(fù)數(shù)，使分母實(shí)數(shù)化,

最后再作化簡(jiǎn)。

二、教學(xué)目標(biāo)

1、掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法、除法的運(yùn)算法則

2、理解復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

3、理解共枕復(fù)數(shù)的概念

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：復(fù)數(shù)乘鼻、除法的運(yùn)算法則、乘法運(yùn)算律

難點(diǎn)：復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則

三、數(shù)學(xué)素養(yǎng)：

邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象

四、教學(xué)過(guò)程

(一)復(fù)習(xí)回顧

1、復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算法則

(a+6)+(c+或)=

2、復(fù)數(shù)減法的運(yùn)算法則

(a+Z?z)-(c+di)=

【師生活動(dòng)】教師提問(wèn)學(xué)生，然后教師總結(jié)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生自然而然，由復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算，類(lèi)比實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算，想到

復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算。

(-)引入新課

師：課件展示，提出疑問(wèn)，進(jìn)而引入課題

(。+法)(0+公尸？

（4+Z?X）+（C+公）=?

(三)探究復(fù)數(shù)的乘法法則

師：我們首先回顧多項(xiàng)式的乘法，設(shè)a,bcd,xeR,則(a+bx)(c+〃x)如何展開(kāi)?

(a+bx)(c+dx)=__________________

類(lèi)比多項(xiàng)式的乘法，你能把兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘展開(kāi)嗎？

(a+bi)(c+di)=____________________

生：回答以上兩個(gè)問(wèn)題

師：我們只需在上述展開(kāi)式中把尸換成-1,并且把實(shí)部和虛部分別合并即可。引

出這就是教材中規(guī)定的復(fù)數(shù)的乘法法則。

師：兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的結(jié)果是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)。可以看出，兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，類(lèi)似兩

個(gè)多項(xiàng)式相乘，只要在所得結(jié)果中把/換成-1,并且把實(shí)部和虛部分別合并即可。

師：請(qǐng)同學(xué)們利用復(fù)數(shù)的乘法法則，完成例1.

例1、計(jì)算

(1)(3+4z)(l-2z)

(2)(l-2z)(3+4z)

(3)(-2+7)(12)(3+47)

(4)(l-2z)(l+z)+(l-2z)(l-0

生：在學(xué)案中寫(xiě)出完整的過(guò)程。

師：提問(wèn)學(xué)生計(jì)算結(jié)果。

(四)探究復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

師：繼續(xù)追問(wèn)，根據(jù)例1(1)(2)兩個(gè)小題的結(jié)果相同，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：思考并回答

師：裝其實(shí)是看個(gè)具體的復(fù)數(shù)相乘滿(mǎn)足復(fù)數(shù)乘法的交換律。其實(shí)對(duì)任意兩個(gè)復(fù)數(shù)

相乘都滿(mǎn)足交換律。你能給出證明嗎？可以說(shuō)一下自己的證明思路嗎？

生：思考并回答

師：類(lèi)似地，我們依然可以證明復(fù)數(shù)乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律。利

用乘法的分配律，可以簡(jiǎn)化復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算。

生：學(xué)案中寫(xiě)出復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

對(duì)任意的復(fù)數(shù)Z”Z2，Z3GC,有

Z]Z2=；（Z1Z2）Z3=；Z^Z2+Z3）=

師：在例1(4)中，如果用運(yùn)算律，如何計(jì)算？

生：學(xué)生舉手并起立回答

【設(shè)計(jì)意圖】

首先讓學(xué)生回顧多項(xiàng)式的乘法，然后類(lèi)比多項(xiàng)式的乘法，寫(xiě)出兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘的展

開(kāi)形式。讓學(xué)生通過(guò)已經(jīng)熟悉的知識(shí)，學(xué)習(xí)新內(nèi)容。通過(guò)例1的設(shè)計(jì)，既讓學(xué)生

熟悉乘法法則，又為引出復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算律做鋪墊。讓學(xué)生體會(huì)從一般到特殊的

數(shù)學(xué)思想方法。

師：彖費(fèi)完成例2,看誰(shuí)算得又快又準(zhǔn)計(jì)算

例2、(3+4z)(3-4z)(2)(1+z)2

生：兩個(gè)學(xué)生黑板板演，其余學(xué)生在學(xué)案上完成

師：除了黑板上同學(xué)展示的思路，還有用其他思路的同學(xué)嗎？

生：起立回答，(1)用平方差公式計(jì)算；(2)用完全平方和公式計(jì)算

師：對(duì)學(xué)生提出表?yè)P(yáng)，并總結(jié)：實(shí)數(shù)系中的乘法法則在復(fù)數(shù)系中依然成立。

【設(shè)計(jì)意圖】

通過(guò)此例題，一是讓學(xué)生體會(huì)實(shí)數(shù)系中的乘法法則在復(fù)數(shù)系中依然成立。二是引

出共軌復(fù)數(shù)的概念。

(五)共趣復(fù)數(shù)的概念

師：例2(1)中的兩個(gè)復(fù)數(shù)有什么特征？

生：齊答

師：課件展示，給出共輾復(fù)數(shù)的概念

生：完成學(xué)案中內(nèi)容的填寫(xiě)

一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，虛部時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互

為共輒復(fù)數(shù).通常記復(fù)數(shù)z的共腕復(fù)數(shù)為.若z=a+bi(a,beR)，則2

師：根據(jù)共加復(fù)數(shù)的概念，提問(wèn)基礎(chǔ)較弱的同學(xué)回答問(wèn)題1

問(wèn)題1：口答下列復(fù)數(shù)的共飄復(fù)數(shù)

(1)6-2Z(2)5+7z(3)3Z(4)8

師：課件展示第二個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題2；若z=a+4R),則zz=.

BP(a+hi)(a-bi)=.

生：思考并舉手回答

師：總結(jié)：兩個(gè)共輾復(fù)數(shù)的積是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)等于復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的平

方和。

【設(shè)計(jì)意圖】

為復(fù)數(shù)的除法作準(zhǔn)備。

(六)探究復(fù)數(shù)的除法法則

師：課件展示，復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，給出復(fù)數(shù)除法的定義。

類(lèi)比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，我們規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算。

即把滿(mǎn)足(c+di)(x+yi)-a+bi,(a,b,c,d,x,yeR且c+diH0)的復(fù)數(shù)x+yi,

叫做復(fù)數(shù)a+6除以復(fù)數(shù)c+di的商，記作(a+次)+(c+di).

師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)以上內(nèi)容探究復(fù)數(shù)除法的法則。要求先自己思考，然后小組內(nèi)

討論交流。

生：自己思考，組內(nèi)展開(kāi)討論

師：哪個(gè)小組上臺(tái)展示自己小組內(nèi)的討論成果？

生1：積極展臺(tái)展示，并給同學(xué)們講解思路

師：還有不同的想法嗎？引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比初中所學(xué)根式除法，將分母有理化的思路,

此處只需將分母實(shí)數(shù)化即可。

生2：繼續(xù)展臺(tái)展示并講解

師：對(duì)同學(xué)們的展示給于鼓勵(lì)和贊賞，課件展示規(guī)范的復(fù)數(shù)除法法則和平時(shí)計(jì)算

復(fù)數(shù)除法的簡(jiǎn)便方法。引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比初中所學(xué)根式除法，將分母有理化的思路,

此處只需將分母實(shí)數(shù)化即可。

師：課件展示例3的規(guī)范做法。

例3：(l+2z)-(3-4z)

生：把步驟規(guī)范寫(xiě)到學(xué)案中。

師：奇數(shù)組同學(xué)完成練習(xí)題中的(1)(3),偶數(shù)組同學(xué)完成練習(xí)題中的(2)(4)。

并找兩位學(xué)生黑板班演。

練習(xí)：

⑴叱⑵1⑶21L(4)(.1+漢2+力

1-1i3+4Z-i

師：請(qǐng)同學(xué)們深入思考例4

例4、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：/+2=0

師：哪位同學(xué)有思路，請(qǐng)起立回答

生1：先把設(shè)出來(lái)，再利用復(fù)數(shù)的相等，求出來(lái)

生2：先移項(xiàng)，再把-1換成，然后很容易得出

師：對(duì)學(xué)生的做法予以肯定和贊賞。課件展示本題的思路。并總結(jié)按照這中方法

我們可以把判別式小于零的任意的一元二次方程，化為這種形式，進(jìn)而求出方程

的復(fù)數(shù)根。

(七)課堂檢測(cè)

1、計(jì)算

(1)(4-30(-5-40⑵總I

2、若z=1-2i,則！=___________

z-

3、在復(fù)數(shù)集中解方程：4f+9=0

【設(shè)計(jì)意圖】

鞏固本節(jié)所學(xué)基本知識(shí).

（八）課堂小結(jié)

師：本節(jié)課你的收獲是什么？

生1：起立回答

生2：適當(dāng)補(bǔ)充

師：總結(jié)提升

知識(shí)方面：

1、一個(gè)概念：共輾復(fù)數(shù)

2、兩種法則：乘法法則和除法法則

3、三種運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律、乘法對(duì)加法的分配律

數(shù)學(xué)思想：

類(lèi)比、轉(zhuǎn)化

數(shù)學(xué)素養(yǎng)：

數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象

五、布置作業(yè)

必做題：課本80頁(yè)3,4,6題

【設(shè)計(jì)意圖】

鞏固本節(jié)所學(xué)基本知識(shí).

探究題：

1、在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程：

ax2+版+。=0,其中4,。,067?且。工0,4=〃-4ac<Q.

2、證明復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律

【設(shè)計(jì)意圖】

提升同學(xué)們的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

學(xué)情分析

授課班級(jí)是高一理生地組合的學(xué)生，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)比較好一些。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)系的擴(kuò)充、復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其

幾何意義。類(lèi)比初中學(xué)習(xí)的實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算，學(xué)生很容易想到復(fù)數(shù)也有乘、除運(yùn)算。課前有

一節(jié)自習(xí)已讓學(xué)生預(yù)習(xí)了課本上的有關(guān)內(nèi)容。

對(duì)于復(fù)數(shù)的乘法法則，學(xué)生也很容易類(lèi)比多項(xiàng)式的乘法得出。可能存在困難的地方就

是，類(lèi)比實(shí)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算，探究出復(fù)數(shù)的除法

法則。

效果分析

本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程面向全體學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，培養(yǎng)了學(xué)生運(yùn)用知識(shí)分析

和解決問(wèn)題的能力，重視學(xué)生討論合作、探究性學(xué)習(xí)習(xí)慣的養(yǎng)成，重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法

的總結(jié)，善于引導(dǎo)學(xué)生用類(lèi)比的思想方法用已會(huì)的知識(shí)探索未知的東西，對(duì)學(xué)生后續(xù)內(nèi)容的

學(xué)習(xí)有一定幫助。

通過(guò)課后評(píng)測(cè)練習(xí)的批改，學(xué)生對(duì)乘、除運(yùn)算掌握情況還是很好的。大部分同學(xué)做題速

度較快，都能夠做全對(duì)。只有一小部分同學(xué)出現(xiàn)了計(jì)算錯(cuò)誤，但方法已經(jīng)掌握。總體上說(shuō)效

果不錯(cuò)。

教材分析

1、教材地位：

本節(jié)課是新課程人數(shù)A版第七章第二節(jié)第二課時(shí)。它是在學(xué)生學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的概念、

復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及其兒何意義的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究學(xué)習(xí)的，也為后面的復(fù)數(shù)的三角表示

做好了鋪墊。

2、教材作用

引入一類(lèi)代數(shù)對(duì)象……復(fù)數(shù)，就要研究它的運(yùn)算。教材首先給出了復(fù)數(shù)的乘法法則，

然后從逆運(yùn)算的角度給出復(fù)數(shù)的除法法則。側(cè)重提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)。

復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算評(píng)測(cè)練習(xí)

1、（l+i）（2—i）等于（）

A.—3—iB.—3+iC.3—iD.3+i

2、i（2+3i）等于（）

A.3-2iB.3+2iC.~3~2iD.-3+2i

4343

A-B--5+?

4、若z(l+i)=2i,則z等于()

A.-1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

5、已知z（l+i）=-l+7i（i是虛數(shù)單位），z的共軌復(fù)數(shù)為z,則|z|等于（）

ASB.3+4iC.5D.7

6、已知aWR,i是虛數(shù)單位，若z=45+ai,z-z—4,則。為（）

A.1或一1B.1

C.-1D.不存在的實(shí)數(shù)

5-3i

7、若1_1_。.=川+對(duì),其中機(jī)，〃￡R,則能一〃等于（）

[十21

-14cl2c12r14

A.-^-B.與C.-yD.一石-

8、已知復(fù)數(shù)z=2+i,則z?，等于（）

A.小B.小C.3D.5

1-i

9.設(shè)z=^+2i,則|z|等于（）

A.0B.1C.1D.也

10.已知復(fù)數(shù)2=亡，則z+乎在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

11.己知復(fù)數(shù)2=魯，i為虛數(shù)單位，則|z|2=.

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