對數的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么數x叫做以①

a

為底N的對數,記作②

x=logaN

,其中a叫做對數的③底數

,N叫做④真數

.(1)負數和零沒有對數.(2)特殊值:1的對數是0,即loga1=0(a>0,且a≠1);底數的對數是1,即logaa=1(a>0,且a≠1).2.2對數函數2.2.1對數與對數運算(1)當a>0,且a≠1時,ax=N?⑧

x=logaN

.(2)對數恒等式:

=N;logaaN=N(a>0,且a≠1).名稱定義記法常用對數以⑤10

為底的對數叫做常用對數⑥

lgN

自然對數以無理數e=2.71828…為底的對數稱為自然對數⑦

lnN

對數的運算性質如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:(1)loga(M·N)=⑨

logaM+logaN

;(2)loga

=⑩

logaM-logaN

;(3)logaMn=

nlogaM

(n∈R).

對數換底公式及其推論(1)對數換底公式:logab=

(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1);(2)推論:lo

bn=

logab,logab=

(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;m≠0).

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.1.以e為底的對數叫做自然對數.

(√)a(xy)=logax+logay(a>0,且a≠1).

(

?)當x<0,y<0時,可知結論錯誤.a(-2)2=2loga(-2)(a>0,且a≠1).

(

?)公式logaMn=nlogaM(n∈R)中的M應為大于0的數,故結論錯誤.4.根據對數的定義,因為(-2)4=16,所以log(-2)16=4.

(

?)對數的底數a應滿足a>0且a≠1.x2=

(x>0,且x≠1).

(√)由對數的換底公式得logx2=

=

,故結論正確.2(-2a+1)有意義的a的取值范圍是

.

(√)要使對數log2(-2a+1)有意義,必須使-2a+1>0,解得a<

,故結論正確.“改變世界面貌的十個數學公式”被寫到郵票中,第4枚是納皮爾指數與對數關

系公式:elnN=N,其中e=2.71828….伽利略曾發出豪言壯語:“給我時間、空間和對

數,我可以創造出一個宇宙來.”對數性質與對數運算的應用問題ln4+1?提示:eln4+1=eln4·e=4e.aN=x和指數式ax=N推出

=N(a>0,且a≠1,N>0)?提示:把x=logaN代入ax=N,得

=N.3.在指數與對數的互化中,要注意什么?提示:要注意底數的范圍,如(-2)2=4,不能寫成log(-2)4=2,只有a>0,a≠1,N>0時,才有ax

=N?x=logaN.利用對數的運算性質可以將同底對數式進行恒等變形,解題時要注意下列問題:(1)利用對數的運算性質,可以把乘、除、乘方的對數運算轉化為對數的加、

減、乘法運算,反之亦然.因此在計算時,要靈活運用運算性質.(2)在使用公式的過程中,要注意公式成立的條件.

計算下列各式:(1)log535-2log5

+log57-log5

;(2)lg25+

lg8+lg5×lg20+(lg2)2.解析

(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-(log59-log55)=log55+log57-2log57+2

log53+log57-2log53+log55=2log55=2.(2)原式=2lg5+2lg2+(1-lg2)(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+1-(lg2)2+(lg2)2=2+1=3.

對數換底公式及其應用

對不同底的對數式進行恒等變形時,可以用對數換底公式將底數換為相同的

數,可以根據題目的特點換為指定的底數,也可以換為常用對數或自然對數.

(2)已知log189=a,18b=5,用a、b表示log3645為

.解析

(1)原式=

+

×

=

log23×

=

.(2)解法一:∵18b=5,∴log185=b,∴log3645=

=

=

=

=

.解法二:∵log189=a,18b=5,∴lg9=alg18,lg5=blg18,∴log3645=

=

=

=

=

.解法三:∵log189=a,∴18a=9.(1)化簡:(log43+log83)(log32+log92)=

;又∵18b=5,∴45=5×9=18b·18a=18a+b.令log3645=x,則36x=45=18a+b,即36x=

=18a+b,∴

=18a+b,∴xlog18

=a+b,∴x=

=

.答案(1)

(2)

解題模板用已知對數式表示未知對數式,此類問題的本質是把目標分解為基本“粒子”,

然后用指定字母換元.跟蹤訓練2(

)已知a,b,c是不等于1的正數,且ax=by=cz,

+

+

=0,求abc的值.思路點撥思路一:設ax=by=cz=t(t>0,且t≠1),可得x=logat,y=logbt,z=logct,代入

+

+

=0,利用對數的運算性質即可求得abc的值.思路二:設ax=by=cz=t(t>0,且t≠1),可得x=

,y=

,z=

,代入

+

+

=0,利用對數的運算性質即可求得abc的值.解析解法一:設ax=by=cz=t(t>0,且t≠1),∴x=logat,y=log