第1頁（共1頁）廣西玉林市2023-2024學年高二下學期期末質量監測數學試卷一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）已知R為實數集，集合A＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|2＜x≤3} C．{x|1≤x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）下列說法正確的是（）A．殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精確度越高 B．樣本相關系數r越大，成對樣本數據的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱 C．回歸直線就是散點圖中經過樣本數據點最多的那條直線 D．甲、乙兩個模型的決定系數R2分別約為0.88和0.80，則模型甲的擬合效果更好3．（5分）北京大學一個班級的6名同學準備去參加冬奧會志愿服務活動，其中甲和乙兩位同學要么都去，要么都不去，其他人根據個人情況可選擇去也可選擇不去，則這6名同學不同的去法種數有（）A．16 B．32 C．48 D．644．（5分）若函數f（x）滿足f（x﹣4）＝f（x），且當x∈[﹣2，0]時，f（x）＝3﹣x+1，則f（2023）＝（）A．10 B．4 C．2 D．5．（5分）函數y＝ln（3﹣|x|）的大致圖象為（）A． B． C． D．6．（5分）隨機變量X的分布列如表所示，若，則D（3X﹣2）＝（）X﹣101PabA．3 B． C．5 D．97．（5分）在R上是增函數的充分不必要條件是（）A．[﹣4，﹣2] B．[﹣4，﹣1] C．[﹣3，﹣1] D．[﹣3，﹣2]8．（5分）已知ξ～N（2，52），且P（ξ≤1）＝P（ξ≥a+1），則的最小值為（）A． B．2 C． D．6二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）下列命題為真命題的是（）A．若ac2≥bc2，則a≥b B．若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2 C．若a＞b，c＞d，則a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，則（多選）10．（5分）下列說法中正確的是（）A．若函數f（x）的定義域為[0，2]，則函數f（2x）的定義域為[0，4] B．若，則f（x）＝2x2﹣4x+3，x∈[1，+∞） C．函數的y＝4x+2x+1值域為（1，+∞） D．在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上單調遞減（多選）11．（5分）有甲、乙、丙等6名同學，則說法正確的是（）A．6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數為480 B．6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數為240 C．6名同學平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有90種不同的安排方法 D．6名同學分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種（多選）12．（5分）已知函數f（x）＝（x﹣1）lnx，且f（ea）＞f（b）．則下列結論一定正確的是（）A．若a＞0，則a﹣b＞0 B．若a＞0，則ea﹣b＞0 C．若a＜0，則ea+b＞2 D．若a＜0，則a﹣lnb＜0三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）若，則x＝．14．（5分）設隨機變量ξ～B（2，P），若，則p＝．15．（5分）已知函數是奇函數，則a+b＝．16．（5分）已知函數f（x）＝alnx﹣2x，若不等式f（x+1）＞ax﹣2ex在x∈（0，+∞）上恒成立，則實數a的取值范圍是．四、解答題（本答題共6小題，第17題10分，其他每題12分，共70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）在的展開式中只有第7項的二項式系數最大．（1）求n的值；（2）若其展開式中的常數項為﹣220，求其展開式中所有項的系數的和．18．（12分）已知關于x的不等式ax2﹣b≥2x﹣ax（a，b∈R）．（1）若不等式的解集為{x|﹣2≤x≤﹣1}，求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式（ax﹣2）（x+1）≥0．19．（12分）數獨是源自18世紀瑞士的一種數學游戲，玩家需要根據9×9盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的數字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3×3）內的數字均含1﹣9，不重復．數獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數獨大賽初級組的比賽．（1）賽前小明在某數獨APP上進行一段時間的訓練，每天的解題平均速度y（秒）與訓練天數x（天）有關，經統計得到如表的數據：x（天）1234567y（秒）990990450320300240210現用y＝a+作為回歸方程模型，請利用表中數據，求出該回歸方程，并預測小明經過100天訓練后，每天解題的平均速度y約為多少秒？參考數據（其中）﹣7×18450.370.55參考公式：對于一組數據（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝，＝．（2）小明和小紅在數獨APP上玩“對戰賽”，每局兩人同時開始解一道數獨題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局．若不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率．20．（12分）已知函數f（x）＝x3+3ax2+3bx+a2在x＝﹣1處有極值0．（1）討論函數f（x）的單調性；（2）記g（x）＝f（x）﹣k+1，若函數g（x）有三個零點，求實數k的取值范圍．21．（12分）2023年5月10日長征七號火箭劍指蒼穹，搭載天舟六號貨運飛船為中國空間站運送補給物資，為中國空間站的航天員們長時間探索宇宙奧秘提供強有力的后援支持．5月30日，再問蒼穹，神舟十六號發射成功．在“神箭”“神舟”的護送下，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名中國航天員順利進入太空，開啟為期約5個月的巡天之旅．某校部分學生十分關注中國空間站的發展，若將累計關注中國空間站發展的消息達到6次及以上者稱為“航天達人”，未達到6次者稱為“非航天達人”．現從該校隨機抽取200人進行分析，得到數據如表所示：航天達人非航天達人合計男8040120女305080合計11090200（1）依據小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，能否認為“航天達人”與性別有關聯？（2）（Ⅰ）從隨機抽取的這200名學生中采用比例分配的分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人．記事件A＝“至少有2名是男生”，事件B＝“至少有2名是航天達人的男生”，事件C＝“至多有1名是航天達人的女生”．試計算P（A）?P（B|A）?P（C|AB）和P（ABC）的值，并比較它們的大?。á颍á瘢┲蠵（ABC）與P（A）?P（B|A）?P（C|AB）的大小關系能否推廣到更一般的情形？請寫出結論，并說明理由．參考公式及數據，n＝a+b+c+d．α0.100.050.0100.001xα2.7063.8416.63510.82822．（12分）已知函數f（x）＝xex﹣alnx在x＝1處的切線方程為y＝（2e+1）x﹣b（a，b∈R）（1）求實數a，b的值；（2）設函數g（x）＝f（x）﹣2ex﹣x+3，當時，g（x）的值域為區間（m，n）（m，n∈Z）的子集，求n﹣m的最小值．參考答案與試題解析一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（5分）已知R為實數集，集合A＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A．{x|﹣1＜x≤3} B．{x|2＜x≤3} C．{x|1≤x＜2} D．{x|﹣1＜x＜2}【解答】解：集合A＝{x|x＜1或x＞3}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}，故圖中陰影部分表示的集合為：?B（A∩B）＝{x|1≤x＜2}．故選：C．2．（5分）下列說法正確的是（）A．殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越寬，則回歸方程的預報精確度越高 B．樣本相關系數r越大，成對樣本數據的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱 C．回歸直線就是散點圖中經過樣本數據點最多的那條直線 D．甲、乙兩個模型的決定系數R2分別約為0.88和0.80，則模型甲的擬合效果更好【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，殘差圖中殘差點所在的水平帶狀區域越窄，則回歸方程的預報精確度越高，A錯誤；對于B，樣本相關系數r的絕對值越大，成對樣本數據的線性相關性越強；反之，線性相關性越弱，B錯誤；對于C，線性回歸直線在散點圖中可能不經過任一樣本數據點，C錯誤；對于D，甲模型的決定系數大于乙模型的決定系數，故模型甲的擬合效果更好，D正確．故選：D．3．（5分）北京大學一個班級的6名同學準備去參加冬奧會志愿服務活動，其中甲和乙兩位同學要么都去，要么都不去，其他人根據個人情況可選擇去也可選擇不去，則這6名同學不同的去法種數有（）A．16 B．32 C．48 D．64【解答】解：將甲和乙兩位同學捆綁在一起，故這6名同學不同的去法種數有25＝32，故選：B．4．（5分）若函數f（x）滿足f（x﹣4）＝f（x），且當x∈[﹣2，0]時，f（x）＝3﹣x+1，則f（2023）＝（）A．10 B．4 C．2 D．【解答】解：根據題意，若函數f（x）滿足f（x﹣4）＝f（x），即f（x+4）＝f（x），函數f（x）是周期為4的周期函數，則f（2023）＝f（﹣1+2024）＝f（﹣1）＝31+1＝4．故選：B．5．（5分）函數y＝ln（3﹣|x|）的大致圖象為（）A． B． C． D．【解答】解：函數y＝ln（3﹣|x|）的定義域為（﹣3，3），排除選項C；又ln（3﹣|﹣x|）＝ln（3﹣|x|），所以函數為偶函數，則圖象關于y軸對稱，排除選項D；當x＝時，y＝ln＜0，排除選項B．故選：A．6．（5分）隨機變量X的分布列如表所示，若，則D（3X﹣2）＝（）X﹣101PabA．3 B． C．5 D．9【解答】解：根據隨機變量X的分布列可得到E（X）＝﹣1×+0×a+1×b＝﹣＝，∴，∵，∴a＝，D（X）＝（﹣1﹣）2×＝，則D（3X﹣2）＝32D（X）＝9×＝5．故選：C．7．（5分）在R上是增函數的充分不必要條件是（）A．[﹣4，﹣2] B．[﹣4，﹣1] C．[﹣3，﹣1] D．[﹣3，﹣2]【解答】解：∵在R上是增函數，∴，解得﹣4≤a≤﹣2，故滿足條件的只有D．故選：D．8．（5分）已知ξ～N（2，52），且P（ξ≤1）＝P（ξ≥a+1），則的最小值為（）A． B．2 C． D．6【解答】解：因為ξ～N（2，52），且P（ξ≤1）＝P（ξ≥a+1），由正態分布的性質可得：a+1＝3，即a＝2，∵x+（2﹣x）＝2，且0＜x＜2，∴＝[x+（2﹣x）]（）＝≥＝，當且僅當x＝時等號成立．故選：C．二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）（多選）9．（5分）下列命題為真命題的是（）A．若ac2≥bc2，則a≥b B．若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2 C．若a＞b，c＞d，則a﹣d＞b﹣c D．若a＞b，則【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，當a＝﹣1，b＝1，c＝0時，滿足ac2≥bc2，但a≥b不成立，A錯誤；對于B，若a＜b＜0，則﹣a＞﹣b＞0，則有（﹣a）（﹣a）＞（﹣a）（﹣b）＞（﹣b）（﹣b），即a2＞ab＞b2成立，B正確；對于C，若c＞d，則有﹣d＞﹣c，又由a＞b，則a﹣d＞b﹣c，C正確；對于D，當a＝1，b＝﹣1時，滿足a＞b，但＜不成立，D錯誤．故選：BC．（多選）10．（5分）下列說法中正確的是（）A．若函數f（x）的定義域為[0，2]，則函數f（2x）的定義域為[0，4] B．若，則f（x）＝2x2﹣4x+3，x∈[1，+∞） C．函數的y＝4x+2x+1值域為（1，+∞） D．在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上單調遞減【解答】解：根據題意，依次分析選項：對于A，若函數f（x）的定義域為[0，2]，對于f（2x），有0≤2x≤2，即0≤x≤1，函數f（2x）的定義域為[0，1]，A錯誤；對于B，若，則f（1+）＝2（1+）2﹣4（1+）+3，則f（x）＝2x2﹣4x+3，又由1+≥1，則f（x）的定義域為[1，+∞），則f（x）＝2x2﹣4x+3，x∈[1，+∞），B正確；對于C，對于y＝4x+2x+1，設t＝2x，t＞0，則y＝t2+t+1＝（t+）2+，由于t＞0，則y＞1，即函數的值域為（1，+∞），C正確；對于D，函數的單調區間不能用∪連接，D錯誤．故選：BC．（多選）11．（5分）有甲、乙、丙等6名同學，則說法正確的是（）A．6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，則不同的排法種數為480 B．6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，則不同的站法種數為240 C．6名同學平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有90種不同的安排方法 D．6名同學分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則不同的分組方法有6種【解答】解：6人站成一排，甲、乙兩人不相鄰，先將除甲、乙外的4人進行全排列，有種排法，再將甲、乙兩人插空，有種排法，則共有24×20＝480種不同的排法，A正確；6人站成一排，甲、乙、丙按從左到右的順序站位，可用倍縮法進行求解，即種不同的站法，B錯誤；6名同學平均分成三組到A、B、C工廠參觀（每個工廠都有人），則有種不同的安排方法，C正確；6名同學分成三組參加不同的活動，甲、乙、丙在一起，則三組同學分為3人一組，2人一組和1人一組，先將除甲、乙、丙外的剩余3人分為兩組，有種分法，再考慮甲乙丙與剩余的3人中的一個人合為一組，還有兩人分為兩組，共三種分法，故不同的分組方法有3×2＝6種方法，D正確．故選：ACD．（多選）12．（5分）已知函數f（x）＝（x﹣1）lnx，且f（ea）＞f（b）．則下列結論一定正確的是（）A．若a＞0，則a﹣b＞0 B．若a＞0，則ea﹣b＞0 C．若a＜0，則ea+b＞2 D．若a＜0，則a﹣lnb＜0【解答】解：因為f（x）＝（x﹣1）lnx（x＞0），所以，令，則，所以函數h（x）在（0，+∞）上單調遞增，又h（1）＝0，所以當0＜x＜1時，h（x）＜0，即f′（x）＜0，當x＞1時，h（x）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，所以f（x）min＝f（1）＝0．所以當a＞0，取a＝2，b＝e，因為e2＞e＞1，所以f（ea）＞f（b），此時a﹣b＜0，A錯誤；當a＞0時，ea＞1，由f（ea）＞f（b）得ea＞b，即ea﹣b＞0，B正確；當a＜0時，取a＝﹣1，b＝1，e﹣1＜1，滿足f（ea）＞f（b），此時ea+b＜2，C錯誤；當a＜0時，0＜ea＜1，由f（ea）＞f（b）得b＞ea，則lnb＞a，即a﹣lnb＜0，D正確．故選：BD．三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）若，則x＝4或7．【解答】解：，可得2x＝4x﹣8，或2x+4x﹣8＝34，解得x＝4或x＝7．故答案為：4或7．14．（5分）設隨機變量ξ～B（2，P），若，則p＝．【解答】解：∵變量ξ～B（2，P），且P（ξ≥1）＝，∴P（ξ≥1）＝1﹣P（ξ＜1）＝1﹣C20?（1﹣p）2＝，∴p＝，故答案為：15．（5分）已知函數是奇函數，則a+b＝．【解答】解：依題意函數f（x）是一個奇函數，又2x﹣a≠0，所以x≠log2a，所以f（x）定義域為{x|x≠log2a}，因為f（x）的圖象關于坐標原點對稱，所以log2a＝0，解得a＝1，又f（﹣x）＝﹣f（x），所以，所以，即，所以，所以．故答案為：．16．（5分）已知函數f（x）＝alnx﹣2x，若不等式f（x+1）＞ax﹣2ex在x∈（0，+∞）上恒成立，則實數a的取值范圍是（﹣∞，2]．【解答】解：由f（x）＝alnx﹣2x，得f（ex）＝alnex﹣2ex＝ax﹣2ex，∵f（x+1）＞ax﹣2ex，∴f（x+1）＞f（ex），∵當x＞0時，1＜x+1＜ex，∴只需f（x）＝alnx﹣2x在（1，+∞）上單調遞減，即x＞1時，恒成立，∴a?2x在（1，+∞）上恒成立，∴a?2，∴a的取值范圍為（﹣∞，2]．故答案為：（﹣∞，2]．四、解答題（本答題共6小題，第17題10分，其他每題12分，共70分，解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17．（10分）在的展開式中只有第7項的二項式系數最大．（1）求n的值；（2）若其展開式中的常數項為﹣220，求其展開式中所有項的系數的和．【解答】解：（1）∵只有第7項的二項式系數最大，∴，則n＝12．（2）根據（1）可知，二項式為，故的展開式的通項公式為，令，解得r＝9，∴展開式的常數項為，得a3＝1，∴a＝1，令x＝1可得展開式的所有項的系數和為（a﹣1）12＝（1﹣1）12＝0．18．（12分）已知關于x的不等式ax2﹣b≥2x﹣ax（a，b∈R）．（1）若不等式的解集為{x|﹣2≤x≤﹣1}，求a，b的值；（2）若a＜0，解不等式（ax﹣2）（x+1）≥0．【解答】解：（1）原不等式化為ax2+（a﹣2）x﹣b≥0，∵不等式的解集為{x|﹣2≤x≤﹣1}，∴﹣2，﹣1是方程ax2+（a﹣2）x﹣b＝0的兩根，由根與系數的關系得，解得．（2）當a＜0時，原不等式化為，當，即a＜﹣2時，解得；當，即a＝﹣2時，解得x＝﹣1；當，即﹣2＜a＜0時，解得，綜上所述，當﹣2＜a＜0時，不等式的解集為；當a＝﹣2時，不等式的解集為{﹣1}；當a＜﹣2時，不等式的解集為．19．（12分）數獨是源自18世紀瑞士的一種數學游戲，玩家需要根據9×9盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的數字，并滿足每一行、每一列、每一個粗線宮（3×3）內的數字均含1﹣9，不重復．數獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數獨大賽初級組的比賽．（1）賽前小明在某數獨APP上進行一段時間的訓練，每天的解題平均速度y（秒）與訓練天數x（天）有關，經統計得到如表的數據：x（天）1234567y（秒）990990450320300240210現用y＝a+作為回歸方程模型，請利用表中數據，求出該回歸方程，并預測小明經過100天訓練后，每天解題的平均速度y約為多少秒？參考數據（其中）﹣7×18450.370.55參考公式：對于一組數據（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝，＝．（2）小明和小紅在數獨APP上玩“對戰賽”，每局兩人同時開始解一道數獨題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽．若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局．若不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率．【解答】解：（1）由題意，（990+990+450+320+300+240+210）＝500，令t＝，設y關于t的線性回歸方程為y＝t+，則＝，則．∴y＝1000t+130，又t＝，∴y關于x的回歸方程為y＝，故x＝100時，y＝140．∴經過100天訓練后，每天解題的平均速度y約為140秒；（2）設比賽再繼續進行X局小明最終獲得比賽，則最后一局一定是小明獲勝，由題意知，最多再進行4局就有勝負．當X＝2時，小明4：1勝，∴P（X＝2）＝；當X＝3時，小明4：2勝，∴P（X＝3）＝；當X＝4時，小明4：3勝，∴P（X＝4）＝．∴小明最終贏得比賽的概率為．20．（12分）已知函數f（x）＝x3+3ax2+3bx+a2在x＝﹣1處有極值0．（1）討論函數f（x）的單調性；（2）記g（x）＝f（x）﹣k+1，若函數g（x）有三個零點，求實數k的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）＝x3+3ax2+3bx+a2，∴f′（x）＝3x2+6ax+3b，又f（x）＝x3+3ax2+3bx+a2在x＝﹣1處有極值0，∴，解得或，當a＝1，b＝1時，f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0，此時函數f（x）在R上單調遞增，不滿足在x＝﹣1時有極值，故舍去，故a＝2，b＝3，∴f（x）＝x3+6x2+9x+4，∴f′（x）＝3x2+12x+9＝3（x+1）（x+3），∴當x＜﹣3時，f′（x）＞0；當﹣3＜x＜﹣1時，f′（x）＜0；當x＞﹣1時，f′（x）＞0，∴函數f（x）在（﹣∞，﹣3），（﹣1，+∞）上單調遞增，在（﹣3，﹣1）上單調遞減．（2）由（1）可知g（x）＝x3+6x2+9x﹣k+5，∴g′（x）＝f′（x）＝3（x+1）（x+3），∴由（1）知g（x）在（﹣∞，﹣3）和（﹣1，+∞）上單調遞增，在（﹣3，﹣1）上單調遞減，∴g（x）的極大值為g（﹣3）＝﹣k+5，g（x）的極小值為g（﹣1）＝﹣k+1，要使函數g（x）有三個零點，則須滿足，解得1＜k＜5，故實數k的取值范圍為（1，5）．21．（12分）2023年5月10日長征七號火箭劍指蒼穹，搭載天舟六號貨運飛船為中國空間站運送補給物資，為中國空間站的航天員們長時間探索宇宙奧秘提供強有力的后援支持．5月30日，再問蒼穹，神舟十六號發射成功．在“神箭”“神舟”的護送下，景海鵬、朱楊柱、桂海潮3名中國航天員順利進入太空，開啟為期約5個月的巡天之旅．某校部分學生十分關注中國空間站的發展，若將累計關注中國空間站發展的消息達到6次及以上者稱為“航天達人”，未達到6次者稱為“非航天達人”．現從該校隨機抽取200人進行分析，得到數據如表所示：航天達人非航天達人合計男8040120女305080合計11090200（1）依據小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，能否認為“航