2023—2024學年度第二學期八年級質量檢測數學試題卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.若二次根式有意義，則x的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二次根式有意義的條件：被開方數是非負數．掌握二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵．根據二次根式有意義的條件：被開方數是非負數列出不等式，然后解不等式即可得出答案．解：根據題意，得：，解得：．故選：B．2.一元二次方程的根的情況是（）A.無實數根 B.有一個實根C.有兩個相等的實數根 D.有兩個不相等的實數根【答案】D【解析】【分析】本題考查了根的判別式：先計算判別式的值，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況．解：∵，∴，，故選：D．3.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查配方法解一元二次方程，根據配方法的步驟，進行配方，判斷即可．解：，∴，∴；故選B．4.若正多邊形的一個外角的度數為45°，則這個正多邊形是（）A.正五邊形 B.正六邊形 C.正八邊形 D.正十邊形【答案】C【解析】【分析】正多邊形的外角和是360°，這個正多邊形的每個外角相等，因而用360°除以外角的度數，就得到外角的個數，外角的個數就是多邊形的邊數．解：這個正多邊形的邊數：360°÷45°=8．故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的內角與外角的關系，熟記正多邊形的邊數與外角的關系是解題的關鍵．5.已知的、和的對邊分別是a，b和c，下面給出了五組條件：①；②；③；④；⑤，，．其中能獨立判定是直角三角形的條件有（）個．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】本題考查直角三角形的判定，根據有一個角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理，逐一進行判斷即可．解：∵，∴，∴是直角三角形；故①正確；∵，設，∵，∴是直角三角形；故②正確；∵，，∴，∴是直角三角形；故③正確；∵，∴，∴是直角三角形；故④正確；∵，，，∴，∴直角三角形；故⑤正確；故選D．6.某廠一月份生產某大型機器20臺，計劃二、三月份共生產90臺，設二、三月份每月的平均增長率為x，根據題意列出的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據關系式：原有臺數×(1+增長率)=現有臺數，可分別求得二、三月份的機器臺數，從而可得方程．由題意知，二月份生產機器臺數為：20(1+x)臺，三月份生產機器臺數為：20(1+x)2臺，根據二、三月份計劃共生產90臺可得方程：．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是掌握好關系式：原有臺數×(1+增長率)=現有臺數．7.某校組織九年級各班開展學生排球一次性墊球團隊比賽，每班各選派7名學生組成參賽團隊，其中九年級（1）班選派的7名學生一次性墊球成績（單位：個）如圖所示．則下列結論中，正確的是（）A.中位數為17 B.眾數為26 C.平均成績為20 D.方差為0【答案】B【解析】【分析】本題考查中位數、眾數、平均數和方差概念．根據中位數、眾數、平均數和方差概念即可解答．解：A選項：將這組數據從小到大排列為：17、19、22、26、26、30、35，從中可以看出，一共7個數據，第4個數據為26，所以這組數據的中位數為26；B選項：這組數據中26出現次數最多，所以這組數據的眾數為26；C選項：（個），所以這組數據的平均數為25；D選項：方差是一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，所以當方差等于0時，這組7個數據應相同，不符合題意；故選：B．8.如圖，在中，于點D，E是中點，且交于點F，已知，，連接，則長（）A.4 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查斜邊上的中線，三線合一，勾股定理．斜邊上的中線得到，，得到，三線合一，結合勾股定理，進行求解即可．解：∵，E中點，，∴，，∴，∴；故選B．9.如圖所示，點O是平行四邊形的對稱中心，，E，F是邊的三等分點；G，H是邊的四等分點．若，分別表示和的面積，則下列關系式正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了平行四邊形的性質，根據三等分點可得，；再結合點是的對稱中心可得，即可求解．解：連接，則必過點，如圖所示：∵，是邊的三等分點，∴，∵G，H是邊的四等分點，∴，∵點O是的對稱中心，∴∴，∴；故選A．10.點E是正方形對角線上一點，連接，過點E作，點P在延長線上，則為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過點作，交于點，交于點，易得四邊形，四邊形均為矩形，，均為等腰直角三角形，得到，證明，得到，進而得到，即可得出結果．解：過點作，交于點，交于點，∵正方形，∴，，∴，∴四邊形，四邊形均為矩形，∴，，∴，均等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；故選C．【點睛】本題考查正方形的性質，矩形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點，添加輔助線，構造全等三角形和特殊三角形，是解題的關鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分）11.若最簡二次根式與是同類二次根式，則_____________．【答案】2【解析】【分析】根據同類二次根式的定義：幾個最簡二次根式的被開方數相同，這幾個最簡二次根式叫做同類二次根式，進行計算即可．解：，∵最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得：；故答案為：2．【點睛】本題考查同類二次根式的定義．熟練掌握同類二次根式的定義，是解題的關鍵．12.若m是方程的一個根，則的值為______．【答案】2025【解析】【分析】根據m是方程的一個根，可得，據此即可解答．解：m是方程的一個根，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了利用方程的根求代數式的值，得到是解決本題的關鍵．13.矩形第一次沿折疊得到四邊形，展開后第二次沿折疊，使得點C與點F重合．若，，則______．【答案】2【解析】【分析】本題考查矩形與折疊，勾股定理，根據矩形和折疊的性質，得到四邊形為正方形，求出，設，在中，利用勾股定理求出的值，進一步求出的長即可．解：∵矩形第一次沿折疊得到四邊形，∴，∴四邊形為正方形，∴，∴，∵第二次沿折疊，使得點C與點F重合，∴，設，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：，∴，∴；故答案為：．14.菱形中，，E是中點，連接，點F是上一動點，G為中點，連接．（1）______；（2）若，則的最小值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】（1）連接，證明為等邊三角形，三線合一，即可得出結果；（2）取的中點，的中點，連接，，根據三角形的中位線定理，推出點在上運動，當時，最小，進行求解即可．解：（1）連接，∵菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵E是中點，∴平分，∴；故答案為：；（2）取的中點，的中點，連接，則：，，∴三點共線，∴點在線段上運動，∴當時，最小，∵菱形，∴，，，由（1）知：為等邊三角形，∵E是中點，∴，∴，，∴，∴，同法可得：，，∴四邊形為矩形，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，矩形的判定和性質，勾股定理等知識點，熟練掌握相關知識點，確定點的運動軌跡，是解題的關鍵．三、（本大題共2題，每小題8分，共16分）15.計算：【答案】【解析】【分析】本題考查二次根式的混合運算，先進行乘除運算，去絕對值運算，再合并同類二次根式即可．解：原式．16.解方程：．【答案】，【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．解：，因式分解得：，∴或，解得：，．四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）17.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求邊上的高．【答案】（1）是直角三角形；理由見解析（2）邊上的高為2【解析】【分析】本題考查勾股定理及其逆定理：（1）勾股定理求出三邊長，勾股定理逆定理，判斷三角形形狀即可；（2）等積法求高即可．【小問1】解：是直角三角形；理由如下：由勾股定理，得：，∴，∴是直角三角形；【小問2】設邊上的高為，∵，∴，∴；即：邊上的高為2．18.觀察下列各式的規律：①；②；③……（1）按照此規律寫出第4個等式：______；（2）猜想第個等式是：______；說明你猜想的正確性；（的整數）【答案】（1）（2），說明見解析【解析】【分析】本題考查二次根式的性質，數字類規律探究：（1）根據題干給定的等式，寫出第四個等式即可；（2）根據給定的等式，猜想出第個等式，再證明即可【小問1】解：，，，∴第4個等式為：；故答案為：；【小問2】由（1）可知：，證明如下：．五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19.已知關于的一元二次方程（1）求證：對于任意實數，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程的一個根是，求的值及方程的另一個根．【答案】（1）見解析（2），另一個根為【解析】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及根與系數的關系；（1）通過計算判別式的值得到，從而可判斷方程根的情況；（2）把代入方程可求的值，根據根與系數的關系得到方程的另一個根．小問1】解：∵∴，∴對于任意實數，方程總有兩個不相等的實數根；【小問2】當時，，解得，根據根與系數的關系可得：，∵，∴20.年月日是第九個“中國航天日”，今年的“中國航天日”主題為“極目楚天，共襄星漢”．為迎接中國航天日，某校舉行了七、八年級航天知識競賽，校務處在七、八年級中各隨機抽取了名學生的競賽成績（滿分分．單位：分）進行整理和分析（成績共分成五組：．，．，．，．．E．）．【收集、整理數據】七年級學生競賽成績分別為：．八年級學生競賽成績在組和組的分別為：．繪制了不完整的統計圖．【分析數據】兩組樣本數據的平均數、中位數和眾數如下表所示：年級平均數中位數眾數七年級八年級【問題解決】請根據上述信息，解答下列問題：（1）補全頻數分布直方圖，上述表中________，________，八年級學生成績組在扇形統計圖中所占扇形的圓心角為___________度；（2）根據以上數據，你認為此次競賽該校七年級學生成績好，還是八年級學生成績好？寫出一條理由；（3）如果該校七年級有名學生參加此次競賽，請估計七年級競賽成績不低于分的學生人數．【答案】（1）補圖見解析，，，；（2）七年級學生成績好，理由見解析；（3）名．【解析】【分析】（）根據頻數分布直方圖求出，即可補全頻數分布直方圖，根據中位數、眾數的定義即可求出的值，求出八年級學生成績在組的人數，用乘以其占比即可求解；（）根據平均數、中位數、眾數判定即可；（）用乘以七年級競賽成績不低于分的學生人數的占比即可求解；本題考查了頻數分布直方圖，扇形統計圖，中位數，眾數，樣本估計總體，看懂統計圖是解題的關鍵．【小問1】解：七年級抽取的名學生的競賽成績在組的人數為：名，∴補全頻數分布直方圖如圖：八年級在組的學生有名，∵八年級學生競賽成績在組和組的分別為：，∴第名和第名學生的競賽成績為，∴，∵七年級中抽取的名學生的競賽成績中分的最多，∴，∵八年級學生成績在組的學生數為名，∴八年級學生成績組在扇形統計圖中所占扇形的圓心角為，故答案為：，，；【小問2】解：七年級學生成績好．理由：七年級學生成績平均數、中位數、眾數均高于八年級學生成績，所以七年級學生成績好．【小問3】解：，答：估計七年級競賽成績不低于分的學生人數為名．六、（本題12分）21.已知平行四邊形的邊延長至點E，使得．連接相交于點O，（1）當滿足什么條件時，四邊形為菱形？（2）求證：當時，四邊形為矩形；【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，矩形的判定，熟練掌握相關知識點，是解題的關鍵．（1）先證明四邊形為平行四邊形，根據，結合平行線的性質，推出，即可得出四邊形為菱形；（2）先根據平行線的性質，得到，進而得到，三角形的外角，推出，得到，進而得到，即可得證．【小問1】當時，四邊形為菱形，理由如下：∵平行四邊形，∴，，∴，∵平行四邊形的邊延長至點E，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，∴，∴，∴，∴平行四邊形為菱形；【小問2】∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由（1）知，四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴，∴四邊形為矩形．七、（本題12分）22.合肥某水果店在5月份準備了一批西山枇杷，每盒利潤為30元，平均每天可賣50盒，經過調查發現每降價1元，可多銷售10盒，為了盡快減少庫存，決定采取降價措施，專賣店要想平均每天盈利3000元，則每盒枇杷應降價多少元？【答案】每盒枇杷應降價元．【解析】【分析】本題考查一元二次方程的應用，設每盒枇杷應降價元，根據總利潤等于單件利潤乘以銷量，列出方程進行求解即可．解：設每盒枇杷應降價元，由題意，得：，解得：或，∵盡快減少庫存，∴；答：每盒枇杷應降價元．八、（本題14分）23.正方形，E是的中點，F為射線上一點（不與點B，C重合），連接并延長到點G，使得，連接．過點C作的垂線交直線于點H．（1）如圖①，當點F在線段上時，求證：；（2）如圖②，當點F在線段上時，試說明之間的數量關系；（3）如圖③當點F在的延