神奇巧解技巧——高考數學選擇題

例題與題組

一、數形結合

畫出圖形或者圖象能夠使問題提供的信息更直觀地呈現，從而大大降低思

維難度，是解決數學問題的有力策略，這種方法使用得非常之多。

[?、（07江蘇6）設函數定義在實數集上，它的圖象關于直線x1

對稱，且當x1時，/（%）3'1,則有（）t>

A、/(I)32

-Y一Y-

323

C、/⑵Y-Y-

13

332

【解析】、當x1時，/(%)3*

圖象關于直線x1對稱，則圖象如圖所示。

這個圖象是個示意圖，事實上，就算畫出

f（x）\x1|的圖象代替它也可以。由圖知，

符合要求的選項是B,

【練習1】、若P（2,-1）為圓（xI）2>225的弦AB的中點，則直線AB

的方程是（）

Axxy30B、2尤y30C>xy10D、2xy50

（提示：畫出圓和過點P的直線，再看四條直線的斜率，即可知選A）

20的

xy

,則

y

X1

【練習2】、（07遼寧）伊變量X、>滿足約濟條件

x)'70

取值范圍是（）

A、晨C、,3

D、3,6

9

5B、

5

i

（提示：把匕看作可行域內的點與原點所在直線的斜率，不難求得答案，選

X

Ao）

C、（5,）D、（5,3）

12124J

（提示：事實上不難看出，曲線方程、

y14x（x2,2）的圖象為

x2（yI）24（2x2,1y3）,表示以（1,0）為圓心，2為半徑的上半圓，

如圖。直線yk（x2）4過定點（2,4）

【練習4］、函數y|x|（lx）在區間

A上是增函數，則區間八是（）

_1

A、,0B、

0,

（提示：作出該函數的圖象如右，知應該選B）

\x|y|與直線y2xm

【練習5】、曲線?1

23

有兩個交點，則血的取值范圍是（）

A、加4或m4B、4m4

C>m3或m3Dx3m3

（提示：作出曲線的圖象如右，因為直線

2

y2與其有兩個交點，則加4或加4,選A)

xm

【練習6],(06湖南理8)設函數/(%)二，集合Mx|/W

AX'

1

Px\f(x)，若M尸，則實數”的取值范圍是4--4-----

Y>

A、(,1)B、(0,1)C、(1,)D、[1,)

(提示：數形結合，先畫出/(x)的圖象。()1111

Y

由圖象知，當a時函數/㈤在(1,)上遞增，八x),同時/(x)的

解集為(17)的真子集，選C)—-—

【練習7】、(06湖南理10)若圓//以分屬飛也至少有三個不同的點

到直線/:依by處距離為22,則直線/的傾斜

B、，56

A、|212C、，D、0,

12463

2

(提示：數形結合，先畫出圓的圖形。圓方程化為a

(x2)(y2)(32),由題意知，圓心到直線

222

的距離d應該滿足0d2,在已知圓中畫一個半

徑為2的同心圓，則過原點的直線/:以by0與小圓有公共點，.?.選B。)

3

【練習8】、（07浙江文10）若非零向量a,b滿足|a-b|=|b|,貝U（

A、|2b|>|a-2b|B、|2b|<|a-2b|

C、|2a|>|2a-b|D、|2a|<|2a-b|

（提示：關鍵是要畫出向量a,b的關系圖，為此

先把條件進行等價轉換。|a-b|二|b||a-b|

2b）=0|b|2+b2-2ab=b

a±（a-2b），又a-（a-2b）=2b,所以|a|,|a-2b|,

12bl為邊長構成直角三角形，|2b|為斜邊，如上圖，

,-.|2b|>|a-2b|,選A。

另外也可以這樣解：先構造等腰4OAB,使OB=AB,

再構造R^OAC,如下圖，因為OC>AC,所以選A。）

【練習9]、方程cosxtgx的實根的個數是（）

A、1、出、2C、3D、4

-1______________________________________——]

（提示:，如圖，

4

由兩個函數圖象的交點的個數為3,知應選C）

【練習10］、（06江蘇7）若A、B、C為三個集合，4J,則一定有（

ZACB、CAC、ACD、A

（提示：若ABC，則AA

成立，排除C、D選項，作出Venn圖，可知A成立）

【練習11］、（07天津理7）在R上定義的函數/（X）是偶函數，且

fXfX。若/（x）在區間［1,2］上是減函數，則/（x）（）

（）（2）

A、在區間卜2,-1］上是增函數，在區間［3,4］上是增函數

B、在區間卜2,-1］上是增函數，在區間［3,4］上是減函數

C、在區間12,-1］上是減函數，在區間［3,4］上是增函數

D、在區間12,-1］上是減函數，在區間［3,4］上是減函數

（提示：數形結合法，/⑴是抽象函數，因此畫出其簡單圖象即可得出結

論，如下左圖知選B）

-2-191234X

【練習12］、（07山東文11改編）方程3⑴2X的取值區間是（）

0

XX

的解

2

A、（0,1）B、（1,2）C、（2,3）D、（3,4）

5

32

（提示：數形結合，在同一坐標系中作出函數⑷

yxy，的圖象，則立

2

刻知選B,如上右圖）

二、特值代驗

包括選取符合題意的特殊數值、特殊位置和特殊圖形，代入或者比照選項

來確定答案。這種方法叫做特值代驗法，是一種使用頻率很高的方法。

陋題、（93年全國高考）在各項均為正數的等比數列

a中，若aa

n

569

貝logalogaa)

313210

J□口??口□…

A、12B、10C、8D、2log5

3

【解析】、思路一（小題大做）：由條件有9aq452代從而

ii

aaq

231011012(F9)5310

所以原式=log(tzaog3I010,選B。

3123

思路二（小題小做）：由9aaaaaaaaaa知

YY原式

56473829io

=log{aa)5ylog3,03,選較Y—

3563

思路三（小題巧做）：因為答案唯一，故取一個滿足條件的特殊數列

3,q1即可，選Bo

，則下列命題中正確的是（）

【練習1】、（07江西文8）若0

_2

Avsinx2B、sinx2C>sin3D、sinx3

（提示：取x,驗證即可，選B）

63

【練習2】、（06北京理7）設/（〃）2242721。3"|。(〃N),則f(n)

A、2(8"1)B、2(8"11)C、2(8〃31)D、2(41)

7777

(提示：思路一：f(n)是以2為首項，8為公比的等比數列的前〃4項

6

的和，

所以.8)>，選D。這屬于直接法。

n4

/.(〃)(〃1)

n4

187

34,對照選項，

思路2:令〃f471021(2)24

o,貝ij

(0)2222

(81)。

127

只有D成立。)

【練習3】、(06全國1理9)設平面向量a、a2sa?的和a1+a2+a3=0,如果

平面向量如、b2xb3滿足|bi|=2|ai|,且ai順時針旋轉30以后與b同向，

其中i=1、2、3貝ij()°

A、-bi+b2+b3=0B、b「b2+b3=0C、bi+b2-b3=0D、bi+b2+b3=0

(提示：因為ai+a2+a^=0,所以a1、次、a3構成封閉三角形，不妨設其為正

三角牛，則b實際上胡三角形順耳釬旋轉30后再任k各邊延長2倍,仍為

封電要聯電Lu/土三*

【練習4】、若.f(x)a\a,f'(2)則fi(x1)的圖象是()

A、B、C、D、

(提示：抓住特殊點2,f<2)，所以對數函數/?)是減函數，圖象往

左移動一個單位得1),必過原點，選A)

【練習5］、若函數yf(x1)是偶函數，則)，/(2x)的對稱軸是()

A、x0B>x1C、1

xD、x2

2

（提示：因為若函數yf{x1）是偶函數，作一個特殊函數y（%I>，則

7

yfx變為y(2xI)2,即知y/(2x)的對稱軸是一1

(2)x,選C)

2

【練習6】、已知數列｛aj的通項公式為an=2e,其前n和為Sn,那么

1n=

CnSi+Cn2s2+…+CnSn()

A、2n-3nB^3n-2nC、5n-2nD、3n-4n

(提示：愚蠢的解法是：先根據通項公式an=2e求得和的公式Sn,再代

入式子CnSl+Cn2s2+...+Cn6n,再利用二項式展開式的逆用裂項求和得解，有些

書上就是這么做的！其實這既然是小題，就應該按照小題的解思路來求做：令

n=2,代入式子，再對照選項，選B)

【練習7】、(06遼寧理10)直線y2k與曲線9k2/儼(kRkj)

的公共點的個數是()

A、1B、2C、3D、4

11

F2

(提不：取々1,原方程變為X，這是兩個橢圓，與直線y2有4

(1)1

9

個公共點，選D)

【練習8】、如圖左，若D、E、F

三棱錐S-ABC的側棱SA、SB、

且SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,那么平

面DEF截三棱錐S-ABC所得的上下兩部分

的體積之比為()

A、4:31B、6:23

C、4:23D、2:25

(提示：特殊化處理，不妨設三棱錐S-ABC是棱長為3的正三棱錐，K是

FC的中點，丫vvV分別表示上下兩部分的體積

1,21,2

8

貝Ij2(2)228，選C)

V~SR-―一K84-T

SDEFsDEF,1

VS3/z3327V2784

___23_____

SABCSABC2

【練習9】、3BC的外接圓的圓心為O,兩條邊上的高的交點為H,

OHm(OAOBOC),則的取值是()

A、T一BTLC、-2D、2

（提示：特殊化處理，不妨還ABC為直角三角形，則圓心O在斜邊中點處，

此時有OHOAOBOC,m1,選B。）

AYYYYYYA

【練習10］、雙曲線方程為尤2匕

1,則人

的取值范圍是（）

k25k

A>kB、2C、2D、2或k

（提示：在選項中選一些特殊值例如k6,0代入驗證即可，選D）

三、篩選判斷

包括逐一驗證法——將選項逐一代入條件中進行驗證，或者邏輯排除法，

即通過對四個選項之間的內在邏輯關系進行排除與確定。

【例題】、設集合A和B都屬于正整數集，映射f:A8把集合A中的元

素n映射到集合B中的元素，則在映射f下，像20的原像是（）

A、2B、-3C、4D、5

【解析】、經逐一驗證，在2、3、4、5中，啤公產合方程2“〃=20,選Co

【練習1】、（66安徽理6）將函數y—sinp/------}*

的圖象按向量a=（,0）平移以后的圖象如圖所示,則'

6

平移以后的圖象所對應的函數解析式是（）

7A、ysin(x)B、ysin(x)

6612

C、ysin(2x3)Dxysin(^)

(提示：若選A或B,則周期為2,與圖象所示周期不符；若選D,則與“按

向量a二（一，0）平移”不符，選C。此題屬于容易題）

6

【練習2】、（06重慶理9）如圖，單位圓中A8的（

長度為X,/（X）表示A8與弦AB所圍成的弓形的面破

2倍，則函數y/（x）的圖象是（）X

X

A2222

11

(x“sin)(xsinx)，當x(0,)時，

22

sinx,貝ljxsinx,其圖象位于yx下方；當尤,2)時，sinx

xsinx，其圖象位于yx上方。所以只有選D。這種方法屬于小題大作。

解法2結合直覺法逐一驗證。顯然，面積/（幻不是弧長x的一次函數，

排除A；當x從很小的值逐漸增大時，/（x）的增長不會太快，排除B；只要x

則必然有面積/（x），排除C,選D。事實上，直覺好的學生完全可以直接選

D)

【練習⑶、十）6天津文8）若橢圓的中心點為E（-1,0）,它的二個焦點為

F（-3,0）,相應于焦點的準線方程是7

x，則這個橢圓的方程是（）

-2

A2(1)22（%1）2），（x1）（x2

A、x2,2222

dI」1

C、5yl5

B、

1

1213

213

（提示：橢圓中心為（-1,0），排除A、C,橢圓相當于向左平移了1個單

位長度，故c=2,出1\一,d5,選D）

c2

10

【練習4】、不等式上”的解集是（）

A、（1,0）B、（,1）

UU

C、（1,0）D、（,1）

（提示：如果直接解，差不多相當于一道大題！取x2,代入原不等式，

成立，排除B、C;取x2,排除D,選A）

【練習5】、（06江西理12）某地一年內的氣溫J八/\

Q（t）（℃）與時間t（月份）之間的關系如右圖,,/匚―1H

已知該年的平均氣溫為10℃o令C（t）表示時間

段［0,t］的平均氣溫，C（t）與t之間的函數關系

如下圖，則正確的應該是（）

（提示:由圖可以發現,t=6時，C（t）=0,排除C;t=12時，C（t）=10,

排除D;t>6時的某一段氣溫超過1CTC,排除B,選A。）

【練習6】、集合M（2?1）\nZ與集合N（4k1）\k

Z之間的關系是

（）

A、MNB、MNC、MND、MN

（提示：C、D是矛盾對立關系，必有一真，所以A、B均假；2〃1表示全

體奇數，4k1也表示奇數，故用N且B假，只有C真，選C。此法扣住了概

念之間矛盾對立的邏輯關系。

當然，此題用現場操作法來解也是可以的，即令k=0，士1,±2,±3,然

11

后觀察兩個集合的關系就知道答案了。）

I~2~A-41

【練習7】、當x4,0時Y

axxx恒成立，貝力的一個可能的

3

值是（）--

A、5B、,C、'

3

D、5

3

（提示：若選項A正確，則B、C、D也正確；若選項B正確，則C、D也正

確;若選坪C甲,則D也正確。選D）

【練習8】、（01廣東河南10）對于拋物線y24x上任意一點Q,點P（a,

0）都滿足PQa,貝I”的取值范圍是（）

A、,0B、（,2]C、[0,2]D、（0,2）

（提示：用邏輯排除法。畫出草圖，知a<0符合條件，則排除C、D;

又取“1,則P是焦點，記點Q到準線的距離為d,則由拋物線定義知道，此

時a<d<|PQ|,即表明。1符合條件，排除A,選B。另外，很多資料上解此題

—IIII—

是用的直接法，照錄如下，供“不放心”的讀者比較——

y

設點Q的坐標為匕2

（,）yaa,整理

。y，由PQ~a得一

得Q(0尸2

0

44

a

y22y

0(0168)0

yy

,/科，：.8168022

----0y----aa二-------2°的最小值是2,二

，即.恒成立，而8

0

8

a2,選B)

X

【練習9】、(07全國卷I理12)函數/(x)cos2%cos2的一個單調增區間是

2

()

A、,2

B、，C、0,

33623D、，

66

12

（提示：“標準”答案是用直接法通過求導數解不等式組，再結合圖象解得的，

選A。建議你用代入驗證法進行篩選：因為函數是連續的，選項里面的各個端

點值其實是可以取到的，由/（一）f（）,顯然直接排除D,在A、B、C中只

66

要計算兩個即可，因為B中代入——

—Y—會出現，所以最好只算A、C、現在就驗

612

算A,有（）2，符合，選A）

f

33

四、等價轉化

解題的本質就是轉化，能夠轉化下去就能夠解下去。至于怎樣轉化，要

通過必要的訓練，達到見識足、技能熟的境界。在解有關排列組合的應用問題

中這一點顯得尤其重要。下

陋題、（05遼寧12）一給定函數y/（%）的圖象在下列圖中，并且對任

意?fa得到的數列滿足，則該函數的圖

,由關系與yyavN

二；L二

A

ACB、C、D、

【解析】問題等價于內函數y/(x)圖'象上任一曲(演/都滿足yx,只能選A。

【練習1】、設sincos，且SirP+COS30,貝加的取值范圍是()

A、［-2,0)B、［2,：4

C.(-1,0)(1,2］D,(-3,0)(3,)

(提示：因為sir)3+cos3=(sin+cos5)(sin2-sincos+cos2),

而sirv-sincos+cos2>0恒成立故sir)3+cos3ot<0,選A。

另解：由sin3+cos3o知非銳角，而我們知道只有為銳角或者直角時

13

sincos『2,所以排除B、C、D,選A）

2,

【練習2】、尸1,22是橢圓幺的左、右焦點，點|了昭―1的

4P在橢圓上運動，則?'1

y1

最大值是（）

A、4B、5C、1D、2

（提示：設動點P的坐標是（2cos,sin），由1,2

jFF是橢圓的左、右焦點得

則

jL3,0)

22

PFPF1(2cos3,sin)3,sin)|14cos3sin|

12

|3cos2|2,選D。這里利用橢圓的參數方程把問題等價轉化為三角函數求

2I------

最值的問題。特別提醒：下列“簡捷”解法是掉進了命題人的“陷阱”的

Y

|PF|\PF|

PFPFYYYaYYY

2)

124

I2

2

【練習3】、若log2

，貝兒

Y上---<YYY

A、0B、0C、D、b

Y

1-^b

下

（提示：利用換底公式等價轉化。

AAAAAAc

lg2lg2

log2AO，選B）

ab

lglg

【練習4】、a,b,c,dR,且dbcd.ad，則（）

A、dB、b

C、bD、b

（提示：此題條件較多，又以符號語言出現,

令人眼花繚亂。對策之一是“符號語言圖形化”，

如圖，用線段代表a/,c,d,立馬知道選C。當然

14

這也屬于數形結合方法。對策之二是“抽象語言具體化”，分別用數字1,4,

2,3代表"也c,乩容易知道選Co也許你認為對策一的轉化并不等價，是的，

但是作為選擇題，可以事先把條件）,Ac,dR”收嚴一些變為Ro

XX上單調遞增,

【練習5】、已知若函數f（x）sinsin

在，

2243

則的取值范圍是（―）

A、0,2B、0,3C、0,2

-3--2—D、2,——

（提示：化簡得（）Isin上遞增，

f%x,"."sinx,

222

上單調遞增

Xx,而/(x)

在，

2222

43

,又??.選B)

3

,,0

43222

【練習6】、把10個相同的小球放入編號為1,2,3的三個不同盒子中，

使盒子里球的個數不小于它的編號數，則不同的放法種數是（）

1

33

A、CB、cC、CD、2

2C

6699

2

（提示：首先在編號為1,2,3的三個盒子中分別放入0,1,2個小球，

則余下的7個球只要用隔板法分成3堆即可，有c?種，選B;如果你認為難以

6

想到在三個盒子中分別放入只0,1,2個小球，而更容易想到在三個盒子中分

別放入只1,2,3個小球，那也好辦：你將余下的4個球加上虛擬的（或日借

來的）3個小球，在排成一列的7球6空中插入2塊隔板，也與本問題等價。

【練習7］、方程XXXX

的正整數解的組數是（）

I23412

A、24B、72C、144D、165

（提示：問題等價于把12個相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球

15

11空中插入3塊隔板即可，答案為CR165,選D）

【練習8】、從1,2,3,…，10中每次取出3個互不相鄰的數，共有的取

法數是（）

A、35B、56C、84D、120

（提示：逆向思維，問題可以等價地看作是將取出的三個數再插入余下的

7個數的8個空中，那么問題轉化為求從8個空位中任意選3個的方法數，為

G56,選B）

3

axbx\

2

【練習9】、（理科）已知lim3,則”（）

X1

x1

A、4B、-5C、-4D、5

（提示:逆向思維，分母（龍1）一定是存在于分子的一個因式，那么一

2,

定有axbx1（x1）（〃'X1)a/(101,.,.必然有人(1a)

且

axbx\

2

lim\im（ax1）,.\a113a4,：.b5,選B)

x1

X1X1

【練習10］、異面直線，〃所成的角為60,

1■

過空間一點0的直線/與〃y，所成的角等于60,

則這樣的直線有（）條>1YY

A、1B、&C、3D、4

（提本*報異面直線加，〃彳移到過點O的位罩，3己他們所確定阿面為A,則

問題等價于過點O有多少條直線與〃￡〃所成的角等于60，如圖，恰有3條，選

C）

【練習11］、不等式立bxC的解集為X1，那么不等式

a{x1)b(x1)c的解集為()

2

A、xOB、xxC、x2D^xx

16

(提示：把不等式ad1)b(x1)>c化為a(xI)2b(xa)c,其結構與

原不等式五bxg-相同，則只須命Y1Y,得0Y，選A)

五、巧用定義

定義是知識的生長點，因此回歸定義是解決問題的一種重要策略。

【例題】、某銷售公司完善管理機制以后，其銷售額每季度平均比上季度增

長7%,那么經過x季度增長到原來的y倍，則函數y〃幻的圖象大致是()

數，其中，所以選D。

【練習1】、已知對于任意R,都有/(尤)/(y)密」班一丁)，且

/(0)0,則“X)是()

A、奇函數B、偶函數C、奇函數且偶函數D、非奇且非偶函數

(提不：令y0,則由/(0)0得/(0)1；又令yx，代入條件式可得

/(x)/(x),因此/(x)是偶函數，選B)

【練習2】、點M為圓P內不同于圓心的定點，過點M作圓Q與圓P相切，

則圓心Q的軌跡是()

A、圓B、橢圓C、圓或線段D、線段廠夕、

(提示：設。p的半徑為R,p、M為兩定點，那I

么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常數，，由橢圓定義知圓

心Q的軌跡是橢圓，選B)

【練習3】、若橢圓之。占醯17寸(1I)下

有焦點，橢圓上有

22

1

43

一點M7幽MP|+2|MF|最小，則點乂為()一廠

A、(26,1)B、(1,3)廠、(1,3)_D.(26,1)

3223

(提示：在橢圓中，a2,b3,則1,1

ceC，設點M到右準線的距離

a2

為|MN|,則由橢圓病第二定義知，||1||2||

MF

__>>MNMF,從而

\MN\2

\MP\2\MF\\MP\|岬叮],這樣，過點P作右準線的垂直射線與橢圓的交點即

為所求M點，知易M(26,1)

，故選A)

3

xy

【練習4】、設1,222

~FF曾雙理線221(。的左、右焦點，P

蕭泮111

-------1|

普通支上寫意「點，若名

的最勺值講a?甲該p又曲線的離心率型取值1

PF

1

圍是()

A、[2,3]B、(1,3]C、3,D、1,2

皿_PFaPFa%A4a

(提小：(2)4i_r__v^2PF，即

Fb,225'

8a,當且僅當。卜I

PF

PF

I1

PFPFaPFPFFF,得6a2c,：A

a,時取等于號，又，選

!2241212

B)

【練習5】、已知P為拋物線產?上任一動點，記點P至心軸的距離為d,

對于給定點A(4,5),|PA|+d的最小值是()

A、4B、34C、171D、341