定值問題

問題：(2011年四川，理21)如圖，已知橢圓的兩個頂點A(-1,0),B(1,0),過焦點/(0,1)

的直線/與橢圓交于C,。兩點，并與x軸交于點P,直線AC與直線BD交于點。.

(I)當|CD|=平時，求直線/的方程;

(II)當點P異于A,3兩點時，求證：OP-OQ為定值.

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X

引申1:已知橢圓上r+=1(。>方>0)的兩個頂點A(-b,0)，B{b,0)，過焦點F(0,c)

a記

的直線/與橢圓交于C,。兩點，并與x軸交于點P(異于A,8兩點)，直線4c與

直線8D交于點。，則。(為定值).

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X

引申2：已知橢圓二+=1(a>b>0)的兩個頂點A(-b,0)，B(b,0),過焦點F(0,c)

a齊

的直線/與橢圓交于C,。兩點，并與x軸交于點P（異于A,B兩點），直線AO與

直線交于點。，則。POQ=加（為定值）.

引申3：已知橢圓與+==1（。＞。＞0）的兩個頂點A（—〃，0）,8（仇0）,過y軸上任意

a~b-

一點7（0"）?#0）的直線/與橢圓交于。，。兩點，并與無軸交于點尸（異于4,8

兩點），直線AC與直線3。交于點0,則OP-OQ=〃（為定值）.

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引申4：己知橢圓與+==1（。＞方＞0）的兩個頂點4（—。，0）,B（b,O）,過平面內任意一

a"b~

點T（s,f）（f70）的直線/與橢圓交于C,。兩點，并與x軸交于點P（異于兩

點），直線AO與直線BC交于點Q,則

OPOQ=b2（為定值）.

引申5：已知圓/+產=尸”＞0）,點A（_r，o）和8（乙0）,過平面內上任意一點

T（s"）?H0）的直線/與圓交于C,。兩點，并與x軸交于點P（異于A,3兩點）,

直線A￡＞與直線交于點。，則OP-OQ=戶

（為定值）.

2

YJ/

引申6：已知雙曲線橢圓一1(。＞0,方＞0)的兩個頂點A(—a,O),B(a,O),過y軸

a~

上任意一點T（S,f）（f工0）的直線I與雙曲線交于C,。兩點，并與x軸交于點P（異

于A,8兩點），直線AD與直線交于點Q,則

OPOQ=b2（為定值）.

定值問題作業(yè)

1.(2012,徐州一模)在平面直角坐標系xOy中，直線x—y+l=0截以原點。為圓心的圓

所得的弦長為后.

(I)求圓。的方程；

(H)若直線/與圓。切于第一象限，且與坐標軸交于O,E,當長最小時，求直線/

的方程；

(IH)設M,P是圓。上任意兩點，點M關于x軸的對稱點為N,若直線分別

交x軸于(機，0),(〃，())，問：是否為定值？若是，請求出定值；若說明理由.

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y

2.(2012安徽，理)如圖，K(—c,O)、6(c,O)分別是橢圓C：，+g=l(a>b>0)的左,

右焦點，過點耳作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點p,過點鳥作直線P鳥的垂線交直

線》=亍于點Q；

(I)若點。的坐標為(4,4)；求桶圓。的方程;

(II)證明：直線PQ與橢圓C只有一個交點.

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3.已知橢圓。：=+4=1（。＞。＞0）,過直線/:x=4上一點〃引橢圓C的兩條切線,

a'b

切點分別是A,8.

（I）若在橢圓上的點（不，為）處的橢圓的切線方程是學+綽=1.求證：直線A8恒

ab

過定點C；并求出定點C的坐標；

（H）是否存在實數(shù)/，使得gq+怛q=x|Aq?忸q恒成立？（點c為直線回恒過的

定點），若存在，求出4的值；若不存在，請說明理由.

r2v1

4.如圖，橢圓E:亍+臺=1(。>>>0)的左焦點為月，右焦點為尸2,離心率e=].過

K的直線交橢圓于AB兩點，且/VIBE的周長為8.

(I)求橢圓E的方程；

(II)設動直線l-.y^